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2024-2025学年青海省西宁市三江源民族中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列中第项是( )
A. B. C. D.
2.若，则等于( )
A. B. C. D.
3.记为等差数列的前项和，若，，则公差( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.学校安排位教师任教个班级，每位教师任教个班，则不同的安排方法的总数为( )
A. B. C. D.
6.函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数( )
A. 无极大值点，有四个极小值点 B. 有三个极大值点，两个极小值点
C. 有两个极大值点，两个极小值点 D. 有四个极大值点，无极小值点
7.已知随机变量服从正态分布，，则( )
A. B. C. D.
8.从混有件次品的件产品中依次抽取件，在第次抽到次品的条件下，第次抽到次品的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，成等比数列，则的值可以是( )
A. B. C. D.
10.若，则的值为( )
A. B. C. D.
11.已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：
且，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程是______．
13.的展开式中的系数为______用数字作答．
14.已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
生物兴趣小组有名学生，其中正、副组长各名，组员名现从该小组选派名同学参加生物学科知识竞赛．
Ⅰ如果正、副组长人中有且只有人入选，共有多少种不同的选派方法？
Ⅱ如果正、副组长人中至少有人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派方法？
16.本小题分
已知的展开式中所有的二项式系数之和为．
求的值；
求该展开式的常数项．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
当时，求函数的最大值与最小值．
18.本小题分
已知为等差数列，是等比数列，且，，．
求和的通项公式；
若，求的值．
19.本小题分
为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩，数据如下表：
男生
女生
Ⅰ从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
Ⅱ从该校的高一学生中，随机抽取人，记成绩为优秀分的学生人数为，求的分布列和数学期望；
Ⅲ表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ根据题意，正、副组长人中有且只有人入选，其选法有种，
在名组员中任选人，有种选法，
则有种选法；
Ⅱ根据题意，分种情况讨论：
正、副组长人都入选，且组员甲没有入选，选派方法数为，
正、副组长人中有且只有人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为．
则有种不同的选法．
16.解：由的展开式中所有的二项式系数之和为，得，所以．
由知，展开式的通项公式为，
由，得，，
所以展开式的常数项为．
17.解：，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以的递增区间是、；递减区间是．
由知，在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
所以，，
又因为，，
所以的最大值是，最小值是．
18.解：设数列的公差为，数列的公比为，
因为，，所以，即，
所以，
所以，则，
所以．
．
19.解：Ⅰ设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩“为事件，
由表格得：从抽出的名学生中男女生各随机选取一人，共有种组合，
其中男生成绩高于女生，，，，，，，，，，，，，，，，，
所以事件有种组合，因此；
Ⅱ由数据知，在抽取的名学生中，成绩为优秀分的有人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取人，该学生成绩优秀的概率为，
因此从该校高一学生中随机抽取人，成绩优秀人数可取，，，且，
，，，，
所以随机变量的分布列为：


数学期望．
Ⅲ男生的平均成绩为，则；
女生的平均成绩为，则；
由于从参加活动的男生中抽取成绩为分的学生组成新的男生样本，
所以，则；
所以．
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