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2026届普通高等学校招生全国统一考试数学最新模拟试卷1
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集，则中元素个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．在中，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．函数有且只有一个零点的充要条件是（ ）
A． B． C． D．或
5．直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，,, 平面，且，点在边上.若要使，则这样的点有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
8．已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量（）表示第次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是（ ）
A．X的分布列为
B．X的方差
C．
D．
10．已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
11．在正方体中，点、、分别是棱、、的中点，点是线段上一个动点（不含端点），则（ ）
A．与异面 B．平面
C． D．与平面所成角正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知复数，则 .
13．已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于 ．
14．已知两点，，动点满足，抛物线的焦点为，动点在上，则的最小值为____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知，，函数．
（1）求函数的最小正周期和对称中心；
（2）若，且，，求的值．
16．（1）求的展开式中按的升幂排列的第3项；
（2）求的展开式的常数项；
（3）求的展开式中的系数.
17．如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点.

（1）求证：平面；
（2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积.
18．在数字化浪潮的推动下，线上办公日益普及.为研究不同工作年限的员工对线上办公的态度，某人力资源研究机构对300名员工进行了调查，将员工分为工作年限5年以下和工作年限5年及以上两组，调查结果如表所示：
接受线上办公 不接受线上办公 合计
工作年限5年以下 80 40 120
工作年限5年及以上 60 120 180
合计 140 160 300
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对线上办公的态度与工作年限有关？
（2）从样本中接受线上办公的员工中按工作年限利用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人分享线上办公经验，设这3人中工作年限为5年以下的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．已知函数，其中常数.
（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若，设，求证：函数在上有两个极值点.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由条件可知，，
所以复数对应的点为，为第四象限的点.
故选D
2．【答案】B
【详解】因为，，
∴，，
∴，中元素个数为4个，
故选B．
3．【答案】C
【详解】依题意，在中，，，，
则的面积为.
故选C.
4．【答案】D
【详解】因为时，，可知函数的图象过点，
所以函数有且只有一个零点
函数没有零点
函数的图象与直线无交点．
当时，，
由图可知，函数 的图象与直线无交点或．
即函数有且只有一个零点的充要条件是或．
故选D．
5．【答案】C
【详解】设直线，的倾斜角分别为，则,;
因此；
所以.
故选C
6．【答案】D
【详解】由，则，
且，得，
又是的中点，即是中线，则，
则，得，
所以
故选D．
7．【答案】B
【详解】如图，连接，因为 平面，所以，.设，则，所以，，.由得，则，整理得，解得，则这样的点有1个.故选.
8．【答案】D
【详解】取上靠近点的四等分点，连接、，
由是棱的中点，点是棱的中点，易得，则平面，
取、中点、，取上靠近点的四等分点，连接、、、，
由正方体的性质易得，，则，
又平面，平面，所以平面，
同理，平面，
又，，平面，故平面平面，
又平面，平面，故，即点的轨迹为线段，
设点到的距离为，有，
故，故的长度最小值为.
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】对A：由题意：随机变量服从超几何分布，即，
所以.故A错误；
对B：根据超几何分布的方差的计算公式：，可得.故B正确；
对C：根据全概率公式，，故C正确；
对D：根据条件概率，可得.故D正确.
故选BCD
10．【答案】ACD
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选ACD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，如图①，正方体中，、分别是、的中点，所以，
所以共面，由平面，平面，
，平面，得与异面，故A正确；

对于B，如图②，正方体中，令的中点为，又因为、、分别是、、的中点，
所以，，平面，平面，平面，
故平面，平面，平面，
所以平面平面，平面，所以平面，故B正确；

对于C，如图②，由选项A，知，所以为与的所成角，在正中，，故C不正确；
对于D，由选项B，知平面平面，故与平面所成角即为与平面所成角，如图③，
设正方体的棱长为1，则，令平面，因平面，
则为与平面所成角，
由得，，
得，∴,
在正中，当为中点时，，此时最小，的最小值为，
此时的值最大，最大值为，故D正确.

故选ABD.
12．【答案】
【详解】，则.
13．【答案】
【详解】∵，，成等差数列，
∴，即，
∴，
∴，
∴或 (舍)．
∴.
14．【答案】3
【详解】设，因为点满足，所以，
两边平方整理得，
即点的轨迹为圆心坐标为，半径为2的圆，
则，当且仅当,,三点共线，且点的坐标为时，等号成立.
故的最小值是3.
15．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）已知，，函数．
∴
，
即，∴函数的最小正周期为，
令，得，
∴函数的对称中心为．
（2）由（1）知，
则，得，
∵，∴．
∵，∴，
∵，∴．
∴
，
又，∴．
16．【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）的展开式中升幂排列第三项为项，
而，
则当，时，为，
当，时，为，
当，时，为，
因此项为，所以升幂排列的第3项为.
（2）由题意知，
当时，解得，则，所以常数项为.
（3）依题意，，
当时，，
，当时，，
因此的项为，所以的系数为.
17．【答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）证明：连接，交于点，则为中点，连接，如图所示，

在中，因为分别为的中点，所以，
又因为面，且面，所以平面；
（2）解：在正三棱柱中，因为，且，
可得正三棱柱的体积为,
又由三棱锥的体积为，
所以剩余部分的体积为.
18．【答案】（1）员工对线上办公的态度与工作年限有关；
（2）分布列见详解，.
【详解】（1）零假设：员工对线上办公的态度与工作年限无关.
由题知.
当时，，因为，
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为员工对线上办公的态度与工作年限有关.
（2）按工作年限利用分层随机抽样的方法抽取7人，则其中工作年限为5年以下的员工有（人），工作年限为5年及以上的员工有（人）.
故的所有可能取值为0，1，2，3.
则，
，
，
.
所以的分布列为
0 1 2 3
所以.
19．【答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）因为在上是增函数，
所以在上恒成立，
即恒成立，只需，
设，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，
所以的最小值为，
所以，解得.
故实数的取值范围是；
（2）要证函数在上有两个极值点，
只需证在上有两个不等实根，
由题意，当时，，则，
令，则，
由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，，
所以存在，，使得，，
所以是函数的两个极值点，
即在上有两个极值点.
第 page number 页，共 number of pages 页
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