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(共80张PPT)
第1讲 开普勒定律与万有引力定律
考点一 开普勒定律及应用
考点二 万有引力定律及应用
考点三 天体运动的四类模型
考点一 开普勒定律及应用
理清 知识结构
知识梳理 构建体系
1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是①______，太阳处
在椭圆的一个②______上。
2.开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时
间内③____________相等。
椭圆
焦点
扫过的面积
3.开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的④________
___________的比都相等，即 是一个只与中心天体的质量有关
的量，与行星的质量无关 。
公转周期的二次方
考教衔接 以图说法
地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆
（如图）。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现
的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年。哈雷彗星轨道的半长
轴约为地球公转半径的______倍。（结果用根式表示）
[解析] 哈雷彗星和地球均绕太阳（中心天体）运动，哈雷彗星的周期
年年，地球的周期 年，根据开普勒第三
定律可知，故 。
突破 考点题型
角度1 开普勒行星运动定律及理解
开普勒 定律 描述方面 图示 理解
第一定 律 （轨道 定律） 行星运动 的轨道 __________________________________________ 不同行星绕太阳运动时的椭圆
轨道虽然不同，但有一个共同
的焦点
开普勒 定律 描述方面 图示 理解
第二定 律 （面积 定律） 行星运动 的线速度 变化 _________________________________________ 行星靠近太阳运动时速度增
大，在近日点速度最大；行星
远离太阳运动时速度减小，在
远日点速度最小
续表
开普勒 定律 描述方面 图示 理解
第三定 律 （周期 定律） 行星运动 轨道与其 公转周期 的关系 ___________________________________________ ，其中 是一个常量，与
行星无关，但与中心天体的质
量有关
续表
例1 对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法正确的是( )
C
A.开普勒通过自己长期观测，记录了大量数据，通过对数据研究总结出
了开普勒行星运动定律
B.根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨道是圆，太阳处于圆心
位置
C.根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大；距离太
阳越远，其运动速度越小
D.根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径跟它的公转周期
成正比
[解析] 开普勒在第谷的天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规
律，A项错误;行星围绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦
点上，B项错误;根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度
越大，距离太阳越远，其运动速度越小，C项正确;根据开普勒第三定律，
行星围绕太阳运动的轨道的半长轴的三次方跟该行星的公转周期的二次
方成正比，D项错误。
例2 （多选）如图所示，月球绕地球沿椭圆轨道运动， 为近地
点，为远地点，、为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 ，若
只考虑地球和月球之间的相互作用，则月球在从经过、到 的运动
过程中( )
AC
A.月球与地球的连线在任意相等的时间内扫过的面
积相等
B.月球在点的线速度大于在 点的线速度
C.从到所用时间小于
D.从到 阶段，速率逐渐变大
[解析] 由开普勒第二定律可知，月球与地球的连线在相同时间内扫过的
面积相等，A项正确;根据开普勒第二定律可知，月球从到 的过程中，
月球与地球的距离变大，线速度逐渐减小，B、D两项错误;公转周期为
，月球从到的过程中所用的时间为，由于月球从经到 的
过程中，速率逐渐变小，从到与从到的路程相等，所以月球从
到所用的时间小于 ，C项正确。
角度2 开普勒行星运动定律的应用
1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2.开普勒第三定律中的为中心天体的质量 。对不同的
中心天体 值不同。
例3 （多选）如图1所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其
运行轨道是椭圆。如图2所示，人造卫星和月球都绕着地球旋转，其运
行轨道也是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知( )
A.若用代表椭圆轨道的半长轴，代表公转周期， ，则地球和火
星对应的 值相同
B.若用代表椭圆轨道的半长轴，代表公转周期， ，则地球和月
球对应的 值相同
C.月球绕地球运行一周的时间比人造卫星的长
D.火星绕太阳运行一周的时间比地球的短
√
√
[解析] 对同一中心天体，其所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周
期的二次方的比值都相等，即 值相同。对不同中心天体的所有行星，
其轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值不相等，即 值不
相同，A项正确，B项错误。对同一中心天体，由 可知半长轴大的
运行周期长，C项正确，D项错误。
例4 (2024·安徽高考)2024年3月20日，我国探月工程四期“鹊桥二号”中
继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，“鹊桥二号”开始进
行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为
。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约
为，周期约为 。则“鹊桥二号”在捕获轨道运行时( )
A.周期约为
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时
近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行
时近月点的加速度
√
[解析] “鹊桥二号”在冻结轨道运行和在捕获轨道运行的中心天体均是月
球，根据开普勒第三定律得，整理得 ，A项
错误;根据开普勒第二定律得，“鹊桥二号”在近月点的速度大于在远月点
的速度，B项正确;“鹊桥二号”在近月点从捕获轨道到冻结轨道要进行近
月制动，故在捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速
度，C项错误;“鹊桥二号”在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据
牛顿第二定律有 ，可知“鹊桥二号”在捕获轨道运行时在近月
点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D项错误。
考点二 万有引力定律及应用
理清 知识结构
知识梳理 构建体系
1.万有引力定律
（1）内容：自然界中任何两个物体都会相互吸引，引力的方向在它们
的①______上，引力的大小跟物体的质量和 的乘积成②______，
与它们之间的距离 的二次方成③______。
连线
正比
反比
（2）表达式：，其中 为引力常量，
，由④______________实验测定。
卡文迪什扭秤
（3）适用条件
.两个⑤______之间的相互作用。
.对质量分布均匀的球体， 为⑥______________。
.一个质量分布均匀的球体和球外一个质点， 为⑦__________________。
质点
两球心的距离
质点到球心的距离
2.万有引力定律在天体上的应用
（1）基本特征：把天体运动看成⑧__________运动，其所需的向心力
由天体间的万有引力提供。
（2）应用万有引力定律分析天体运动的方法：
。
匀速圆周
考教衔接 以图说法
月—地检验的目的是检验地球绕太阳运动、
月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的引力
是否为同一性质的力。已知苹果自由落体加速
度 ，月球中心到地球中心的
距离是地球半径 ，
月球公转周期 。
（1）月—地检验的思路是什么？
解答 ①假设地球与月球间、太阳与行星间的作用力是同一种力，满足
。
②月球绕地球做圆周运动的向心加速度 。
③假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，苹果自由落体加速度
。
④，由于，则 。
（2）月球的向心加速度与苹果自由落体加速度之比为多少？
[答案] ，则 。
突破 考点题型
角度1 万有引力的计算
例5 2024年5月8日10时，在北京航天飞行控制中心的精确控制下，“嫦
娥六号”探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行。已知地球
的半径约为月球半径的4倍，地球表面的重力加速度约为月球表面重力
加速度的6倍，不考虑地球和月球的自转。当“嫦娥六号”探测器在奔月
过程中离地心和月心的距离相等时，受到地球和月球的万有引力之比约
为( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由，得 ，根据万有引力定律
可得，探测器受到地球和月球的万有引力之比 ，
C项正确。
例6 (2023·河北高考)我国自古就有“昼涨为潮，夜涨为汐”之说，潮汐是
月球和太阳对海水的引力变化产生的周期性涨落现象，常用引潮力来解
释。月球对海水的引潮力大小与月球质量成正比，与月地距离的三次方
成反比，方向如图1所示。随着地球自转，引潮力的变化导致了海水每
天两次的潮涨潮落。太阳对海水的引潮力与月球类似，但大小约为月球
引潮力的 。每月两次大潮（引潮力最大）和两次小潮（引潮力最小）
是太阳与月球引潮力共同作用的结果。结合图2，下列说法正确的是
( )
图1
图2
A.月球在位置1时会出现大潮
B.月球在位置2时会出现大潮
C.涨潮总出现在白天，退潮总出现在夜晚
D.月球引潮力和太阳引潮力的合力一定大于月球引潮力
√
[解析] 太阳、月球、地球三者在同一条直线上时，
太阳和月球的引潮力叠加在一起，潮汐现象最明
显，称为大潮，月地连线与日地连线互相垂直，
太阳引潮力就会削弱月球的引潮力，形成小潮，
月球在题图2中位置1时会出现大潮，A项正确，B
项错误。每一昼夜海水有两次潮涨潮落，人们把每次在白天出现的海水
上涨叫作“潮”，把夜晚出现的海水上涨叫作“汐”，合称潮汐，C项错误。
月球运动到如图所示的位置3时，月球引潮力和太阳引潮力的合力等于
月球引潮力减太阳引潮力，小于月球引潮力，D项错误。
角度2 填补法求解万有引力
例7 如图所示，质量分布均匀的实心球质量为，半径为 ，现在将它
的左侧挖去一个半径的球体，则挖去后它对与球体表面距离为 处
的质量为 的质点的引力与挖去前对质点的引力之比为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 实心球质量 ，挖去部分的半径是实心球半径
的一半，则质量 ，完整实心球对质点的万有
引力，挖去部分对质点的万有引力 ，
则剩余部分对质点的万有引力 ，剩余部分对质点的
引力与挖去前对质点的引力之比 ，B项正确，A、C、D三项错误。
角度3 重力与万有引力的关系
图示 关系
____________________________________ （1）在赤道上：
（2）在两极上：
（3）在一般位置：万有引力等于重力
与向心力 的矢量和
注：越靠近两极，向心力越小， 值越大。由于物体随地球自转所需的 向心力较小，常认为被称为“黄金代换式” 例8 我国航天科学家在进行深空探索的
过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。
如图所示，假设该星球绕轴自转， 所在的
赤道平面将星球分为南北两个半球， 连线与
赤道平面的夹角为 。经测定， 位置的重力加
速度为，位置的重力加速度为 ，
则 位置的向心加速度为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 在点，根据向心力公式可得，对 处的物体，
根据向心力公式可得 ，联立解得 ，
B项正确，A、C、D三项错误。
例9 假设地球是一半径为、质量分布均匀的球体。一矿井深度为 ，
已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力的合力为零，则矿井底部和
地面处的重力加速度大小之比为( )
A
A. B. C. D.
[解析] 如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间
的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地
面处的重力加速度大小为，地球质量为 ，地球表
面的质量为 的物体受到的重力近似等于万有引力，
有，又，得 ;设
矿井底部的重力加速度大小为，图中阴影部分球体的半径 ，
则，联立解得 ，A项正确。
考点三 天体运动的四类模型
突破 考点题型
角度1 公转模型 天体运行参量的比较
1.人造卫星的运行规律：无论是自然天体（如地球、月球）还是人造天
体（如宇宙飞船、人造卫星等）都可以看作质点，围绕中心天体做匀速
圆周运动。
2.万有引力提供向心力
结论：越大,、 、越小, 越大。（越高越慢）
考向1 天体运行参量分析
例10 年5月20日，我国使用运载火箭成功将“北京三号”卫星送入
预定轨道，用于提供高时空分辨率遥感卫星数据。若卫星在距地面
的轨道上绕地球稳定运行，则该卫星的( )
A
A.运行周期小于地球的自转周期
B.线速度小于地球同步卫星的线速度
C.角速度等于地球同步卫星的角速度
D.加速度小于地球同步卫星的加速度
[解析] “北京三号”卫星离地高度比同步卫星低，则“北京三号”卫星做圆
周运动的半径比同步卫星的小，由开普勒第三定律知，“北京三号”卫星
运行的周期小于同步卫星的周期，而同步卫星的周期与地球自转周期相
同，故“北京三号”卫星运行周期小于地球的自转周期，由 知，
“北京三号”卫星运行的角速度大于地球同步卫星的角速度，A项正确，
C项错误;由知，卫星的线速度 ，可见“北京三号”卫
星的线速度大于地球同步卫星的线速度，B项错误;由 知，卫
星的加速度 ，可见“北京三号”卫星的加速度大于地球同步卫星
的加速度，D项错误。
考向2 天体运行参量的计算
例11 (2023·浙江6月选考)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆
周运动的周期之比为。木卫三周期为 ，公转轨道半径是月球绕地
球轨道半径的倍。月球绕地球公转周期为 ，则( )
D
A.木卫一轨道半径为
B.木卫二轨道半径为
C.周期与之比为
D.木星质量与地球质量之比为
[解析] 由题意可知木卫三的轨道半径，由 可得
，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为 ，
可得木卫一轨道半径，木卫二轨道半径 ，A、B两项错误;
木卫三围绕的中心天体是木星，月球围绕的中心天体是地球，根据题意
无法求出周期与 之比，C项错误;根据万有引力提供向心力，分别有
，，联立可得 ，D项
正确。
角度2 自转模型
例12 （多选）已知一质量为 的物体静止在北极与赤道时对地面的压
力差为，已知地球是质量均匀的球体，半径为 ，地球表面的重力加
速度为 ，则( )
AC
A.地球的自转周期
B.地球的自转周期
C.地球同步卫星的轨道半径为
D.地球同步卫星的轨道半径为
[解析] 在北极有，在赤道有 ，根据题
意，有，联立解得 ，A项正确，B项错误;由
万有引力提供同步卫星的向心力有，可得 ，
又由于地球表面的重力加速度为，则，得 ，C项
正确，D项错误。
角度3 星表模型 黄金代换
例13 在地球表面以一定的初速度竖直上抛一小球，经过时间 落回原处；
若在某星球表面以相同的速度竖直上抛一小球，则需经 时间落回原处。
不计空气阻力，忽略星球和地球自转。已知该星球半径与地球半径之比
为 ，则( )
A
A.该星球密度与地球密度之比为
B.该星球质量与地球质量之比为
C.该星球表面重力加速度与地球表面重力加速度之比为
D.该星球的“第一宇宙速度”与地球的第一宇宙速度之比为
[解析] 设该星球表面重力加速度为，地球表面重力加速度为 。小
球在地球和在该星球表面做竖直上抛运动的总时间分别为 和
，则，，因初速度相同， ，因此，该
星球表面重力加速度与地球表面重力加速度之比 ，C项错
误。根据万有引力等于重力，有，得 ，该星球和地
球表面的重力加速度之比为，半径之比为 ，所以该星球和地球的
质量之比，B项错误。根据密度公式 ，结合
，得， 与成正比，与 成反比，可知该星球密度与
地球密度之比，A项正确。根据 ，可知第
一宇宙速度与 乘积的算术平方根成正比，则该星球的“第一宇宙速
度”与地球的第一宇宙速度之比 ，D项错误。
角度4 双星与多星
考向1 双星模型
模型 _________________________________
两星彼此间的万有引力提供向心力，即
特 点 （1）两星 绕行方 向、周期 及角速度 都相同， 即 ， （2）两星 的轨道半 径与它们 之间的距 离关系为 （3）两星 做圆周运 动的半径 、 与星 体质量成 反比，即 （4）两星的运动 周期 （5）两星
的总质量
续表
例14 现有由两颗中子星、 组成的双星系统，如
图所示，、均绕点做匀速圆周运动。已知 的
轨道半径小于的轨道半径，若、 的总质量为
，、间的距离为，、运动周期为 ，下列
说法正确的是( )
C
A.的线速度一定大于的线速度 B.的质量一定小于 的质量
C.若一定，则越大，越小 D.若一定，则越大， 越小
[解析] 因为双星的角速度相等，且，由 得，即
的线速度一定小于 的线速度，A项错误。由于每颗星的向心力都是由
双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由万有引力提
供向心力有和 ，联立可得
，因为，所以，即的质量一定大于 的质
量，B项错误。再结合，， ，联立可得
，由此式可知，若一定，则越大，越小;若一定，则
越大， 越大，D项错误，C项正确。
考向2 多星模型
类型 三星模型 四星模型 结构 图 ______________________________ ________________________________ ____________________________________ _______________________________________
运动 情境 质量相等的两 行星绕位于圆 心的恒星做匀 速圆周运动， 三星始终位于 同一直线上 质量相等的三 星位于一正三 角形的三个顶 点上，都绕三 角形的中心做 匀速圆周运动 质量相等的四 星位于正方形 的四个顶点 上，沿外接于 正方形的圆轨 道做匀速圆周 运动 质量相等的三星位
于以恒星为中心的
正三角形的三个顶
点上，绕正三角形
的外接圆做匀速圆
周运动
续表
向心 力 每颗星做圆周运动的向心力均由系统内其余星对它的万有引力的
合力提供
运动 量 每颗星做圆周运动的转动方向、周期、角速度、线速度的大小均
相同
续表
15.（多选）宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，可忽略其他
星体对它们的引力作用。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构
成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做匀速圆周
运动，如图1所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并
沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图2所示。设两种系统中三个
星体的质量均为 ，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常
量为 ，则下列说法正确的是( )
A.直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B.直线三星系统中星体做圆周运动的周期为
C.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为
D.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的向心加速度大小为
√
√
[解析] 在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的
万有引力的合力提供，根据万有引力定律和向心力公式有
，解得，A项错误;由周期 知，直
线三星系统中星体做圆周运动的周期 ，B项正确;对三角形
三星系统中做圆周运动的星体，有 ，解得
，C项错误;由得 ，D项正确。
强化 学科思维
天体质量和密度的计算
1.模型与关系式
一个模型 两组等式
__________________________________________________________ 空中绕行：
地面： 或
2.方法与结论
计算量 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
（中 心）天 体质量 的计算 利用运行 天体 、 只能得到
中心天体
的质量
、 、 计算量 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
（中 心）天 体质量 的计算 利用天体 表面重力 加速度 、 只能得到
中心天体
的质量
续表
计算量 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
（中 心）天 体密度 的计算 利用运行 天体 、 、 当 时 利用近地
卫星只需
测出其运
行周期
续表
计算量 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
（中 心）天 体密度 的计算 利用天体 表面重力 加速度 、
续表
考向1 利用环绕法估算中心天体质量或密度
16.(2023·辽宁高考)在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的
张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为 ，地球绕太
阳运动的周期为，地球半径是月球半径的 倍，则地球与太阳的平均
密度之比约为( )
D
A. B. C. D.
[解析] 设月球绕地球运动的轨道半径为 ，地球绕太阳运动的轨道半径
为，由，， ，可得
，D项正确。
易错提醒
计算中心天体的质量、密度时要注意三点：
1.天体半径和卫星的轨道半径。通常把天体看成一个球体，天体的半径
指的是球体的半径，卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的
圆的半径，卫星的轨道半径大于等于天体的半径。
2.自转周期和公转周期。自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用
的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自
转周期与公转周期一般不相等。
3.若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径等于天体自身半径，则
天体密度
考向2 由重力加速度法估算中心天体质量与密度
17.（多选）在未来的“星际穿越”中，某航天员降落在一颗不知名的星球
表面上。该航天员从高处以初速度 水平抛出一个小球，小球落
到星球表面时，与抛出点的距离为，已知该星球的半径为 ，引力
常量为 ，下列说法正确的是( )
BD
A.该星球表面的重力加速度为 B.该星球表面的重力加速度为
C.该星球的质量为 D.该星球的密度为
[解析] 设该星球表面的重力加速度为 ，则根据平抛运动规律得
，，故，解得 ，A项错误，
B项正确;在该星球表面，有，联立，解得 ，
该星球的密度 ，C项错误，D项正确。
练创新试题 知命题导向
1. （多选）2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移
轨道，正式开启月球之旅。本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采
集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨
道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。
已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的 。
下列说法正确的是( )
A.月球的质量约为地球质量的
B.月球的质量约为地球质量的
C.返回舱在该绕月轨道上飞行的速率约为地球上近地圆轨道卫星运行速
率的
D.返回舱在该绕月轨道上飞行的速率约为地球上近地圆轨道卫星运行速
率的
√
√
[解析] 由物体在星球表面万有引力和重力的关系得 ，解得
，则 ,A项错误，B项正确;返回舱在该绕月轨道
上运动时由万有引力提供向心力，有 ，其中
，联立解得 ，同理可得近地卫星的环绕速度
，代入题中数据可得 ，C项错误，D项正确。
2. 2024年3月20日，我国探月工程四期
“鹊桥二号”中继星成功发射升空。当抵达距离
月球表面某高度时，“鹊桥二号”开始采取措施，
并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的
B
A.“鹊桥二号”在捕获轨道与冻结轨道上运行，它与月球的连线在相等时
间内扫过的面积相等
B.“鹊桥二号”在捕获轨道与冻结轨道上运行的周期之比约为
C.“鹊桥二号”由捕获轨道进入冻结轨道需要加速
D.在捕获轨道上，“鹊桥二号”由近月点运动到远月点，引力势能减小
半长轴约为 。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道
的半长轴约为 。则下列说法正确的是( )
[解析] 开普勒第二定律是对同一椭圆轨道而言的，不同轨道不适用，A
项错误;根据开普勒第三定律得，整理得 ，B项正确;
冻结轨道比捕获轨道低，由捕获轨道到冻结轨道，“鹊桥二号”做近心运
动，应减速，C项错误;“鹊桥二号”由近月点运动到远月点，只有引力做
功，机械能不变，由开普勒第二定律可知，“鹊桥二号”由近月点运动到
远月点速率减小（动能减小），则“鹊桥二号”由近月点运动到远月点，
引力势能增大，D项错误。
3. （多选）如图所示，1、2轨道分别是某卫星在变轨前后的轨道。
已知轨道1半径是地球半径的 倍，轨道2为静止卫星轨道，且轨道半径
是地球半径的倍，图中 点是地球赤道上一点，下列说法正确的是
( )
BD
A.卫星在轨道1与轨道2运行周期之比为
B.卫星在轨道2与点的速度之比为
C.卫星在轨道1与轨道2的向心加速度之比为
D.卫星在轨道1与点的速度之比为
[解析] 根据，可得 ，故卫星在轨道1与轨道2
运行周期之比为，A项错误;赤道上 点的周期与静止卫星周期相同，
根据可知，卫星在轨道2与点的速度之比为 ，B项正确;根据
可得 ，故卫星在轨道1与轨道2的向心加速度之比
，C项错误;综上分析有，对于卫星有 ,则
，则卫星在轨道1与点的速度之比为 ，D项正确。
4. （多选） “火星合日”现象，就是当火星和地球分别位于太阳
两侧与太阳共线干扰无线电时，影响通信的天文现象，该现象曾导致中
国首辆火星车“祝融号”发生短暂失联。已知地球与火星绕太阳做匀速圆
周运动的方向相同。火星的公转周期为，地球公转周期为 ，“祝融
号”在火星赤道表面附近的轨道做匀速圆周运动的周期为 ，“祝融号”的
质量为，火星的半径为，引力常量为 ，则下列说法正确的是
( )
A.火星的第一宇宙速度大小为
B.太阳的质量为
C.火星的公转周期小于地球公转周期
D.相邻两次“火星合日”的时间间隔为
√
√
[解析] “祝融号”在火星赤道表面附近的轨道做匀速圆周运动，有
，解得火星质量，由 解得火星的
第一宇宙速度大小 ，A项正确;火星和地球的公转轨道半
径未知，所以无法求出太阳的质量，B项错误;根据开普勒第三定律
可知，火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星的公转周期更大，
C项错误;相邻两次“火星合日”的时间间隔满足 ，解得
，D项正确。第1讲　开普勒定律与万有引力定律
考点一　开普勒定律及应用
【理清·知识结构】
【知识梳理】
1.开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是①　　　　，太阳处在椭圆的一个②　　　　上。
2.开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内③　　　　　　相等。
3.开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的④　　　　　　　　的比都相等，即=k(k是一个只与中心天体的质量有关的量，与行星的质量无关)。
【考教衔接】
地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆(如图)。天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年。哈雷彗星轨道的半长轴约为地球公转半径的　　　　倍。(结果用根式表示)
【突破·考点题型】
角度1　开普勒行星运动定律及理解
开普勒定律 描述方面 图示 理解
第一定律 (轨道定律) 行星运动的轨道 不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道虽然不同，但有一个共同的焦点
第二定律 (面积定律) 行星运动的线速度变化 行星靠近太阳运动时速度增大，在近日点速度最大；行星远离太阳运动时速度减小，在远日点速度最小
第三定律 (周期定律) 行星运动轨道与其公转周期的关系 =k，其中k是一个常量，与行星无关，但与中心天体的质量有关
对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法正确的是 (　　)
A.开普勒通过自己长期观测，记录了大量数据，通过对数据研究总结出了开普勒行星运动定律
B.根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨道是圆，太阳处于圆心位置
C.根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大；距离太阳越远，其运动速度越小
D.根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径跟它的公转周期成正比
(多选)如图所示，月球绕地球沿椭圆轨道运动，P为近地点，Q为远地点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑地球和月球之间的相互作用，则月球在从P经过M、Q到N的运动过程中 (　　)
A.月球与地球的连线在任意相等的时间内扫过的面积相等
B.月球在Q点的线速度大于在P点的线速度
C.从P到M所用时间小于T0
D.从P到Q阶段，速率逐渐变大
角度2　开普勒行星运动定律的应用
1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
2.开普勒第三定律=k中的k=(M为中心天体的质量)。对不同的中心天体k值不同。
(多选)如图1所示，火星和地球都在围绕着太阳旋转，其运行轨道是椭圆。如图2所示，人造卫星和月球都绕着地球旋转，其运行轨道也是椭圆。根据开普勒行星运动定律可知 (　　)
A.若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，=k，则地球和火星对应的k值相同
B.若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，=k，则地球和月球对应的k值相同
C.月球绕地球运行一周的时间比人造卫星的长
D.火星绕太阳运行一周的时间比地球的短
(2024·安徽高考)2024年3月20日，我国探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，“鹊桥二号”开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则“鹊桥二号”在捕获轨道运行时 (　　)
A.周期约为144 h
B.近月点的速度大于远月点的速度
C.近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
考点二　万有引力定律及应用
【理清·知识结构】
【知识梳理】
1.万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都会相互吸引，引力的方向在它们的①　　　　上，引力的大小跟物体的质量m1和m2的乘积成②　　　　，与它们之间的距离r的二次方成③　　　　。
(2)表达式：F=G，其中G为引力常量，G=6.67×10-11 N·m2/ kg2，由④　　　　实验测定。
(3)适用条件
a.两个⑤　　　　之间的相互作用。
b.对质量分布均匀的球体，r为⑥　　　　。
c.一个质量分布均匀的球体和球外一个质点，r为⑦　　　　　　　　。
2.万有引力定律在天体上的应用
(1)基本特征：把天体运动看成⑧　　　　运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。
(2)应用万有引力定律分析天体运动的方法：G=ma=m=mrω2=mr2。
【考教衔接】
月—地检验的目的是检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的引力是否为同一性质的力。已知苹果自由落体加速度a苹=g=9.8 m/s2，月球中心到地球中心的距离r=60R=3.8×108 m(R是地球半径)，月球公转周期T=27.3 d≈2.36×106 s。
(1)月—地检验的思路是什么
(2)月球的向心加速度与苹果自由落体加速度之比为多少
【突破·考点题型】
角度1　万有引力的计算
2024年5月8日10时，在北京航天飞行控制中心的精确控制下，“嫦娥六号”探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行。已知地球的半径约为月球半径的4倍，地球表面的重力加速度约为月球表面重力加速度的6倍，不考虑地球和月球的自转。当“嫦娥六号”探测器在奔月过程中离地心和月心的距离相等时，受到地球和月球的万有引力之比约为 (　　)
A.1∶1 B.24∶1
C.96∶1 D.576∶1
(2023·河北高考)我国自古就有“昼涨为潮，夜涨为汐”之说，潮汐是月球和太阳对海水的引力变化产生的周期性涨落现象，常用引潮力来解释。月球对海水的引潮力大小与月球质量成正比，与月地距离的三次方成反比，方向如图1所示。随着地球自转，引潮力的变化导致了海水每天两次的潮涨潮落。太阳对海水的引潮力与月球类似，但大小约为月球引潮力的。每月两次大潮(引潮力最大)和两次小潮(引潮力最小)是太阳与月球引潮力共同作用的结果。结合图2，下列说法正确的是 (　　)
图1 图2
A.月球在位置1时会出现大潮
B.月球在位置2时会出现大潮
C.涨潮总出现在白天，退潮总出现在夜晚
D.月球引潮力和太阳引潮力的合力一定大于月球引潮力
角度2　填补法求解万有引力
如图所示，质量分布均匀的实心球质量为M，半径为R，现在将它的左侧挖去一个半径r=的球体，则挖去后它对与球体表面距离为R处的质量为m的质点的引力与挖去前对质点的引力之比为 (　　)
A. B. C. D.
角度3　重力与万有引力的关系
图示 关系
(1)在赤道上：G=mg+mω2R (2)在两极上：G=mg0 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和
注：越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为=mg(GM=gR2被称为“黄金代换式”)
我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北两个半球，OE连线与赤道平面的夹角为θ。经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为kg(0A.(1-k)g B.(1-k)gcos θ
C.(1-k)gsin θ D.kgsin θ
假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力的合力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 (　　)
A.1- B.1+
C. D.
考点三　天体运动的四类模型
【突破·考点题型】
角度1　公转模型　天体运行参量的比较
1.人造卫星的运行规律：无论是自然天体(如地球、月球)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星等)都可以看作质点，围绕中心天体做匀速圆周运动。
2.万有引力提供向心力
G=
结论：r越大，v、ω、a越小，T越大。(越高越慢)
考向1　天体运行参量分析
2024年5月20日，我国使用运载火箭成功将“北京三号”卫星送入预定轨道，用于提供高时空分辨率遥感卫星数据。若卫星在距地面500 km的轨道上绕地球稳定运行，则该卫星的 (　　)
A.运行周期小于地球的自转周期
B.线速度小于地球同步卫星的线速度
C.角速度等于地球同步卫星的角速度
D.加速度小于地球同步卫星的加速度
考向2　天体运行参量的计算
(2023·浙江6月选考)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则 (　　)
A.木卫一轨道半径为r
B.木卫二轨道半径为r
C.周期T与T0之比为
D.木星质量与地球质量之比为n3
角度2　自转模型
(多选)已知一质量为m的物体静止在北极与赤道时对地面的压力差为ΔN，已知地球是质量均匀的球体，半径为R，地球表面的重力加速度为g，则 (　　)
A.地球的自转周期T=2π
B.地球的自转周期T=π
C.地球同步卫星的轨道半径为R
D.地球同步卫星的轨道半径为2R
角度3　星表模型　黄金代换
在地球表面以一定的初速度竖直上抛一小球，经过时间t落回原处；若在某星球表面以相同的速度竖直上抛一小球，则需经4t时间落回原处。不计空气阻力，忽略星球和地球自转。已知该星球半径与地球半径之比为1∶4，则 (　　)
A.该星球密度与地球密度之比为1∶1
B.该星球质量与地球质量之比为64∶1
C.该星球表面重力加速度与地球表面重力加速度之比为4∶1
D.该星球的“第一宇宙速度”与地球的第一宇宙速度之比为1∶1
角度4　双星与多星
考向1　双星模型
模型 特点
两星彼此间的万有引力提供向心力，即 =m1r1 =m2r2 (1)两星绕行方向、周期及角速度都相同，即T1=T2，ω1=ω2
(2)两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L
(3)两星做圆周运动的半径r1、r2与星体质量成反比，即=
(4)两星的运动周期T=2π
(5)两星的总质量m=m1+m2=
现有由两颗中子星A、B组成的双星系统，如图所示，A、B均绕O点做匀速圆周运动。已知A的轨道半径小于B的轨道半径，若A、B的总质量为M，A、B间的距离为L，A、B运动周期为T，下列说法正确的是 (　　)
A.A的线速度一定大于B的线速度
B.A的质量一定小于B的质量
C.若L一定，则M越大，T越小
D.若M一定，则L越大，T越小
考向2　多星模型
类型 三星模型 四星模型
结构图
运动 情境 质量相等的两行星绕位于圆心的恒星做匀速圆周运动，三星始终位于同一直线上 质量相等的三星位于一正三角形的三个顶点上，都绕三角形的中心做匀速圆周运动 质量相等的四星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动 质量相等的三星位于以恒星为中心的正三角形的三个顶点上，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动
向心力 每颗星做圆周运动的向心力均由系统内其余星对它的万有引力的合力提供
运动量 每颗星做圆周运动的转动方向、周期、角速度、线速度的大小均相同
(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做匀速圆周运动，如图1所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图2所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图中标出，引力常量为G，则下列说法正确的是 (　　)
A.直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为
B.直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π
C.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2
D.三角形三星系统中每颗星做圆周运动的向心加速度大小为
【强化·学科思维】
天体质量和密度的计算
1.模型与关系式
一个模型 两组等式
空中绕行：G=man=m=mω2r=mr 地面：mg=G 或gR2=GM
2.方法与结论
计算量 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
(中心)天体质量的计算 利用运行 天体 r、T G=mr M= 只能得到中心天体的质量
r、v G=m M=
v、T G=m G=mr M=
利用天体 表面重力 加速度 g、R mg= M=
(中心)天体密度的计算 利用运行 天体 r、T、 R G=mr M=ρ·πR3 ρ= 当r=R时 ρ= 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体 表面重力 加速度 g、R mg= M=ρ·πR3 ρ=
考向1　利用环绕法估算中心天体质量或密度
(2023·辽宁高考)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为 (　　)
A.k3 B.k3
C. D.
易错提醒 计算中心天体的质量、密度时要注意三点： 1.天体半径和卫星的轨道半径。通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径，卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径，卫星的轨道半径大于等于天体的半径。 2.自转周期和公转周期。自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。 3.若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体自身半径R，则天体密度ρ=。
考向2　由重力加速度法估算中心天体质量
与密度
(多选)在未来的“星际穿越”中，某航天员降落在一颗不知名的星球表面上。该航天员从高h=L处以初速度v0水平抛出一个小球，小球落到星球表面时，与抛出点的距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是 (　　)
A.该星球表面的重力加速度为
B.该星球表面的重力加速度为
C.该星球的质量为
D.该星球的密度为
练创新试题·知命题导向
1.(多选)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。下列说法正确的是 (　　)
A.月球的质量约为地球质量的
B.月球的质量约为地球质量的
C.返回舱在该绕月轨道上飞行的速率约为地球上近地圆轨道卫星运行速率的
D.返回舱在该绕月轨道上飞行的速率约为地球上近地圆轨道卫星运行速率的
2.2024年3月20日，我国探月工程四期“鹊桥二号”中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，“鹊桥二号”开始采取措施，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900km。则下列说法正确的是 (　　)
A.“鹊桥二号”在捕获轨道与冻结轨道上运行，它与月球的连线在相等时间内扫过的面积相等
B.“鹊桥二号”在捕获轨道与冻结轨道上运行的周期之比约为12∶1
C.“鹊桥二号”由捕获轨道进入冻结轨道需要加速
D.在捕获轨道上，“鹊桥二号”由近月点运动到远月点，引力势能减小
3.(多选)如图所示，1、2轨道分别是某卫星在变轨前后的轨道。已知轨道1半径是地球半径的m倍，轨道2为静止卫星轨道，且轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，下列说法正确的是 (　　)
A.卫星在轨道1与轨道2运行周期之比为　
B.卫星在轨道2与P点的速度之比为n∶1
C.卫星在轨道1与轨道2的向心加速度之比为
D.卫星在轨道1与P点的速度之比为
4.(多选) “火星合日”现象，就是当火星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线干扰无线电时，影响通信的天文现象，该现象曾导致中国首辆火星车“祝融号”发生短暂失联。已知地球与火星绕太阳做匀速圆周运动的方向相同。火星的公转周期为T1，地球公转周期为T2，“祝融号”在火星赤道表面附近的轨道做匀速圆周运动的周期为T，“祝融号”的质量为m，火星的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是 (　　)
A.火星的第一宇宙速度大小为
B.太阳的质量为
C.火星的公转周期T1小于地球公转周期T2
D.相邻两次“火星合日”的时间间隔为
参考答案
考点一　
知识梳理
①椭圆　②焦点　③扫过的面积　④公转周期的二次方
考教衔接
5
解析　哈雷彗星和地球均绕太阳(中心天体)运动，哈雷彗星的周期T=(2061-1986)年=75年，地球的周期T0=1年，根据开普勒第三定律可知=，故==5。
例1　C
例2　AC　解析　由开普勒第二定律可知，月球与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，A项正确；根据开普勒第二定律可知，月球从P到Q的过程中，月球与地球的距离变大，线速度逐渐减小，B、D两项错误；公转周期为T0，月球从P到Q的过程中所用的时间为0.5T0，由于月球从P经M到Q的过程中，速率逐渐变小，从P到M与从M到Q的路程相等，所以月球从P到M所用的时间小于，C项正确。
例3　AC　解析　对同一中心天体，其所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，即k值相同。对不同中心天体的所有行星，其轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值不相等，即k值不相同，A项正确，B项错误。对同一中心天体，由=k可知半长轴大的运行周期长，C项正确，D项错误。
例4　B　解析　“鹊桥二号”在冻结轨道运行和在捕获轨道运行的中心天体均是月球，根据开普勒第三定律得=，整理得T2=T1=288 h，A项错误；根据开普勒第二定律得，“鹊桥二号”在近月点的速度大于在远月点的速度，B项正确；“鹊桥二号”在近月点从捕获轨道到冻结轨道要进行近月制动，故在捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C项错误；“鹊桥二号”在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律有G=ma，可知“鹊桥二号”在捕获轨道运行时在近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D项错误。
考点二　
知识梳理
①连线　②正比　③反比　④卡文迪什扭秤　⑤质点　⑥两球心的距离　⑦质点到球心的距离　⑧匀速圆周
考教衔接
解答　(1)①假设地球与月球间、太阳与行星间的作用力是同一种力，满足F=G。
②月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月==G。
③假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，苹果自由落体加速度a苹==G。
④=，由于r≈60R，则=。
(2)a月=r≈2.7×10-3 m/s2，则≈2.8×10-4≈。
例5　C　解析　由G=mg，得=×=，根据万有引力定律F=G可得，探测器受到地球和月球的万有引力之比==，C项正确。
例6　A　解析　太阳、月球、地球三者在同一条直线上时，太阳和月球的引潮力叠加在一起，潮汐现象最明显，称为大潮，月地连线与日地连线互相垂直，太阳引潮力就会削弱月球的引潮力，形成小潮，月球在题图2中位置1时会出现大潮，A项正确，B项错误。每一昼夜海水有两次潮涨潮落，人们把每次在白天出现的海水上涨叫作“潮”，把夜晚出现的海水上涨叫作“汐”，合称潮汐，C项错误。月球运动到如图所示的位置3时，月球引潮力和太阳引潮力的合力等于月球引潮力减太阳引潮力，小于月球引潮力，D项错误。
例7　B　解析　实心球质量M=ρV=ρ·πR3，挖去部分的半径是实心球半径的一半，则质量M'=ρV'=ρ·π·=，完整实心球对质点的万有引力F==，挖去部分对质点的万有引力F'==，则剩余部分对质点的万有引力F″=F-F'=，剩余部分对质点的引力与挖去前对质点的引力之比=，B项正确，A、C、D三项错误。
例8　B　解析　在D点，根据向心力公式可得mg-kmg=mRω2，对E处的物体，根据向心力公式可得ma=mω2Rcos θ，联立解得a=(1-k)gcos θ，B项正确，A、C、D三项错误。
例9　A　解析　如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度大小为g，地球质量为M，地球表面的质量为m的物体受到的重力近似等于万有引力，有mg=G，又M=ρ·πR3，得g=πρGR；设矿井底部的重力加速度大小为g'，图中阴影部分球体的半径r=R-d，则g'=πρG(R-d)，联立解得=1-，A项正确。
考点三　
例10　A　解析　“北京三号”卫星离地高度比同步卫星低，则“北京三号”卫星做圆周运动的半径比同步卫星的小，由开普勒第三定律知，“北京三号”卫星运行的周期小于同步卫星的周期，而同步卫星的周期与地球自转周期相同，故“北京三号”卫星运行周期小于地球的自转周期，由ω=知，“北京三号”卫星运行的角速度大于地球同步卫星的角速度，A项正确，C项错误；由G=m知，卫星的线速度v=，可见“北京三号”卫星的线速度大于地球同步卫星的线速度，B项错误；由G=ma知，卫星的加速度a=G，可见“北京三号”卫星的加速度大于地球同步卫星的加速度，D项错误。
例11　D　解析　由题意可知木卫三的轨道半径r3=nr，由G=mr可得r=，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4，可得木卫一轨道半径r1=，木卫二轨道半径r2=，A、B两项错误；木卫三围绕的中心天体是木星，月球围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，C项错误；根据万有引力提供向心力，分别有G=m1nr，G=m0r，联立可得=n3，D项正确。
例12　AC　解析　在北极有FN1=G，在赤道有G-FN2=mR，根据题意，有FN1-FN2=ΔN，联立解得T=2π，A项正确，B项错误；由万有引力提供同步卫星的向心力有G=m'，可得r3=，又由于地球表面的重力加速度为g，则mg=G，得r=R，C项正确，D项错误。
例13　A　解析　设该星球表面重力加速度为g星，地球表面重力加速度为g地。小球在地球和在该星球表面做竖直上抛运动的总时间分别为t=和t'=，则g地=，g星=，因初速度相同，t'∶t=4∶1，因此，该星球表面重力加速度与地球表面重力加速度之比g星∶g地=1∶4，C项错误。根据万有引力等于重力，有G=mg，得M=，该星球和地球表面的重力加速度之比为1∶4，半径之比为1∶4，所以该星球和地球的质量之比M星∶M地=1∶64，B项错误。根据密度公式ρ==，结合M=，得ρ=，ρ与g成正比，与R成反比，可知该星球密度与地球密度之比ρ星∶ρ地=1∶1，A项正确。根据v==，可知第一宇宙速度v与gR乘积的算术平方根成正比，则该星球的“第一宇宙速度”与地球的第一宇宙速度之比=，D项错误。
例14　C　解析　因为双星的角速度相等，且rAmB，即A的质量一定大于B的质量，B项错误。再结合rA+rB=L，mA+mB=M，T=，联立可得T=2π，由此式可知，若L一定，则M越大，T越小；若M一定，则L越大，T越大，D项错误，C项正确。
例15　BD　解析　在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和向心力公式有G+G=m，解得v=，A项错误；由周期T=知，直线三星系统中星体做圆周运动的周期T=4π，B项正确；对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2Gcos 30°=mω2·，解得ω=，C项错误；由2Gcos 30°=ma得a=，D项正确。
例16　D　解析　设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，由G=mr，==，m=ρ·πR3，可得=，D项正确。
例17　BD　解析　设该星球表面的重力加速度为g，则根据平抛运动规律得L=gt2，L=，故v0t=2L，解得g=，A项错误，B项正确；在该星球表面，有mg=G，联立g=，解得M=，该星球的密度ρ===，C项错误，D项正确。
练创新试题
1.BD　解析　由物体在星球表面万有引力和重力的关系得G=mg，解得M=，则==，A项错误，B项正确；返回舱在该绕月轨道上运动时由万有引力提供向心力，有G=m，其中G=mg月，联立解得v月=，同理可得近地卫星的环绕速度v地=，代入题中数据可得v月=v地，C项错误，D项正确。
2.B　解析　开普勒第二定律是对同一椭圆轨道而言的，不同轨道不适用，A项错误；根据开普勒第三定律得=，整理得=≈，B项正确；冻结轨道比捕获轨道低，由捕获轨道到冻结轨道，“鹊桥二号”做近心运动，应减速，C项错误；“鹊桥二号”由近月点运动到远月点，只有引力做功，机械能不变，由开普勒第二定律可知，“鹊桥二号”由近月点运动到远月点速率减小(动能减小)，则“鹊桥二号”由近月点运动到远月点，引力势能增大，D项错误。
3.BD　解析　根据G=mr，可得T=2π，故卫星在轨道1与轨道2运行周期之比为，A项错误；赤道上P点的周期与静止卫星周期相同，根据v=可知，卫星在轨道2与P点的速度之比为n∶1，B项正确；根据G=ma可得a=G，故卫星在轨道1与轨道2的向心加速度之比=，C项错误；综上分析有v2=nvP，对于卫星有G=，则==，则卫星在轨道1与P点的速度之比为，D项正确。
4.AD　解析　 “祝融号”在火星赤道表面附近的轨道做匀速圆周运动，有G=mR，解得火星质量M=，由G=m解得火星的第一宇宙速度大小v1==，A项正确；火星和地球的公转轨道半径未知，所以无法求出太阳的质量，B项错误；根据开普勒第三定律=k可知，火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星的公转周期更大，C项错误；相邻两次“火星合日”的时间间隔满足-t=2π，解得t=，D项正确。

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