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2024-2025学年湖南省邵阳市海谊中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数是纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆的圆心在曲线上，圆与直线相切，则圆面积最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知中，角，，所对的边分别为，，已知，的面积，则的外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
5.已知定义域为的函数，，，，都有，则( )
A. B.
C. D.
6.已知向量，且，则实数( )
A. B. C. D.
7.圆：与直线：的位置关系为( )
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 无法确定
8.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为不垂直的异面直线，是一个平面，则，在上的射影可能是( )
A. 两条平行直线 B. 两条互相垂直的直线
C. 同一条直线 D. 一条直线及其外一点
10.已知双曲线：，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的焦点到渐近线的距离为
C. 若是双曲线的一个焦点，则 D. 若双曲线的两条渐近线相互垂直，则
11.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则( )
A. ：： B.
C. 是钝角三角形 D. 是锐角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若函数有两个不同的零点，则的取值范围为______．
13.在等比数列中，已知，那么______．
14.设随机变量服从两点分布，若，则______，______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
用分层随机抽样从某校高二年级名学生的数学成绩满分为分，成绩都是整数中抽取一个样本量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个再将个男生成绩样本数据分为组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
估计男生成绩样本数据的第百分位数；
若成绩不低于分的为“优秀”等级，用样本的频率分布估计总体，估计高二年级男生中成绩为“优秀”等级的人数．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
若，求正整数的最小值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，为棱上的动点．
当为棱的中点时，证明：平面；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，长轴长为．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点若的面积为，求．
19.本小题分
对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：在上单调；当时，，则称是该函数的“优美区间”求证：
是函数的一个“优美区间”；
函数不存在“优美区间”．
参考答案
1.
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13.
14.
15.根据题意可知，在内的成绩占比为，
在内的成绩占比为，
因此第百分位数在内，，
估计第百分位数约是；
成绩不低于分的频率为，
则高二年级男生中成绩优秀人数估计为：，
估计高二年级男生中成绩优秀人数为人．
16.由差数列的前项和为，且，
当时，，即有，
当时，，
即，即．
由，
可得，
由题意可得，
解得，
可得正整数的最小值为．
17.证明：取的中点，连接，，
因为为的中点，
所以，
因为，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
因为，平面，即，，两两垂直，
故可以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
因为，所以，
所以．
设平面的法向量为，
则，则，
取，得，，
所以，
因为，，，，平面，
所以平面．
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：椭圆：中，，所以，
由，得，
所以，椭圆的方程为；
由题意知，直线的斜率存在且不为，设斜率为，则直线的方程为，
由，消去，整理得，
所以，解得或；
由，，
设直线交轴于点，则，
所以
，
解得，
所以．
19.证明：根据题意，函数为二次函数，在区间上为单调增函数，
且，，即，
故是函数的一个“优美区间”；
证明：假设是函数的一个“优美区间”，
对于函数，其定义域为，
则有，或，，
又由在上递减，
则有，两式相减可得，变形可得，
对于，变形可得，即，不能成立，
故假设是函数的一个“优美区间”错误，则函数不存在“优美区间”．
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