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2024-2025学年山东省枣庄市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的展开式的第项的系数是( )
A. B. C. D.
2.下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.哪吒之魔童闹海唐探重启未来三部贺岁片引爆了年春节电影市场某电影院同时段播放这三部电影，小王和他的位同学相约一起去看电影，每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知随机事件，，，，，则( )
A. B. C. D.
5.函数，的最小值为( )
A. B. C. D.
6.函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图所示，杨辉三角是二项式系数的一种几何排列，第行是的展开式的二项式系数，观察图中数字的排列规律，可知下列结论不正确的是( )
A.
B. 第行所有数字之和为
C. 第行从左到右第个数与第个数之比为
D. 第行从左到右第个数比该行其他数都大
8.已知是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
10.有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列命题正确的是( )
A. 若五位同学排队，甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有种
B. 若五位同学排队，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种
C. 若五位同学排队，甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队不必相邻，则不同的排法有种
D. 若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，每位同学至少到一个社区，则不同的分配方案有种
11.已知的零点为，的零点为，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，项的系数为______．
13.已知，则在点处的导数为______．
14.已知直线是曲线与的公切线，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于．
求展开式中所有二项式系数的和；
求展开式中的常数项．
16.本小题分
同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应由长期的经验知，甲、乙、丙的正品率分别为、、，甲、乙、丙生产该产品所占比例分别为：：，将三家产品混放在一起．
任取一件产品，计算它是次品的概率；
现取到一件产品为次品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大？说明理由．
17.本小题分
已知函数在处有极值．
求的极值；
若在区间上有三个零点，求的取值范围．
18.本小题分
已知．
讨论的单调性；
若任意的，，，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数在点处的切线经过点．
求的值；
若有两个零点，，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
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6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.前三项的二项式系数和为，
解得，
所以的展开式中所有二项式系数的和为；
的展开式的通项公式为：
，，，，，
令，解得，
故展开式中的常数项为．
16.设表示“任取一件产品为次品”，
则、、分别表示“任取一件，产品为甲、乙、丙厂生产”，
由已知，，，
，，，
任取一件产品，它是次品的概率为：
．
，
，
，
，次品来自乙广的概率最大．
17.的定义域为，，
由条件知，得，
所以，
令，得或，
，随的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以的极大值为，极小值为．
由，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
而在上有三个零点且，
解得，
所以的取值范围
18.的定义域为，
．
若，则．
若，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，当或时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
若，，当且仅当时取等号，
此时在上单调递增；
若，当或时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
不妨设，则
．
设，则，
所以在上单调递增，
所以对恒成立，
所以对恒成立，
又，
所以当时，取最大值，
所以，解得，即的取值范围为．
19.因为，所以，
所以，，
所以切线方程为，又切线经过，
所以，解得；
证明：由知，所以，
所以当，，单调递减；
当，，单调递增，
由题意，则，
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令
，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以在上单调递增，
由，可得，
即，
所以，
所以，即，得证．
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