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2024-2025学年吉林省四平市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法不正确的是( )
A. 圆柱的轴截面是矩形 B. 圆锥的轴截面是等腰三角形
C. 所有空间几何体都是多面体 D. 有些三棱锥的四个面都是直角三角形
2.已知为实数，若复数为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3.在中，已知，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.已知向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是( )
A.
B.
C.
D.
6.想测量一座山的高度，可以通过飞机的航行来完成，如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拨高度为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知复数，当时，不等式恒成立，则实数的最大值是( )
A. B. C. D.
8.如图，外接圆的圆心为，，，，则圆的半径( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若且，则，为实数
10.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，，则( )
A.
B.
C.
D. 若，，，则
11.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列条件中能判断为钝角三角形的有( )
A. B.
C. D. 的三条高分别为，，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数，则 ______．
13.如图所示，圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为______．
14.已知是内部的一点，且，和的面积分别是，，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，．
若，求的值；
若复数在复平面内对应的点满足关系式，求的值．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，
求的值；
，是坐标平面上的点，，，求的最小值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
若的周长为，且，求的面积．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
若，，的内角平分线交于点，求的长；
若与的内角平分线相交于点，的外接圆半径为，求的最大值．
19.本小题分
如图，，分别是等腰梯形的边，上的动点，，其中为定值，，设，其中，．
用所给字母，，，求出的表达式；
证明：的余弦值与的取值无关；
求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，，
所以，
因为，
所以，
解得，或；
复数
因为在复平面内对应的点满足关系式，
所以，
所以．
16.解：因为，，所以，
故，
因为，所以；
，
，
，
因为，所以当时，取得最小值为．
17.解：由，，
可得，整理得，结合正弦定理得，
因为，
所以，可得，
因为，可得，所以，结合，得；
根据，得，即，
可得，即，，
因为，所以，可得，，
因为的周长为，所以，解得，
因此，，，可得的面积．
18.解：的内角平分线交于点，
，
，
，
；
如图，
的外接圆半径为，，
，
，，
与的内角平分线相交于点，
，即，
在中，由余弦定理得，，
，
，
，
，，
当且仅当时取等号，
的最大值为．
19.解：如图，过，分别作的垂线，垂足为，，
因为四边形是等腰梯形，且，
在中，，，
所以，
由题意知，
因此
，
；
证明：由可知，
，
因此，
因此的余弦值与的取值无关；
由题意知，
因此，
考虑，对称轴，
因此当时，，
再考虑，当时，，
因此且，当时，，
综上所述，，即，因此．
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