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专题1.1 集 合
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 (或)
(5)集合的分类：有限集、无限集和空集.
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合中所有元素都在集合中(即若，则) (或)
真子集 集合是集合的子集，且集合中至少有一个元素不在集合中 (或)
集合相等 集合A，中的元素相同或集合，互为子集
重要结论：
⑴若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个.
⑵空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合
并集 由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合
补集 由全集中不属于集合的所有元素组成的集合
重要结论：
⑴.
⑵
⑶.
⑷
⑸
⑹
1.【人教A必修一P35复习参考题1 T8】若集合，集合，则
A. B. C. D. ，
2.【人教B版必修一P14练习B T2】（多选）已知，，，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
【典例精讲】
例1.(2025·江苏省苏州市·期中考试)（多选）下列四个命题中正确的是( )
A. 由所确定的实数集合为
B. 同时满足的整数解的集合为
C. 集合可以化简为
D. 中含有三个元素
例2.(2025·江苏省无锡市·模拟题)已知集合，且，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或或
【方法储备】
1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．
2.利用集合元素的条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
【拓展提升】
练1-1(2025·浙江省丽水市·月考试卷)已知集合，，，，则中所含元素的个数为( )
A. B. C. D.
练1-2(2024·浙江省瑞安市·月考试卷) 已知集合，，若，且中恰有个整数元素，则实数的取值范围为
【典例精讲】
例3.(2025·江苏省无锡市·月考试卷)（多选）下列说法正确的是( )
A. 是由的所有实数组成的集合，是由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合，、均不存在
B. ，是由个组成的集合，则
C. ，，则可能有个
D. ，，用列举法表示集合为
例4. (2025·河北省石家庄市·联考)（多选）已知集合，
，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则或 D. 若时，则或
【方法储备】
1.集合间基本关系的判断
(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；
(2)用列举法、图示法表示各集合，从元素中寻找关系.
2.根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素:首先，对子集是否为空集进行分类讨论；其次，是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常借助数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
注意：在列不等式（组）时，注意端点值能否取到．
【拓展提升】
练2-1(2024·山东省聊城市·月考试卷)已知集合，，，则，，的关系为( )
A. B. C. D.
练2-2(2025·云南省玉溪市·模拟题)若集合的所有子集个数是，则的取值是( )
A. B. C. D. 或
【典例精讲】
例5.(2025·河南省新乡市·模拟题)（多选）已知集合则( )
A. B.
C. D.
例6.(2025·河北省·单元测试)已知集合，，，则实数的取值范围是 ．
例7.(2024·湖南省长沙市·模拟题)集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
【方法储备】
1.集合基本运算的思路
确定元素：确定集合中的元素及其满足的条件；
化简集合：根据元素满足的条件解方程或不等式，得出元素满足的最简条件，清晰的表示集合；
运算求解：利用集合运算的定义求解，可借助数轴或Venn图.
2.数形结合思想的应用
⑴离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图实施；
⑵连续的数集间的运算，常利用数轴进行；本质上都是数形结合思想的体现和运用．
【拓展提升】
练3-1(2024·江苏省·模拟题)已知表示不超过的最大整数，集合，，且，则集合的子集的个数为( )
A. B. C. D.
练3-2(2025·山东省青岛市·模拟题) 设集合，，则下列说法一定正确的是( )
若，则 B. 若，则
C. 若，则有个元素 D. 若，则
练3-3(2025·广东省·期中考试)方程的解集为，方程的解集为，已知，则 ．
1. (2025·广东省·单元测试)定义：表示集合中元素的个数，已知集合，集合，集合，若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. 且
2.(2025·湖北省·单元测试)（多选）已知集合，，且，则实数可能的取值是( )
A. B. C. D.
3.(2025·重庆市·联考题)已知集合，若集合只有两个元素，则实数可取的一个值为 ；若集合，集合，当集合有个子集时，实数的取值范围为 ．
【答案解析】
1.【人教A必修一P35复习参考题1 T8】
解：集合表示纵坐标为的点集，集合表示横坐标为的点集，所以，故选B．
2.【人教B版必修一P14练习B T2】（多选）
解：由题意，，，由于，，所以．，由于，所以为偶数，因此，故，所以，D正确，，C错误．故选BD．
例1.
解：分别取，同正、同负和一正一负时，
可以得到的值分别为，，，故A正确；
由得，
所以符合条件的整数解的集合为，故B正确；
由，，，
可以得到符合条件的数对有，，，故C正确；
当时，；当时，，
当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以集合含有四个元素，，，，故D错误，故选ABC．
例2.
解：因为，且，
所以或，解得或或．
当时，，即集合不满足集合元素的互异性，故
当时，集合不满足集合元素的互异性，故
当时，满足条件．故选A．
练1-1.
解：由题意，可表示，，，，，，共个点．
故选C．
练1-2.
解：由中不等式变形得：，解得：或，即
由，，且中恰有个整数元素，知方程有两个实数根．
设，则的轴对称，且对应方程的根，，满足，取，
中恰有的两个整数元素为，，
，解得，
的取值范围为故答案为：
例3.
解：对，由的所有实数组成的集合是空集，
由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是，故、都存在，故错误；
对，，由个组成的集合，
根据集合中元素的互异性，故，故正确；
对，，
因为，故含有、且是的子集，
可能为，，，，共有个，故正确；
对，，故错误．
故选．
例4.
解：由题意得，
若，则且，解得，故A正确；
故当时，，故D不正确；
若，则且，解得，故B正确；
当时，得，解得或，故C正确．
故选：．
练2-1.
解：因为，
，，
所以．故选B．
练2-2.
解：因为集合的所有子集个数是，
则集合有且只有一个元素，
当时，即当时，
则，符合题意；
当时，即当时，
则关于的方程只有一个实数解，
则，解得；
综上所述，或．故选：．
例5.
解：由可得或，即或 ，
对于项，，故 A项错误；
对于项， ，故B项正确；
对于项，因或，故，故 C项正确；
对于项，结合，可知，故 D项正确．故选：．
例6.
解：因为，所以或又因为，，观察与在数轴上表示的区间，如图所示，
可得当时，．
例7.
由等价于，解得或，
所以或，又，所以，
当时，即无解，此时，满足题意．
当时，即有解，
当时，可得，即，要使，则需要，解得．
当时，可得，即，要使，则需要，解得．
综上，实数的取值范围是．故选A．
练3-1.
解：由题意可得，又，
，又，
当时，则是的根，，
；
当时，则是的根，，
，
综合可得集合的元素有个，
集合的子集的个数为，故选：．
练3-2.
解：当时，，
当时，，，
若，则或或，可能为空集，也可能不为空集，，B错误；
若，则，，但可能，可能有个元素，也可能有个元素，C错误；
若，则或，，D正确．故选：．
练3-3.
解：由题意可，，
则且，解得，，
则，同理求得，
则．故答案为．
1.解：，
，，
又，或，
方程的解为，，；
方程可能有个解，个相同的解，个不同的解，
或或，故只需要排除，
若，
当，即时，
或，成立；
若是方程的根，则，
，成立；
若是方程的根，则，
，成立，不可能是方程的根．
综上所述，当且仅当或时，，
故的取值范围是且，
故选：．
2.解：，且，则：
当时，或，解得或；
若，则，解得，
若，则，此时无解，
若，则，此时无解；
综上：故选：．
3.解：由，得或，
由集合只有两个元素，得：
方程有两个相等的实根，且该实根不为，
因此，解得，此时方程的根为或，符合题意，
所以，取；
方程有一个实根为，另一实根不为，
此时，，此时方程的另一实根为，符合题意；
所以或；
由集合有个子集，得集合中有个元素，而，，
则或或或，
当时，方程无实根，，解得，
当时，方程有两个相等的实根，则，
当时，方程有两个相等的实根，
而方程有实根时，两根之积为，因此无解，
当时，方程的两根分别为，同上无解，
实数的取值范围为．
故答案为：；

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