资源简介

第2课时　正弦定理
1.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝（　　）
A. B.
C. D.
2.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则角B的大小为（　　）
A. B.
C. D.
3.（2024·阳江月考）在△ABC中，已知AB＝AC，B＝30°，则C＝（　　）
A.45° B.15°
C.45°或135° D.15°或105°
4.（2024·开封月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，sin（A＋B）＝，sin A＝，则c＝（　　）
A.4 B.3
C. D.
5.（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos A＝bcos B，则△ABC是（　　）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
6.（多选）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（　　）
A.a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B.b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝　　　　.
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2asin C＝c，则A＝　　　　.
9.（2024·烟台月考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝　　　　.
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形：
（1）A＝30°，C＝105°，a＝2；
（2）b＝3，c＝3，B＝30°.
11.在△ABC中，若sin C＝2sin Bcos B，且B∈（，），则的取值范围为（　　）
A.（，） B.（，2）
C.（0，2） D.（，2）
12.（多选）下列说法中正确的是（　　）
A.在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C.在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B；若A＞B，则sin A＞sin B
D.在△ABC中，＝
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为　　　　.
14.（2024·嘉兴月考）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.
（1）求角A的大小；
（2）若a＝1，b＝，求c的值.
15.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BPC＝90°，AB＝，BC＝1，∠APC＝120°，则tan∠BCP＝　　　　.
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，A＝，试求△ABC的周长的取值范围.
第2课时　正弦定理
1.A　由＝，故＝，解得sin B＝.故选A.
2.B　由正弦定理＝及＝，可得sin B＝cos B.又0＜B＜π，所以B＝.
3.C　因为AB＝AC，由正弦定理得＝，又因为B＝30°，所以sin C＝，又因为AB＞AC，所以C＝45°或C＝135°.
4.C　sin C＝sin（A＋B）＝.由正弦定理得c＝·sin C＝×＝.故选C.
5.AC　由正弦定理＝，得＝.又acos A＝bcos B，所以＝，所以＝，所以sin A·cos A＝sin B·cos B，所以2sin A·cos A＝2sin B·cos B，即sin 2A＝sin 2B.因为A，B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝，故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
6.ABD　A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，∵＝，∴sin C＝＝＝，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝，有解；D中，∵＝，∴sin B＝＝＝，又b＜a，∴只有一解.
7.1∶1∶　解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B，C分别为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶.
8.45°或135°　解析：设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，得2×2Rsin Asin C＝×2Rsin C，因此sin A＝，又因为0°＜A＜180°，故A＝45°或A＝135°.
9.1　解析：在△ABC中，∵sin B＝，0＜B＜π，∴B＝或B＝π.又∵B＋C＜π，C＝，∴B＝，∴A＝π－－＝π.∵＝，∴b＝＝1.
10.解：（1）∵A＝30°，C＝105°，∴B＝180°－（A＋C）＝45°.
∵＝＝，
∴b＝＝＝2，
c＝＝＝＋.
∴B＝45°，b＝2，c＝＋.
（2）由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝.
∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°.
①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC为直角三角形，此时a＝＝6.
②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B，∴a＝b＝3.
综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3.
11.A　由正弦定理得＝＝＝2cos B.又＜B＜，余弦函数在此范围内单调递减，故＜cos B＜，∴∈（，）.
12.ACD　对于A，由＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2Rsin A∶2Rsin B∶2Rsin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A＞sin B a＞b A＞B，故C正确；对于D，由＝＝＝2R，可得＝＝2R＝，故D正确.
13.（，2）　解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理＝，得c＝.若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞csin B，即＜b＜2.
14.解：（1）由acos C＋c＝b，
得sin Acos C＋sin C＝sin B.
因为sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin C＝cos Asin C.
因为sin C≠0，所以cos A＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.
（2）由正弦定理，得sin B＝＝.
又b＞a，所以B＞A，所以B＝或B＝.
①当B＝时，由A＝，得C＝，
所以c＝＝2.
②当B＝时，由A＝，得C＝.
所以c＝a＝1.
综上可得c＝1或c＝2.
15.　解析：由题得AC＝＝2，∠ACB＝60°.设∠BCP＝α，∴∠ACP＝60°－α，∠CAP＝180°－120°－（60°－α）＝α，在Rt△PBC中，PC＝1×cos α＝cos α.在△ACP中，由正弦定理得＝，∴tan α＝.
16.解：由正弦定理，得＝＝，
即＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C＝＋2sin B＋2sin（－B）
＝＋3sin B＋cos B
＝＋2sin（B＋），
又B∈（0，），∴B＋∈（，），
∴sin（B＋）∈（，1］，∴L∈（2，3].
即△ABC的周长的取值范围为（2，3].
1 / 2第2课时　正弦定理
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小.
【问题】　你能借助这三个量，求出AB的长度吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　正弦定理
文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的　　的比相等
符号 语言 ＝＝（△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c）
提醒　正弦定理的变形形式：若R为△ABC外接圆的半径，则①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③＝2R；④sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
【想一想】
如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？
1.在△ABC中，下列等式总能成立的是（　　）
A.acos C＝ccos A
B.bsin C＝csin A
C.absin C＝bcsin B
D.asin C＝csin A
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝2，则b＝（　　）
A.　　　B. C.　　　D.2
3.在△ABC中，已知A＝30°，BC＝4，则△ABC的外接圆半径为　　　　.
题型一 已知两角及一边解三角形
【例1】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.
通性通法
已知两角及一边解三角形的一般步骤
【跟踪训练】
　（2024·东营月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝，C＝，a＝5，则此三角形的最大边长为　　　　.
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
【例2】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形.
【母题探究】
　（变条件）若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不变，解此三角形.
通性通法
已知两边及一边的对角解三角形的步骤
【跟踪训练】
1.（2024·鹤壁月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，b＝3，sin A＝，则B＝（　　）
A. B.
C.或 D.或
2.在△ABC中，若a＝6，b＝6，A＝30°，则B＝（　　）
A.60° B.60°或120°
C.60°或150° D.120°
题型三 判断三角形的形状
【例3】　（2024·金华月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是（　　）
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
通性通法
利用正弦定理判断三角形形状的方法
（1）化边为角：将题目中的所给条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；
（2）化角为边：将题目中的所给条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2），进而确定三角形的形状.
【跟踪训练】
　已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝＝，则△ABC是（　　）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一个内角是30°的直角三角形
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，则＝（　　）
A. B.
C. D.3
2.（2024·佛山月考）一个三角形中的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对的边长是（　　）
A.4 B.12
C.4 D.12
3.在△ABC中，已知sin A＝2sin Bcos C，则该三角形的形状为　　　　.
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a.
第2课时　正弦定理
【基础知识·重落实】
知识点
　正弦
想一想
　提示：＝＝＝c.
自我诊断
1.D　由正弦定理易知，选项D正确.
2.D　＝ b＝＝＝2.故选D.
3.4　解析：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得2R＝＝＝8，解得R＝4.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°.
由＝得，c＝＝
＝＝4（＋1）.
所以A＝45°，c＝4（＋1）.
跟踪训练
　5　解析：∵B＝，C＝，∴A＝，∴B所对的边最大，∵＝，∴b＝＝＝5.
【例2】　解：由正弦定理＝，知sin A＝＝，
∵b＜a，∴A＝60°或120°，
当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，
∴c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，
∴c＝＝＝.
故当A＝60°时，C＝75°，c＝；
当A＝120°时，C＝15°，c＝.
母题探究
　解：由正弦定理＝，
知sin B＝＝，
∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°，
∴c＝＝＝.
跟踪训练
1.A　由题意可得sin B＝＝＝，则B＝或B＝.因为b＜a，所以B＜A，所以B＝.故选A.
2.B　a＜b A＜B B＞30°，由正弦定理可知＝，∴sin B＝＝＝，∵B∈（30°，180°），∴B＝60°或120°.故选B.
【例3】　A　法一　由正弦定理得acos B＝bcos A sin Acos B＝sin Bcos A sin（A－B）＝0.由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形.
法二　由余弦定理得a·＝b·，整理得2a2＝2b2，因为a＞0，b＞0，得a＝b，所以△ABC为等腰三角形.
跟踪训练
　C　已知＝＝，由正弦定理可得cos A＝sin A，cos B＝sin B，故A＝B＝，C＝，则△ABC是等腰直角三角形.故选C.
随堂检测
1.B　由正弦定理，得＝，故＝＝.
2.D　设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得＝，得x＝＝＝12，故选D.
3.等腰三角形　解析：∵sin A＝2sin Bcos C，且sin A＝sin（B＋C），∴2sin Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即sin（B－C）＝0，∵－π＜B－C＜π，∴B－C＝0，即B＝C，故该三角形的形状为等腰三角形.
4.解：由正弦定理，得＝，
得sin B＝＝.
因为b＞c，所以B＞C＝30°，
所以B＝60°或B＝120°.
当B＝60°时，A＝90°，a＝＝＝12.
当B＝120°时，A＝30°，a＝＝＝6.
所以a＝6或a＝12.
3 / 3(共29张PPT)
第2课时　正弦定理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距
离，而且已经测量出了BC的长度，也想办法得到了∠ABC与∠ACB
的大小.
【问题】　你能借助这三个量，求出AB的长度吗？
知识点　正弦定理
文字
语言 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等
符号
语言 ＝ ＝ （△ABC中角A，B，C的对边分别为a，
b，c）
正弦　
提醒　正弦定理的变形形式：若R为△ABC外接圆的半径，则①a＝
2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；② sin A＝ ， sin B＝ ， sin
C＝ ；③ ＝2R；④ sin A∶ sin B∶ sin C＝
a∶b∶c.
提示： ＝ ＝ ＝c.
【想一想】
如图，在Rt△ABC中， ， ， 各自等于什么？
1. 在△ABC中，下列等式总能成立的是（　　）
A. a cos C＝c cos A
B. b sin C＝c sin A
C. ab sin C＝bc sin B
D. a sin C＝c sin A
解析：由正弦定理易知，选项D正确.
2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝30°，
B＝45°，a＝2 ，则b＝（　　）
A. B. C. D. 2
解析：　 ＝ b＝ ＝ ＝2 .故选D.
3. 在△ABC中，已知A＝30°，BC＝4，则△ABC的外接圆半径
为 .
解析：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得2R＝ ＝
＝8，解得R＝4.
4
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 已知两角及一边解三角形
【例1】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a
＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c.
解：A＝180°－（B＋C）＝180°－（60°＋75°）＝45°.
由 ＝ 得，c＝ ＝
＝ ＝4（ ＋1）.
所以A＝45°，c＝4（ ＋1）.
通性通法
已知两角及一边解三角形的一般步骤
【跟踪训练】
（2024·东营月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝ ，C＝ ，a＝5，则此三角形的最大边长为 .
解析：∵B＝ ，C＝ ，∴A＝ ，∴B所对的边最大，∵ ＝
，∴b＝ ＝ ＝5 .
5
题型二 已知两边及一边的对角解三角形
【例2】　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a
＝ ，b＝ ，B＝45°，解此三角形.
解：由正弦定理 ＝ ，知 sin A＝ ＝ ，
∵b＜a，∴A＝60°或120°，
当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，
∴c＝ ＝ ＝ ；
当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，
∴c＝ ＝ ＝ .
故当A＝60°时，C＝75°，c＝ ；
当A＝120°时，C＝15°，c＝ .
【母题探究】
（变条件）若本例中“B＝45°”变为“A＝60°”，其他条件不
变，解此三角形.
解：由正弦定理 ＝ ，知 sin B＝ ＝ ，
∵b＜a，∴B＝45°，∴C＝75°，
∴c＝ ＝ ＝ .
通性通法
已知两边及一边的对角解三角形的步骤
【跟踪训练】
1. （2024·鹤壁月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，
b，c，若a＝4，b＝3， sin A＝ ，则B＝（　　）
A. B.
C. 或 D. 或
解析：　由题意可得 sin B＝ ＝ ＝ ，则B＝ 或B＝ .
因为b＜a，所以B＜A，所以B＝ .故选A.
2. 在△ABC中，若a＝6，b＝6 ，A＝30°，则B＝（　　）
A. 60° B. 60°或120°
C. 60°或150° D. 120°
解析：　a＜b A＜B B＞30°，由正弦定理可知 ＝
，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，∵B∈（30°，180°），∴B
＝60°或120°.故选B.
题型三 判断三角形的形状
【例3】　（2024·金华月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分
别是a，b，c，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（　　）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析：法一　由正弦定理得a cos B＝b cos A sin A cos B＝ sin B cos A sin （A－B）＝0.由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形.
法二　由余弦定理得a· ＝b· ，整理得2a2＝2b2，
因为a＞0，b＞0，得a＝b，所以△ABC为等腰三角形.
通性通法
利用正弦定理判断三角形形状的方法
（1）化边为角：将题目中的所给条件，利用正弦定理化边为角，再
根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角
形的形状；
（2）化角为边：将题目中的所给条件，利用正弦定理化角为边，再
根据代数恒等变换得到边的关系（如a＝b，a2＋b2＝c2），进
而确定三角形的形状.
【跟踪训练】
已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ＝
＝ ，则△ABC是（　　）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 有一个内角是30°的直角三角形
解析：已知 ＝ ＝ ，由正弦定理可得 cos A＝ sin A， cos B＝ sin B，故A＝B＝ ，C＝ ，则△ABC是等腰直角三角形.故选C.
1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝
3，则 ＝（　　）
A. B.
C. D. 3
解析：由正弦定理，得 ＝ ，故 ＝ ＝ .
2. （2024·佛山月考）一个三角形中的两个角分别等于120°和45°，
若45°角所对的边长是4 ，那么120°角所对的边长是（　　）
A. 4 B. 12
C. 4 D. 12
解析：　设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得
＝ ，得x＝ ＝ ＝12，故选D.
3. 在△ABC中，已知 sin A＝2 sin B cos C，则该三角形的形状
为 　 　.
等腰三角形
解析：∵ sin A＝2 sin B cos C，且 sin A＝ sin （B＋C），∴2 sin B
cos C＝ sin B cos C＋ cos B sin C，即 sin B cos C－ cos B sin C＝0，即
sin （B－C）＝0，∵－π＜B－C＜π，∴B－C＝0，即B＝C，
故该三角形的形状为等腰三角形.
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝
6 ，c＝6，C＝30°，求a.
解：由正弦定理，得 ＝ ，
得 sin B＝ ＝ .
因为b＞c，所以B＞C＝30°，
所以B＝60°或B＝120°.
当B＝60°时，A＝90°，a＝ ＝ ＝12.
当B＝120°时，A＝30°，a＝ ＝ ＝6.
所以a＝6或a＝12.
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