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6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
1.如图所示，向量的坐标是（　　）
A.（1，1） B.（－1，－2）
C.（2，3） D.（－2，－3）
2.已知＝（1，2），A（3，4），则B点坐标是（　　）
A.（2，3） B.（4，6）
C.（3，2） D.（6，4）
3.（2024·厦门月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是函数y＝sin x图象的最高点，Q是y＝sin x的图象与x轴的交点，则＋的坐标是（　　）
A.（，1） B.（π，0）
C.（－π，0） D.（2π，0）
4.设＝（2，3），＝（m，n），＝（－1，4），则＝（　　）
A.（1＋m，7＋n） B.（－1－m，－7－n）
C.（1－m，7－n） D.（－1＋m，－7＋n）
5.（多选）在平面直角坐标系xOy内，下面四种说法正确的有（　　）
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应唯一的一个向量
D.平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标一一对应
6.（多选）已知A（3，2），B（5，4），C（6，7），则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为（　　）
A.（4，5） B.（8，9）
C.（2，－1） D.（3，－1）
7.如图，向量a，b，c的坐标分别是　　　　　，　　　　，　　　　.
8.已知2 024个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为（8，15），则其余2 023个向量的和为　　　　.
9.（2024·舟山月考）已知向量a＝（2m，m），b＝（n，－2n），若a＋b＝（9，－8）（m，n∈R），则m－n＝　　　　.
10.以原点O及点A（2，－2）为顶点作一个等边△AOB，求点B的坐标及向量的坐标.
11.已知点A（1，1），B（2，4），将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得向量的坐标是（　　）
A.（2，2） B.（3，3）
C.（1，3） D.（3，4）
12.（2024·临沂月考）对于向量m＝（x1，y1），n＝（x2，y2），定义m n＝（x1x2，y1y2）.已知a＝（2，－4），且a＋b＝a b，那么向量b＝（　　）
A.（2，） B.（－2，－）
C.（2，－） D.（－2，）
13.已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为（0，0），（2，0），（1，1），则顶点C的横坐标的取值范围是　　　　.
14.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2）.
（1）若＝＋，求点P的坐标；
（2）若＋＋＝0，求的坐标.
15.（2024·洛阳月考）已知向量＝（5，12），将绕原点O按逆时针方向旋转90°得到，则＝（　　）
A.（－5，13） B.（－5，12）
C.（－12，13） D.（－12，5）
16.已知向量u＝（x，y）和向量v＝（y，2y－x）的对应关系可以用v＝f（u）表示.
（1）若a＝（1，1），b＝（1，0），试求向量f（a）及f（b）的坐标；
（2）求使f（c）＝（4，5）的向量c的坐标.
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
1.D　由题图知，M（1，1），N（－1，－2），则＝（－1－1，－2－1）＝（－2，－3），故选D.
2.B　设B点的坐标为（x，y），则＝（x－3，y－4）＝（1，2）.∴解得∴B点的坐标是（4，6）.
3.B　由题意以及题图可知Q（π，0），O（0，0），所以＋＝＝（π，0），故选B.
4.B　＝＋＋＝－－－＝－（－1，4）－（m，n）－（2，3）＝（－1－m，－7－n）.
5.ABD　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，A、B、D正确.
6.ABC　设点D的坐标为（x，y）.若是平行四边形ABCD，则有＝，即（5－3，4－2）＝（6－x，7－y），解得x＝4，y＝5，所以所求顶点D的坐标为（4，5），所以A正确；若是平行四边形ABDC，则有＝，即（5－3，4－2）＝（x－6，y－7），解得x＝8，y＝9，所以所求顶点D的坐标为（8，9），所以B正确；若是平行四边形ACBD，则有＝，即（6－3，7－2）＝（5－x，4－y）， 解得x＝2，y＝－1，所以所求顶点D的坐标为（2，－1），所以C正确.综上，顶点D的坐标为（4，5）或（8，9）或（2，－1）.故选A、B、C.
7.（－4，0）　（0，6）　（－2，－5）　
解析：将各向量分别向i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，所以a＝（－4，0）；b＝0i＋6j，所以b＝（0，6）；c＝－2i－5j，所以c＝（－2，－5）.
8.（－8，－15）　解析：设其余2 023个向量的和为（x，y），则（8，15）＋（x，y）＝（0，0），∴（x，y）＝（－8，－15）.
9.－3　解析：∵a＋b＝（2m＋n，m－2n）＝（9，－8），∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
10.解：因为△AOB为等边三角形，且A（2，－2），
所以｜｜＝｜｜＝｜｜＝4.
因为在0～2π范围内，以Ox为始边，OA为终边的角为.
（1）当点B在OA的上方时，以OB为终边的角为.
由三角函数的定义得＝（4cos，4sin）＝（2，2）.
所以＝－＝（2，2）－（2，－2）＝（0，4）.
（2）当点B在OA的下方时，以OB为终边的角为.
由三角函数的定义得＝（0，－4），
所以＝－＝（0，－4）－（2，－2）＝（－2，－2）.
综上所述，点B的坐标为（2，2），的坐标为（0，4）或点B的坐标为（0，－4），的坐标为（－2，－2）.
11.C　∵点A（1，1），B（2，4），∴＝（1，3），将向量向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，向量的大小和方向没有变化，∴＝＝（1，3）.故选C.
12.A　设b＝（x，y），由新定义及a＋b＝a b，可得（2＋x，y－4）＝（2x，－4y），所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝（2，）.
13.（1，3）∪（3，＋∞）　解析：当ABCD为平行四边形时，＝＋＝（2，0）＋（1，1）＝（3，1），故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是（1，3）∪（3，＋∞）.
14.解：（1）因为＝（1，2），＝（2，1），
所以＝（1，2）＋（2，1）＝（3，3），
即点P的坐标为（3，3）.
（2）设点P的坐标为（x，y），
因为＋＋＝0，
又＋＋
＝（1－x，1－y）＋（2－x，3－y）＋（3－x，2－y）
＝（6－3x，6－3y）.
所以解得
所以点P的坐标为（2，2），故＝（2，2）.
15.D　过点A作AA'⊥y轴于点A'，过点B作BB'⊥x轴于点B'，则△OAA'≌△OBB'，且AA'＝BB'＝5，OA'＝OB'＝12，所以B（－12，5），所以＝（－12，5），故选D.
16.解：（1）由v＝f（u）可得，当u＝（x，y）时，有v＝（y，2y－x）＝f（u），从而f（a）＝（1，2×1－1）＝（1，1），f（b）＝（0，2×0－1）＝（0，－1）.
（2）设c＝（x，y），则f（c）＝（y，2y－x）＝（4，5），
所以解得即c＝（3，4）.
2 / 26.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示 数学抽象
2.会用坐标表示平面向量的加、减运算 数学运算
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2.
【问题】　这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个　　　　　　的向量，叫做把向量作正交分解.
2.平面向量的坐标表示
（1）向量的坐标表示
（2）向量坐标与点的坐标的关系
在直角坐标平面中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标（x，y）就是　　　　的坐标；反过来，终点A的坐标（x，y）也就是向量的坐标.
提醒　（1）表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A（x，y），a＝（x，y）；（2）当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同；（3）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关.
知识点二　平面向量坐标的加、减运算
若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则：
（1）a＋b＝　　　　　；a－b＝　　　　　，即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；
（2）向量坐标的几何意义：如图所示，在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），则＝（x1，y1），若A（x1，y1），B（x2，y2），则＝　　　　　　.
结论：（1）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的　　　的坐标减去　　　的坐标；
（2）两向量相等，对应坐标分别　　　　.
1.已知向量a＝（1，2），b＝（3，1），则b＋a＝（　　）
A.（－2，1） B.（2，－1）
C.（2，0） D.（4，3）
2.如图，在平面直角坐标系中，向量＝（　　）
A.（1，2）
B.（－1，－2）
C.（2，4）
D.（－2，－4）
3.已知A（－1，1），B（－3，4），平面向量的坐标是　　　　.
题型一 平面向量的坐标表示
【例1】　（1）如图，设与x轴、y轴同向的两个单位向量分别为i，j，取{i， j}作为基底，分别用i，j表示向量，，，并求出向量，，的坐标；
（2）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.求向量a，b的坐标.
通性通法
求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标；
（2）在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
【跟踪训练】
1.（2024·泰安月考）若＝（3，4），A点的坐标为（－2，－1），则B点的坐标为（　　）
A.（1，3） B.（5，5）
C.（1，5） D.（5，4）
2.如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及向量与的坐标.
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】　（1）（2024·开封月考）在平行四边形ABCD中，A（1，2），B（3，5），＝（－1，2），则＋＝（　　）
A.（－2，4） B.（4，6）
C.（－6，－2） D.（－1，9）
（2）设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，＝，则C点的坐标为（　　）
A.（－2，1） B.（1，－2）
C.（2，－1） D.（－1，2）
（3）若＝（1，1），＝（0，1），＋＝（a，b），则a＋b＝　　　　.
通性通法
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算；
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算；
（3）向量的坐标运算可类比数的运算进行.
【跟踪训练】
1.已知向量a＝（2，4），a＋b＝（3，2），则b＝（　　）
A.（1，－2） B.（1，2）
C.（5，6） D.（2，0）
2.若a＋b＝（－3，－4），a－b＝（5，2），则向量2a＝　　　　，向量2b＝　　　　.
题型三 平面向量坐标运算的应用
【例3】　已知点A（2，3），B（5，4），＝（5λ，7λ）（λ∈R）.若＝＋，试求λ为何值时：
（1）点P在第一、三象限的角平分线上；
（2）点P在第三象限内.
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，点P在坐标轴上，求λ的值.
通性通法
坐标形式下向量相等的条件及应用
（1）条件：相等向量的对应坐标相等；
（2）应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系即构造方程（组），由此可以求出某些参数的值或点的坐标.
【跟踪训练】
已知一个平行四边形的三个顶点坐标为A（3，7），B（4，6），C（1，－2），求此平行四边形顶点D的坐标.
1.已知向量a＝（0，1），b＝（2，1），则a－b＝（　　）
A.（0，－2） B.（2，0）
C.（－2，0） D.（2，2）
2.已知＝（－2，4），则下列说法正确的是（　　）
A.A点的坐标是（－2，4）
B.B点的坐标是（－2，4）
C.当B是原点时，A点的坐标是（－2，4）
D.当A是原点时，B点的坐标是（－2，4）
3.已知＝（3，1），＝（－4，－3），则＝（　　）
A.（－7，－4） B.（7，4）
C.（－1，4） D.（1，4）
4.已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且＝，＝，求点M，N及向量的坐标.
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
【基础知识·重落实】
知识点一
1.互相垂直　2.（1）单位向量　（x，y）　（2）终点A
知识点二
　（1）（x1＋x2，y1＋y2）　（x1－x2，y1－y2）　（2）（x2－x1，y2－y1）
结论：（1）终点　起点　（2）相等
自我诊断
1.D　因为a＝（1，2），b＝（3，1），所以b＋a＝（3，1）＋（1，2）＝（4，3），故选D.
2.C　因为O（0，0），A（2，4），所以＝（2，4），故选C.
3.（－2，3）　解析：由已知＝（－3，4）－（－1，1）＝（－2，3）.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，则坐标表示分别为＝（6，2），＝（2，4），＝（－4，2）.
（2）如图，作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，AM＝OA·sin 45°＝4×＝2，
∴A（2，2），故a＝（2，2）.
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°，
又OC＝AB＝3，∴C（－，），
∴＝＝（－，），即b＝（－，）.
跟踪训练
1.A　设B（x，y），∵A点的坐标为（－2，－1），∴＝（x＋2，y＋1）.又∵＝（3，4），∴解得即B点的坐标为（1，3）.故选A.
2.解：由题意及题图知B，D分别是30°角，120°角的终边与单位圆的交点.
设B（x1，y1），D（x2，y2），
由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，
∴B（，），D（－，），
又A（0，0），∴＝（，），＝（－，）.
【例2】　（1）A　（2）D　（3）－1　
解析：（1）在平行四边形ABCD中，因为A（1，2），B（3，5），所以＝（2，3）.又＝（－1，2），所以＝＋＝（1，5），＝－＝（－3，－1），所以＋＝（－2，4）.故选A.
（2）由题意可知＝－＝－i＋2j.∵＝，∴＝－i＋2j，∴C（－1，2）.故选D.
（3）∵＋＝＝－＝（－1，0）＝（a，b），∴a＝－1，b＝0，∴a＋b＝－1.
跟踪训练
1.A　b＝a＋b－a＝（3，2）－（2，4）＝（1，－2）.
2.（2，－2）　（－8，－6）　解析：a＋b＝（－3，－4）①，a－b＝（5，2）②.由①＋②，得2a＝（－3，－4）＋（5，2）＝（2，－2）；由①－②，得2b＝（－3，－4）－（5，2）＝（－8，－6）.
【例3】　解：设点P的坐标为（x，y），则＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），＋＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，7λ）＝（3，1）＋（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）.
∵＝＋，且与不共线，
∴则
（1）若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
（2）若点P在第三象限内，则∴λ＜－1.
母题探究
　解：由本例知
（1）当点P在x轴上时，y＝4＋7λ＝0，∴λ＝－.
（2）当点P在y轴上时，x＝5＋5λ＝0，∴λ＝－1.
跟踪训练
　解：设点D的坐标为（x，y），
当平行四边形为ABCD时，＝，
所以（4，6）－（3，7）＝（1，－2）－（x，y），
所以所以
所以D（0，－1）.
当平行四边形为ABDC时，同理可得D（2，－3）.
当平行四边形为ADBC时，同理可得D（6，15）.
综上可得点D可能为（0，－1）或（2，－3）或（6，15）.
随堂检测
1.C　∵a＝（0，1），b＝（2，1），∴a－b＝（－2，0），故选C.
2.D　由题意，向量＝（－2，4）与终点、始点的坐标差有关，所以A点的坐标不一定是（－2，4），故A错误；同理B点的坐标不一定是（－2，4），故B错误；当B是原点时，A点的坐标是（2，－4），故C错误；当A是原点时，B点的坐标是（－2，4），故D正确.故选D.
3.A　＝－＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4），故选A.
4.解：因为A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），
所以＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），
＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3）.
设M（x1，y1），N（x2，y2），
因为＝，＝，
所以（x1＋3，y1＋4）＝（1，8），（x2＋3，y2＋4）＝（6，3），
所以x1＝－2，y1＝4，x2＝3，y2＝－1，
所以M（－2，4），N（3，－1），
所以＝（3，－1）－（－2，4）＝（5，－5）.
4 / 4(共63张PPT)
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量
的正交分解及坐标表示 数学抽象
2.会用坐标表示平面向量的加、减运算 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜
面的压力为F2.
【问题】　这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？
知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示
1. 平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正
交分解.
互相垂直　
2. 平面向量的坐标表示
（1）向量的坐标表示
（2）向量坐标与点的坐标的关系
在直角坐标平面中，以原点O为起点作 ＝a，设 ＝xi
＋yj，则向量 的坐标（x，y）就是 的坐标；
反过来，终点A的坐标（x，y）也就是向量 的坐标.
提醒　（1）表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A（x，
y），a＝（x，y）；（2）当向量的起点在原点时，向量的
坐标与向量终点的坐标相同；（3）向量的坐标只与起点、终
点的相对位置有关.
终点A　
知识点二　平面向量坐标的加、减运算
若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则：
（1）a＋b＝ ；a－b＝
，即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐
标的和（差）；
（x1＋x2，y1＋y2）　
（x1－x2，y1－
y2）　
（2）向量坐标的几何意义：如图所示，在平面直角坐标系中，若A
（x1，y1），则 ＝（x1，y1），若A（x1，y1），B（x2，
y2），则 ＝ .
结论：（1）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的
的坐标减去 的坐标；
（2）两向量相等，对应坐标分别 .
（x2－x1，y2－y1）　
终
点　
起点　
相等　
1. 已知向量a＝（1，2），b＝（3，1），则b＋a＝（　　）
A. （－2，1） B. （2，－1）
C. （2，0） D. （4，3）
解析：　因为a＝（1，2），b＝（3，1），所以b＋a＝（3，
1）＋（1，2）＝（4，3），故选D.
2. 如图，在平面直角坐标系中，向量 ＝（　　）
A. （1，2） B. （－1，－2）
C. （2，4） D. （－2，－4）
解析：　因为O（0，0），A（2，4），所以 ＝（2，4），
故选C.
3. 已知A（－1，1），B（－3，4），平面向量 的坐标
是 .
解析：由已知 ＝（－3，4）－（－1，1）＝（－2，3）.
（－2，3）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面向量的坐标表示
【例1】　（1）如图，设与x轴、y轴同向的两个单位向量分别为i，
j，取{i， j}作为基底，分别用i，j表示向量 ， ， ，并求出
向量 ， ， 的坐标；
解：由题图可知， ＝6i＋2j， ＝2i＋4j， ＝－4i＋2j，则坐标表示分别为 ＝（6，2）， ＝（2，4）， ＝（－4，2）.
（2）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，OA
＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°， ＝a， ＝
b.求向量a，b的坐标.
解：如图，作AM⊥x轴于点M，则OM＝
OA· cos 45°＝4× ＝2 ，AM＝
OA· sin 45°＝4× ＝2 ，
∴A（2 ，2 ），故a＝（2 ，2 ）.
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°，
又OC＝AB＝3，∴C（－ ， ），
∴ ＝ ＝（－ ， ），即b＝（－ ， ）.
通性通法
求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向
量的坐标；
（2）在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和
终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
【跟踪训练】
1. （2024·泰安月考）若 ＝（3，4），A点的坐标为（－2，－
1），则B点的坐标为（　　）
A. （1，3） B. （5，5）
C. （1，5） D. （5，4）
解析：　设B（x，y），∵A点的坐标为（－2，－1），∴
＝（x＋2，y＋1）.又∵ ＝（3，4），∴解得
即B点的坐标为（1，3）.故选A.
2. 如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°
角.求点B和点D的坐标以及向量 与 的坐标.
解：由题意及题图知B，D分别是30°角，120°角的终边与单位
圆的交点.
设B（x1，y1），D（x2，y2），
由三角函数的定义，得x1＝ cos 30°＝ ，y1＝ sin 30°＝ ，x2＝
cos 120°＝－ ，y2＝ sin 120°＝ ，
∴B（ ， ），D（－ ， ），
又A（0，0），∴ ＝（ ， ）， ＝（－ ， ）.
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】　（1）（2024·开封月考）在平行四边形ABCD中，A（1，
2），B（3，5）， ＝（－1，2），则 ＋ ＝（　A　）
A. （－2，4） B. （4，6）
C. （－6，－2） D. （－1，9）
解析：在平行四边形ABCD中，因为A（1，2），B（3，5），所以
＝（2，3）.又 ＝（－1，2），所以 ＝ ＋ ＝（1，
5）， ＝ － ＝（－3，－1），所以 ＋ ＝（－2，4）.
故选A.
A
（2）设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单
位向量，且 ＝4i＋2j， ＝3i＋4j， ＝ ，则C点的
坐标为（　D　）
A. （－2，1） B. （1，－2）
C. （2，－1） D. （－1，2）
解析：由题意可知 ＝ － ＝－i＋2j.∵ ＝ ，
∴ ＝－i＋2j，∴C（－1，2）.故选D.
D
（3）若 ＝（1，1）， ＝（0，1）， ＋ ＝（a，b），
则a＋b＝ .
解析：∵ ＋ ＝ ＝ － ＝（－1，0）＝（a，
b），∴a＝－1，b＝0，∴a＋b＝－1.
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通性通法
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进
行计算；
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进
行向量的坐标运算；
（3）向量的坐标运算可类比数的运算进行.
【跟踪训练】
1. 已知向量a＝（2，4），a＋b＝（3，2），则b＝（　　）
A. （1，－2） B. （1，2）
C. （5，6） D. （2，0）
解析：　b＝a＋b－a＝（3，2）－（2，4）＝（1，－2）.
2. 若a＋b＝（－3，－4），a－b＝（5，2），则向量2a＝
，向量2b＝ .
解析：a＋b＝（－3，－4）①，a－b＝（5，2）②.由①＋②，
得2a＝（－3，－4）＋（5，2）＝（2，－2）；由①－②，得2b
＝（－3，－4）－（5，2）＝（－8，－6）.
（2，
－2）
（－8，－6）
题型三 平面向量坐标运算的应用
【例3】　已知点A（2，3），B（5，4）， ＝（5λ，7λ）
（λ∈R）.若 ＝ ＋ ，试求λ为何值时：
（1）点P在第一、三象限的角平分线上；
解：设点P的坐标为（x，y），则 ＝（x，y）－（2，3）
＝（x－2，y－3）， ＋ ＝（5，4）－（2，3）＋（5λ，
7λ）＝（3，1）＋（5λ，7λ）＝（3＋5λ，1＋7λ）.
∵ ＝ ＋ ，且 与 不共线，
∴则
若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝ .
（2）点P在第三象限内.
解：若点P在第三象限内，则∴λ＜－1.
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，点P在坐标轴上，求λ的值.
解：由本例知
（1）当点P在x轴上时，y＝4＋7λ＝0，∴λ＝－ .
（2）当点P在y轴上时，x＝5＋5λ＝0，∴λ＝－1.
通性通法
坐标形式下向量相等的条件及应用
（1）条件：相等向量的对应坐标相等；
（2）应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系即
构造方程（组），由此可以求出某些参数的值或点的坐标.
【跟踪训练】
已知一个平行四边形的三个顶点坐标为A（3，7），B（4，6），C
（1，－2），求此平行四边形顶点D的坐标.
解：设点D的坐标为（x，y），
当平行四边形为ABCD时， ＝ ，
所以（4，6）－（3，7）＝（1，－2）－（x，y），
所以所以
所以D（0，－1）.
当平行四边形为ABDC时，同理可得D（2，－3）.
当平行四边形为ADBC时，同理可得D（6，15）.
综上可得点D可能为（0，－1）或（2，－3）或（6，15）.
1. 已知向量a＝（0，1），b＝（2，1），则a－b＝（　　）
A. （0，－2） B. （2，0）
C. （－2，0） D. （2，2）
解析：　∵a＝（0，1），b＝（2，1），∴a－b＝（－2，
0），故选C.
2. 已知 ＝（－2，4），则下列说法正确的是（　　）
A. A点的坐标是（－2，4）
B. B点的坐标是（－2，4）
C. 当B是原点时，A点的坐标是（－2，4）
D. 当A是原点时，B点的坐标是（－2，4）
解析：　由题意，向量 ＝（－2，4）与终点、始点的坐标差
有关，所以A点的坐标不一定是（－2，4），故A错误；同理B点
的坐标不一定是（－2，4），故B错误；当B是原点时，A点的坐
标是（2，－4），故C错误；当A是原点时，B点的坐标是（－2，
4），故D正确.故选D.
3. 已知 ＝（3，1）， ＝（－4，－3），则 ＝（　　）
A. （－7，－4） B. （7，4）
C. （－1，4） D. （1，4）
解析：　 ＝ － ＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－
4），故选A.
4. 已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且 ＝
， ＝ ，求点M，N及向量 的坐标.
解：因为A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），
所以 ＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），
＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3）.
设M（x1，y1），N（x2，y2），
因为 ＝ ， ＝ ，
所以（x1＋3，y1＋4）＝（1，8），（x2＋3，y2＋4）＝（6，3），
所以x1＝－2，y1＝4，x2＝3，y2＝－1，
所以M（－2，4），N（3，－1），
所以 ＝（3，－1）－（－2，4）＝（5，－5）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图所示，向量 的坐标是（　　）
A. （1，1）
B. （－1，－2）
C. （2，3）
D. （－2，－3）
解析：　由题图知，M（1，1），N（－1，－2），则 ＝
（－1－1，－2－1）＝（－2，－3），故选D.
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2. 已知 ＝（1，2），A（3，4），则B点坐标是（　　）
A. （2，3） B. （4，6）
C. （3，2） D. （6，4）
解析：　设B点的坐标为（x，y），则 ＝（x－3，y－4）＝
（1，2）.∴解得∴B点的坐标是（4，6）.
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3. （2024·厦门月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，P是函数y＝
sin x图象的最高点，Q是y＝ sin x的图象与x轴的交点，则 ＋
的坐标是（　　）
B. （π，0）
C. （－π，0） D. （2π，0）
解析：　由题意以及题图可知Q（π，0），O（0，0），所以
＋ ＝ ＝（π，0），故选B.
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4. 设 ＝（2，3）， ＝（m，n）， ＝（－1，4），则 ＝
（　　）
A. （1＋m，7＋n） B. （－1－m，－7－n）
C. （1－m，7－n） D. （－1＋m，－7＋n）
解析：　 ＝ ＋ ＋ ＝－ － － ＝－（－1，
4）－（m，n）－（2，3）＝（－1－m，－7－n）.
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5. （多选）在平面直角坐标系xOy内，下面四种说法正确的有（　　）
A. 相等向量的坐标相同
B. 平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C. 一个坐标对应唯一的一个向量
D. 平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标
一一对应
解析：　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，A、B、D正确.
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6. （多选）已知A（3，2），B（5，4），C（6，7），则以A，
B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为（　　）
A. （4，5） B. （8，9）
C. （2，－1） D. （3，－1）
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解析：　设点D的坐标为（x，y）.若是平行四边形ABCD，则有 ＝ ，即（5－3，4－2）＝（6－x，7－y），解得x＝
4，y＝5，所以所求顶点D的坐标为（4，5），所以A正确；若是
平行四边形ABDC，则有 ＝ ，即（5－3，4－2）＝（x－
6，y－7），解得x＝8，y＝9，所以所求顶点D的坐标为（8，
9），所以B正确；若是平行四边形ACBD，则有 ＝ ，即（6
－3，7－2）＝（5－x，4－y）， 解得x＝2，y＝－1，所以所求
顶点D的坐标为（2，－1），所以C正确.综上，顶点D的坐标为
（4，5）或（8，9）或（2，－1）.故选A、B、C.
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7. 如图，向量a，b，c的坐标分别是 ，
， .
（－4，0）
（0，
6）
（－2，－5）
解析：将各向量分别向i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0j，所以
a＝（－4，0）；b＝0i＋6j，所以b＝（0，6）；c＝－2i－5j，
所以c＝（－2，－5）.
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8. 已知2 024个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为（8，
15），则其余2 023个向量的和为 .
解析：设其余2 023个向量的和为（x，y），则（8，15）＋（x，
y）＝（0，0），∴（x，y）＝（－8，－15）.
（－8，－15）
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9. （2024·舟山月考）已知向量a＝（2m，m），b＝（n，－
2n），若a＋b＝（9，－8）（m，n∈R），则m－n＝ .
解析：∵a＋b＝（2m＋n，m－2n）＝（9，－8），
∴∴∴m－n＝2－5＝－3.
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10. 以原点O及点A（2 ，－2）为顶点作一个等边△AOB，求点B
的坐标及向量 的坐标.
解：因为△AOB为等边三角形，且A（2 ，－2），
所以｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝4.
因为在0～2π范围内，以Ox为始边，OA为终边的角为 .
（1）当点B在OA的上方时，以OB为终边的角为 .
由三角函数的定义得 ＝（4 cos ，4 sin ）＝（2 ，2）.
所以 ＝ － ＝（2 ，2）－（2 ，－2）＝（0，4）.
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（2）当点B在OA的下方时，以OB为终边的角为 .
由三角函数的定义得 ＝（0，－4），
所以 ＝ － ＝（0，－4）－（2 ，－2）＝（－2 ，
－2）.
综上所述，点B的坐标为（2 ，2）， 的坐标为（0，4）或
点B的坐标为（0，－4）， 的坐标为（－2 ，－2）.
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11. 已知点A（1，1），B（2，4），将向量 向右平移1个单位长
度，再向下平移1个单位长度，所得向量 的坐标是（　　）
A. （2，2） B. （3，3）
C. （1，3） D. （3，4）
解析：　∵点A（1，1），B（2，4），∴ ＝（1，3），将
向量 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，向
量的大小和方向没有变化，∴ ＝ ＝（1，3）.故选C.
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12. （2024·临沂月考）对于向量m＝（x1，y1），n＝（x2，y2），
定义m n＝（x1x2，y1y2）.已知a＝（2，－4），且a＋b＝a
b，那么向量b＝（　　）
解析：　设b＝（x，y），由新定义及a＋b＝a b，可得（2
＋x，y－4）＝（2x，－4y），所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，
解得x＝2，y＝ ，所以向量b＝（2， ）.
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13. 已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的
坐标分别为（0，0），（2，0），（1，1），则顶点C的横坐标
的取值范围是 .
解析：当ABCD为平行四边形时， ＝ ＋ ＝（2，0）＋
（1，1）＝（3，1），故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围
是（1，3）∪（3，＋∞）.
（1，3）∪（3，＋∞）
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14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C
（3，2）.
（1）若 ＝ ＋ ，求点P的坐标；
解：因为 ＝（1，2）， ＝（2，1），
所以 ＝（1，2）＋（2，1）＝（3，3），
即点P的坐标为（3，3）.
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（2）若 ＋ ＋ ＝0，求 的坐标.
解：设点P的坐标为（x，y），
因为 ＋ ＋ ＝0，
又 ＋ ＋
＝（1－x，1－y）＋（2－x，3－y）＋（3－x，2－y）
＝（6－3x，6－3y）.
所以解得
所以点P的坐标为（2，2），故 ＝（2，2）.
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15. （2024·洛阳月考）已知向量 ＝（5，12），将 绕原点O按
逆时针方向旋转90°得到 ，则 ＝（　　）
A. （－5，13） B. （－5，12）
C. （－12，13） D. （－12，5）
解析：　过点A作AA'⊥y轴于点A'，过点B作BB'⊥x轴于点
B'，则△OAA'≌△OBB'，且AA'＝BB'＝5，OA'＝OB'＝12，所
以B（－12，5），所以 ＝（－12，5），故选D.
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16. 已知向量u＝（x，y）和向量v＝（y，2y－x）的对应关系可以
用v＝f（u）表示.
（1）若a＝（1，1），b＝（1，0），试求向量f（a）及f
（b）的坐标；
解：由v＝f（u）可得，当u＝（x，y）时，有v＝
（y，2y－x）＝f（u），从而f（a）＝（1，2×1－1）
＝（1，1），f（b）＝（0，2×0－1）＝（0，－1）.
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（2）求使f（c）＝（4，5）的向量c的坐标.
解：设c＝（x，y），则f（c）＝（y，2y－x）＝（4，5），
所以解得即c＝（3，4）.
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