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专题强化3　动态平衡问题　平衡中的临界、极值问题
【复习目标】
1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。
2.会分析平衡中的临界与极值问题。
考向1　动态平衡问题
考法一　解析法
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
(2024·山东青岛期末)如图，货车车厢内装有3根粗细相同的匀质圆木，圆木A、B紧挨着，圆木C叠放在A、B上。货车司机启动液压系统，使车厢底板由水平位置缓慢倾斜，直到圆木滑离底板到达地面，从而完成卸货。从启动液压系统到圆木开始滑离车厢底板的过程中，不考虑C与A、B间的摩擦力，关于A对C的支持力F1和B对C的支持力F2，下列说法正确的是(　　)。
A.F1和F2的合力方向始终与车厢底板垂直
B.F1增大、F2减小
C.F1减小、F2增大
D.F1减小、F2先增大后减小
考法二　图解法
类别 特点 图示分析 说明
图解法 一个力恒定，另外一个力方向不变 将各力构成闭合的矢量三角形，利用不同状态下的动态平行四边形，通过分析各边变化，从而确定力的大小及方向的变化情况
半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有竖直挡板MN。在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态。这个装置的纵截面图如图所示。若用外力使MN保持竖直并缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止。在此过程中，下列说法正确的是(　　)。
A.MN对Q的弹力逐渐减小
B.地面对P的摩擦力逐渐增大
C.P、Q间的弹力先减小后增大
D.Q受到P和MN的合力逐渐增大
考法三　相似三角形
类别 特点 图示分析 说明
相似三角形法 一个恒力，另外两力方向一直变化，且题目中有几何三角形 利用相似三角形的比例关系列式，即== 通过分析几何三角形的边的变化得到相应力的变化
(2024·新疆乌鲁木齐期末)(多选)如图所示，一质量为m、半径为r的光滑球A用细绳悬挂于O点。另一质量为M、半径为R的半球形物体B被夹在竖直墙壁和A之间。B的球心到O点之间的距离为h，A、B的球心在同一水平线上，A、B处于静止状态。重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)。
A.B对A的支持力大小为mg
B.竖直墙壁对B的摩擦力可能为零
C.轻轻把B向下移动一点距离，若A、B再次保持静止，则B对A的支持力大小保持不变，细绳拉力增大
D.轻轻把B向下移动一点距离，若A、B再次保持静止，则B对A的支持力减小，细绳拉力减小
考法四　正弦定理(拉密定理)法
类别 特点 图示分析 说明
正弦定理（拉密定理）法 法一个恒力，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变 任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即== 利用夹角正弦值的变化得到相应力的变化
(2024·四川宜宾模拟)(多选)如图1所示，工人用推车运送石球，到达目的地后，缓慢抬起把手将石球倒出(图2)。若石球与板OB、OA之间的摩擦不计，∠AOB=60°，图1中BO与水平面的夹角为30°，则在抬起把手使OA变为水平的过程中，石球对OB的压力N1、对OA的压力N2的大小变化情况是(　　)。
A.N1变小 B.N1变大
C.N2先变大后变小 D.N2先变小后变大
思维拓展：求N2的最大值。
考向2　平衡中的临界、极值问题
(2024·湖北黄冈模拟预测)如图所示，用一根轻质细绳将一重力大小为10 N的画框对称地悬挂在墙壁上，画框上两个挂钉间的距离为0.5 m。已知绳能承受的最大张力为10 N，为使绳不断裂，绳子的最短长度为(　　)。
A.0.5 m B.1.0 m C. m D. m
【归纳总结】
极限分析法 先进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小
数学分析法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)
图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值
1.(2024·海南一模)如图所示，倾角θ=30°的斜劈固定在水平面上。长木板A与物体B用质量不计的细线跨过光滑的定滑轮后拴接在一起。A的下表面光滑，A、B的质量分别为2 kg、1 kg，重力加速度g取10 m/s2。假设A、B之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当整个装置静止时，A、B间的动摩擦因数可能为(　　)。
A. B. C. D.
2.(2024·重庆阶段练习)质量均为m的两物块A、B之间连接着一个轻质弹簧，其劲度系数为k，再将物块A、B放在斜面上的等高处，斜面体底面水平，如图所示，弹簧处于压缩状态，且物块与斜面均能保持静止。已知斜面的倾角为θ，两物块和斜面间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)。
A.斜面和水平地面间有静摩擦力
B.斜面对A、B组成系统的摩擦力的合力为2μmgcos θ
C.若将弹簧拿掉，物块有可能发生滑动
D.弹簧的最大压缩量为
3.(2024·浙江杭州期末)如图所示，质量m=50 kg的杂技演员利用动滑轮(图中未画出)悬挂在细绳上以完成各种杂技表演。绳子一端固定在竖直杆上的a点，另一端通过定滑轮与静止在粗糙水平地面上质量M=220 kg的物体连接。当杂技演员静止不动时，定滑轮两侧细绳与水平方向的夹角分别为α=30°，β=37°。细绳不可伸长，不计绳子质量、动滑轮质量以及滑轮与细绳间的摩擦，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g=10 m/s2。
(1)求杂技演员静止在最低点时，绳子张力的大小。
(2)求杂技演员静止在最低点时，水平地面对物体的支持力大小和摩擦力大小。
(3)保持定滑轮和物体位置不变，将竖直杆往左侧移动，滑轮左侧细绳与水平方向的夹角α减小，为了不让物体发生滑动，sin α的最小值为0.25，求物体与水平地面间的动摩擦因数μ。
参考答案
【例1】C
　【解析】　对C受力分析，由于车厢底板由水平位置缓慢倾斜，则C处于平衡状态，C受到重力、A对C的支持力F1和B对C的支持力F2，如图所示，运动过程中，F1与竖直方向的夹角逐渐增大，故F1减小，F2增大，F1和F2的合力方向始终与重力方向相反，C项正确。
【例2】
B　【解析】　对小圆柱体Q受力分析，如图所示，P对Q的弹力为F，MN对Q的弹力为FN，挡板MN向右运动时，F和竖直方向的夹角逐渐增大，由图可知，F和FN都在不断增大，而圆柱体所受重力大小不变，所以F和FN的合力大小不变，A、C、D三项错误；对P、Q整体受力分析知，地面对P的摩擦力大小等于FN，所以地面对P的摩擦力逐渐增大，B项正确。
【例3】AD　【解析】　分析A的受力情况，如图甲所示，N与mg的合力与T等大反向共线，根据两个阴影三角形相似得==，解得N=mg，T=OA，A项正确；B在竖直方向受到重力，A、B之间光滑，则由平衡条件知竖直墙壁对B的摩擦力一定不为0，B项错误；当只轻轻把B向下移动一点距离，分析A的受力情况，如图乙所示，N与T的合力与mg等大反向共线，根据两个阴影三角形相似得==，可得N=mg，T=OA，由于L>h，可知N减小，T减小，C项错误，D项正确。
【例4】
AC　【解析】　以石球为研究对象，受力如图所示，缓慢抬起过程中，石球受力平衡，根据拉密定理得==，其中G和α不变，在转动过程中β从90°增大到180°，则sin β不断变小，N1将不断变小；γ从150°减小到60°，其中跨过了90°，因此sin γ先变大后变小，则N2将先变大后变小。A、C两项正确。
思维拓展
G
【解析】　根据拉密定理可得N2=，故当γ=90°时，N2最大，为G。
【例5】C
　【解析】　对画框受力分析如图，其受到重力mg和两个大小相等的细绳拉力F的作用而处于静止状态，当F=Fmax=10 N，对应于细绳不被拉断的最小长度L，作细绳拉力的合力F合，如图，由平衡条件得F合=10 N，所以两绳拉力的夹角是120°，绳子的最小长度L== m，C项正确。
【巩固训练】
1.C　【解析】　当A、B刚好相对静止时，动摩擦因数最小；由于A的质量大，则A有下滑趋势，B有上滑趋势。对B，由平衡条件得mBgsin θ+μmBgcos θ-T=0，对A，同理得mAgsin θ-(μmBgcos θ+T)=0，联立解得μ=，则A、B间的动摩擦因数大于或等于，C项正确。
【巩固训练】
2.D　【解析】　以A、B两物块，轻质弹簧和斜面组成的整体为研究对象，进行受力分析知，整体只在竖直方向上受重力及地面的支持力，没有沿水平方向的相对运动趋势，故斜面与地面间没有摩擦力作用，A项错误；以A、B组成的系统为研究对象，摩擦力合力等于重力沿斜面的分力，即f=2mgsin θ，B项错误；以A为研究对象进行受力分析，如图甲所示，F弹和mgsin θ的合力与fA大小相等、方向相反，当撤去弹簧，对A受力分析如图乙所示，则fA'=mgsin θ，fA'【巩固训练】
3.(1)500 N　(2)1 900 N　400 N　(3)0.5
【解析】　(1)对动滑轮分析，如图甲所示
甲
根据受力平衡可得
2FTsin α=mg
解得FT=500 N。
(2)对物体分析，如图乙所示
乙
由受力平衡可得
FTsin β+FN=Mg
Ff=FTcos β
解得FN=1 900 N，Ff=400 N。
(3)物体恰好要开始滑动时，有
FT'cos β=μ(Mg-FT'sin β)
对动滑轮分析有
sin α==
联立解得物体与水平地面间的动摩擦因数μ=0.5。
(共31张PPT)
专题强化3 动态平衡问题 平衡中的
临界、极值问题
复习目标 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。
2.会分析平衡中的临界与极值问题。
考向1 动态平衡问题
考法一 解析法
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的
平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式（通常要用到三角函
数），最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
例1 （2024·山东青岛期末）如图，货车车厢内装有3根粗细相同的
匀质圆木，圆木、紧挨着，圆木叠放在、 上。货车司机启动
液压系统，使车厢底板由水平位置缓慢倾斜，直到圆木滑离底板到
达地面，从而完成卸货。从启动液压系统到圆木开始滑离车厢底板
的过程中，不考虑与、间的摩擦力，关于对的支持力和
对的支持力 ，下列说法正确的是( )。
A.和 的合力方向始终与车厢底
板垂直
B.增大、 减小
C.减小、 增大
D.减小、 先增大后减小
√
解析 对 受力分析，由于车厢底板由水平位
置缓慢倾斜，则处于平衡状态， 受到重
力、对的支持力和对的支持力 ，
如图所示，运动过程中， 与竖直方向的夹
角逐渐增大，故减小，增大，和 的合力方向始终与重力方
向相反，C项正确。
考法二 图解法
类别 特点 图示 分析说明
图解 法 一个力恒 定，另外一 个力方向不 变 _____________________ 将各力构成闭合的矢量三角形，利用
不同状态下的动态平行四边形，通过
分析各边变化，从而确定力的大小及
方向的变化情况
例2 半圆柱体放在粗糙的水平地面上，其右端有竖直挡板 。在
和之间放有一个光滑均匀的小圆柱体 ，整个装置处于静止状
态。这个装置的纵截面图如图所示。若用外力使 保持竖直并缓
慢地向右移动，在落到地面以前，发现 始终保持静止。在此过程
中，下列说法正确的是( )。
B
A.对 的弹力逐渐减小
B.地面对 的摩擦力逐渐增大
C.、 间的弹力先减小后增大
D.受到和 的合力逐渐增大
解析 对小圆柱体受力分析，如图所示，对 的
弹力为，对的弹力为，挡板 向右运
动时， 和竖直方向的夹角逐渐增大，由图可
知，和 都在不断增大，而圆柱体所受重力大
小不变，所以和 的合力大小不变，A、C、D
三项错误；对、整体受力分析知，地面对的摩擦力大小等于 ，
所以地面对 的摩擦力逐渐增大，B项正确。
考法三 相似三角形
类别 特点 图示 分析说明
相似 三角 形法 一个恒力，另外 两力方向一直变 化，且题目中有 几何三角形 ___________________________
例3 （2024·新疆乌鲁木齐期末）（多选）如图所示，一质量为 、
半径为的光滑球用细绳悬挂于点。另一质量为、半径为 的
半球形物体被夹在竖直墙壁和之间。的球心到 点之间的距离
为，、的球心在同一水平线上，、 处于静止状态。重力加速
度为 。下列说法正确的是( )。
A.对的支持力大小为
B.竖直墙壁对 的摩擦力可能为零
C.轻轻把向下移动一点距离，若、 再次保持静止，
则对 的支持力大小保持不变，细绳拉力增大
D.轻轻把向下移动一点距离，若、 再次保持静止，
则对 的支持力减小，细绳拉力减小
√
√
解析 分析的受力情况，如图甲所示，与
的合力与 等大反向共线，根据两个阴影三角
形相似得，解得 ，
，A项正确； 在竖直方向受到重
力，、之间光滑，则由平衡条件知竖直墙壁对 的摩擦力一定不
为0，B项错误；当只轻轻把向下移动一点距离，分析 的受力情
况，如图乙所示，与的合力与 等大反向共线，根据两个阴影
三角形相似得，可得， ，由于
，可知减小， 减小，C项错误，D项正确。
考法四 正弦定理（拉密定理）法
类别 特点 图示 分析说明
正弦 定理 （拉 密定 理） 法 一个恒 力，另外 两力方向 一直变 化，但两 力的夹角 不变 ____________________________________________________________
例4 （2024·四川宜宾模拟）
（多选）如图1所示，工人用推车
运送石球，到达目的地后，缓慢抬
起把手将石球倒出（图2）。若石
AC
A.变小 B. 变大
C.先变大后变小 D. 先变小后变大
球与板、之间的摩擦不计， ，图1中 与水平
面的夹角为 ，则在抬起把手使 变为水平的过程中，石球对
的压力、对的压力 的大小变化情况是( )。
解析 以石球为研究对象，受力如图所示，缓慢
抬起过程中，石球受力平衡，根据拉密定理得
，其中和 不变，在转动过
程中 从 增大到 ，则 不断变小，
将不断变小； 从 减小到 ，其中跨过了 ，因此
先变大后变小，则 将先变大后变小。A、C两项正确。
求 的最大值。
答案
解析 根据拉密定理可得，故当 时， 最大，
为 。
考向2 平衡中的临界、极值问题
例5 （2024·湖北黄冈模拟预测）如图所示，用
一根轻质细绳将一重力大小为 的画框对称地
悬挂在墙壁上，画框上两个挂钉间的距离为
。已知绳能承受的最大张力为 ，为
使绳不断裂，绳子的最短长度为( )。
C
A. B. C. D.
解析 对画框受力分析如图，其受到重力 和两个大
小相等的细绳拉力 的作用而处于静止状态，当
，对应于细绳不被拉断的最小长度 ，
作细绳拉力的合力 ，如图，由平衡条件得
，所以两绳拉力的夹角是 ，绳子的最
小长度 ，C项正确。
归纳总结
极限分 析法 先进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极
值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研
究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小
数学分 析法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关
系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数
极值、公式极值、三角函数极值）
图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分
析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最
小值
1.（2024·海南一模）如图所示，倾角 的
斜劈固定在水平面上。长木板与物体 用质量不
计的细线跨过光滑的定滑轮后拴接在一起。 的下
C
A. B. C. D.
表面光滑，、的质量分别为、，重力加速度取 。
假设、 之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当整个装置静止
时，、 间的动摩擦因数可能为( )。
解析 当、刚好相对静止时，动摩擦因数最小；由于 的质量大，
则有下滑趋势，有上滑趋势。对 ，由平衡条件得
，对 ，同理得
，联立解得，则、 间的
动摩擦因数大于或等于 ，C项正确。
2.（2024·重庆阶段练习）质量均为 的两
物块、 之间连接着一个轻质弹簧，其劲
度系数为，再将物块、 放在斜面上的
等高处，斜面体底面水平，如图所示，弹簧处于压缩状态，且物块
与斜面均能保持静止。已知斜面的倾角为 ，两物块和斜面间的动
摩擦因数均为 ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为
。下列说法正确的是( )。
A.斜面和水平地面间有静摩擦力
B.斜面对、组成系统的摩擦力的合力为
C.若将弹簧拿掉，物块有可能发生滑动
D.弹簧的最大压缩量为
√
解析 以、 两物块，轻质弹簧和斜面组成的整体为研究对象，进
行受力分析知，整体只在竖直方向上受重力及地面的支持力，没有
沿水平方向的相对运动趋势，故斜面与地面间没有摩擦力作用，A
项错误；以、 组成的系统为研究对象，摩擦力合力等于重力沿斜
面的分力，即 ，B项错误；以 为研究对象进行受力
分析，如图甲所示，和 的合力与 大小相等、方向相反，
当撤去弹簧，对受力分析如图乙所示，则 ，
，所以物块不可能发生滑动，C项错误；当摩擦力最大时弹
簧有最大压缩量，由于 ，则
，解得 ，D项
正确。
3.（2024·浙江杭州期末）如图所示，
质量 的杂技演员利用动滑轮
（图中未画出）悬挂在细绳上以完成各
种杂技表演。绳子一端固定在竖直杆上的 点，另一端通过定滑轮
与静止在粗糙水平地面上质量 的物体连接。当杂技演员
静止不动时，定滑轮两侧细绳与水平方向的夹角分别为 ，
。细绳不可伸长，不计绳子质量、动滑轮质量以及滑轮与
细绳间的摩擦，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知
，， 。
（1）求杂技演员静止在最低点时，绳子张力的大小。
答案
解析 对动滑轮分析，如图甲所示
甲
根据受力平衡可得
解得 。
（2）求杂技演员静止在最低点时，水平地面对物体的支持力大小
和摩擦力大小。
答案 ;
乙
解析 对物体分析，如图乙所示
由受力平衡可得
解得， 。
（3）保持定滑轮和物体位置不变，将竖直杆往左侧移动，滑轮左
侧细绳与水平方向的夹角 减小，为了不让物体发生滑动，
的最小值为，求物体与水平地面间的动摩擦因数 。
答案
解析 物体恰好要开始滑动时，有
对动滑轮分析有
联立解得物体与水平地面间的动摩擦因数 。

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