资源简介

第1讲　机械振动
考点一　简谐运动
【理清·知识结构】
【知识梳理】
1.简谐运动
(1)一切复杂的振动都可看成是若干①　　　　运动的叠加。
(2)从数学的角度来理解：如果物体的位移与时间的关系遵从②　　　　的规律，即它的振动图像(x-t图像)是一条③　　　　曲线，这样的振动就是一种简谐运动。
2.简谐运动的特征
(1)位移x与时间t的关系
x=Asin (ωt+φ)，式中：x表示④　　　　　，A表示⑤　　　　，ω称作⑥　　　　，t表示⑦　　　　，φ表示⑧　　　　　，“ωt+φ”叫作⑨　　　　。
相位差(Δφ)：两个振动的相位之差。两个具有相同频率的简谐运动的相位差，数值上恰好等于它们的⑩　　　　之差。
(2)回复力与位移的关系
物体在运动方向上所受的力F(回复力)与　　　　　　　大小成正比，并且总是指向　　　　位置。数学表达式为F=　　　　，负号表示力与位移方向始终相反，k是常量，其值由振动系统决定，与振幅无关。
3.描述简谐运动的物理量
(1)振幅(A)
a.概念：振动物体离开平衡位置的　　　　，是标量，在数值上等于最大位移的绝对值。
b.物理意义：表示振动强弱的物理量。
(2)周期和频率
内容 周期 频率
概念 完成一次　　　　所用的时间 单位时间内完成的全振动的　　　
单位 秒(s) 赫兹(Hz)
物理意义 表示振动快慢的物理量
决定因素 物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关
关系式 T=　　　
说明 ω==2πf，所以做简谐运动的物体的位移x与运动时间t的函数表达式又可写为x=Asin =Asin (2πft+φ)
【考教衔接】
　　如图所示，小球静止在O点时，弹簧没有发生形变，长度为原长。把小球拉到平衡位置的右方A点时，弹簧伸长量为OA，放开小球，观察小球的振动，并回答下列问题。
　　(1)若水平杆与小球之间有摩擦，则小球运动一段时间会停止。若忽略摩擦，小球的运动会怎样
(2)忽略摩擦力，弹簧伸长的最大长度OA和弹簧压缩的最大长度OA'有什么关系
(3)忽略摩擦力，小球从A经O到A'和小球从A'经O到A所用的时间有什么关系
(4)小球在运动过程中所受到的弹簧的弹力的方向有什么特点
(5)若以O为坐标原点，沿振动方向建立Ox轴，取向右为正方向，则小球受到的弹力F与小球位移x有什么关系 (位移是相对于O点的)
【突破·考点题型】
角度1　弹簧振子及其规律的应用
类型 水平弹簧振子 倾斜弹簧振子 竖直弹簧振子
图示
平衡 位置 弹簧处于原长时小球的位置 物块静止时的位置，此时弹簧的伸长量x0=，θ为斜面的倾角 小球静止时的位置，此时弹簧的伸长量x0=
位移— 时间 图像
如图所示，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x-t图像。已知轻杆在竖直面内长为0.1 m，电动机转速为12 r/min，下列说法正确的是 (　　)
A.该光点振动的振幅为0.2 m
B.该光点振动的圆频率为75.4 rad/s
C.该光点振动的周期为0.08 s
D.光点在12.5 s内通过的路程为1.0 m
(2024·北京高考)用手机和轻弹簧制作的一个振动装置如图1所示，手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到的手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图2所示。下列说法正确的是 (　　)
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin 2.5πt(m/s2)
如图1所示，质量m=1 kg的物体B放在水平面上，通过轻弹簧与质量M=2 kg的物体A连接。现在竖直方向给物体A一初速度，当物体A运动到最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，取竖直向上为正方向，物体A的位移随时间的变化规律如图2所示，已知重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是 (　　)
图1　　　　　　　　图2
A.物体A在任意一个1.25 s内通过的路程均为50 cm
B.在 s~ s这段时间内，物体A的速度方向与加速度方向相反
C.物体A的振动方程为y=0.1sin 2πt+m
D.弹簧的劲度系数k=300 N/m
角度2　单摆及其规律的应用
单摆及其规律
回复力 单摆在摆动时，摆球的重力沿圆弧切线方向的分力提供单摆的回复力，如图所示
单摆做简 谐运动的 条件 在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，即F=-x，这时单摆的运动视为简谐运动
三点说明 ①当摆球在最高点时，F向==0，FT=mgcos θ； ②当摆球在最低点时，F向=，F向最大，FT=mg+m； ③摆球经平衡位置时，只是回复力为零，而不是合力为零(此时合力提供摆球做圆周运动的向心力)
单摆的 周期 1.单摆做简谐运动时的周期与摆球质量无关，与振幅无关，与摆长和重力加速度的大小有关。 2.T=2π，式中摆长l是指从悬点到摆球重心的长度
(2024·甘肃高考)某单摆的振动图像如图所示，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是 (　　)
A.摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B.摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m，A、C两点的速度相同
D.摆长为2.5 m，A、B两点的速度相同
如图1所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器固定在O点。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C两点之间来回摆动，其中B点为运动过程中的最低位置。摆球从运动至A点开始计时，得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像如图2所示，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是 (　　)
A.单摆的振动周期为0.2π s
B.单摆的摆长为0.1 m
C.摆球的质量为0.05 kg
D.摆球运动过程中的最大速度为0.08 m/s
考点二　受迫振动和共振
【理清·知识结构】
【知识梳理】
1.阻尼振动
(1)实际生活中，振动系统在振动过程中会受到阻力的作用，振幅随时间逐渐①　　　　，振动的机械能逐步转化为②　　　　，这种振动叫作阻尼振动。阻尼振动的振动图像如图所示。
(2)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由③　　　　特点所决定，并不会随振幅的减小而变化。
2.受迫振动
(1)固有振动与固有频率
系统不受外力作用，也不受任何阻力，只在自身回复力作用下的振动，称为固有振动，又叫作无阻尼振动。固有振动的频率，叫作系统的固有频率。固有频率由系统本身的特征决定。
(2)受迫振动与驱动力的频率
用④　　　　　　作用于振动系统，补偿系统的能量损耗，使系统持续等幅地振动下去，这种⑤　　　　　　叫作驱动力，系统在⑥　　　　作用下的振动叫作受迫振动。
物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于⑦　　　的频率，与物体的固有频率⑧　　　关。
3.共振
(1)共振及其产生条件
驱动力的频率等于⑨　　　　　　时，受迫振动的振幅⑩　　　　，这种现象叫作共振。
(2)共振曲线
如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为受迫振动的振幅A。当驱动力的频率f与系统的固有频率f0相等时，受迫振动的振幅　　　　。驱动力的频率f与系统的固有频率f0差别越大，受迫振动的振幅　　　　。
【考教衔接】
如图所示，铁架横梁上挂着几个摆长不同的摆。其中，A、B、C摆长相同，A的摆球质量大于其他四个摆球，使A摆偏离平衡位置后释放，A摆在振动中通过横梁对其他几个摆施加周期性的驱动力，在振动稳定后，振幅最大及最小的摆是哪个 除A摆外的其他摆的振动周期与A摆的振动周期之间有什么关系
【突破·考点题型】
角度1　受迫振动的特点
路面共振破碎机破碎旧水泥路面场景如图所示。破碎机有专用传感器感应路面的振动反馈，由电脑自动调节振动频率，激发锤头下水泥路面局部范围产生共振，从而将水泥路面击碎。下列说法正确的是 (　　)
A.破碎机工作时，锤头为路面提供能量补充，振幅会越来越大
B.破碎机停止工作后，水泥路面振动的频率随着振幅减小而减小
C.锤头振动频率越高，水泥路面的振动幅度越大，效果越好
D.当锤头的振动频率等于水泥路面的固有频率时，效果最好
一个有固定转动轴的竖直圆盘如图1所示，圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统，小球做受迫振动。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图2所示(以竖直向上为正方向)。下列说法正确的是 (　　)
A.若圆盘以1.0 r/s的转速匀速转动，小球振动达到稳定时其振动的周期为0.4 s
B.若圆盘以1.0 r/s的转速匀速转动，欲使小球振幅增加，可使圆盘转速适当增大
C.改变圆盘转动快慢，小球运动的周期始终不变
D.改变圆盘转动快慢，小球运动的振幅始终不变
角度2　共振现象的应用与防止
轿车的悬挂系统是由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成的支持系统。某型号轿车的“车身—悬挂系统”振动的固有周期是0.4 s，这辆汽车匀速通过某路口的条状减速带，如图所示，已知相邻两条减速带间的距离为1.2 m，该车经过该减速带过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.当轿车以10.8 km/h的速度通过减速带时，车身上下颠簸得最剧烈
B.轿车通过减速带的速度越小，车身上下振动的幅度也越小
C.轿车通过减速带的速度越大，车身上下颠簸得越剧烈
D.该轿车以任意速度通过减速带时，车身上下振动的频率都等于2.5 Hz，与车速无关
练创新试题·知命题导向
1.某单摆振动的x-t图像如图所示，取重力加速度g=π2m/s2，则以下说法正确的是 (　　)
A.该单摆的周期为1.0 s
B.该单摆的摆长为1 m
C.1.0 s时悬线对摆球的拉力最大
D.1.5 s时摆球的加速度为0
2.(多选)如图所示，现有一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，下列说法正确的是 (　　)
A.若仅将摆球质量变大，单摆周期变大
B.摆球相邻两次经过平衡位置的时间间隔为一个周期
C.摆球在最高点时速度为0，所受合力不为0
D.若摆线变长，单摆周期也随之变长
3.(多选)某同学在实验室做单摆实验，甲、乙两个单摆的摆球质量相同，振动图像如图所示，由图可知 (　　)
A.甲、乙两单摆的振动频率之比为1∶2
B.t=1 s时，乙的位移为0.5 cm
C.t=4 s时，甲、乙所受的合力均不为0
D.t=6 s时，甲的速度最大，乙的摆线拉力不为0
4.(多选)一个共振筛如图所示，筛子用四根弹簧支起来(后排的两根弹簧未画出)，并装有一个电动偏心轮。工作时偏心轮被电动机带动匀速转动，从而给筛子施加与偏心轮转动周期相同的周期性驱动力，使筛子做受迫振动。假设偏心轮的转速与电动机的输入电压成正比，筛子的固有周期与筛子的质量成正比。已知筛子的固有周期为0.8 s，偏心轮的转速为60 r/min。下列说法正确的是 (　　)
A.只适当减小筛子的质量，振幅变大
B.只适当减小偏心轮电动机的输入电压，振幅变小
C.适当减小筛子的质量，同时适当减小偏心轮电动机的输入电压，可使振幅变大
D.适当增大筛子的质量，同时适当增大偏心轮电动机的输入电压，可使振幅变大
5.(多选)某同学将一质量m=0.3kg的小球以v0=2 m/s的速度水平抛出，如图1所示，因小球受恒定水平风力作用，落于弹簧上时其水平速度恰好为0，弹簧所处位置为低洼处，导致小球与弹簧作用后无风力作用；小球从被水平抛出至运动到最低点的过程中，其竖直方向的速度随时间变化的图像如图2所示(取g=10m/s2)，其中0.2 s后是曲线。下列说法正确的是 (　　)
图1 图2
A.0~0.2 s内小球机械能减少了0.6J
B.0.2 s~0.5 s内小球处于超重状态
C.小球在接触弹簧前最小动能为0.45J
D.小球从接触弹簧开始至运动到最低点的过程用时0.75 s
参考答案
考点一
知识梳理
①简谐　②正弦函数　③正弦　④质点相对于平衡位置的位移　⑤振幅　⑥简谐运动的圆频率　⑦振动的时间　⑧t=0时的相位(初相位)　⑨简谐运动的相位　⑩初相位　它偏离平衡位置的位移x　平衡　-kx　最大距离　全振动　次数　
考教衔接
(1)小球将一直在O点附近做往复运动。
(2)OA=OA'。
(3)相等。
(4)总是指向O点。
(5)F=-kx。
例1　D
例2　D
例3　D　解析　由题图2可知，振幅A=10 cm，周期T=1.0 s。物体A由特殊位置(平衡位置或最大位移处)开始计时，在任意一个1.25 s=T内，质点通过的路程等于振幅的5倍，除此之外在1.25 s的时间内通过的路程不等于振幅的5倍，A项错误；振动的圆频率ω== rad/s=2π rad/s，规定向上为正方向，t=0时刻位移为0.05 m，表示振子由平衡位置上方0.05 m处开始运动，所以初相位φ0=，则振子的振动方程为y=Asin (ωt+φ0)=0.1sin 2πt+ m，C项错误；t= s时，y=0.1sin×2π+ m=-0.1 m，则 s~ s时间内，物体A由最低点回到平衡位置，其速度方向与加速度方向相同，B项错误；物体A在最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零，可知此时弹簧的拉力F=mBg=kx1，物体A在平衡位置有mAg=kx2，由图像知物体A运动的振幅为10 cm，则x1+x2=10 cm，k===3 N/cm=300 N/m，D项正确。
例4　C　解析　由单摆的振动图像可知振动周期T=0.8π s，由单摆的周期公式T=2π得摆长l==1.6 m，x-t图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C两点的速度相同，A、B两点的速度大小相同，方向不同。综上所述，C项正确。
例5　C　解析　由图2结合单摆的对称性可知，单摆的周期为0.4π s，A项错误。由单摆周期公式T=2π得L=，代入数据得L=0.4 m，B项错误。由图2和牛顿运动定律得小球在最高点有mgcos θ=0.495，在最低点有0.510-mg=；从最高点到最低点，由动能定理得mgL(1-cos θ)=mv2，代入数据联立解得m=0.05 kg，v=0.2 m/s，C项正确，D项错误。
考点二
知识梳理
①减小　②其他能量　③自身结构　④周期性的外力　⑤周期性外力　⑥驱动力　⑦驱动力
⑧无　⑨振动物体的固有频率　⑩最大
最大　越小
考教衔接
由共振条件知，B、C摆振幅最大，D摆振幅最小；由受迫振动的条件知，除A摆外的其他摆的振动周期等于A摆的振动周期。
例6　D
例7　B
例8　A
练创新试题
1.B　2.CD　3.CD
4.BD　解析　根据题意，筛子的固有频率为 Hz=1.25 Hz，电动偏心轮的转速是60 r/min，即频率为1 Hz，小于筛子的固有频率，故要使筛子振幅变大，应使驱动力的频率接近筛子的固有频率发生共振，可以适当增大偏心轮电压，或适当增大筛子的质量，A、C两项错误，B、D两项正确。
5.AD　解析　由图2可知小球从抛出至落到弹簧上经过的时间t=0.2 s，则此时vy=gt=2 m/s，因v0=vy，则小球在0~0.2 s内减少的机械能等于减少的重力势能，由Ep=mgh=mg·t=0.6 J，可知0~0.2 s内小球的机械能减少了0.6 J，A项正确；0.2 s~0.5 s内小球向下加速运动，处于失重状态，B项错误；小球在接触弹簧前速度最小时，沿重力与风力的合力方向的速度减为0，此时小球的速度方向垂直于合力方向，大小为v=v0sin 45°= m/s，此时小球动能为0.3 J，C项错误；小球与弹簧接触后(离开弹簧前)做简谐运动，速度从2m/s变为4m/s用时为0.3 s，以速度为0为起点，简谐运动的速度v=vmsint，因0.2 s对应速度为2m/s，而最大速度为4m/s，可知，0.2 s与0.5 s之间相位相差，则时间相差，则该简谐运动的周期为1.8 s，速度从4m/s减为0用时为=0.45 s，故总用时为0.75 s，D项正确。(共57张PPT)
第1讲 机械振动
考点一 简谐运动
考点二 受迫振动和共振
考点一 简谐运动
理清 知识结构
知识梳理 构建体系
1.简谐运动
（1）一切复杂的振动都可看成是若干①______运动的叠加。
简谐
（2）从数学的角度来理解：如果物体的位移与时间的关系遵从②_____
_____的规律，即它的振动图像图像 是一条③______曲线，这样
的振动就是一种简谐运动。
正弦函数
正弦
2.简谐运动的特征
（1）位移与时间 的关系
，式中：表示④__________________________， 表
示⑤______， 称作⑥__________________， 表示⑦____________，
表示⑧________________________，“ ”叫作⑨_____________
____。
相位差 两个振动的相位之差。两个具有相同频率的简谐运动的相
位差，数值上恰好等于它们的⑩________之差。
质点相对于平衡位置的位移
振幅
简谐运动的圆频率
振动的时间
时的相位（初相位）
简谐运动的相位
初相位
（2）回复力与位移的关系
物体在运动方向上所受的力 （回复力）与 ______________________
大小成正比，并且总是指向 ______位置。数学表达式为 _____，
负号表示力与位移方向始终相反， 是常量，其值由振动系统决定，与
振幅无关。
它偏离平衡位置的位移
平衡
3.描述简谐运动的物理量
（1）振幅（A）
.概念：振动物体离开平衡位置的 __________，是标量，在数值上等
于最大位移的绝对值。
.物理意义：表示振动强弱的物理量。
最大距离
（2）周期和频率
内容 周期 频率
概念 完成一次 ________所用的 时间 单位时间内完成的全振动的
______
单位
物理意义 表示振动快慢的物理量 决定因素 物体振动的周期和频率，由振动系统本身的性质决定，与 振幅无关 关系式 全振动
次数
说明
续表
考教衔接 以图说法
如图所示，小球静止在 点时，弹簧
没有发生形变，长度为原长。把小球拉
到平衡位置的右方 点时，弹簧伸长量为
，放开小球，观察小球的振动，并回
答下列问题。
（1）若水平杆与小球之间有摩擦，则小
[答案] 小球将一直在 点附近做往复运动。
球运动一段时间会停止。若忽略摩擦，小球的运动会怎样？
（2）忽略摩擦力，弹簧伸长的最大长度和弹簧压缩的最大长度
有什么关系？
[答案] 。
（3）忽略摩擦力，小球从经到和小球从经到 所用的时间有什
么关系？
[答案] 相等。
（4）小球在运动过程中所受到的弹簧的弹力的方向有什么特点？
[答案] 总是指向 点。
（5）若以为坐标原点，沿振动方向建立 轴，取向右为正方向，则
小球受到的弹力与小球位移有什么关系？（位移是相对于 点的）
[答案] 。
突破 考点题型
角度1 弹簧振子及其规律的应用
类型 水平弹簧振子 倾斜弹簧振子 竖直弹簧振子
图示 ________________________________________________ ____________________________________________________________ _____________________
类型 水平弹簧振子 倾斜弹簧振子 竖直弹簧振子
平衡 位置 弹簧处于原长时 小球的位置
_____________________________________________________ 续表
例1 如图所示，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，
轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外
光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动
感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的 图像。已知轻杆在竖直
面内长为，电动机转速为 ，下列说法正确的是( )
D
A.该光点振动的振幅为
B.该光点振动的圆频率为
C.该光点振动的周期为
D.光点在内通过的路程为
[解析] 轻杆固定在电动机的转轴上，与电动机同轴转动，紫外光笔转动
的圆频率等于电动机转动的频率，振幅 ，A项错误;圆频率
，B项错误;振动周期 ，C项错误;光点
在内通过的路程 ，D项正确。
例2 (2024·北京高考)用手机和轻弹簧制作的
一个振动装置如图1所示，手机加速度传感器
记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上
为正方向，得到的手机振动过程中加速度 随
D
A. 时，弹簧弹力为0
B. 时，手机位于平衡位置上方
C.从至 ，手机的动能增大
D.随变化的关系式为
时间 变化的曲线为正弦曲线，如图2所示。下列说法正确的是( )
[解析] 由图2可知， 时刻，手机的加速度为0，由牛顿第二定律可
得弹簧弹力大小，A项错误; 时，手机的加速度为正值，
可知手机的加速度方向向上，指向平衡位置，根据简谐运动的特点可知
手机位于平衡位置下方，B项错误;从至 过程，手机的加速
度增大，可知手机从平衡位置向最大位移处运动，手机的速度减小，动
能减小，C项错误;由图2知， ，则
，可知随 变化的关系式为
，D项正确。
例3 如图1所示，质量的物体
放在水平面上，通过轻弹簧与质量
的物体 连接。现在竖直方向
给物体一初速度，当物体 运动到最
高点时，物体 与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，取
竖直向上为正方向，物体 的位移随时间的变化规律如图2所示，已知重
力加速度 ，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A.物体在任意一个内通过的路程均为
B.在~这段时间内，物体 的速度方向与加速度方向相反
C.物体的振动方程为
D.弹簧的劲度系数
√
[解析] 由题图2可知，振幅，周期。物体 由特殊位
置（平衡位置或最大位移处）开始计时，在任意一个 内，质
点通过的路程等于振幅的5倍，除此之外在 的时间内通过的路程不
等于振幅的5倍，A项错误;振动的圆频率 ，
规定向上为正方向，时刻位移为 ，表示振子由平衡位置上方
处开始运动，所以初相位 ，则振子的振动方程为
，C项错误;
时，，则~ 时间内，物
体 由最低点回到平衡位置，其速度方向与加速度方向相同，B项错误;
物体在最高点时，物体 与水平面间的作用力刚好为零，可知此时弹
簧的拉力，物体在平衡位置有 ，由图像知
物体运动的振幅为，则 ，
，D项正确。
角度2 单摆及其规律的应用
单摆及其规律 回复力 _________________________________
单摆在摆动时，摆球的重力沿圆弧切线方向的分力提供单摆
的回复力，如图所示
单摆做简 谐运动的 条件
续表
三点说明
续表
单摆的周 期
续表
例4 (2024·甘肃高考)某单摆的振动图像如图所示，重力加速度 取
，下列说法正确的是( )
C
A.摆长为 ，起始时刻速度最大
B.摆长为 ，起始时刻速度为零
C.摆长为，、 两点的速度相同
D.摆长为，、 两点的速度相同
[解析] 由单摆的振动图像可知振动周期 ，由单摆的周期公式
得摆长， 图像的斜率代表速度，故起始时
刻速度为零，且、两点的速度相同，、 两点的速度大小相同，方
向不同。综上所述，C项正确。
例5 如图1所示，点为单摆的固定悬点，将力传感器固定在 点。现将
摆球拉到点，释放摆球，摆球将在竖直面内的、 两点之间来回摆动，
其中点为运动过程中的最低位置。摆球从运动至 点开始计时，得到
的细线对摆球的拉力大小随时间变化的图像如图2所示，重力加速度
取 。下列说法正确的是( )
C
A.单摆的振动周期为
B.单摆的摆长为
C.摆球的质量为
D.摆球运动过程中的最大速度为
[解析] 由图2结合单摆的对称性可知，单摆的周期为 ，A项错误。
由单摆周期公式得，代入数据得 ，B项错误。
由图2和牛顿运动定律得小球在最高点有 ，在最低点有
;从最高点到最低点，由动能定理得
，代入数据联立解得 ，
，C项正确，D项错误。
考点二 受迫振动和共振
理清 知识结构
知识梳理 构建体系
1.阻尼振动
（1）实际生活中，振动系统在振动过程中会受到
阻力的作用，振幅随时间逐渐①______，振动的机
械能逐步转化为②__________，这种振动叫作阻尼
振动。阻尼振动的振动图像如图所示。
减小
其他能量
（2）物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由③_____
_____特点所决定，并不会随振幅的减小而变化。
自身结构
2.受迫振动
（1）固有振动与固有频率
系统不受外力作用，也不受任何阻力，只在自身回复力作用下的振动，
称为固有振动，又叫作无阻尼振动。固有振动的频率，叫作系统的固有
频率。固有频率由系统本身的特征决定。
（2）受迫振动与驱动力的频率
用④______________作用于振动系统，补偿系统的能量损耗，使系统持
续等幅地振动下去，这种⑤____________叫作驱动力，系统在⑥______
___作用下的振动叫作受迫振动。
物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于⑦________的频率，
与物体的固有频率⑧____关。
周期性的外力
周期性外力
驱动力
驱动力
无
3.共振
（1）共振及其产生条件
驱动力的频率等于⑨____________________时，受迫振动的振幅
⑩_______，这种现象叫作共振。
振动物体的固有频率
最大
（2）共振曲线
如图所示，横坐标为驱动力的频率 ，纵坐标
为受迫振动的振幅。当驱动力的频率 与系
统的固有频率 相等时，受迫振动的振幅
______。驱动力的频率与系统的固有频率
差别越大，受迫振动的振幅 ______。
最大
越小
考教衔接 以图说法
如图所示，铁架横梁上挂着几个摆长不同的摆。其中，、、 摆长相
同，的摆球质量大于其他四个摆球，使摆偏离平衡位置后释放， 摆
在振动中通过横梁对其他几个摆施加周期性的驱动力，在振动稳定后，
振幅最大及最小的摆是哪个？除摆外的其他摆的振动周期与 摆的振
动周期之间有什么关系？
[答案] 由共振条件知，、摆振幅最大， 摆振幅最小;由受迫振动的
条件知，除摆外的其他摆的振动周期等于 摆的振动周期。
突破 考点题型
角度1 受迫振动的特点
例6 路面共振破碎机破碎旧水泥路面场景如图所示。破
碎机有专用传感器感应路面的振动反馈，由电脑自动调
节振动频率，激发锤头下水泥路面局部范围产生共振，
从而将水泥路面击碎。下列说法正确的是( )
D
A.破碎机工作时，锤头为路面提供能量补充，振幅会越来越大
B.破碎机停止工作后，水泥路面振动的频率随着振幅减小而减小
C.锤头振动频率越高，水泥路面的振动幅度越大，效果越好
D.当锤头的振动频率等于水泥路面的固有频率时，效果最好
[解析] 路面的振幅与驱动力的频率有关，当锤头振动频率等于水泥路面
的固有频率时，水泥路面发生共振，振动幅度达到最大，而不是驱动力
提供的能量越大振幅越大，A项错误;锤头周期性击打水泥路面停止工作
后，水泥路面振动的振幅减小，但频率为其固有频率，保持不变，B项
错误;当锤头振动频率等于水泥路面的固有频率时，水泥路面发生共振，
振动幅度达到最大，效果最好，而并非锤头振动频率越高，效果越好，
C项错误，D项正确。
例7 一个有固定转动轴的竖直圆盘如图1所示，圆盘转动时，固定在圆
盘上的小圆柱带动一个形支架在竖直方向振动， 形支架的下面系着一
个由弹簧和小球组成的振动系统，小球做受迫振动。圆盘静止时，让小
球做简谐运动，其振动图像如图2所示（以竖直向上为正方向）。下列
说法正确的是( )
A.若圆盘以 的转速匀速转动，小球振动达到稳定时其振动的周期
为
B.若圆盘以 的转速匀速转动，欲使小球振幅增加，可使圆盘转速
适当增大
C.改变圆盘转动快慢，小球运动的周期始终不变
D.改变圆盘转动快慢，小球运动的振幅始终不变
√
[解析] 圆盘转动的周期 ，小球做受迫振动的周期等
于驱动力的周期，所以小球振动达到稳定时其振动的周期为 ，A项
错误;由图2可知小球的固有周期 ，要想使小球的振幅增加，需
要使圆盘的的周期接近小球的固有周期，可使圆盘转速适当增大，B项
正确;小球做受迫振动，则小球的振动的周期始终等于圆盘的转动的周
期，C项错误;当圆盘转动的周期等于小球的固有周期时，小球的运动的
振幅最大，D项错误。
角度2 共振现象的应用与防止
例8 轿车的悬挂系统是由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成的支持系统。
某型号轿车的“车身—悬挂系统”振动的固有周期是 ，这辆汽车匀速
通过某路口的条状减速带，如图所示，已知相邻两条减速带间的距离为
，该车经过该减速带过程中，下列说法正确的是( )
A.当轿车以 的速度通过减速带时，车身上下颠簸得最剧烈
B.轿车通过减速带的速度越小，车身上下振动的幅度也越小
C.轿车通过减速带的速度越大，车身上下颠簸得越剧烈
D.该轿车以任意速度通过减速带时，车身上下振动的频率都等于 ，
与车速无关
√
[解析] 当轿车以 的速度通过减速带时，车身因
过减速带而产生的受迫振动的周期 ，与“车身—悬挂
系统”振动的固有周期相等，故此时车身会产生共振现象，颠簸得最剧
烈，A项正确。当车辆驶过减速带时，引发的车身上下振动频率若趋近
于车身系统本身的固有频率，将会导致振动幅度显著增大，使颠簸感更
为强烈。因此，当轿车减缓通过减速带的速度时，车身上下的振动幅度
不一定减小;同理，增大速度，车身上下不一定会更加剧烈地颠簸，B、
C两项错误。做受迫振动的物体的振动频率等于驱动力的频率，对于该
轿车而言，其通过减速带时车身上下的振动频率并非固定为 ，而
是会根据车速的不同而有所变化，D项错误。
练创新试题 知命题导向
1. 某单摆振动的图像如图所示，取重力加速度 ,
则以下说法正确的是( )
B
A.该单摆的周期为 B.该单摆的摆长为
C.时悬线对摆球的拉力最大 D. 时摆球的加速度为0
[解析] 根据图像可知，单摆周期 ，则由单摆的周期公式
得摆长 ，A项错误，B项正确;根据图像可知，
时摆球处于最高点，此时悬线对摆球的拉力最小，C项错误;根据图
像可知， 时摆球处于最低点（平衡位置），此时摆球有向心加速度，
D项错误。
2. （多选）如图所示，现有一单摆做小角度
摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，下列
说法正确的是( )
CD
A.若仅将摆球质量变大，单摆周期变大
B.摆球相邻两次经过平衡位置的时间间隔为一个周期
C.摆球在最高点时速度为0，所受合力不为0
D.若摆线变长，单摆周期也随之变长
[解析] 根据单摆的周期公式 可知，单摆的周期与摆球的质量
无关，A项错误;摆球相邻两次经过平衡位置的时间间隔为半个周期，B
项错误;摆球在最高点时速度为0，沿圆心方向的合力为0，重力沿切线
方向的分力提供回复力，故所受合力不为0，C项正确;根据单摆的周期
公式 可知，若摆线变长，单摆周期也随之变长，D项正确。
3. （多选）某同学在实验室做单摆实验，甲、乙两个单摆的
摆球质量相同，振动图像如图所示，由图可知( )
CD
A.甲、乙两单摆的振动频率之比为
B.时，乙的位移为
C. 时，甲、乙所受的合力均不为0
D. 时，甲的速度最大，乙的摆线拉力不为0
[解析] 通过图像可知，甲、乙两个单摆的周期之比为 ，所以频率之
比为，A项错误;由数学知识可知，时，乙的位移为 ，B
项错误; 时，甲、乙均处于平衡位置，回复力为0，但还有指向悬
点的合力提供向心力，所以它们所受的合力不为0，C项正确; 时
甲处于平衡位置，速度最大，乙处于最高点，重力沿摆线方向的分力和
摆线拉力的合力为0，但回复力不为0，D项正确。
4. （多选）一个共振筛如图所示，筛子用四根弹簧支起来
（后排的两根弹簧未画出），并装有一个电动偏心轮。工作时偏心轮被
电动机带动匀速转动，从而给筛子施加与偏心轮转动周期相同的周期性
驱动力，使筛子做受迫振动。假设偏心轮的转速与电动机的输入电压成
正比，筛子的固有周期与筛子的质量成正比。已知筛子的固有周期为
，偏心轮的转速为 。下列说法正确的是( )
A.只适当减小筛子的质量，振幅变大
B.只适当减小偏心轮电动机的输入电压，
振幅变小
C.适当减小筛子的质量，同时适当减小偏
心轮电动机的输入电压，可使振幅变大
D.适当增大筛子的质量，同时适当增大偏
心轮电动机的输入电压，可使振幅变大
√
√
[解析] 根据题意，筛子的固有频率为 ，电动偏心轮的转
速是，即频率为 ，小于筛子的固有频率，故要使筛子振幅
变大，应使驱动力的频率接近筛子的固有频率发生共振，可以适当增大
偏心轮电压，或适当增大筛子的质量，A、C两项错误，B、D两项正确。
5. （多选）某同学将一质量的小球以
的速度水平抛出，如图1所示，因小球受恒定水平风力作用，落于弹簧
上时其水平速度恰好为0，弹簧所处位置为低洼处，导致小球与弹簧作
用后无风力作用；小球从被水平抛出至运动到最低点的过程中，其竖直
方向的速度随时间变化的图像如图2所示（取），其中
后是曲线。下列说法正确的是( )
图1
图2
A.内小球机械能减少了
B. 内小球处于超重状态
C.小球在接触弹簧前最小动能为
D.小球从接触弹簧开始至运动到最低点的过程用时
√
√
[解析] 由图2可知小球从抛出至落到弹簧上经过的时间 ，则此
时，因，则小球在 内减少的机械能等
于减少的重力势能，由,可知 内小
球的机械能减少了，A项正确; 内小球向下加速运动，处
于失重状态，B项错误;小球在接触弹簧前速度最小时，沿重力与风力的
合力方向的速度减为0，此时小球的速度方向垂直于合力方向，大小为
，此时小球动能为 ，C项错误;小球与弹簧接
触后（离开弹簧前）做简谐运动，速度从变为用时为 ，
以速度为0为起点，简谐运动的速度，因 对应速度为
，而最大速度为，可知，与之间相位相差 ，则时
间相差，则该简谐运动的周期为，速度从 减为0用时为
，故总用时为 ，D项正确。

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