资源简介

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为（　　）
A.12 m B.8 m
C.3 m D.4 m
2.若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的（　　）
A.北偏东15°方向上 B.北偏西15°方向上
C.北偏东10°方向上 D.北偏西10°方向上
3.（2024·南平月考）一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是（　　）
A.5 海里/时 B.5海里/时
C.10海里/时 D.10海里/时
4.某人从出发点A向正东走x m后到达B，然后向左转150°再向前走3 m到达C，测得△ABC的面积为 m2，此人这时离出发点的距离为（　　）
A.3 m　　B. m C. m　　D. m
5.（多选）（2024·济源月考）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，则下列说法正确的是（　　）
A.A处与D处之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C.灯塔C在D处的西偏南60°
D.D在灯塔B的北偏西30°
6.（多选）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c），则一定能确定A，B间距离的方案为（　　）
A.测量A，B，b B.测量a，b，C
C.测量A，B，a D.测量A，B，C
7.如图，已知两座灯塔A，B与C的距离都是 km，灯塔A在C的北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为　　　 km.
8.（2024·滨州月考）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为19 km，速度为300 km/h，飞行员先在A处看到山顶的俯角为45°，
经过2 min后，又在B处看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔约为　　　　km.（结果精确到0.1，参考数据：≈1.732）
9.台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为　　　　h.
10.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝，求索道AB的长.
11.如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝（　　）
A.a m B. m
C.a m D.a m
12.（多选）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h，且cos∠AOB＝－，则（　　）
A.此山的高PO＝ km
B.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30°
C.PA＝2 km
D.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为
13.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上的A，D两点，已知∠ADC＝90°，A＝60°，AB＝2，BD＝2，CD＝4，则BC的长为　　　　.
14.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处.经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin A＝　　　　.
15.如图，A，B两地之间有建筑物P和一座小山坡Q，经实地观察发现，北面有大山，而南面在四边形ABNM范围内地势平坦，但有建筑物R，试设计A，B之间距离的测量、计算方案.
第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例
1.D　由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得＝，即AB＝＝＝4 m.故选D.
2.B　如图所示，∠ACB＝90°，又因为AC＝BC，所以∠CBA＝45°.因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°方向上.
3.D　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10（海里），在Rt△ABC中，由正弦定理，可得AB＝5（海里），所以这艘船的速度是10海里/时.故选D.
4.D　如图所示，由题意得∠ABC＝30°，AB＝x，BC＝3，∵S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝x＝，∴x＝.由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12－6cos 30°＝3，∴AC＝，即此人这时离出发点的距离为 m.故选D.
5.AC　由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12，AC＝8，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24（n mile），故A正确；在△ACD中，由余弦定理得CD＝，
即CD＝
＝ 8（n mile），故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.故选A、C.
6.ABC　对于A，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C即可解出c；对于C，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理＝解出c；对于D，不知道长度，显然不能求c.
7.3　解析：连接AB，由题意AC＝BC＝，∠ACB＝120°，则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝3＋3－2×3×，即AB2＝9，即AB＝3 km.
8.5.3　解析：如图，过C点作直线AB的垂线，垂足为D.由题意得AB＝300×＝10 km，∠ACB＝30°，因为＝，所以BC＝AB·＝10 km，又因为sin 75°＝sin（45°＋30°）＝，所以CD＝BC·sin∠CBD＝10×＝5（＋1）≈13.66 km.故山顶的海拔约为19－13.66≈5.3 km.
9.1　解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得（20t）2＋402－2×20t×40×cos 45°＝302.化简，得4t2－8t＋7＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.从而｜t1－t2｜＝＝1（h）.
10.解：在△ABC中，因为cos A＝，
cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
由＝，得AB＝·sin C＝×＝1 040（m）.
所以索道AB的长为1 040 m.
11.A　由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴＝，∴PB＝a m，∴h＝PC＋CQ＝a×sin 60°＋asin 15°＝a（m），故选A.
12.BCD　由题意可得∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，设OP＝x km.又OP⊥OA，OP⊥OB，则OA＝x km，OB＝x km.因为AB＝7.5××20＝（km），所以cos∠AOB＝＝＝－，解得x＝1，从而PA＝2 km.易知sin∠AOB＝，所以由等面积法可得O到AB的距离h＝ km，则最大仰角的正切值为＝.又AO＞BO，所以最小仰角为30°.故选B、C、D.
13.4　解析：在△ABD中，由正弦定理得sin∠ADB＝＝＝，∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝，在△BDC中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos∠BDC＝24＋48－4×4×＝48，∴BC＝4（负值舍去）.
14.　解析：依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为x m/s，因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，所以＝，解得AC＝1 260（m）.在△ABC中，由余弦定理的推论得，cos A＝＝＝，所以sin A＝＝＝.
15.解：此题答案不唯一，下面举出三种方案.
（方案一）在以P，Q，R为顶点的三角形区域内选一点C（可同时看见A，B两地），测出BC，AC的长及∠ACB.
由余弦定理，得AB＝
.
（方案二）解四边形ABNM.如图①，
测出AM，MN，NB的长，∠AMN，∠MNB的度数.
在△AMN中，由余弦定理，得AN＝
，
sin∠ANM＝，
在△ANB中，∠ANB＝∠MNB－∠ANM.由余弦定理，得AB＝.
（方案三）
在线段AB上选一点C，
布设三角形网，如图②，使建筑物R的底部在△MCN的内部，不影响视线.
在△AMC中，测出AM，CM的长及∠AMC，则AC＝
.
在△BNC中，测出BN，CN的长及∠BNC，则BC＝
.
于是AB＝AC＋BC.
3 / 3第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例
　　在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量.
【问题】　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　实际应用问题中的有关名词、术语
1.基线的概念与选取原则
（1）基线：根据测量的需要而　　　　　　叫做基线；
（2）选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.
2.方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏东30°，南偏东45°.
3.仰角和俯角
（1）前提：在视线所在的垂直平面内；
（2）仰角：视线在水平线　　　　时，视线与水平线所成的角；
（3）俯角：视线在水平线　　　　时，视线与水平线所成的角.
1.若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　　）
A.东偏北45°10'方向上 B.东偏北44°50'方向上
C.南偏西44°50'方向上 D.西偏南44°50'方向上
2.（2024·丽水月考）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为（　　）
A.a km B.a km
C.a km D.2a km
3.（2024·三门峡质检）如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20（－1）米到达D点，测得∠ADB＝30°，则塔高为　　　　米.
题型一 测量距离问题
【例1】　海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离为　　　　n mile.
【母题探究】
　（变条件）在本例中，将“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20 n mile”，其他条件不变，求B岛与C岛间的距离.
通性通法
测量距离的基本类型及方案
类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达
图形
方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB
【跟踪训练】
1.A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为　　　　km.
2.（2024·泰安月考）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度CD是　　　　m.
题型二 测量高度问题
【例2】　彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°，∠BDC＝135°，CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝（　　）
A.30 m B.20 m
C.20 m D.20 m
通性通法
测量高度的基本类型及方案
类型 简图 计算方法
底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C
底部不可达 点B与C， D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值
点B与C， D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数. 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值
【跟踪训练】
　（2024·南阳月考）珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为（sin 70°≈0.94）（　　）
A.10米 B.9.72米
C.9.40米 D.8.62米
题型三 测量角度问题
【例3】　某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20（＋1）海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1小时后开始持续影响基地2小时，求台风移动的方向.
通性通法
测量角度问题画示意图的基本步骤
【跟踪训练】
如图，在海岸A处发现北偏东45°方向距A点（－1） n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的我方缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？
1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的（　　）
A.北偏东10°方向上　 B.北偏西10°方向上
C.南偏东80°方向上 D.南偏西80°方向上
2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点间的距离为（　　）
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
3.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为30°，此人往滕王阁方向走了42米到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为45°，则滕王阁的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据：≈1.732）（　　）
A.49米 　 B.51米
C.54米 　 D.57米
4.（2024·东莞月考）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为　　　　（填度数）.
第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）确定的线段　3.（2）以上　（3）以下
自我诊断
1.C　如图所示.
2.A　在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a.故选A.
3.20　解析：在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20（－1），∠ADB＝30°，所以＝tan 30°，＝，解得x＝20.则塔高为20米.
【典型例题·精研析】
【例1】　5　解析：如图，在△ABC中，C＝180°－（B＋A）＝45°，由正弦定理，可得＝，所以BC＝×10＝5（n mile）.
母题探究
　解：由已知，在△ABC中，AB＝10 n mile，AC＝20 n mile，∠BAC＝60°，由余弦定理可得，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×＝300.故BC＝10 n mile.
即B岛与C岛间的距离为10 n mile.
跟踪训练
1.　解析：由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C＝72＋52－2×7×5×＝39.所以AB＝.
2.60　解析：tan 30°＝，tan 75°＝，又AD＋DB＝120，所以AD·tan 30°＝（120－AD）·tan 75°，所以AD＝60，故CD＝60.即河的宽度是60 m.
【例2】　D　由题设知，AB⊥BC，又∠DBC＝180°－∠BDC－∠BCD＝30°，在△BCD中，＝，可得BC＝20 m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，则AB＝20 m.故选D.
跟踪训练
　C　根据题意画出如图的模型，则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin 70°≈9.4（米）.
【例3】　解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在同一直线上，且AD＝20，AC＝20.
由题意AB＝20（＋1），DC＝20，BC＝（＋1）×10.
在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，
所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理的推论得cos∠BAC＝＝，所以∠BAC＝30°，
又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，所以D位于A的正北方向，
又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°.
跟踪训练
　解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝10t n mile，BD＝10t n mile.
∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝（－1）2＋22－2（－1）×2cos 120°＝6，∴BC＝，
∵＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
∵＝，
∴sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.
故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船.
随堂检测
1.D　由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.故选D.
2.A　∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50（m）.
3.D　设滕王阁的高度为h，由题设知，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝h，则AD＝AB＋BD＝h＋42，又tan∠CAD＝＝＝，可得h＝≈57米.故选D.
4.45°　解析：依题意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD
＝
＝
＝＝，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
4 / 5(共68张PPT)
第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如
图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能
直接测量.
【问题】　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由.
知识点　实际应用问题中的有关名词、术语
1. 基线的概念与选取原则
（1）基线：根据测量的需要而 叫做基线；
（2）选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要
选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确
度越高.
确定的线段　
2. 方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如图，北偏
东30°，南偏东45°.
3. 仰角和俯角
（1）前提：在视线所在的垂直平面内；
（2）仰角：视线在水平线 时，视线与水平线所成的角；
（3）俯角：视线在水平线 时，视线与水平线所成的角.
以上　
以下　
1. 若P在Q的北偏东44°50'方向上，则Q在P的（　　）
A. 东偏北45°10'方向上 B. 东偏北44°50'方向上
C. 南偏西44°50'方向上 D. 西偏南44°50'方向上
解析：　如图所示.
2. （2024·丽水月考）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a
km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距
离为（　　）
C. a km D. 2a km
解析：　在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝
a.故选A.
3. （2024·三门峡质检）如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同
一水平线上的C点测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20（ －
1）米到达D点，测得∠ADB＝30°，则塔高为 米.
20
解析：在Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20（ －1），∠ADB＝30°，所以
＝tan 30°， ＝ ，解得x＝20.则塔高为20米.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 测量距离问题
【例1】　海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成
60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的
距离为 n mile.
5
解析：如图，在△ABC中，C＝180°－（B＋A）＝45°，由正弦定
理，可得 ＝ ，所以BC＝ ×10＝5 （n mile）.
【母题探究】
（变条件）在本例中，将“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改
为“A，C两岛相距20 n mile”，其他条件不变，求B岛与C岛间的
距离.
解：由已知，在△ABC中，AB＝10 n mile，AC＝20 n mile，∠BAC
＝60°，由余弦定理可得，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos 60°＝102＋202－2×10×20× ＝
300.故BC＝10 n mile.
即B岛与C岛间的距离为10 n mile.
通性通法
测量距离的基本类型及方案
类
型 A，B两点间
不可达或不可
视 A，B两点间可
视，但有一点
不可达 A，B两点都不可达
图
形
方
法 先测角C，
AC＝b，BC
＝a，再用余
弦定理求AB 以点A不可达为
例，先测角
B，C，BC＝
a，再用正弦定
理求AB 测得CD＝a，∠BCD，
∠BDC，∠ACD，∠ADC，
∠ACB，在△ACD中用正弦定
理求AC；
在△BCD中用正弦定理求BC；
在△ABC中用余弦定理求AB

解析：由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB· cos C＝72＋52
－2×7×5× ＝39.所以AB＝ .

2. （2024·泰安月考）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点
A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，
AB＝120 m，则河的宽度CD是 m.
解析：tan 30°＝ ，tan 75°＝ ，又AD＋DB＝120，所以
AD·tan 30°＝（120－AD）·tan 75°，所以AD＝60 ，故CD＝
60.即河的宽度是60 m.
60
题型二 测量高度问题
【例2】　彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于
陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度AB，选取了
与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝
15°，∠BDC＝135°，CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为
60°，则塔高AB＝（　　）
A. 30 m
解析：　由题设知，AB⊥BC，又∠DBC＝180°－∠BDC－∠BCD
＝30°，在△BCD中， ＝ ，可得BC＝20 m，在
Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ＝ ，则AB＝20 m.故选D.
通性通法
测量高度的基本类型及方案
类型 简图 计算方法
底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，
AB＝a·tan C
类型 简图 计算方法
底
部
不
可
达 点B与C， D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值
点B与C， D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数.
在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值
【跟踪训练】
（2024·南阳月考）珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形
成的.这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地
势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀
登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，
直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020
年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工
作.在测量过程中，
已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为（ sin 70°≈0.94）（　　）
A. 10米 B. 9.72米
C. 9.40米 D. 8.62米
解析：　根据题意画出如图的模型，则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10 sin 70°≈9.4（米）.
题型三 测量角度问题
【例3】　某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东
60°相距20（ ＋1）海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海
里，正以每小时10 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台
风中心将从基地东北方向刮过且 ＋1小时后开始持续影响基地2小
时，求台风移动的方向.
解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为
C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在同一直线
上，且AD＝20，AC＝20.
由题意AB＝20（ ＋1），DC＝20 ，BC＝（ ＋1）×10 .
在△ADC中，因为DC2＝AD2＋AC2，
所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos ∠BAC＝ ＝ ，
所以∠BAC＝30°，
又因为B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，所以D位
于A的正北方向，
又因为∠ADC＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°.
通性通法
测量角度问题画示意图的基本步骤
【跟踪训练】
如图，在海岸A处发现北偏东45°方向距A点（ －1） n mile的B
处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的我方缉
私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n
mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方
向行驶才能最快截获走私船？
解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获（在D点）走私
船，则CD＝10 t n mile，BD＝10t n mile.
∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos ∠CAB＝（ －1）2＋22－2（
－1）×2 cos 120°＝6，∴BC＝ ，
∵ ＝ ，
∴ sin ∠ABC＝ ＝ ＝ ，
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
∵ ＝ ，
∴ sin ∠BCD＝ ＝ ＝ ，
∴∠BCD＝30°.
故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船.
1. 如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在
观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则
灯塔A在灯塔B的（　　）
A. 北偏东10°方向上
B. 北偏西10°方向上
C. 南偏东80°方向上
D. 南偏西80°方向上
解析：　由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°.又∠BCD＝
60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔
B的南偏西80°方向上.故选D.
2. 如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，
在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB
＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点间的距离为
（　　）
解析：　∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由
＝ ，得AB＝100× ＝50 （m）.
3. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中
的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某
人在点A测得滕王阁顶端仰角为30°，此人往滕王阁方向走了42米
到达点B，测得滕王阁顶端的仰角为45°，则滕王阁的高度最接近
于（忽略人的身高）（参考数据： ≈1.732）（　　）
A. 49米 B. 51米
C. 54米 D. 57米
解析：　设滕王阁的高度为h，由题设知，∠CBD＝45°，
∠CAD＝30°，所以BD＝CD＝h，则AD＝AB＋BD＝h＋42，
又tan∠CAD＝ ＝ ＝ ，可得h＝ ≈57米.故选D.
4. （2024·东莞月考）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 （填度数）.
45°
解析：依题意可得AD＝20 ，AC＝30 ，又CD＝50，所以
在△ACD中，由余弦定理得 cos ∠CAD＝ ＝
＝ ＝ ，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4
m，A＝30°，则其跨度AB的长为（　　）
A. 12 m B. 8 m
解析：　由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°
＝120°，由正弦定理得 ＝ ，即AB＝ ＝ ＝
4 m.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向
上，且AC＝BC，则点A在点B的（　　）
A. 北偏东15°方向上 B. 北偏西15°方向上
C. 北偏东10°方向上 D. 北偏西10°方向上
解析：　如图所示，∠ACB＝90°，又因为AC＝
BC，所以∠CBA＝45°.因为β＝30°，所以α＝90°
－45°－30°＝15°.所以点A在点B的北偏西15°方
向上.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. （2024·南平月考）一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距
10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看
见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方
向上，则这艘船的速度是（　　）
B. 5海里/时
D. 10海里/时
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以
∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10（海里），在Rt△ABC
中，由正弦定理，可得AB＝5（海里），所以这艘船的速度是10海
里/时.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 某人从出发点A向正东走x m后到达B，然后向左转150°再向前走
3 m到达C，测得△ABC的面积为 m2，此人这时离出发点的距
离为（　　）
A. 3 m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　如图所示，由题意得∠ABC＝30°，AB＝x，BC＝3，∵S△ABC＝ AB·BC sin ∠ABC＝ x＝ ，∴x＝ .由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝12－6 cos 30°＝
3，∴AC＝ ，即此人这时离出发点的距离为 m.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. （多选）（2024·济源月考）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东
75°方向上，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西
30°方向上，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再
看灯塔B在南偏东60°方向上，则下列说法正确的是（　　）
A. A处与D处之间的距离是24 n mile
B. 灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C. 灯塔C在D处的西偏南60°
D. D在灯塔B的北偏西30°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝
75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－
75°＝45°，AB＝12 ，AC＝8 ，在
△ABD中，由正弦定理得 ＝ ，所以
AD＝ ＝24（n mile），故A正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
在△ACD中，由余弦定理得CD＝ ，即CD＝＝ 8 （n mile），故B错误；因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.故选A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同
学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案
（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c），则一定能
确定A，B间距离的方案为（　　）
A. 测量A，B，b B. 测量a，b，C
C. 测量A，B，a D. 测量A，B，C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　对于A，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利
用正弦定理 ＝ 解出c；对于B，直接利用余弦定理c2＝a2＋
b2－2ab cos C即可解出c；对于C，先利用内角和定理求出C＝π－
A－B，再利用正弦定理 ＝ 解出c；对于D，不知道长度，
显然不能求c.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 如图，已知两座灯塔A，B与C的距离都是 km，灯塔A在C的
北偏东20°，灯塔B在C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离
为 km.
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：连接AB，由题意AC＝BC＝ ，∠ACB＝120°，则AB2
＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos 120°＝3＋3－2×3× ，即AB2
＝9，即AB＝3 km.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. （2024·滨州月考）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，
若飞机的海拔为19 km，速度为300 km/h，飞行员先在A处看到山
顶的俯角为45°，经过2 min后，又在B处看到山顶的俯角为
75°，则山顶的海拔约为 km.（结果精确到0.1，参考数
据： ≈1.732）
5.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：如图，过C点作直线AB的垂线，垂足
为D. 由题意得AB＝300× ＝10 km，∠ACB
＝30°，因为 ＝ ，所以BC＝
AB· ＝10 km，又因为 sin 75°＝ sin （45°＋30°）＝ ，所以CD＝BC· sin ∠CBD＝10 × ＝5（ ＋1）≈13.66 km.故山顶的海拔约为19－13.66≈5.3 km.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中
心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处
于危险区内的持续时间为 h.
解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得（20t）2＋
402－2×20t×40× cos 45°＝302.化简，得4t2－8 t＋7＝0，
∴t1＋t2＝2 ，t1·t2＝ .从而｜t1－t2｜＝
＝1（h）.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一
种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然
后从B沿直线步行到C. 山路AC长为1 260 m，经测量， cos A＝
， cos C＝ ，求索道AB的长.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解：在△ABC中，因为 cos A＝ ， cos C＝ ，
所以 sin A＝ ， sin C＝ .
从而 sin B＝ sin [π－（A＋C）]＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋
cos A sin C＝ × ＋ × ＝ .
由 ＝ ，得AB＝ · sin C＝ × ＝1 040（m）.
所以索道AB的长为1 040 m.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的
斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h
＝（　　）
D. a m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝
60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，
∴ ＝ ，∴PB＝ a m，∴h＝PC＋CQ＝
a× sin 60°＋a sin 15°＝ a（m），故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. （多选）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A
处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，
到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h，且
cos ∠AOB＝－ ，则（　　）
B. 小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30°
C. PA＝2 km
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　由题意可得∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，设OP＝
x km.又OP⊥OA，OP⊥OB，则OA＝ x km，OB＝x km.因
为AB＝7.5× ×20＝ （km），所以 cos ∠AOB＝
＝ ＝－ ，解得x＝1，从而PA＝2 km.易知
sin ∠AOB＝ ，所以由等面积法可得O到AB的距离h＝
km，则最大仰角的正切值为 ＝ .又AO＞BO，所以最小
仰角为30°.故选B、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上的A，D
两点，已知∠ADC＝90°，A＝60°，AB＝2，BD＝2 ，CD
＝4 ，则BC的长为 　4 　.
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：在△ABD中，由正弦定理得 sin ∠ADB＝ ＝
＝ ，∵∠ADC＝90°，∴ cos ∠BDC＝ ，在△BDC中，由余
弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD· cos ∠BDC＝24＋48－4
×4 × ＝48，∴BC＝4 （负值舍去）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从
A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后
从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步
行，甲的速度是乙的速度的 倍，甲走线路2，乙走线路1，最后
他们同时到达C处.经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则 sin A
＝ .

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为 x m/s，因为
AB＝1 040 m，BC＝500 m，所以 ＝ ，解得AC＝1
260（m）.在△ABC中，由余弦定理的推论得， cos A＝
＝ ＝ ，所以 sin A＝
＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 如图，A，B两地之间有建筑物P和一座小山坡Q，经实地观察发现，北面有大山，而南面在四边形ABNM范围内地势平坦，但有建筑物R，试设计A，B之间距离的测量、计算方案.
解：此题答案不唯一，下面举出三种方案.
（方案一）在以P，Q，R为顶点的三角形区域内选一点C（可
同时看见A，B两地），测出BC，AC的长及∠ACB.
由余弦定理，得
AB＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（方案二）解四边形ABNM. 如图①，
测出AM，MN，NB的长，∠AMN，∠MNB的度数.
在△AMN中，由余弦定理，得
AN＝ ，
sin ∠ANM＝ ，
在△ANB中，∠ANB＝∠MNB－∠ANM. 由余弦定理，得AB＝
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（方案三）
在线段AB上选一点C，
布设三角形网，如图②，使建筑物R的底部在△MCN
的内部，不影响视线.
在△AMC中，测出AM，CM的长及∠AMC，则
AC＝ .
在△BNC中，测出BN，CN的长及∠BNC，则
BC＝ .
于是AB＝AC＋BC.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑