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2024-2025学年湖南省衡阳市衡南县高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.考生你好，语文考试需要分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，则复数( )
A. B. C. D.
3.函数且的图象所过定点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.如图，已知电路中个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A.
B.
C.
D.
5.，，则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6.著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，如函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若集合，，且，则的值可以是( )
A. B. C. D.
10.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，，则
C. 若中为钝角，则
D. 若，，，则解的个数为
11.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是( )
A.
B. 鳖臑体积的最大值为
C. 点到面的距离是
D. 鳖臑内切球的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在三角形中，，，，则______．
13.底面半径为的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为______．
14.已知函数由下表给出
其中的值等于、、、和中所出现的次数，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
班里有个男生，个女生，其中一名女生叫小雪，从中任意抽取人参加志愿活动．
女生被抽到是必然事件，求的取值范围；
女生小雪被抽到是随机事件，求的取值范围．
16.本小题分
某校在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的名学生进行了一次测试已知参加此次测试的学生的分数全部介于分到分之间，学校将所有分数分成组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图同组数据以这组数据的中间值作为代表．
求的值，并估计此次校内测试分数的平均值；
学校要求按照分数从高到低选拔前名的学生进行培训，试估计这名学生的最低分数计算结果由四舍五入保留一位小数；
试估计这名学生的分数的方差，并判断此次得分为分和分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？
参考公式：，其中为各组频数，参考数据：
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点．
求证：平面；
求与面所成角的正弦值．
18.本小题分
某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处点处固定一旗帜，然后从点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从点逆时针走至点处，此时测得，且测得米，米．
求该人工圆形湖泊的直径；
若为人工圆形湖泊优弧上一动点异于，两点，求四边形周长的取值范围．
19.本小题分
已知函数，为常数．
证明：的图象关于直线对称．
设在上有两个零点，．
(ⅰ)求的取值范围；
(ⅱ)证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.必然事件是指在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件．
已知班级里有个男生，个女生，总人数为人．
要使女生被抽到是必然事件，意味着抽取的人数要足够多，使得在抽取个人时，不可能只抽到男生．
男生有人，当时，就不可能只抽到男生，必然会抽到女生．
，即的范围是．
随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件．
要使女生小雪被抽到是随机事件，则抽取的人数要满足：
抽取的人数至少为人，如果，则不存在抽取的情况；
抽取的人数最多为人，如果，那么所有人都会被抽到，
此时小雪被抽到就是必然事件，而不是随机事件，
，即的取值范围是．
16.根据题目有：，
解得，
根据频率分布直方图，各组中间值为：，，，，，
对应频率为：，，，，，
；
容易知这名学生的最低分数为该次校内测试分数的分位数，
又，
设这名学生的最低分数为，因此，
因此分；
，
因此，
因此，，
因此成绩区间为，分的同学成绩在区间范围里，分的同学成绩不在区间范围里．
17.证明：底面为正方形，
，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
又是线段的中点，是线段的中点，
，
平面．
解：如图，取中点为，连接，，，
为正三角形，
，
又平面平面，平面平面，
平面，
又平面，
，
设，，，
在中，，
由得平面，
又，平面，
又平面，
，
，，
设到面的距离为，，
，
，
设与面所成角为，
则，
与面所成角的正弦值为．
18.在中，，米，米，
由余弦定理可得，
即，故米．
设该人工圆形湖泊的半径为，
由正弦定理可得，；
因为，，，四点共圆，，所以，
在，由余弦定理可得，，
即，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，又，又，，
所以四边形周长的取值范围为米．
19.解：证明：因为
，
因为，
所以的图象关于直线对称．
令，因为，所以，则，
则，，
因为在上单调递减，
所以关于的方程在上有两个不相等实数根，
所以，解得，
即的取值范围是
(ⅱ)证明：令，，则，为关于的方程的两根，
所以，，
所以，
所以，即，
因为，
所以，所以，
由于，，所以，
则，即，
又在上单调递减，
所以，即．
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