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6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
1.向量a＝（1，－2），b＝（－1，2），则（2a＋b）·a＝（　　）
A.－1 B.0
C.2 D.5
2.已知a＝（1，－2），b＝（x，2），且a∥b，则｜b｜＝（　　）
A.2 B.
C.10 D.5
3.已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状是（　　）
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
4.设点A（4，2），B（a，8），C（2，a），O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为（　　）
A. B.
C. D.
5.（多选）已知向量a＝（2，－1），b＝（－3，2），c＝（1，1），则（　　）
A.a∥b B.（a＋b）⊥c
C.a＋b＝c D.c＝5a＋3b
6.（多选）（2024·平顶山月考）已知向量a＝（2，1），b＝（－3，1），则（　　）
A.a与a－b夹角的余弦值为
B.（a＋b）∥a
C.向量a在向量b上的投影向量的模为
D.若c＝（，－），则a⊥c
7.设向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），则m＝　　　　.
8.已知a＝（1，2），b＝（－2，n），且a⊥b，则｜3a＋b｜＝　　　　.
9.（2024·湖州质检）设向量a＝（2，3），b＝（6，t），若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围为　　　　.
10.已知向量a＝（－1，2），b＝（3，－1）.
（1）求a＋2b的坐标与｜a－b｜；
（2）求向量a与a－b的夹角的余弦值.
11.若向量＝（3，－1），n＝（2，1），且n·＝7，则n·＝（　　）
A.－2 B.2
C.－2或2 D.0
12.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则·＝（　　）
A. B.
C. D.
13.（2024·宁德质检）已知O为坐标原点，向量＝（2，2），＝（4，1），在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标为　　　　.
14.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1，2）.
（1）若｜c｜＝2，且c与a 方向相反，求c的坐标；
（2）若｜b｜＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
15.已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝（sin A，1），q＝（1，－cos B），则p与q的夹角是（　　）
A.锐角 B.钝角
C.直角 D.不确定
16.（2024·云浮月考）已知向量＝（6，1），＝（x，y），＝（－2，－3）.
（1）若∥，求x与y之间的关系式；
（2）在（1）的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积.
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
1.D　由题意得，2a＋b＝（2，－4）＋（－1，2）＝（1，－2），所以（2a＋b）·a＝1×1＋（－2）×（－2）＝5.故选D.
2.B　因为a＝（1，－2），b＝（x，2），且a∥b，所以2x＋2＝0，解得x＝－1，所以b＝（－1，2），则｜b｜＝＝.
3.A　由题设知＝（8，－4），＝（2，4），＝（－6，8），所以·＝8×2＋（－4）×4＝0，即⊥.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形.
4.B　∵四边形OABC是平行四边形，∴＝，即（4－0，2－0）＝（a－2，8－a），∴a＝6，∴＝（4，2），＝（2，6），设向量与的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝，又θ∈（0，π），∴与的夹角为.
5.BD　由2×2－（－3）×（－1）≠0知，A错误；由题意得a＋b＝（－1，1），所以（a＋b）·c＝－1＋1＝0，所以B正确，C错误；由题意得5a＋3b＝5（2，－1）＋3（－3，2）＝（1，1）＝c，所以D正确.故选B、D.
6.ACD　对于A：由题意得，a－b＝（5，0），所以a与a－b夹角的余弦值为＝，故A正确；对于B：由题意得，a＋b＝（－1，2），所以（a＋b）·a＝－1×2＋1×2＝0，所以（a＋b）⊥a，故B不正确；对于C：易知＝＝＝－，所以向量a在向量b上的投影向量的模为，故C正确；对于D：因为a＝（2，1），c＝（，－），所以a·c＝2×＋1×（－）＝0，所以a⊥c，故D正确.故选A、C、D.
7.－1　解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要条件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1.
8.5　解析：因为a⊥b，所以－2＋2n＝0，于是n＝1，因此a＝（1，2），b＝（－2，1），所以3a＋b＝（1，7），故｜3a＋b｜＝5.
9.（－4，9）∪（9，＋∞）　解析：因为a与b的夹角为锐角，所以a·b＞0，且a与b不共线，所以解得t＞－4且t≠9，所以实数t的取值范围为（－4，9）∪（9，＋∞）.
10.解：（1）a＋2b＝（5，0），
a－b＝（－4，3），
｜a－b｜＝＝5.
（2）a·（a－b）＝10，
｜a｜＝＝，
cos＜a，a－b＞＝＝＝.
11.B　∵＋＝，∴n·（＋）＝n·，即n·＋n·＝n·，∴n·＝n·－n·＝7－5＝2.
12.C　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB＝，BC＝2，∴A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），∵点E在边CD上，且＝2，
∴E（，2）.∴＝（，2），＝（－，2），∴·＝－＋4＝.
13.（3，0）　解析：设点P的坐标为（x，0），则＝（x－2，－2），＝（x－4，－1）.所以·＝（x－2）（x－4）＋（－2）×（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1.此时点P的坐标为（3，0）.
14.解：（1）设c＝（x，y），由c∥a及｜c｜＝2.
可得
所以或
因为c与a方向相反，所以c＝（－2，－4）.
（2）因为（a＋2b）⊥（2a－b），
所以（a＋2b）·（2a－b）＝0，
即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0，
所以2×5＋3a·b－2×＝0，
所以a·b＝－，
所以cos θ＝＝－1.
又因为 θ∈[0，π]，所以θ＝π.
15.A　因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B＞，即＞A＞－B＞0，又因为函数y＝sin x在（0，）上单调递增，所以sin A＞sin（－B）＝cos B，所以p·q＝sin A－cos B＞0，设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝＞0，又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角.
16.解：（1）∵＝＋＋＝（x＋4，y－2），
∴＝－＝（－x－4，2－y）.
又∥，且＝（x，y），
∴x（2－y）－y（－x－4）＝0，
即x＋2y＝0.
（2）＝＋＝（x＋6，y＋1），
＝＋＝（x－2，y－3）.
∵⊥，∴·＝0，
即（x＋6）（x－2）＋（y＋1）（y－3）＝0.
由（1）知x＋2y＝0，与上式联立，
化简得y2－2y－3＝0，
解得y＝3或y＝－1.
当y＝3时，x＝－6，
此时＝（0，4），＝（－8，0）；
当y＝－1时，x＝2，
此时＝（8，0），＝（0，－4）；
∴S四边形ABCD＝｜｜｜｜＝16.
2 / 26.3.5　平面向量数量积的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角 数学运算
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件 逻辑推理
　　通过前面的学习，我们知道，已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），我们可以求出a＋b，a－b以及λa（λ≠0）的坐标.
【问题】　那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　平面向量数量积的坐标表示
　若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.则
（1）a·b＝　　　　　　，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的　　　　　　；
（2）｜a｜2＝　　　　　，或｜a｜＝　　　　　；
（3）a⊥b 　　　　＝0（a，b是非零向量）；
（4）若a，b都是非零向量，则cos θ＝　　　　＝　　　　　　.
【想一想】
向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？
1.若a＝（2，－3），b＝（x，2x），且3a·b＝4，则x＝（　　）
A.3　　　B.　　　C.－　　　D.－3
2.已知向量a＝（1，n），b＝（－1，n），若2a－b 与b垂直，则｜a｜＝（　　）
A.1 B. C.2 D.4
3.已知a＝（3，4），b＝（5，12），则a与b夹角的余弦值为（　　）
A. B.
C. D.
题型一 平面向量数量积的坐标表示
【例1】　（2024·江门月考）已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）.
（1）求a·（a－b）；
（2）求（a＋b）·（2a－b）.
通性通法
向量数量积坐标运算的方法
　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有三种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算；三是若题中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之差求出向量的坐标，再由向量坐标求得数量积.
【跟踪训练】
1.（2024·三明月考）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（　　）
A.6 B.5
C.4 D.3
2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，求·的值.
题型二 平面向量的模
【例2】　（1）（2022·全国乙卷3题）已知向量a＝（2，1），b＝（－2，4），则｜a－b｜＝（　　）
A.2 B.3
C.4 D.5
（2）（2024·商丘月考）已知向量a＝（x，y），b＝（－1，2），且a＋b＝（1，3），则｜a－2b｜＝　　　　.
通性通法
求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；
（2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝ .
【跟踪训练】
1.已知向量a＝（2，1），a·b＝10，｜a＋b｜＝5，则｜b｜＝（　　）
A. B.
C.5 D.25
2.已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（0，－1），则△ABC的形状为（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.以上均不正确
题型三 向量的夹角与垂直
【例3】　已知a＝（4，3），b＝（－1，2）.
（1）求a与b夹角的余弦值；
（2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值.
通性通法
解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ；
（2）注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
【跟踪训练】
1.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝（1，0），e2＝（0，1），则向量a与b夹角的余弦值为　　　　.
2.（2024·济宁月考）已知向量a＝（1，3），b＝（3，4），若（a－λb）⊥b，则λ＝　　　　.
1.已知向量a＝（2，1），b＝（1，－2），则a与b的夹角为（　　）
A.0° B.45°
C.60° D.90°
2.（2024·丽水月考）已知向量a＝（2，1），b＝（－1，k），a·（2a－b）＝0，则k＝（　　）
A.－12 B.－6
C.6 D.12
3.设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b，则｜3a＋b｜＝　　　　.
4.已知点A（0，1），B（1，－2），向量＝（4，－1），求·及｜｜.
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
【基础知识·重落实】
知识点
　（1）x1x2＋y1y2　乘积的和　（2）＋　　（3）x1x2＋y1y2　
（4）　
想一想
　提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点：
坐标表示 记忆口诀
垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0 对应相乘和为0
平行 a∥b x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差为0
自我诊断
1.C　由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4，∴x＝－.
2.C　∵（2a－b）·b＝2a·b－｜b｜2＝2（－1＋n2）－（1＋n2）＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴｜a｜＝＝2.
3.A　｜a｜＝＝5，｜b｜＝＝13.a·b＝3×5＋4×12＝63.设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）法一　因为a＝（－1，2），b＝（3，2），
所以a－b＝（－4，0）.
所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－4）＋2×0＝4.
法二　a·（a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4.
（2）因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4），
2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，2），
所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋4×2＝－2.
跟踪训练
1.C　由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4.
2.解：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，2），E（2，1），D（2，2），B（0，0），C（2，0），因为＝2，所以F（，2）.所以＝（2，1），＝（，2）－（2，0）＝（－，2），所以·＝（2，1）·（－，2）＝2×（－）＋1×2＝.
【例2】　（1）D　（2）5　解析：（1）由题意知a－b＝（2，1）－（－2，4）＝（4，－3），所以｜a－b｜＝＝5，故选D.
（2）∵a＋b＝（x－1，y＋2）＝（1，3），则x＝2，且y＝1.∴a＝（2，1），则a－2b＝（4，－3），故｜a－2b｜＝＝5.
跟踪训练
1.C　∵a＝（2，1），∴a2＝5，又｜a＋b｜＝5，∴（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴｜b｜＝5.故选C.
2.C　｜｜＝＝，｜｜＝＝.又｜｜＝＝，∴｜｜＝｜｜，且｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，因此△ABC为等腰直角三角形.
【例3】　解：（1）因为a·b＝4×（－1）＋3×2＝2，
｜a｜＝＝5，｜b｜＝＝，
设a与b的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝.
（2）因为a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7，8），
又（a－λb）⊥（2a＋b），
所以7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，解得λ＝.
跟踪训练
1.　解析：∵a＝e1－e2＝（1，0）－（0，1）＝（1，－1），b＝4e1＋3e2＝4（1，0）＋3（0，1）＝（4，3），∴｜a｜＝，｜b｜＝5，a·b＝4×1＋3×（－1）＝1，设a，b的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝.
2.　解析：法一　a－λb＝（1－3λ，3－4λ），∵（a－λb）⊥b，∴（a－λb）·b＝0，即（1－3λ，3－4λ）·（3，4）＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝.
法二　由（a－λb）⊥b可知，（a－λb）·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而 λ＝＝＝＝.
随堂检测
1.D　a·b＝2－2＝0，所以a⊥b，所以a与b的夹角为90°.故选D.
2.D　2a－b＝（4，2）－（－1，k）＝（5，2－k），由a·（2a－b）＝0，得（2，1）·（5，2－k）＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
3.　解析：∵a∥b，∴1×y－2×（－2）＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝（1，2），｜3a＋b｜＝.
4.解：因为＝（1，－3），所以·＝1×4＋（－3）×（－1）＝7，
＝－＝（4，－1）－（1，－3）＝（3，2），
所以｜｜＝＝.
3 / 3(共57张PPT)
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两
个平面向量的夹角 数学运算
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　通过前面的学习，我们知道，已知a＝（x1，y1），b＝（x2，
y2），我们可以求出a＋b，a－b以及λa（λ≠0）的坐标.
【问题】　那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？
知识点　平面向量数量积的坐标表示
　若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.则
（1）a·b＝ ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标
的 ；
（2）｜a｜2＝ ，或｜a｜＝ ；
（3）a⊥b ＝0（a，b是非零向量）；
x1x2＋y1y2　
乘积的和　
＋ 　
　
x1x2＋y1y2　
（4）若a，b都是非零向量，则 cos θ＝ ＝ .
　
　
坐标表示 记忆口诀
垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0 对应相乘和为0
平行 a∥b x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差为0
提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点：
【想一想】
向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？
1. 若a＝（2，－3），b＝（x，2x），且3a·b＝4，则x＝（　　）
A. 3
D. －3
解析：　由3a·b＝4，得（6，－9）·（x，2x）＝－12x＝4，
∴x＝－ .
2. 已知向量a＝（1，n），b＝（－1，n），若2a－b 与b垂直，
则｜a｜＝（　　）
A. 1
C. 2 D. 4
解析：　∵（2a－b）·b＝2a·b－｜b｜2＝2（－1＋n2）－（1
＋n2）＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴｜a｜＝ ＝2.
3. 已知a＝（3，4），b＝（5，12），则a与b夹角的余弦值为
（　　）
解析：　｜a｜＝ ＝5，｜b｜＝ ＝13.a·b＝
3×5＋4×12＝63.设a与b的夹角为θ，所以 cos θ＝ ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面向量数量积的坐标表示
【例1】　（2024·江门月考）已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）.
（1）求a·（a－b）；
解：法一　因为a＝（－1，2），b＝（3，2），
所以a－b＝（－4，0）.
所以a·（a－b）＝（－1，2）·（－4，0）＝（－1）×（－
4）＋2×0＝4.
法二　a·（a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4.
（2）求（a＋b）·（2a－b）.
解：因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4），
2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝
（－5，2），
所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－
5）＋4×2＝－2.
通性通法
向量数量积坐标运算的方法
　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性
质.解题时通常有三种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行
数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计
算；三是若题中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之
差求出向量的坐标，再由向量坐标求得数量积.
【跟踪训练】
1. （2024·三明月考）已知a＝（1，1），b＝（2，5），c＝（3，
x），若（8a－b）·c＝30，则x＝（　　）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
解析：　由题意可得，8a－b＝（6，3），又（8a－b）·c＝
30，c＝（3，x），所以18＋3x＝30，解得x＝4.
2. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，
＝2 ，求 · 的值.
解：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，2），E（2，1），
D（2，2），B（0，0），C（2，0），因为 ＝2 ，所以F
（ ，2）.所以 ＝（2，1）， ＝（ ，2）－（2，0）＝（－
，2），
所以 · ＝（2，1）·（－ ，2）＝2×（－ ）＋1×2＝ .
题型二 平面向量的模
【例2】　（1）（2022·全国乙卷3题）已知向量a＝（2，1），b＝
（－2，4），则｜a－b｜＝（　D　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析：由题意知a－b＝（2，1）－（－2，4）＝（4，－3），所
以｜a－b｜＝ ＝5，故选D.
D
（2）（2024·商丘月考）已知向量a＝（x，y），b＝（－1，2），
且a＋b＝（1，3），则｜a－2b｜＝ .
解析：∵a＋b＝（x－1，y＋2）＝（1，3），则x＝2，且y＝
1.∴a＝（2，1），则a－2b＝（4，－3），故｜a－2b｜＝
＝5.
5
通性通法
求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a2，将向量模的运算转化为
向量与向量的数量积的问题；
（2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝a2＝｜a｜2＝
x2＋y2，于是有｜a｜＝ .
【跟踪训练】
1. 已知向量a＝（2，1），a·b＝10，｜a＋b｜＝5 ，则｜b｜＝
（　　）
C. 5 D. 25
解析：　∵a＝（2，1），∴a2＝5，又｜a＋b｜＝5 ，
∴（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝
25，∴｜b｜＝5.故选C.
2. 已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2），
B（4，1），C（0，－1），则△ABC的形状为（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 以上均不正确
解析：　｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜
＝ ＝ .又｜ ｜＝
＝ ，∴｜ ｜＝｜ ｜，且｜
｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，因此△ABC为等腰直角三角形.
题型三 向量的夹角与垂直
【例3】　已知a＝（4，3），b＝（－1，2）.
（1）求a与b夹角的余弦值；
解：因为a·b＝4×（－1）＋3×2＝2，
｜a｜＝ ＝5，｜b｜＝ ＝ ，
设a与b的夹角为θ，
所以 cos θ＝ ＝ ＝ .
（2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值.
解：因为a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7，8），
又（a－λb）⊥（2a＋b），
所以7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，解得λ＝ .
通性通法
解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）求解方法：由 cos θ＝ ＝ 直接求出
cos θ；
（2）注意事项：利用三角函数值 cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值
范围是0°≤θ≤180°.利用 cos θ＝ 判断θ的值时，要注
意 cos θ＜0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；
cos θ＞0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
【跟踪训练】

解析：∵a＝e1－e2＝（1，0）－（0，1）＝（1，－1），b＝4e1
＋3e2＝4（1，0）＋3（0，1）＝（4，3），∴｜a｜＝ ，｜
b｜＝5，a·b＝4×1＋3×（－1）＝1，设a，b的夹角为θ，∴ cos
θ＝ ＝ ＝ .

2. （2024·济宁月考）已知向量a＝（1，3），b＝（3，4），若（a
－λb）⊥b，则λ＝ .
解析：法一　a－λb＝（1－3λ，3－4λ），∵（a－λb）⊥b，
∴（a－λb）·b＝0，即（1－3λ，3－4λ）·（3，4）＝0，∴3－9λ
＋12－16λ＝0，解得λ＝ .

法二　由（a－λb）⊥b可知，（a－λb）·b＝0，即a·b－λb2＝0，
从而 λ＝ ＝ ＝ ＝ .
1. 已知向量a＝（2，1），b＝（1，－2），则a与b的夹角为（　　）
A. 0° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：D　a·b＝2－2＝0，所以a⊥b，所以a与b的夹角为90°.
故选D.
2. （2024·丽水月考）已知向量a＝（2，1），b＝（－1，k），
a·（2a－b）＝0，则k＝（　　）
A. －12 B. －6
C. 6 D. 12
解析：　2a－b＝（4，2）－（－1，k）＝（5，2－k），由
a·（2a－b）＝0，得（2，1）·（5，2－k）＝0，所以10＋2－k
＝0，解得k＝12.
3. 设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b，则｜3a＋
b｜＝ .
解析：∵a∥b，∴1×y－2×（－2）＝0，解得y＝－4，从而3a
＋b＝（1，2），｜3a＋b｜＝ .

4. 已知点A（0，1），B（1，－2），向量 ＝（4，－1），求
· 及｜ ｜.
解：因为 ＝（1，－3），所以 · ＝1×4＋（－3）×（－
1）＝7，
＝ － ＝（4，－1）－（1，－3）＝（3，2），
所以｜ ｜＝ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 向量a＝（1，－2），b＝（－1，2），则（2a＋b）·a＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 2 D. 5
解析：　由题意得，2a＋b＝（2，－4）＋（－1，2）＝（1，
－2），所以（2a＋b）·a＝1×1＋（－2）×（－2）＝5.故选D.
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2. 已知a＝（1，－2），b＝（x，2），且a∥b，则｜b｜＝（　）
C. 10 D. 5
解析：　因为a＝（1，－2），b＝（x，2），且a∥b，所以
2x＋2＝0，解得x＝－1，所以b＝（－1，2），则｜b｜＝
＝ .
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3. 已知A（－2，1），B（6，－3），C（0，5），则△ABC的形状
是（　　）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
解析：　由题设知 ＝（8，－4）， ＝（2，4）， ＝
（－6，8），所以 · ＝8×2＋（－4）×4＝0，即 ⊥ .
所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形.
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4. 设点A（4，2），B（a，8），C（2，a），O为坐标原点，若
四边形OABC是平行四边形，则向量 与 的夹角为（　　）
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解析：　∵四边形OABC是平行四边形，∴ ＝ ，即（4－
0，2－0）＝（a－2，8－a），∴a＝6，∴ ＝（4，2），
＝（2，6），设向量 与 的夹角为θ，∴ cos θ＝ ＝
＝ ，又θ∈（0，π），∴ 与 的夹角为 .
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5. （多选）已知向量a＝（2，－1），b＝（－3，2），c＝（1，
1），则（　　）
A. a∥b B. （a＋b）⊥c
C. a＋b＝c D. c＝5a＋3b
解析：　由2×2－（－3）×（－1）≠0知，A错误；由题意得
a＋b＝（－1，1），所以（a＋b）·c＝－1＋1＝0，所以B正
确，C错误；由题意得5a＋3b＝5（2，－1）＋3（－3，2）＝
（1，1）＝c，所以D正确.故选B、D.
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6. （多选）（2024·平顶山月考）已知向量a＝（2，1），b＝（－
3，1），则（　　）
B. （a＋b）∥a
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解析：　对于A：由题意得，a－b＝（5，0），所以a与a－
b夹角的余弦值为 ＝ ，故A正确；对于B：由题意得，
a＋b＝（－1，2），所以（a＋b）·a＝－1×2＋1×2＝0，所以
（a＋b）⊥a，故B不正确；对于C：易知 ＝ ＝
＝－ ，所以向量a在向量b上的投影向量的模为 ，故C正
确；对于D：因为a＝（2，1），c＝（ ，－ ），所以a·c＝2× ＋1×（－ ）＝0，所以a⊥c，故D正确.故选A、C、D.
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7. 设向量a＝（1，0），b＝（－1，m）.若a⊥（ma－b），则m
＝ .
解析：由题意得ma－b＝（m＋1，－m），根据向量垂直的充要
条件可得1×（m＋1）＋0×（－m）＝0，所以m＝－1.
－1
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8. 已知a＝（1，2），b＝（－2，n），且a⊥b，则｜3a＋b｜
＝ .
解析：因为a⊥b，所以－2＋2n＝0，于是n＝1，因此a＝（1，
2），b＝（－2，1），所以3a＋b＝（1，7），故｜3a＋b｜＝
5 .
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9. （2024·湖州质检）设向量a＝（2，3），b＝（6，t），若a与b
的夹角为锐角，则实数t的取值范围为 .
解析：因为a与b的夹角为锐角，所以a·b＞0，且a与b不共线，
所以解得t＞－4且t≠9，所以实数t的取值范围为
（－4，9）∪（9，＋∞）.
（－4，9）∪（9，＋∞）
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10. 已知向量a＝（－1，2），b＝（3，－1）.
（1）求a＋2b的坐标与｜a－b｜；
解：a＋2b＝（5，0），
a－b＝（－4，3），
｜a－b｜＝ ＝5.
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（2）求向量a与a－b的夹角的余弦值.
解：a·（a－b）＝10，
｜a｜＝ ＝ ，
cos ＜a，a－b＞＝ ＝ ＝ .
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11. 若向量 ＝（3，－1），n＝（2，1），且n· ＝7，则n·
＝（　　）
A. －2 B. 2
C. －2或2 D. 0
解析：　∵ ＋ ＝ ，∴n·（ ＋ ）＝n· ，即
n· ＋n· ＝n· ，∴n· ＝n· －n· ＝7－5＝2.
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12. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2，点E在边CD
上，且 ＝2 ，则 · ＝（　　）
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解析：　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所
在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB
＝ ，BC＝2，∴A（0，0），B（ ，0），C
（ ，2），D（0，2），∵点E在边CD上，且
＝2 ，
∴E（ ，2）.∴ ＝（ ，2）， ＝（－
，2），∴ · ＝－ ＋4＝ .
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13. （2024·宁德质检）已知O为坐标原点，向量 ＝（2，2），
＝（4，1），在x轴上有一点P使得 · 有最小值，则点P的
坐标为 .
解析：设点P的坐标为（x，0），则 ＝（x－2，－2），
＝（x－4，－1）.所以 · ＝（x－2）（x－4）＋（－2）×
（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，所以当x＝3时， ·
有最小值1.此时点P的坐标为（3，0）.
（3，0）
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14. 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1，2）.
（1）若｜c｜＝2 ，且c与a 方向相反，求c的坐标；
解：设c＝（x，y），由c∥a及｜c｜＝2 .
可得
所以或
因为c与a方向相反，所以c＝（－2，－4）.
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（2）若｜b｜＝ ，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：因为（a＋2b）⊥（2a－b），
所以（a＋2b）·（2a－b）＝0，
即2｜a｜2＋3a·b－2｜b｜2＝0，
所以2×5＋3a·b－2× ＝0，
所以a·b＝－ ，
所以 cos θ＝ ＝－1.
又因为 θ∈[0，π]，所以θ＝π.
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15. 已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝（ sin
A，1），q＝（1，－ cos B），则p与q的夹角是（　　）
A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不确定
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解析：　因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B＞ ，即 ＞A
＞ －B＞0，又因为函数y＝ sin x在（0， ）上单调递增，所以
sin A＞ sin （ －B）＝ cos B，所以p·q＝ sin A－ cos B＞0，设p
与q的夹角为θ，所以 cos θ＝ ＞0，又因为p与q不共线，
所以p与q的夹角是锐角.
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16. （2024·云浮月考）已知向量 ＝（6，1）， ＝（x，y），
＝（－2，－3）.
（1）若 ∥ ，求x与y之间的关系式；
解：∵ ＝ ＋ ＋ ＝（x＋4，y－2），
∴ ＝－ ＝（－x－4，2－y）.
又 ∥ ，且 ＝（x，y），
∴x（2－y）－y（－x－4）＝0，
即x＋2y＝0.
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（2）在（1）的条件下，若 ⊥ ，求x，y的值及四边形
ABCD的面积.
解： ＝ ＋ ＝（x＋6，y＋1），
＝ ＋ ＝（x－2，y－3）.
∵ ⊥ ，∴ · ＝0，
即（x＋6）（x－2）＋（y＋1）（y－3）＝0.
由（1）知x＋2y＝0，与上式联立，
化简得y2－2y－3＝0，
解得y＝3或y＝－1.
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当y＝3时，x＝－6，
此时 ＝（0，4）， ＝（－8，0）；
当y＝－1时，x＝2，
此时 ＝（8，0）， ＝（0，－4）；
∴S四边形ABCD＝ ｜ ｜｜ ｜＝16.
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