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6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos A＝，b＝3，c＝5，则a＝（　　）
A.3　　 　B.4 C.　　　D.2
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝，则C＝（　　）
A. B. C. D.
3.在△ABC中，cos B＝（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　）
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
4.（2024·湖州月考）在△ABC中，若AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·＝（　　）
A.79 B.69 C.5 D.－5
5.（多选）（2024·漳州月考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b＜c，则（　　）
A.b＝2 B.b＝4
C.B＝60° D.B＝30°
6.（多选）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下结论，其中正确的有（　　）
A.sin（B＋C）＝sin A
B.cos（B＋C）＝cos A
C.若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形
D.若a2＋b2＜c2，则△ABC为锐角三角形
7.在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB＝　　　　.
8.（2024·漯河月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝　　　　.
9.在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝　　　　，AC边上的高为　　　　.
10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求c.
11.（2024·青岛月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos 2A＝cos（B＋C），且b＝2，c＝6，则a＝（　　）
A. B.2
C. D.2
12.在不等边三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a为最大边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围为　　　　.
13.（2024·广州质检）已知△ABC的三边a，b，c满足＋＝，则B＝　　　　.
14.已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，b＝2，求c的值.
15.（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，a＝m，b＝4.若满足条件的△ABC有两个，则m的值可以是（　　）
A.2 B.2
C.3 D.4
16.已知2a＋1，a，2a－1是钝角三角形的三边，求实数a的取值范围.
第1课时　余弦定理
1.C　由余弦定理，得a＝＝，故选C.
2.C　∵a＝2，b＝3，c＝，∴由余弦定理的推论可得cos C＝＝＝.∵C∈（0，π），∴C＝.故选C.
3.A　cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形.
4.D　由AB＝5，BC＝7，AC＝8，得cos B＝＝，∴·＝｜｜｜｜cos（π－B）＝5×7×（－）＝－5.故选D.
5.AD　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b＋8＝0 （b－2）·（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2，又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°.故选A、D.
6.AC　依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sin A，A正确；cos（B＋C）＝cos（π－A）＝－cos A，B不正确；因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cos C＝＝0，而0＜C＜π，即有C＝，则△ABC为直角三角形，C正确；因为a2＋b2＜c2，则cos C＝＜0，而0＜C＜π，即有＜C＜π，则△ABC为钝角三角形，D不正确.
7.1　解析：在△ABC中，因为A＝60°，AC＝2，BC＝，设AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，化简得x2－2x＋1＝0，所以x＝1，即AB＝1.
8.　解析：因为b2＝ac，且c＝2a，得b2＝2a2，由余弦定理的推论，cos B＝＝＝.
9.　　解析：由余弦定理的推论，可得cos A＝＝＝，又0＜A＜π，所以A＝，所以sin A＝.则AC边上的高为h＝ABsin A＝3×＝.
10.解：因为sin C＝，且0＜C＜π，所以C＝或C＝.
当C＝时，cos C＝，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，所以c＝2.
当C＝时，cos C＝－，此时c2＝a2＋b2－2abcos C＝28，所以c＝2.
综上所述，c的值为2或2.
11.D　cos 2A＝－cos A＝2cos2A－1，即2cos2A＋cos A－1＝0，解得cos A＝－1（舍去）或cos A＝，在△ABC中，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝28，得a＝2.故选D.
12.（60°，90°）　解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，则cos A＝＞0.∴A＜90°.又∵a为最大边，∴A＞60°.故A的取值范围是（60°，90°）.
13.　解析：∵＋＝，∴＋＝3，∴＋＝1.∴c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b＋c），即ac＝a2＋c2－b2.∴cos B＝＝，∴B＝.
14.解：（1）因为cos A＝2cos2－1，2cos2＋cos A＝0，
所以2cos A＋1＝0，所以cos A＝－，
又0°＜A＜180°，所以A＝120°.
（2）由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A.
又a＝2，b＝2，cos A＝－，
所以（2）2＝22＋c2－2×2×c×（－），
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4（舍去）.
15.BC　在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得m2＝42＋c2－2·4ccos，即c2－4c＋16－m2＝0.依题意，关于c的一元二次方程有两个不相等的正根，所以Δ＝（－4 ）2－4×1×（16－m2）＝4m2－32＞0，且16－m2＞0.又m＞0，所以2＜m＜4.选项B、C符合条件.故选B、C.
16.解：∵2a＋1，a，2a－1是三角形的三边，
∴∴a＞.
要使2a＋1，a，2a－1构成三角形，还需满足即a＞2.
由题意知2a＋1是三角形的最大边，设其对应的角为θ（钝角），则cos θ＝＜0，
∴a2＋（2a－1）2－（2a＋1）2＜0，即a2－8a＜0，解得0＜a＜8.
又∵a＞2，∴a的取值范围是（2，8）.
2 / 26.4.3　余弦定理、正弦定理
新课程标准解读 核心素养
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系 逻辑推理
2.掌握余弦定理、正弦定理 数学运算
3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题 数学建模
第1课时　余弦定理
　　利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角.
【问题】　如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能根据这三个量求出AB的距离吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　余弦定理
文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边　　　　减去这两边与它们夹角的余弦的　　　　
公式表达 a2＝　　 　， b2＝　　 　， c2＝　 　　
推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝
知识点二　解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的　　　　.已知三角形的几个元素求　　　　　　的过程叫做解三角形.
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c＝（　　 ）
A. B.8
C.10 D.7
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＜c2，则△ABC是（　　）
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋c2＝b2＋ac，则B＝　　　　.
题型一 已知两边及一角解三角形
【例1】　（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝3，c＝2，A＝30°，则a＝　　　　；
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝　　　.
【母题探究】
　（变条件）将本例（2）中的条件a＝，c＝2，cos A＝改为a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝　　　　.
通性通法
已知两边及一角解三角形的两种情况
（1）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角；
（2）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.
【跟踪训练】
1.（2024·济宁月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos（A＋B）＝，则c＝（　　）
A.4　　　B. C.3　　　D.
2.已知△ABC中，AB＝，BC＝1，A＝30°，则AC＝　　　　.
题型二 已知三角形的三边解三角形
【例2】　（1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝，则C＝（　　）
A. B. C. D.
（2）（2024·洛阳月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a∶b∶c＝4∶5∶6，则其最大内角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
通性通法
已知三角形三边解三角形的方法
　　先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.
【跟踪训练】
1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2－bc，则A＝（　　）
A.135° B.60°或120°
C.45° D.135°或45°
2.在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小.
题型三 判断三角形的形状
【例3】　（1）在△ABC中，（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab且2cos Asin B＝sin C，试判断△ABC的形状；
（2）在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断△ABC的形状.
通性通法
判断三角形形状的方法
（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
（2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2；
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2；
④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝.
【跟踪训练】
（2024·温州月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是（　　）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝（　　）
A.3 B.
C. D.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝1，c＝2，则A＝（　　）
A.30°　　　B.45° C.60°　　　D.75°
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝3，B＝30°，解这个三角形.
第1课时　余弦定理
【基础知识·重落实】
知识点一
平方的和　积的两倍　b2＋c2－2bccos A　c2＋a2－2cacos B　a2＋b2－2abcos C
知识点二
元素　其他元素
自我诊断
1.D　由余弦定理得：c＝＝＝7.故选D.
2.D　因为a2＋b2＜c2，由余弦定理可得cos C＝＜0，又由C∈（0，π），所以C∈（，π），所以△ABC是钝角三角形.故选D.
3.　解析：在△ABC中，由余弦定理知cos B＝，又a2＋c2＝b2＋ac，所以cos B＝，又0＜B＜π，所以B＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）　（2）3　解析：（1）由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋（2）2－2×3×2cos 30°＝3，所以a＝.
（2）由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcos A，因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0，所以b＝3（b＝－舍去）.
母题探究
　2或4　解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以22＝b2＋（2）2－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.所以b的值为2或4.
跟踪训练
1.D　cos C＝－cos（A＋B）＝－.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×（－）＝17，所以c＝.故选D.
2.1或2　解析：在△ABC中，令角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB＝c＝，BC＝a＝1，cos A＝，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，则AC＝1或AC＝2.
【例2】　（1）C　（2）A　解析：（1）因为a＝2，b＝3，c＝，所以cos C＝＝＝.因为C∈（0，π），所以C＝.故选C.
（2）根据题意，设a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0，且最大角为C，所以cos C＝＝＝.故选A.
跟踪训练
1.C　a2－b2＝c2－bc，由余弦定理的推论得cos A＝＝，故A＝45°.故选C.
2.解：由余弦定理的推论，
得cos A＝
＝
＝.
∵A∈（0，π），∴A＝，
cos C＝＝
＝，
∵C∈（0，π），∴C＝.
∴B＝π－A－C＝π－－＝，
∴A＝，B＝，C＝.
【例3】　解：（1）∵A＋B＋C＝180°，
∴sin C＝sin（A＋B）.
∵2cos Asin B＝sin C，
∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，
∴sin（A－B）＝0.
∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，
∴－180°＜A－B＜180°，∴A－B＝0°，即A＝B.
又（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝.
∵0°＜C＜180°，∴C＝60°，∴△ABC为等边三角形.
（2）由acos B＋acos C＝b＋c，结合余弦定理得a·＋a·＝b＋c，即＋＝b＋c，整理，得（b＋c）（a2－b2－c2）＝0.
∵b＋c≠0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
跟踪训练
　D　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即（b－c）2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
随堂检测
1.B　因为a＝1，b＝2，C＝60°，所以c＝
＝＝.
2.C　由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，又A为△ABC的内角，所以A＝60°.
3.解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，
即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.
当c＝3时，cos A＝＝－，
因为0°＜A＜180°，
所以A＝120°，
故C＝180°－120°－30°＝30°；
当c＝6时，cos A＝＝，
因为0°＜A＜180°，
所以A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.
综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.
3 / 3(共56张PPT)
6.4.3　余弦定理、正弦定理
新课程标准解读 核心素养
1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系 逻辑推理
2.掌握余弦定理、正弦定理 数学运算
3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题 数学建模
第1课时　余弦定理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，
从而可得到未知的距离与角.
【问题】　如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小.你能根据这三个量求出AB的距离吗？
知识点一　余弦定理
文字
表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边 减去
这两边与它们夹角的余弦的
公式
表达 a2＝ ，b2＝ ，c2
＝
推论
平方的和　
积的两倍　
b2＋c2－2bc cos A　
c2＋a2－2ca cos B　
a2＋b2－2ab cos C　
知识点二　解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角
形的 .已知三角形的几个元素求 的过程叫做解
三角形.
元素　
其他元素　
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝
9，b＝2 ，C＝150°，则c＝（　　 ）
解析：　由余弦定理得：c＝
＝ ＝7 .故选D.
2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＜
c2，则△ABC是（　　）
A. 等腰三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 钝角三角形
解析：　因为a2＋b2＜c2，由余弦定理可得 cos C＝ ＜
0，又由C∈（0，π），所以C∈（ ，π），所以△ABC是钝角三
角形.故选D.
3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋
c2＝b2＋ac，则B＝ .
解析：在△ABC中，由余弦定理知 cos B＝ ，又a2＋c2＝
b2＋ac，所以 cos B＝ ，又0＜B＜π，所以B＝ .

典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 已知两边及一角解三角形
【例1】　（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，已知b＝3，c＝2 ，A＝30°，则a＝ 　 　；
解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋（2 ）2－
2×3×2 cos 30°＝3，所以a＝ .

（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝
，c＝2， cos A＝ ，则b＝ .
解析：由余弦定理得5＝22＋b2－2×2b cos A，因为 cos A＝ ，
所以3b2－8b－3＝0，所以b＝3（b＝－ 舍去）.
3
【母题探究】
（变条件）将本例（2）中的条件a＝ ，c＝2， cos A＝ 改为a＝
2，c＝2 ， cos A＝ ，则b＝ .
解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以22＝b2＋（2 ）2
－2×b×2 × ，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.所以b的
值为2或4.
2或4
通性通法
已知两边及一角解三角形的两种情况
（1）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，
再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角；
（2）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的
一元二次方程求解.
【跟踪训练】
1. （2024·济宁月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若a＝3，b＝2， cos （A＋B）＝ ，则c＝（　　）
A. 4
C. 3
解析：　 cos C＝－ cos （A＋B）＝－ .又由余弦定理得c2＝a2
＋b2－2ab cos C＝9＋4－2×3×2×（－ ）＝17，所以c＝ .
故选D.
2. 已知△ABC中，AB＝ ，BC＝1，A＝30°，则AC＝ .
解析：在△ABC中，令角A，B，C的对边分别为a，b，c，则
AB＝c＝ ，BC＝a＝1， cos A＝ ，所以由余弦定理a2＝b2＋
c2－2bc cos A，得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，则AC＝1或
AC＝2.
1或2
题型二 已知三角形的三边解三角形
【例2】　（1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，
c.若a＝2，b＝3，c＝ ，则C＝（　C　）
解析：因为a＝2，b＝3，c＝ ，所以 cos C＝ ＝ ＝
.因为C∈（0，π），所以C＝ .故选C.
C
（2）（2024·洛阳月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为
a，b，c.若a∶b∶c＝4∶5∶6，则其最大内角的余弦值为
（　A　）
解析：根据题意，设a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0，且最大
角为C，所以 cos C＝ ＝ ＝ .故选A.
A
通性通法
已知三角形三边解三角形的方法
　　先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个
角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和
定理求出第三个角.
【跟踪训练】
1. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2
－ bc，则A＝（　　）
A. 135° B. 60°或120°
C. 45° D. 135°或45°
解析：　a2－b2＝c2－ bc，由余弦定理的推论得 cos A＝
＝ ，故A＝45°.故选C.
2. 在△ABC中，已知a＝2 ，b＝6＋2 ，c＝4 ，求A，B，
C的大小.
解：由余弦定理的推论，得 cos A＝ ＝
＝ .
∵A∈（0，π），∴A＝ ，
cos C＝
＝ ＝ ，
∵C∈（0，π），∴C＝ .
∴B＝π－A－C＝π－ － ＝ ，
∴A＝ ，B＝ ，C＝ .
题型三 判断三角形的形状
【例3】　（1）在△ABC中，（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab且2
cos A sin B＝ sin C，试判断△ABC的形状；
解：∵A＋B＋C＝180°，∴ sin C＝ sin （A＋B）.
∵2 cos A sin B＝ sin C，
∴2 cos A sin B＝ sin A cos B＋ cos A sin B，
∴ sin A cos B－ cos A sin B＝0，∴ sin （A－B）＝0.
∵0°＜A＜180°，0°＜B＜180°，
∴－180°＜A－B＜180°，∴A－B＝0°，即A＝B.
又（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，∴ cos C＝ .
∵0°＜C＜180°，∴C＝60°，∴△ABC为等边三角形.
（2）在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，试判断△ABC的形
状.
解：由a cos B＋a cos C＝b＋c，结合余弦定理得a·
＋a· ＝b＋c，即 ＋ ＝b＋c，整
理，得（b＋c）（a2－b2－c2）＝0.
∵b＋c≠0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.
通性通法
判断三角形形状的方法
（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”
入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线：
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量
关系；
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量
关系.
（2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2
＞b2；
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2；
④若 sin 2A＝ sin 2B，则A＝B或A＋B＝ .
【跟踪训练】
（2024·温州月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是（　　）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
解析：　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可
得，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即
（b－c）2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三
角形.
1. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b
＝2，C＝60°，则c＝（　　）
A. 3
解析：　因为a＝1，b＝2，C＝60°，所以c＝
＝ ＝ .
2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝
，b＝1，c＝2，则A＝（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
解析：　由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ ＝ ，又
A为△ABC的内角，所以A＝60°.
3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝
3 ，b＝3，B＝30°，解这个三角形.
解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2ca cos B，
即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.
当c＝3时， cos A＝ ＝－ ，
因为0°＜A＜180°，
所以A＝120°，
故C＝180°－120°－30°＝30°；
当c＝6时， cos A＝ ＝ ，
因为0°＜A＜180°，
所以A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.
综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c
＝3.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， cos A＝
，b＝3，c＝5，则a＝（　　）
A. 3 B. 4
解析：由余弦定理，得a＝ ＝ ，故选C.
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2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b
＝3，c＝ ，则C＝（　　）
解析：　∵a＝2，b＝3，c＝ ，∴由余弦定理的推论可得 cos
C＝ ＝ ＝ .∵C∈（0，π），∴C＝ .故选C.
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3. 在△ABC中， cos B＝ （a，b，c分别为角A，B，C的对边），
则△ABC的形状为（　　）
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
解析： cos B＝ ，由余弦定理得 ＝ ，整理得b2＋a2
＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形.
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4. （2024·湖州月考）在△ABC中，若AB＝5，BC＝7，AC＝8，则
· ＝（　　）
A. 79 B. 69
C. 5 D. －5
解析：　由AB＝5，BC＝7，AC＝8，得 cos B＝ ＝
，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos （π－B）＝5×7×（－ ）＝
－5.故选D.
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5. （多选）（2024·漳州月考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别
为a，b，c.若a＝2，c＝2 ， cos A＝ ，且b＜c，则（　　）
A. b＝2 B. b＝4
C. B＝60° D. B＝30°
解析：　由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b b2－6b
＋8＝0 （b－2）（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2，又a＝2，
cos A＝ ，所以B＝A＝30°.故选A、D.
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6. （多选）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于
△ABC，有如下结论，其中正确的有（　　）
A. sin （B＋C）＝ sin A
B. cos （B＋C）＝ cos A
C. 若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形
D. 若a2＋b2＜c2，则△ABC为锐角三角形
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解析：　依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A， sin （B＋C）
＝ sin （π－A）＝ sin A，A正确； cos （B＋C）＝ cos （π－A）
＝－ cos A，B不正确；因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得
cos C＝ ＝0，而0＜C＜π，即有C＝ ，则△ABC为直角
三角形，C正确；因为a2＋b2＜c2，则 cos C＝ ＜0，而0
＜C＜π，即有 ＜C＜π，则△ABC为钝角三角形，D不正确.
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7. 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝ ，则AB＝ .
解析：在△ABC中，因为A＝60°，AC＝2，BC＝ ，设AB＝
x，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A，化简得x2－
2x＋1＝0，所以x＝1，即AB＝1.
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8. （2024·漯河月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则 cos B＝ .
解析：因为b2＝ac，且c＝2a，得b2＝2a2，由余弦定理的推论，
cos B＝ ＝ ＝ .

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9. 在△ABC中，AB＝3，BC＝ ，AC＝4，则A＝ 　 　，AC边
上的高为 .
解析：由余弦定理的推论，可得 cos A＝ ＝
＝ ，又0＜A＜π，所以A＝ ，所以 sin A＝ .则
AC边上的高为h＝AB sin A＝3× ＝ .


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解：因为 sin C＝ ，且0＜C＜π，所以C＝ 或C＝ .
当C＝ 时， cos C＝ ，此时c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4，所以c
＝2.
当C＝ 时， cos C＝－ ，此时c2＝a2＋b2－2ab cos C＝28，所
以c＝2 .
综上所述，c的值为2或2 .
10. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin C
＝ ，a＝2 ，b＝2，求c.
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11. （2024·青岛月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，
b，c，已知 cos 2A＝ cos （B＋C），且b＝2，c＝6，则a＝
（　　）
解析：　 cos 2A＝－ cos A＝2 cos 2A－1，即2 cos 2A＋ cos A－
1＝0，解得 cos A＝－1（舍去）或 cos A＝ ，在△ABC中，根据
余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A＝28，得a＝2 .故选D.
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12. 在不等边三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，且a为最大边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围
为 .
解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，则 cos A＝ ＞
0.∴A＜90°.又∵a为最大边，∴A＞60°.故A的取值范围是
（60°，90°）.
（60°，90°）
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13. （2024·广州质检）已知△ABC的三边a，b，c满足 ＋
＝ ，则B＝ 　 　.
解析：∵ ＋ ＝ ，∴ ＋ ＝3，
∴ ＋ ＝1.∴c（b＋c）＋a（a＋b）＝（a＋b）（b
＋c），即ac＝a2＋c2－b2.∴ cos B＝ ＝ ，∴B＝ .

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14. 已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，
c，且2 cos 2 ＋ cos A＝0.
（1）求角A的大小；
解：因为 cos A＝2 cos 2 －1，2 cos 2 ＋ cos A＝0，
所以2 cos A＋1＝0，所以 cos A＝－ ，
又0°＜A＜180°，所以A＝120°.
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（2）若a＝2 ，b＝2，求c的值.
解：由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bc cos A.
又a＝2 ，b＝2， cos A＝－ ，
所以（2 ）2＝22＋c2－2×2×c×（－ ），
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4（舍去）.
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15. （多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
A＝ ，a＝m，b＝4.若满足条件的△ABC有两个，则m的值可
以是（　　）
C. 3 D. 4
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解析：　在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得
m2＝42＋c2－2·4c cos ，即c2－4 c＋16－m2＝0.依题意，关
于c的一元二次方程有两个不相等的正根，所以Δ＝（－4 ）2
－4×1×（16－m2）＝4m2－32＞0，且16－m2＞0.又m＞0，所
以2 ＜m＜4.选项B、C符合条件.故选B、C.
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16. 已知2a＋1，a，2a－1是钝角三角形的三边，求实数a的取值
范围.
解：∵2a＋1，a，2a－1是三角形的三边，
∴∴a＞ .
要使2a＋1，a，2a－1构成三角形，还需满足
即a＞2.
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由题意知2a＋1是三角形的最大边，设其对应的角为θ（钝角），
则 cos θ＝ ＜0，
∴a2＋（2a－1）2－（2a＋1）2＜0，即a2－8a＜0，解得0＜a
＜8.
又∵a＞2，∴a的取值范围是（2，8）.
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