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第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，c＝2，A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积为（　　）
A.　　 　 B.2
C.2　　 　 D.4
2.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝（　　）
A. B.
C. D.
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝（　　）
A.6 B.5
C.4 D.3
4.（2024·济南月考）如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于（　　）
A. B.5 C.6 D.7
5.（多选）（2024·周口月考）在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是（　　）
A. B.1
C. D.
6.（多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是（　　）
A.a2＝b2＋c2－2bccos A
B.asin B＝bsin A
C.a＝bcos C＋ccos B
D.acos B＋bcos C＝c
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Asin B＋bcos2A＝2a，则＝　　　　.
8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，C＝60°，且△ABC的面积为5，则△ABC的周长为　　　　.
9.（2024·焦作月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝3，B＝，则AC边上的高为　　　　.
10.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（c－b）（sin B＋sin C）＝（sin C－sin A）a.
（1）求角B；
（2）若c＝4，△ABC的面积为3，求cos C的值.
11.已知向量a＝（2，－1），b＝（2，2），则以a，b为邻边的平行四边形的面积为（　　）
A.6 B.3
C.4 D.8
12.（多选）在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则下列说法正确的是（　　）
A.△ABC的面积为8
B.△ABC的周长为8＋4
C.△ABC为钝角三角形
D.sin∠CDB＝
13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.
（1）求B的大小；
（2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
14.在锐角三角形ABC中，边BC＝2，B＝2A，则边AC的取值范围是　　　　.
15.从①A＋C＝2B；②a＋c＝2b.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，　　　　，试求sin A·sin B·sin C的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
1.B　由题中条件及正弦定理得b＝2c＝4，由面积公式得，△ABC的面积为bcsin A＝×4×2×＝2.故选B.
2.A　由余弦定理及题中条件可得△ABC的面积S△ABC＝absin C＝＝abcos C，可得sin C＝cos C，∵C∈（0，π），∴C＝.故选A.
3.A　∵asin A－bsin B＝4csin C，∴由正弦定理，得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.故选A.
4.B　连接BD（图略）.在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5 .
5.AD　∵AB＝，AC＝1，B＝，又由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，∴BC2－3BC＋2＝0，∴BC＝1或BC＝2，∵S△ABC＝·AB·BC·sin B，∴S△ABC＝或S△ABC＝.
6.ABC　对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确；对于B，根据正弦定理＝，可得asin B＝bsin A，故B正确；对于C，根据正弦定理，得a＝bcos C＋ccos B sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin（B＋C）＝sin A，故C正确；对于D，根据正弦定理可得，sin Acos B＋sin Bcos C＝sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin Bcos C＝cos Asin B，又sin B≠0，所以cos C＝cos A，当A＝C时，等式成立，故D不正确.
7.2　解析：由已知及正弦定理，得sin2A·sin B＋sin Bcos2A＝2sin A，即sin B（sin2A＋cos2A）＝2sin A，所以sin B＝2sin A，所以b＝2a，即＝2.
8.9＋　解析：由题意及三角形的面积公式，得absin C＝5，即a×5×＝5，解得a＝4，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，即c2＝16＋25－2×4×5×＝21，c＝，所以△ABC的周长为9＋.
9.　解析：在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋9－2×2×3×＝7，解得b＝（负值舍去），设AC边上的高为h，则S△ABC＝acsin B＝h·b，即×2×3×sin＝h×，解得h＝.
10.解：（1）因为（c－b）（sin B＋sin C）＝（sin C－sin A）a，
所以由正弦定理得c2－b2＝ac－a2，即a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理的推论得cos B＝＝＝.
因为0＜B＜π，所以B＝.
（2）因为c＝4，△ABC的面积为3，
所以acsin B＝3，
即×4a×＝3，解得a＝3.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋16－2×3×4×＝13，所以b＝（负值舍去），
所以cos C＝＝＝.
11.A　设向量a与b的夹角为θ，则由题意得，cos θ＝＝＝，则sin θ＝，所以平行四边形的面积为S＝2××｜a｜·｜b｜sin θ＝×2×＝6.
12.ABC　如图，在△BCD中，CB＝2CD，cos∠CDB＝－，由余弦定理BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠CDB，得4CD2＝9＋CD2＋CD，即CD2－CD－3＝0，解得CD＝，BC＝2，又由余弦定理的推论得cos B＝＝，则sin B＝，在△ABC中，由余弦定理，得AC＝＝＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BCsin B＝8，A正确；△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝8＋4，B正确；显然AB是最大边，cos∠ACB＝＝－＜0，所以∠ACB为钝角，C正确；sin∠CDB＝＝，D不正确.
13.解：（1）由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
故cos B＝，又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
（2）sin A＝sin（30°＋45°）＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.
故由正弦定理，得a＝b·＝1＋.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
故c＝b·＝2×＝.
14.（2，2）　解析：因为B＝2A，故sin B＝sin 2A＝2sin Acos A，所以AC＝2BCcos A＝4cos A，而△ABC为锐角三角形，故故＜A＜，故4cos＜AC＜4cos即2＜AC＜2.
15.解：选①A＋C＝2B.易知B＝，A∈（0，），
sin Asin Bsin C＝－cos（2A＋）∈（0，］.
选②a＋c＝2b.可知ac≤（）2＝4，cos B＝＝－1≥，
从而B∈（0，］，sin B∈（0，］，
而sin Asin Bsin C＝sin3B≤，当且仅当a＝b＝c＝2时取等号，从而sin Asin Bsin C∈（0，］.
1 / 2第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
题型一 有关三角形面积的计算
【例1】　（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为　　　　；
（2）（2024·日照月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，求cos B的值.
通性通法
求三角形面积的解题思路
　　在应用三角形面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B求解时，一般是已知哪个角就使用哪一个公式.
【跟踪训练】
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，c＝2且△ABC的面积为，则B＝（　　）
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
2.（2024·聊城月考）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，sin A＝2sin Bcos C，则△ABC的面积为　　　　.
题型二 求解平面几何问题
【例2】　（2024·平顶山月考）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD.
（1）若sin∠BAC＝，求sin∠BCA；
（2）若AD＝3AC，求AC.
通性通法
　　正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.
【跟踪训练】
如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
（1）求sin∠BAD；
（2）求的值.
题型三 正、余弦定理的综合应用
【例3】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sin B－sin C）2＝sin2A－sin Bsin C，则角A的大小为　　　　.
通性通法
利用正、余弦定理解与三角形有关问题的一般思路
（1）抓住两定理的特点，在涉及求三角形边角时，合理选择定理，可有效减少运算量及不必要的分类讨论；
（2）根据已知条件及几何图形的特点构建含待求元素的三角形，对综合性较强的问题应认真梳理，挖掘隐含条件，结合三角函数的性质、三角恒等变换等知识合理转化；
（3）注意三角形的几何性质在解题中的运用.
【跟踪训练】
　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.
（1）求B的大小；
（2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值.
1.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝4，C＝，则△ABC的面积为（　　）
A.2 B.
C. D.
2.在△ABC中，sin2A＝sin Bsin C，若A＝，则B＝（　　）
A. B.
C. D.
3.已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为　　　　.
4.（2024·揭阳月考）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B＝　　　　.
第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）　解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8（舍去）.所以S△ABC＝acsin B＝×5×3sin 120°＝.
（2）解：由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得acsin B＝a2sin B，
由sin B≠0，知c＝2a，所以cos B＝＝＝.
跟踪训练
1.D　由面积公式S△ABC＝acsin B＝×1×2×sin B＝，解得sin B＝，所以B＝60°或120°.故选D.
2.2　解析：依题意sin A＝2sin Bcos C，由正弦定理得a＝2bcos C，2＝2×3×cos C，cos C＝＞0，所以0＜C＜，所以sin C＝＝，所以△ABC的面积为absin C＝×2×3×＝2.
【例2】　解：（1）在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠BCA＝.
（2）设AC＝x，则AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin∠CAD＝＝.
在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠BAC＝＝.
又∠BAC＋∠CAD＝，
所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即＝，
整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－（舍去），即AC＝3.
跟踪训练
　解：（1）在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝，
所以sin∠BAD＝sin（∠ADC－B）＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B＝×－×＝.
（2）在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝82＋52－2×8×5×＝49，
所以AC＝7，所以＝.
【例3】　60°　解析：由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝＝.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
跟踪训练
　解：（1）∵bsin A＝acos B，
∴由正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝，∴B＝.
（2）∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2acos ，
解得a＝，∴c＝2a＝2.
随堂检测
1.B　由题意可知，a＝，b＝4，C＝，所以S△ABC＝absin C＝××4×＝.
2.C　因为sin2A＝sin Bsin C，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，得b＝c，所以△ABC是等边三角形，B＝.故选C.
3.60°　解析：由三角形的面积公式及题设可得，3＝×4×3×sin C，所以sin C＝，因为△ABC为锐角三角形，所以C＝60°.
4.　解析：由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，即AB＝2，由正弦定理，得＝，则sin B＝＝.
2 / 2(共46张PPT)
第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 有关三角形面积的计算
【例1】　（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为 ；

解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即c2＋5c－24＝0，
解得c＝3或c＝－8（舍去）.所以S△ABC＝ ac sin B＝ ×5×3 sin
120°＝ .
（2）（2024·日照月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是
a，b，c，若 sin B＝2 sin A，且△ABC的面积为a2 sin B，求
cos B的值.
解：由 sin B＝2 sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2 sin B，
得 ac sin B＝a2 sin B，
由 sin B≠0，知c＝2a，所以 cos B＝ ＝ ＝ .
通性通法
求三角形面积的解题思路
　　在应用三角形面积公式S＝ ab sin C＝ bc sin A＝ ac sin B求解
时，一般是已知哪个角就使用哪一个公式.
【跟踪训练】
1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，c
＝2且△ABC的面积为 ，则B＝（　　）
A. 30° B. 60°
C. 30°或150° D. 60°或120°
解析：　由面积公式S△ABC＝ ac sin B＝ ×1×2× sin B＝ ，
解得 sin B＝ ，所以B＝60°或120°.故选D.
2. （2024·聊城月考）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的
对边，若a＝2，b＝3， sin A＝2 sin B cos C，则△ABC的面积
为 .
解析：依题意 sin A＝2 sin B cos C，由正弦定理得a＝2b cos C，2
＝2×3× cos C， cos C＝ ＞0，所以0＜C＜ ，所以 sin C＝
＝ ，所以△ABC的面积为 ab sin C＝ ×2×3×
＝2 .
2
题型二 求解平面几何问题
【例2】　（2024·平顶山月考）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝ ，BC＝ ，AB⊥AD，AC⊥CD.
（1）若 sin ∠BAC＝ ，求 sin ∠BCA；
解：在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝
，解得 sin ∠BCA＝ .
（2）若AD＝3AC，求AC.
解：设AC＝x，则AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝
＝2 x， sin ∠CAD＝ ＝ .
在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos ∠BAC＝ ＝ .
又∠BAC＋∠CAD＝ ，
所以 cos ∠BAC＝ sin ∠CAD，即 ＝ ，
整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－ （舍去），即AC＝3.
通性通法
　　正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何
图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定
理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边
创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.
【跟踪训练】
如图，在△ABC中，B＝ ，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，
cos ∠ADC＝ .
（1）求 sin ∠BAD；
解：在△ADC中，因为 cos ∠ADC＝ ，所以 sin ∠ADC＝ ，
所以 sin ∠BAD＝ sin （∠ADC－B）＝ sin ∠ADC cos B－ cos
∠ADC sin B＝ × － × ＝ .
（2）求 的值.
解：在△ABD中，由正弦定理得BD＝ ＝ ＝3.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC· cos B＝
82＋52－2×8×5× ＝49，
所以AC＝7，所以 ＝ .
题型三 正、余弦定理的综合应用
【例3】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（ sin
B－ sin C）2＝ sin 2A－ sin B sin C，则角A的大小为 .
解析：由已知得 sin 2B＋ sin 2C－ sin 2A＝ sin B sin C，故由正弦定理
得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得 cos A＝ ＝ .因为0°＜A
＜180°，所以A＝60°.
60°
通性通法
利用正、余弦定理解与三角形有关问题的一般思路
（1）抓住两定理的特点，在涉及求三角形边角时，合理选择定理，
可有效减少运算量及不必要的分类讨论；
（2）根据已知条件及几何图形的特点构建含待求元素的三角形，对
综合性较强的问题应认真梳理，挖掘隐含条件，结合三角函数
的性质、三角恒等变换等知识合理转化；
（3）注意三角形的几何性质在解题中的运用.
【跟踪训练】
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝
a cos B.
（1）求B的大小；
解：∵b sin A＝ a cos B，
∴由正弦定理，得 sin B sin A＝ sin A cos B.
在△ABC中， sin A≠0，
即得tan B＝ ，∴B＝ .
（2）若b＝3， sin C＝2 sin A，求a，c的值.
解：∵ sin C＝2 sin A，∴由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ，
解得a＝ ，∴c＝2a＝2 .
1. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝ ，b＝
4，C＝ ，则△ABC的面积为（　　）
解析：　由题意可知，a＝ ，b＝4，C＝ ，所以S△ABC＝
ab sin C＝ × ×4× ＝ .
2. 在△ABC中， sin 2A＝ sin B sin C，若A＝ ，则B＝（　　）
解析：　因为 sin 2A＝ sin B sin C，所以a2＝bc，由余弦定理可
知a2＝b2＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，即（b－c）2＝0，
得b＝c，所以△ABC是等边三角形，B＝ .故选C.
3. 已知锐角△ABC的面积为3 ，BC＝4，CA＝3，则角C的大小
为 .
解析：由三角形的面积公式及题设可得，3 ＝ ×4×3× sin C，
所以 sin C＝ ，因为△ABC为锐角三角形，所以C＝60°.
60°
4. （2024·揭阳月考）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝
60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则 sin B＝ .

解析：由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝
2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB，即AB
＝2 ，由正弦定理，得 ＝ ，则 sin B＝ ＝
.
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，c＝2，A＝
， sin B＝2 sin C，则△ABC的面积为（　　）
C. 2 D. 4
解析：　由题中条件及正弦定理得b＝2c＝4，由面积公式得，
△ABC的面积为 bc sin A＝ ×4×2× ＝2 .故选B.
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2. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△ABC的面积
为 ，则C＝（　　）
解析：　由余弦定理及题中条件可得△ABC的面积S△ABC＝ ab
sin C＝ ＝ ab cos C，可得 sin C＝ cos C，∵C∈（0，
π），∴C＝ .故选A.
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3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b
sin B＝4c sin C， cos A＝－ ，则 ＝（　　）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
解析：　∵a sin A－b sin B＝4c sin C，∴由正弦定理，得a2－b2
＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理的推论，得 cos A＝
＝ ＝ ＝－ ，∴ ＝6.故选A.
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4. （2024·济南月考）如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB
＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于（　　）
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解析：　连接BD（图略）.在△BCD中，由已知条件，知∠DBC
＝ ＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定
理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C，知BD2＝22＋22－2×2×2
cos 120°＝12.所以BD＝2 ，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD
＝ ×4×2 ＋ ×2×2× sin 120°＝5 .
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5. （多选）（2024·周口月考）在△ABC中，AB＝ ，AC＝1，B
＝ ，则△ABC的面积可以是（　　）
B. 1
解析：　∵AB＝ ，AC＝1，B＝ ，又由余弦定理，得AC2
＝AB2＋BC2－2AB·BC· cos B，∴BC2－3BC＋2＝0，∴BC＝1或
BC＝2，∵S△ABC＝ ·AB·BC· sin B，∴S△ABC＝ 或S△ABC＝ .
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6. （多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
下列等式恒成立的是（　　）
A. a2＝b2＋c2－2bc cos A B. a sin B＝b sin A
C. a＝b cos C＋c cos B D. a cos B＋b cos C＝c
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解析：　对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故A正确；对于B，根据正弦定理 ＝ ，可得a sin B＝b sin A，故B正确；对于C，根据正弦定理，得a＝b cos C＋c cos B sin A＝ sin B cos C＋ sin C cos B＝ sin （B＋C）＝ sin A，故C正确；对于D，根据正弦定理可得， sin A cos B＋ sin B cos C＝ sin C＝ sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ cos A sin B，即 sin B cos C＝ cos A sin B，又 sin B≠0，所以 cos C＝ cos A，当A＝C时，等式成立，故D不正确.
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7. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin A sin B
＋b cos 2A＝2 a，则 ＝ 　2 　.
解析：由已知及正弦定理，得 sin 2A· sin B＋ sin B cos 2A＝2 sin
A，即 sin B（ sin 2A＋ cos 2A）＝2 sin A，所以 sin B＝2 sin
A，所以b＝2 a，即 ＝2 .
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8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，C
＝60°，且△ABC的面积为5 ，则△ABC的周长为 　9＋ 　.
解析：由题意及三角形的面积公式，得 ab sin C＝5 ，即
a×5× ＝5 ，解得a＝4，根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab
cos C，即c2＝16＋25－2×4×5× ＝21，c＝ ，所以△ABC的
周长为9＋ .
9＋
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9. （2024·焦作月考）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若a＝2，c＝3，B＝ ，则AC边上的高为 　 　.
解析：在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝ ，由余弦定理得b2＝a2
＋c2－2ac cos B＝4＋9－2×2×3× ＝7，解得b＝ （负值舍
去），设AC边上的高为h，则S△ABC＝ ac sin B＝ h·b，即
×2×3× sin ＝ h× ，解得h＝ .

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10. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（c－b）（ sin B＋ sin C）＝（ sin C－ sin A）a.
（1）求角B；
解：因为（c－b）（ sin B＋ sin C）＝（ sin C－ sin A）a，
所以由正弦定理得c2－b2＝ac－a2，即a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理的推论得 cos B＝ ＝ ＝ .
因为0＜B＜π，所以B＝ .
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（2）若c＝4，△ABC的面积为3 ，求 cos C的值.
解：因为c＝4，△ABC的面积为3 ，
所以 ac sin B＝3 ，
即 ×4a× ＝3 ，解得a＝3.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9＋16－2×3×4×
＝13，所以b＝ （负值舍去），
所以 cos C＝ ＝ ＝ .
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11. 已知向量a＝（2，－1），b＝（2，2），则以a，b为邻边的平
行四边形的面积为（　　）
A. 6 B. 3 C. 4 D. 8
解析：　设向量a与b的夹角为θ，则由题意得， cos θ＝ ＝ ＝ ，则 sin θ＝ ，所以平行四边形的面积为S＝2× ×｜a｜·｜b｜ sin θ＝ ×2 × ＝6.
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12. （多选）在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若
CB＝2CD， cos ∠CDB＝－ ，则下列说法正确的是（　　）
A. △ABC的面积为8
C. △ABC为钝角三角形
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解析：如图，在△BCD中，CB＝2CD， cos ∠CDB＝－ ，由余弦定理BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD cos ∠CDB，得4CD2＝9＋CD2＋ CD，即CD2－ CD－3＝0，解得CD＝ ，BC＝2 ，又由余弦定理的推论得 cos B＝ ＝ ，则 sin B＝ ，
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在△ABC中，由余弦定理，得AC＝ ＝ ＝2 ，
所以△ABC的面积S△ABC＝ AB·BC sin B＝8，A正确；△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝8＋4 ，B正确；显然AB是最大边， cos ∠ACB＝ ＝－ ＜0，所以∠ACB为钝角，C正确； sin ∠CDB＝ ＝ ，D不正确.
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13. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C
－ a sin C＝b sin B.
（1）求B的大小；
解：由正弦定理，得a2＋c2－ ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B.
故 cos B＝ ，又0°＜B＜180°，因此B＝45°.
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（2）若A＝75°，b＝2，求a，c的值.
解： sin A＝ sin （30°＋45°）＝ sin 30° cos 45°＋
cos 30° sin 45°＝ .
故由正弦定理，得a＝b· ＝1＋ .
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
故c＝b· ＝2× ＝ .
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解析：因为B＝2A，故 sin B＝ sin 2A＝2 sin A cos A，所以AC＝
2BC cos A＝4 cos A，而△ABC为锐角三角形，故
故 ＜A＜ ，故4 cos ＜AC＜4 cos 即2
＜AC＜2 .
（2 ，2 ）
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15. 从①A＋C＝2B；②a＋c＝2b.这两个条件中任选一个，补充在
下面问题中，并求解.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝
2， 　　，试求 sin A· sin B· sin C的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：选①A＋C＝2B. 易知B＝ ，A∈（0， ），
sin A sin B sin C＝ － cos （2A＋ ）∈（0， ］.
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选②a＋c＝2b.可知ac≤（ ）2＝4， cos B＝
＝ －1≥ ，
从而B∈（0， ］， sin B∈（0， ］，
而 sin A sin B sin C＝ sin 3B≤ ，当且仅当a＝b＝c＝2时取
等号，从而 sin A sin B sin C∈（0， ］.
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