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2024-2025学年黑龙江省大庆市林甸县高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是复数的共轭复数，为虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知，，是三条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
3.已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的外接球体积为( )
A. B. C. D.
4.图是某长方体建筑，图长方体是该建筑的直观图，点在的延长线上，是垂直于地面的测量标杆，高为现测得长为，在处测得点的仰角为，点的仰角为，则建筑物的高为单位：
A. B.
C. D.
5.已知的内角，，所对的边分别为，，，若，且，则的外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
6.在直三棱柱中，，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在梯形中，，，，，点满足，点满足，且，则( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于非零复数，，，及其共轭复数，，下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知三个内角、、的对边分别是、、，若，则下列选项正确的是( )
A.
B. 若点在边上，为角平分线且长度为，则
C. 若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为
D. 若是的外心，，则
11.如图，棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使平面平面
C. 存在点，使直线平面
D. 平面截正方体所得截面的最大面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是______．
13.已知点在线段上不含端点，是直线外一点，且，则的最小值是______．
14.已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，的中点为，过点作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知是平面外一点，平面，．
证明：平面；
过点作垂直于，证明：；
若，，求点到平面的距离．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且满足，其中，．
当，时，求的值；
当，时，若且，求及的周长．
17.本小题分
已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，其中在第一象限，且原点是的外心．
求；
记的内角，，的对边分别为，，，且．
判断的形状，并说明理由；
求的面积．
18.本小题分
如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，动点在棱上移动，连接．
证明：平面平面；
若点为棱的中点，平面，平面．
与所成的最小角为，求；
设平面平面，，与所成角的最小值为，当最小时，求的值．
19.本小题分
现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱如图所示，，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．
求该几何体的表面积；
若，，分别为棱，，的中点，求四面体的体积；
若，分别是线段，上的动点，求的最小值．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面；
因为平面，平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，又平面，所以；
在平面内过点作交于点，
因为，，，所以，
所以，
又平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为．
16.由正弦定理可得，
由余弦定理知，由题意知，故，故；
当，时，即，由正弦定理可得，
因为，即，
因为且，故，因此为锐角，故，
故，即，
因此，因此，即，解得舍去，
即，故，因为，故，，因此的周长为．
17.是的外心，即，，
只需考虑，即，又在第一象限，，
；
，，
，
由余弦定理知，两式相加可得，，
是直角三角形；
设，，，则，
可知，，，
易知与复平面的实轴垂直，又，与复平面的虚轴垂直，
，，又，点在第一象限，，
，，，，
的面积为．
18.证明：连接，，
由题意知，平面即为平面，
由正方形的性质知，
因为平面，平面，所以，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面．
解：由题意知，为平面内过点的任意一条直线，
所以直线与所成的最小角等价于与平面内的直线所成的最小角，
由线面角的定义知，为直线与平面所成的线面角，
设，连接，则点是的中点，
因为是的中点，所以，，
又平面，所以平面，所以为直线与平面所成的角，
所以．
由题意知，为平面内过点的任意一条直线，
故同的推导可知，直线与所成的最小角等价于与平面所成的线面角，
作平面于点，则，
因为，，所以平面，所以，
所以为二面角的平面角，
所以，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，
所以，，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以，，
令，则，
所以，
若，则，即；
若，则，
当，即时，取得最大值，此时最小，且，
故．
19.解：连接，则，因为，，所以，
所以正方形中，，
而，在中，，
所以四棱锥的侧面积为，
下面正方体个面的面积为，
所以多面体的表面积为．
由题意，计算
，
，
同理可得：，
所以三棱锥为底面边长为，侧棱长为正三棱锥，
过作底面的高，垂足为，因为底面是正三角形故H是正三角形的重心，
所以
，
所以；
将长方形，和展开在一个平面，
，
设，则，，，
，所以，
所以，
，
，
当，，，四点共线时，最短，
所以，
即的最小值为．
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