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(共67张PPT)
第1讲 重力 弹力 摩擦力
基础点1 重力和重心
基础点2 弹力的分析和计算
基础点3 摩擦力的分析与计算
重难点 摩擦力突变问题
复习 目标 1.掌握重力的大小、方向及重心的概念。
2.掌握弹力的有无、方向的判断及弹力大小的计算方法，理
解并掌握胡克定律。
3.会判断摩擦力的方向，会计算摩擦力的大小。
基础点1 重力和重心
1.产生
由于地球的吸引而使物体受到的力。
2.大小
。
3.方向
总是竖直向下。
4.重心
因为物体各部分都受重力的作用，从效果上看，可以认为各部分受
到的重力作用集中于一点，这一点叫作物体的重心，其位置与物体
的质量分布和形状有关。
例1 （2022·1月浙江卷）如图所示，公园里有一仿
制我国古代欹器的 形水桶，桶可绕水平轴转动，水
管口持续有水流出，过一段时间桶会翻转一次，决
定桶能否翻转的主要因素是( )。
D
A.水桶自身重力的大小 B.水管每秒出水量的大小
C.水流对桶撞击力的大小 D.水桶与水整体的重心高低
解析 水管口持续有水流出而过一段时间桶会翻转一次，说明装的
水到一定量之后，会导致水桶与水整体的重心往上移动，竖直向下
的重力作用线偏离中心转轴，使水桶不能稳定平衡，发生翻转，D
项正确。
基础点2 弹力的分析和计算
1.弹力的产生条件
①__________；②______________。
相互接触
发生弹性形变
2.弹力的方向
3.胡克定律
（1）内容：弹簧发生弹性形变时，弹力大小 跟弹簧伸长（或缩短）
的长度 成③______。
（2）公式：④________，其中 为弹簧的劲度系数，单位为牛顿每
米，符号 ，它的大小反映了弹簧的软硬程度。
（3）适用条件：⑤____________________。
正比
在弹簧的弹性限度内
作出下列图中 物体受到的弹力。
答案
考向1 弹力的有无与方向判断
弹力有无的判断方法
例2 （多选）在下列图中，、表面均光滑，且、 均处于静止状
态，天花板和地面均水平。、 间一定有弹力的是( )。
BC
A. B. C. D.
解析 图A中、无相互挤压，没有发生形变，、 间无弹力，A项
错误；图B中细绳偏离竖直方向，则、相互挤压，、 间有弹力，
B项正确；图C中、间有弹力，且弹力方向垂直于、 的接触面，
C项正确；图D中假设、间有弹力，对 的弹力垂直于斜面斜向
上，不可能静止，则、 间无弹力，D项错误。
考向2 弹力的分析与计算
弹簧——应用胡克定 律计算 平衡体——应用平 衡条件计算 非平衡体——应用牛
顿第二定律计算
（1）对物体受力 分析，明确是二力 平衡还是多力平 衡，画出受力图。 （1）对物体受力分
析，画出受力示意
图。
（2）弹簧串联时，各 弹簧的弹力大小相 等，弹簧的形变量一 般不同。 （3）弹簧并联时，各 弹簧的形变量相等， 弹力一般不同 （2）应用物体的 平衡条件，借助力 的平行四边形定则 及三角函数知识求 解 （2）应用牛顿第二定
律，沿加速度的方向
和垂直于加速度的方
向列方程。
（3）求解弹力的大小
和方向，并判断结果
的合理性
续表
例3 （鲁教版必修第一册P78）在一次蹦极中，质量为 的蹦极者
运动到最低点时弹性绳绳长为，停止振荡时弹性绳绳长为 。
若该蹦极者所用弹性绳的原长为 ，劲度系数认为不变，重力加
速度取 。求蹦极者运动到最低点时受到弹性绳的拉力大小。
答案
解析 设弹性绳的劲度系数为 ，则停止振荡时，蹦极者所受重力和
弹性绳的弹力二力平衡，即，解得 ，
蹦极者到达最低点时，弹性绳的弹力 。
例4 （2023·山东卷）餐厅暖盘车的储盘装置示意图如
图所示，三根完全相同的弹簧等间距竖直悬挂在水平
固定圆环上，下端连接托盘。托盘上叠放若干相同的
盘子，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平。
已知单个盘子的质量为，相邻两盘间距 ，
B
A. B. C. D.
重力加速度大小取 。弹簧始终在弹性限度内，每根弹簧的
劲度系数为( )。
解析 由题知，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平，则说
明一个盘子的重力可以使弹簧形变量为相邻两盘间距，则有
，解得 ，B项正确。
考向3 轻绳、轻杆、弹性绳、轻质弹簧的比较
轻绳 轻杆 弹性绳 轻质弹簧
受外力作用 时形变的种 类 拉伸形变 拉伸形变、 压缩形变、 弯曲形变 拉伸形变 拉伸形变、
压缩形变
受外力作用 时形变量大 小 微小，可忽 略 微小，可忽 略 较大，不可 忽略 较大，不可
忽略
轻绳 轻杆 弹性绳 轻质弹簧
弹力方向 沿着绳，指 向绳收缩的 方向 既能沿着 杆，也可以 跟杆成任意 角度 沿着绳，指 向绳收缩的 方向 沿着弹簧，
指向弹簧恢
复原长的方
向
弹力大小变 化情况 可以突变 可以突变 不能突变 不能突变
续表
例5 如图所示，位于水平面上的小车，固定在小车上的支架的斜杆
与竖直杆的夹角为 ，在斜杆下端固定有质量为 的小球，重力加
速度为。现使小车以加速度 向右做匀加速直线运动，下
列说法正确的是( )。
D
A.杆对小球的弹力一定竖直向上
B.杆对小球的弹力一定沿杆斜向上
C.杆对小球的弹力大小为
D.杆对小球的弹力大小为
解析 对小球受力分析如图所示，由图可知，当 大小不同时，杆上
的弹力与竖直方向的夹角也不同，方向不一定沿杆，但弹力方向一
定斜向上，A、B两项错误；由几何关系可知，杆对小球的弹力大
小 ，C项错误，D项正确。
若要使杆对小球产生的弹力沿杆方向，则小车的运动状态应满足什
么条件？
答案 小车向右匀加速运动或向左匀减速运动，且加速度大小
解析 若要使杆的弹力沿杆方向，则小车加速度方向只能水平向右
且杆的弹力沿杆方向需满足 ，故小车的加速度大小
，小车需向右匀加速运动或向左匀减速运动。
1.（2024·江苏盐城阶段练习）如图所示，每个钩码重 ，其中
钩码挂在 下并与地面接触。弹簧测力计自身质量、绳子质量和摩
擦不计。整个装置静止时，弹簧伸长了 （在弹簧的弹性限度
内）。下列说法正确的是( )。
A.钩码对 有向下的压力
B.钩码 受到地面的支持力，是由
于 发生了形变
C.该弹簧测力计的示数为
D.该弹簧的劲度系数为
√
解析 对弹簧的左侧受力分析可知，弹簧一端受到的拉力大小为
，则该弹簧测力计的示数为 ，C项正确；由于弹簧弹
力为，则对弹簧右侧受力分析可知，钩码、 之间无相互作
用力，A项错误；钩码 受到地面的支持力，是由于地面发生了形
变，B项错误；根据胡克定律可知 ，D
项错误。
基础点3 摩擦力的分析与计算
1.定义
两个相互接触的物体，当它们发生相对运动或具有相对运动的趋势
时，在接触面上会产生阻碍⑥__________或⑦______________的力。
相对运动
相对运动趋势
2.产生条件
（1）接触面⑧______。
（2）接触处⑨________。
（3）两物体间有⑩__________或 ______________。
粗糙
有压力
相对运动
相对运动趋势
3.方向
与受力物体 __________或 ______________的方向相反。
相对运动
相对运动趋势
4.大小
（1）滑动摩擦力： _____， 为动摩擦因数。
（2）静摩擦力： ___ _____。
0
5.弹力与摩擦力的关系
若两物体间有摩擦力，则两物体间 ________弹力；若两物体间有
弹力，则两物体间 __________摩擦力。（均选填“一定有”或“不
一定有”）
一定有
不一定有
1.只有静止的物体才受到静摩擦力。( )
×
2.静止的物体可以受到滑动摩擦力。( )
√
考向1 静摩擦力的分析与计算
1.物体处于平衡状态（静止或匀速直线运动），利用力的平衡
条件来判断静摩擦力的大小。
2.物体有加速度时，若只受静摩擦力，则 。若除受静摩
擦力外，还受其他力，则 ，先求合力再求静摩擦力。
例6 （鲁教版必修第一册P83）质量为 的木箱静止在水平地面上。
木箱与地面间的动摩擦因数为 ，最大静摩擦力与滑动摩擦力大
小视为相等，取重力加速度 。现给木箱一水平拉力。
（1）当拉力大小为 时，地面对木箱的摩擦力是多大？
答案
解析 当拉力时，，木箱静止，则 。
（2）当拉力大小为 时，地面对木箱的摩擦力是多大？
答案
解析 当拉力时， ，木箱滑动，则
。
（3）此后若将拉力减小为 （木箱仍在滑动），地面对木箱的摩
擦力是多大？
答案
解析 当拉力减小为 ，木箱仍滑动，受到的仍然为滑动摩擦力，
故 。
解析 木箱与地面间的最大静摩擦力
例7 （2024·山东卷）如图所示，国产人形机器
人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大
于 的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩
擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩
擦因数不能小于( )。
B
A. B. C. D.
解析 根据题意可知机器人“天工”可以在倾角不大于 的斜坡上
稳定地站立和行走，对“天工”分析有 ，可
得 ，B项正确。
考向2 滑动摩擦力的分析与计算
应用时要注意以下几点：
（1） 为动摩擦因数，其大小与接触面的材料、表面的粗糙程度
有关；为两接触面的正压力，其大小不一定等于物体的重力。
（2）滑动摩擦力的大小与物体的运动速度和接触面的面积均无关；
其方向一定与物体间相对运动方向相反，与物体运动（对地）的方
向不一定相反。
例8 （教科版必修第一册P75T4）如图所示，在水平面上向右运动
的物体，所受重力为 ，物体和水平面之间的动摩擦因数为0.1，
在运动过程中，物体还受到一个水平向左、大小为 的拉力作用，
求物体受到的摩擦力大小。
答案 ，方向水平向左
解析 物体相对地面运动，则受到地面对它的滑
动摩擦力作用，受力分析如图所示
滑动摩擦力大小，又 ，联立两式，
代入数据求得 ，滑动摩擦力的方向与相
对运动方向相反，故地面对它的滑动摩擦力方向水平向左。
例9 （2024·广西卷）工人卸货时常利用斜面将重物从高处滑下。如
图，三个完全相同的货箱正沿着表面均匀的长直木板下滑，货箱各
表面材质和粗糙程度均相同。若1、2、3号货箱与直木板间摩擦力
的大小分别为、和 ，则( )。
D
A.
B.
C.
D.
解析 根据滑动摩擦力的公式 ，可知滑动摩擦力的大小与接
触面积无关，只与接触面的粗糙程度和压力大小有关，由题可知三
个货箱各表面材质和粗糙程度均相同，压力大小也相同，故摩擦力
相同，即 ，D项正确。
若三个货箱质量满足且 ，则三个货箱是否
能静止在斜面上？
答案 均能静止
解析 根据受力分析可知，若要判断货箱是否下滑，则需比较重力
沿斜面分力与最大静摩擦力大小，根据条件可知
，即 ，故与物体质量无关，三个货
箱均可静止在斜面上。
归纳总结
摩擦力大小的计算方法
重难点 摩擦力突变问题
考向1 “静—静”突变
物体在摩擦力和其他力的作用下处于静止状态，当作用在物体
上的其他力的合力发生变化时，如果物体仍然保持静止状态，则物
体受到的静摩擦力的大小和方向将发生突变。
例10 如图所示，将质量为的物体 拴在一个被水平拉伸的弹
簧一端，弹簧的拉力为时，物体 处于静止状态。若小车以
的加速度向右加速运动，取 ，则( )。
A
A.物体受到的弹簧拉力不变 B.物体 相对小车向左运动
C.物体相对小车向右运动 D.物体 受到的摩擦力增大
解析 由题意得弹簧的拉力为时，物体 处于静止状态，此时物
体受到的摩擦力大小为 ，且为静摩擦力，方向水平向左，故物
体与小车的上表面间的最大静摩擦力 ，若小车以
的加速度向右加速运动，物体 运动需要的合力
，可知此时小车对物体的摩擦力大小为 ，方向
向右，且为静摩擦力，所以物体 相对于小车仍然静止，受到的弹
簧拉力不变，受到的摩擦力减小，A项正确。
考向2 “静—动”突变
物体在静摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化
时，如果物体不能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”
成滑动摩擦力。
例11 如图所示，粗糙长木板 的一端通过铰链固定
在墙壁上，木块放在木板上，开始时木板处于水
平位置。在木板向下转动， 角逐渐增大的过程
B
A. B. C. D.
中，木块始终未离开木板。下列关于摩擦力的大小随 角变化的
图像中最有可能的是( )。
解析 当为静摩擦力时， ，即 按正弦规律变化；当
木块滑动后，为滑动摩擦力， ，即 按余
弦规律变化，B项正确。
考向3 “动—静”突变
在滑动摩擦力和其他力作用下，做减速运动的物体突然停止滑行
时，物体将不再受滑动摩擦力作用，滑动摩擦力“突变”为静摩擦力。
例12 如图所示，把一所受重力为 的物体，用一水平
方向的推力（为恒量， 为时间）压在竖直的
足够高的平整墙上。从 开始，物体所受的摩擦力
随时间 变化的关系是图中的( )。
B
A. B. C. D.
解析 物体在竖直方向上只受重力和摩擦力的作用，由于 从零
开始均匀增大，开始一段时间，物体加速下滑；当 时，
物体的速度达到最大值；之后 ，物体向下做减速运动，直至
减速为零。在整个运动过程中，摩擦力为滑动摩擦力，其大小
，即与 成正比，是一条过原点的倾斜直线。
当物体速度减为零后，滑动摩擦力突变为静摩擦力，其大小 ，
所以物体静止后的图线为平行于 轴的直线，B项正确。
考向4 “动—动”突变
（1）在滑动摩擦力作用下运动至共同速度后，如果在静摩擦
力作用下不能保持相对静止，则物体还是受滑动摩擦力作用，且其
方向发生改变。
（2）研究传送带问题时，物体和传送带的速度相等的时刻往
往是摩擦力的大小、方向和物体的运动性质发生改变的临界点。
例13 （多选）某倾斜的传送带如
图1所示，其正以恒定的速度 沿
顺时针方向转动，传送带的倾角
为 。一物块以初速度 从传
送带的底部冲上传送带并沿传送带向上运动，物块到传送带顶端的
速度恰好为零，其运动的 图像如图2所示，已知重力加速度
，， ，则下列判断正确的是
( )。
A.传送带的速度为
B.传送带底端到顶端的距离为
C.物块与传送带间的动摩擦因数为0.1
D.物块所受摩擦力的方向一直与物块运动的方向相反
√
√
解析 根据图像可知，物块在 内向上做减速运动，当减
速到与传送带速度相同时，由于重力沿传送带向下的分力大于传送
带给它的向上的滑动摩擦力，物块继续向上做减速运动，因此可以
判断传送带的速度为 ，A项正确；传送带底端到顶端的距离为
图像与坐标轴包围的面积，计算可得距离为 ，B项正确；
内由牛顿第二定律可得 ，
内有，解得 ，C项错误；
在 内，摩擦力方向与物块运动方向相同，D项错误。
摩擦角问题
物体之间的滑动摩擦力与弹力总是垂直
且成正比，如图所示。将支持力 与滑动摩
擦力的合力叫作全反力。则全反力 与支
持力之间的夹角 是一个定值，这个角叫
摩擦角。摩擦角只取决于动摩擦因数，即全反力的大小可变，但方
向不变。
情况2：摩擦自锁问题
例14 （2024·河南模拟）如图所示，足够长的
固定斜面倾角为 ，质量为 的滑块在拉力
的作用下沿斜面向下做匀速直线运动。已知
D
A.拉力应垂直于斜面向上 B.拉力 应沿着水平方向
C.拉力的最小值为 D.拉力的最小值小于
滑块与斜面之间的动摩擦因数 ，重力
加速度大小为，为了使拉力 最小，下列说法正确的是( )。
解析 为了使拉力最小，设拉力与斜面的夹角为 ，对滑块受力
分析，根据平衡条件有
，变形可得
，应用辅助角公式有
，，当 时，拉
力最小且，D项正确，C项错误；由 ，
，可知，所以 ，A、B两项错误。第1讲　重力　弹力　摩擦力
【复习目标】
1.掌握重力的大小、方向及重心的概念。
2.掌握弹力的有无、方向的判断及弹力大小的计算方法，理解并掌握胡克定律。
3.会判断摩擦力的方向，会计算摩擦力的大小。
基础点1　重力和重心
1.产生
由于地球的吸引而使物体受到的力。
2.大小
G=mg。
3.方向
总是竖直向下。
4.重心
因为物体各部分都受重力的作用，从效果上看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫作物体的重心，其位置与物体的质量分布和形状有关。
(2022·1月浙江卷)如图所示，公园里有一仿制我国古代欹器的U形水桶，桶可绕水平轴转动，水管口持续有水流出，过一段时间桶会翻转一次，决定桶能否翻转的主要因素是(　　)。
A.水桶自身重力的大小
B.水管每秒出水量的大小
C.水流对桶撞击力的大小
D.水桶与水整体的重心高低
　基础点2　弹力的分析和计算
【必备知识·系统梳理】
1.弹力的产生条件
①　　　　；②　　　　。
2.弹力的方向
3.胡克定律
(1)内容：弹簧发生弹性形变时，弹力大小F跟弹簧伸长(或缩短)的长度x成③　　　　。
(2)公式：④　　　　，其中k为弹簧的劲度系数，单位为牛顿每米，符号N/m，它的大小反映了弹簧的软硬程度。
(3)适用条件：⑤　 。
画一画
作出下列图中A物体受到的弹力。
【关键能力·对点突破】
考向1　弹力的有无与方向判断
弹力有无的判断方法
(多选)在下列图中，a、b表面均光滑，且a、b均处于静止状态，天花板和地面均水平。a、b间一定有弹力的是(　　)。
A. B. C. D.
考向2　弹力的分析与计算
弹簧——应用胡克定律计算 平衡体——应用平衡条件计算 非平衡体——应用牛顿第二定律计算
(1)由F=kx计算，其中x为弹簧的形变量。 (2)弹簧串联时，各弹簧的弹力大小相等，弹簧的形变量一般不同。 (3)弹簧并联时，各弹簧的形变量相等，弹力一般不同 (1)对物体受力分析，明确是二力平衡还是多力平衡，画出受力图。 (2)应用物体的平衡条件，借助力的平行四边形定则及三角函数知识求解 (1)对物体受力分析，画出受力示意图。 (2)应用牛顿第二定律，沿加速度的方向和垂直于加速度的方向列方程。 (3)求解弹力的大小和方向，并判断结果的合理性
在一次蹦极中，质量为50 kg的蹦极者运动到最低点时弹性绳绳长为42 m，停止振荡时弹性绳绳长为24 m。若该蹦极者所用弹性绳的原长为18 m，劲度系数认为不变，重力加速度g取10 m/s2。求蹦极者运动到最低点时受到弹性绳的拉力大小。

(2023·山东卷)餐厅暖盘车的储盘装置示意图如图所示，三根完全相同的弹簧等间距竖直悬挂在水平固定圆环上，下端连接托盘。托盘上叠放若干相同的盘子，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平。已知单个盘子的质量为300 g，相邻两盘间距1.0 cm，重力加速度大小取10 m/s2。弹簧始终在弹性限度内，每根弹簧的劲度系数为(　　)。
A.10 N/m
B.100 N/m
C.200 N/m
D.300 N/m
考向3　轻绳、轻杆、弹性绳、轻质弹簧的比较
轻绳 轻杆 弹性绳 轻质弹簧
受外力作用时形变的种类 拉伸形变 拉伸形变、压缩形变、弯曲形变 拉伸形变 拉伸形变、压缩形变
受外力作用时形变量大小 微小，可忽略 微小，可忽略 较大，不可忽略 较大，不可忽略
弹力方向 沿着绳，指向绳收缩的方向 既能沿着杆，也可以跟杆成任意角度 沿着绳，指向绳收缩的方向 沿着弹簧，指向弹簧恢复原长的方向
弹力大小变化情况 可以突变 可以突变 不能突变 不能突变
如图所示，位于水平面上的小车，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有质量为m的小球，重力加速度为g。现使小车以加速度a(a≠0)向右做匀加速直线运动，下列说法正确的是(　　)。
A.杆对小球的弹力一定竖直向上
B.杆对小球的弹力一定沿杆斜向上
C.杆对小球的弹力大小为mg
D.杆对小球的弹力大小为
思维拓展：若要使杆对小球产生的弹力沿杆方向，则小车的运动状态应满足什么条件
1.(2024·江苏盐城阶段练习)如图所示，每个钩码重1.0 N，其中钩码C挂在B下并与地面接触。弹簧测力计自身质量、绳子质量和摩擦不计。整个装置静止时，弹簧伸长了5 cm(在弹簧的弹性限度内)。下列说法正确的是(　　)。
A.钩码B对C有向下的压力
B.钩码C受到地面的支持力，是由于C发生了形变
C.该弹簧测力计的示数为1.0 N
D.该弹簧的劲度系数为40 N/m
基础点3　摩擦力的分析与计算
【必备知识·系统梳理】
1.定义
两个相互接触的物体，当它们发生相对运动或具有相对运动的趋势时，在接触面上会产生阻碍⑥　　　　或⑦　　　　的力。
2.产生条件
(1)接触面⑧　　　　。
(2)接触处⑨　　　　。
(3)两物体间有⑩　　　　或　　　　。
3.方向
与受力物体　　　　或　　　　的方向相反。
4.大小
(1)滑动摩擦力：Ff=　　　　，μ为动摩擦因数。
(2)静摩擦力：　　　　5.弹力与摩擦力的关系
若两物体间有摩擦力，则两物体间　　　　弹力；若两物体间有弹力，则两物体间　　　　摩擦力。(均选填“一定有”或“不一定有”)
判一判
1.只有静止的物体才受到静摩擦力。 (　　)
2.静止的物体可以受到滑动摩擦力。 (　　)
【关键能力·对点突破】
考向1　静摩擦力的分析与计算
1.物体处于平衡状态(静止或匀速直线运动)，利用力的平衡条件来判断静摩擦力的大小。
2.物体有加速度时，若只受静摩擦力，则Ff=ma。若除受静摩擦力外，还受其他力，则F合=ma，先求合力再求静摩擦力。
质量为2 kg的木箱静止在水平地面上。木箱与地面间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等，取重力加速度g=10 N/kg。现给木箱一水平拉力。
(1)当拉力大小为5 N时，地面对木箱的摩擦力是多大
(2)当拉力大小为12 N时，地面对木箱的摩擦力是多大
(3)此后若将拉力减小为5 N(木箱仍在滑动)，地面对木箱的摩擦力是多大
(2024·山东卷)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于(　　)。
A. B. C. D.
考向2　滑动摩擦力的分析与计算
应用Ff=μFN时要注意以下几点：
(1)μ为动摩擦因数，其大小与接触面的材料、表面的粗糙程度有关；FN为两接触面的正压力，其大小不一定等于物体的重力。
(2)滑动摩擦力的大小与物体的运动速度和接触面的面积均无关；其方向一定与物体间相对运动方向相反，与物体运动(对地)的方向不一定相反。
如图所示，在水平面上向右运动的物体，所受重力为200 N，物体和水平面之间的动摩擦因数为0.1，在运动过程中，物体还受到一个水平向左、大小为10 N的拉力作用，求物体受到的摩擦力大小。
(2024·广西卷)工人卸货时常利用斜面将重物从高处滑下。如图，三个完全相同的货箱正沿着表面均匀的长直木板下滑，货箱各表面材质和粗糙程度均相同。若1、2、3号货箱与直木板间摩擦力的大小分别为Ff1、Ff2和Ff3，则(　　)。
A.Ff1C.Ff1=Ff3思维拓展：若三个货箱质量满足m1>m2>m3且μ=tan θ，则三个货箱是否能静止在斜面上

【归纳总结】摩擦力大小的计算方法　
重难点　摩擦力突变问题
【必备知识·系统梳理】
考向1　“静—静”突变
物体在摩擦力和其他力的作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发生变化时，如果物体仍然保持静止状态，则物体受到的静摩擦力的大小和方向将发生突变。
如图所示，将质量为10 kg的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧的拉力为6 N时，物体A处于静止状态。若小车以0.8 m/s2的加速度向右加速运动，g取10 m/s2，则(　　)。
A.物体A受到的弹簧拉力不变
B.物体A相对小车向左运动
C.物体A相对小车向右运动
D.物体A受到的摩擦力增大
考向2　“静—动”突变
物体在静摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力。
如图所示，粗糙长木板l的一端通过铰链固定在墙壁上，木块放在木板上，开始时木板处于水平位置。在木板向下转动，θ角逐渐增大的过程中，木块始终未离开木板。下列关于摩擦力Ff的大小随θ角变化的图像中最有可能的是(　　)。
A.
B.
C.
D.
考向3　“动—静”突变
在滑动摩擦力和其他力作用下，做减速运动的物体突然停止滑行时，物体将不再受滑动摩擦力作用，滑动摩擦力“突变”为静摩擦力。
如图所示，把一所受重力为G的物体，用一水平方向的推力F=kt(k为恒量，t为时间)压在竖直的足够高的平整墙上。从t=0开始，物体所受的摩擦力Ff随时间t变化的关系是图中的(　　)。
A.
B.
C.
D.
考向4　“动—动”突变
(1)在滑动摩擦力作用下运动至共同速度后，如果在静摩擦力作用下不能保持相对静止，则物体还是受滑动摩擦力作用，且其方向发生改变。
(2)研究传送带问题时，物体和传送带的速度相等的时刻往往是摩擦力的大小、方向和物体的运动性质发生改变的临界点。
(多选)某倾斜的传送带如图1所示，其正以恒定的速度v沿顺时针方向转动，传送带的倾角为37°。一物块以初速度v0从传送带的底部冲上传送带并沿传送带向上运动，物块到传送带顶端的速度恰好为零，其运动的v-t图像如图2所示，已知重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列判断正确的是(　　)。
A.传送带的速度为4 m/s
B.传送带底端到顶端的距离为32 m
C.物块与传送带间的动摩擦因数为0.1
D.物块所受摩擦力的方向一直与物块运动的方向相反
摩擦角问题
物体之间的滑动摩擦力与弹力总是垂直且成正比，如图所示。将支持力FN与滑动摩擦力Ff的合力叫作全反力。则全反力F全与支持力FN之间的夹角α是一个定值，这个角叫摩擦角。摩擦角只取决于动摩擦因数，即全反力的大小可变，但方向不变。
情况1：拉力F的极值 情况2：摩擦自锁问题
在拉力F由水平变成竖直过程中，若物体始终处于平衡状态，则拉力F先减小后增大。 结论：当拉力与全反力垂直时，拉力最小 摩擦角为θ，外力F作用在物体上 结论：当所加推力F与支持力FN反方向的夹角β≤θ时，无论推力F多大，都不能推动物体在平面(斜面)上运动
(2024·河南模拟)如图所示，足够长的固定斜面倾角为30°，质量为m的滑块在拉力F的作用下沿斜面向下做匀速直线运动。已知滑块与斜面之间的动摩擦因数μ=，重力加速度大小为g，为了使拉力F最小，下列说法正确的是(　　)。
A.拉力F应垂直于斜面向上
B.拉力F应沿着水平方向
C.拉力F的最小值为mg
D.拉力F的最小值小于mg
参考答案
必备知识　系统梳理
①相互接触　②发生弹性形变　③正比　④F=kx　⑤在弹簧的弹性限度内　⑥相对运动　⑦相对运动趋势　⑧粗糙　⑨有压力　⑩相对运动　相对运动趋势　相对运动　相对运动趋势　μFN　0
Fmax　一定有　不一定有
画一画
判一判
1.×　2.√
关键能力　对点突破
【例1】D　【解析】　水管口持续有水流出而过一段时间桶会翻转一次，说明装的水到一定量之后，会导致水桶与水整体的重心往上移动，竖直向下的重力作用线偏离中心转轴，使水桶不能稳定平衡，发生翻转，D项正确。
【例2】BC　【解析】　图A中a、b无相互挤压，没有发生形变，a、b间无弹力，A项错误；图B中细绳偏离竖直方向，则a、b相互挤压，a、b间有弹力，B项正确；图C中a、b间有弹力，且弹力方向垂直于a、b的接触面，C项正确；图D中假设a、b间有弹力，b对a的弹力垂直于斜面斜向上，a不可能静止，则a、b间无弹力，D项错误。
【例3】2 000 N
【解析】　设弹性绳的劲度系数为k，则停止振荡时，蹦极者所受重力和弹性绳的弹力二力平衡，即mg=k(l1-l0)，解得k= N/m，蹦极者到达最低点时，弹性绳的弹力F=k(l2-l0)=2 000 N。
【例4】B　【解析】　由题知，取走一个盘子，稳定后余下的正好升高补平，则说明一个盘子的重力可以使弹簧形变量为相邻两盘间距，则有mg=3kx，解得k=100 N/m，B项正确。
【例5】D
　【解析】　对小球受力分析如图所示，由图可知，当a大小不同时，杆上的弹力与竖直方向的夹角也不同，方向不一定沿杆，但弹力方向一定斜向上，A、B两项错误；由几何关系可知，杆对小球的弹力大小F=，C项错误，D项正确。
思维拓展
小车向右匀加速运动或向左匀减速运动，且加速度大小a=gtan θ
【解析】　若要使杆的弹力沿杆方向，则小车加速度方向只能水平向右且杆的弹力沿杆方向需满足tan θ=，故小车的加速度大小a=gtan θ，小车需向右匀加速运动或向左匀减速运动。
【巩固训练】
1.C　【解析】　对弹簧的左侧受力分析可知，弹簧一端受到的拉力大小为1.0 N，则该弹簧测力计的示数为1.0 N，C项正确；由于弹簧弹力为1.0 N，则对弹簧右侧受力分析可知，钩码B、C之间无相互作用力，A项错误；钩码C受到地面的支持力，是由于地面发生了形变，B项错误；根据胡克定律可知k== N/m=20 N/m，D项错误。
【例6】(1)5 N　(2)10 N　(3)10 N
【解析】　木箱与地面间的最大静摩擦力fmax=μmg=0.5×2×10 N=10 N
(1)当拉力F=5 N时，F(2)当拉力F=12 N时，F>fmax，木箱滑动，则f=μmg=0.5×2×10 N=10 N。
(3)当拉力减小为5 N，木箱仍滑动，受到的仍然为滑动摩擦力，故f=μmg=0.5×2×10 N=10 N。
【例7】B　【解析】　根据题意可知机器人”天工”可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对”天工”分析有mgsin 30°≤μmgcos 30°，可得μ≥tan 30°=，B项正确。
【例8】20 N，方向水平向左
【解析】　物体相对地面运动，则受到地面对它的滑动摩擦力作用，受力分析如图所示
滑动摩擦力大小f=μN，又N=mg，联立两式，代入数据求得f=20 N，滑动摩擦力的方向与相对运动方向相反，故地面对它的滑动摩擦力方向水平向左。
【例9】D　【解析】　根据滑动摩擦力的公式f=μFN，可知滑动摩擦力的大小与接触面积无关，只与接触面的粗糙程度和压力大小有关，由题可知三个货箱各表面材质和粗糙程度均相同，压力大小也相同，故摩擦力相同，即Ff1=Ff2=Ff3，D项正确。
思维拓展
均能静止
【解析】　根据受力分析可知，若要判断货箱是否下滑，则需比较重力沿斜面分力与最大静摩擦力大小，根据条件可知mgsin θ=μmgcos θ，即μ=tan θ，故与物体质量无关，三个货箱均可静止在斜面上。
【例10】A　【解析】　由题意得弹簧的拉力为6 N时，物体A处于静止状态，此时物体A受到的摩擦力大小为6 N，且为静摩擦力，方向水平向左，故物体A与小车的上表面间的最大静摩擦力Fmax≥6 N，若小车以0.8 m/s2的加速度向右加速运动，物体A运动需要的合力F合=ma=8 N，可知此时小车对物体A的摩擦力大小为2 N，方向向右，且为静摩擦力，所以物体A相对于小车仍然静止，受到的弹簧拉力不变，受到的摩擦力减小，A项正确。
【例11】B　【解析】　当Ff为静摩擦力时，Ff=mgsin θ，即Ff按正弦规律变化；当木块滑动后，Ff为滑动摩擦力，Ff=μFN=μmgcos θ，即Ff按余弦规律变化，B项正确。
【例12】B　【解析】　物体在竖直方向上只受重力G和摩擦力Ff的作用，由于Ff从零开始均匀增大，开始一段时间FfG，物体向下做减速运动，直至减速为零。在整个运动过程中，摩擦力为滑动摩擦力，其大小Ff=μFN=μF=μkt，即Ff与t成正比，是一条过原点的倾斜直线。当物体速度减为零后，滑动摩擦力突变为静摩擦力，其大小Ff=G，所以物体静止后的图线为平行于t轴的直线，B项正确。
【例13】AB　【解析】　根据v-t图像可知，物块在0~2 s内向上做减速运动，当减速到与传送带速度相同时，由于重力沿传送带向下的分力大于传送带给它的向上的滑动摩擦力，物块继续向上做减速运动，因此可以判断传送带的速度为4 m/s，A项正确；传送带底端到顶端的距离为v-t图像与坐标轴包围的面积，计算可得距离为32 m，B项正确；0~2 s内由牛顿第二定律可得gsin θ+μgcos θ=10 m/s2，2 s~4 s内有gsin θ-μgcos θ=2 m/s2，解得μ=0.5，C项错误；在2 s~4 s内，摩擦力方向与物块运动方向相同，D项错误。
【例14】D　【解析】　为了使拉力F最小，设拉力F与斜面的夹角为α，对滑块受力分析，根据平衡条件有mgsin 30°+Fcos α=μ(mgcos 30°-Fsin α)，变形可得μFsin α+Fcos α=μmgcos 30°-mgsin 30°，应用辅助角公式有Fsin (α+β)=mg，tan β=，当α+β=90°时，拉力F最小且F=mg，D项正确，C项错误；由tan β=，μ=，可知tan β=>，所以β>30°，A、B两项错误。

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