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三角形解的个数判断
1.已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
2.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.那么怎样判断解的个数呢？
具体方法如下：
（1）代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有一解.若a＜b，则A＜B，由正弦定理得sin B＝，①sin B＞1，即a＜bsin A，无解；②sin B＝1，即a＝bsin A，一解；③sin B＜1，即bsin A＜a＜b，两解.
（2）几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，见下表：
分类 图形 关系式 解的个数
A为 锐角 a＜bsin A 无解
a＝bsin A 一解
bsin A＜ a＜b 两解
a≥b 一解
A为 钝角 或直角 a＞b 一解
a≤b 无解
【例】　不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c）：
（1）a＝5，b＝4，A＝120°；
（2）a＝9，b＝10，A＝60°；
（3）b＝72，c＝50，C＝135°.
方法总结
1.在△ABC中，0＜sin B≤1，故≥1.∵＝，∴a＝，∴a≥bsin A.这是已知a，b，A解三角形时，判断三角形解的个数（1或2）的前提.
2.解三角形时，可以先求出sin B的值并与1进行比较，再结合已知条件判断三角形解的个数.
【迁移应用】
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（　　）
A.a＝30，b＝50，A＝36°
B.a＝50，b＝30，A＝36°
C.a＝30，b＝60，A＝30°
D.a＝30，B＝20°，A＝136°
2.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（　　）
A.x＞2 B.x＜2
C.2＜x＜2 D.2＜x＜2
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形（　　）
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.解的个数不确定
拓视野　三角形解的个数判断
【例】　解：（1）sin B＝sin 120°＝×＜，所以三角形有一解.
（2）sin B＝sin 60°＝×＝，而＜＜1.
所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°＜B＜90°.满足A＋B＜180°；
当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°.故三角形有两解.
（3）sin B＝＝sin C＞sin C＝.
所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解.
迁移应用
1.A　A选项，bsin A＝50sin 36°＜a，又a＜b，所以三角形有两个解；B选项，bsin A＝30sin 36°＜a，又a＞b，所以三角形有一个解；C选项，bsin A＝60sin 30°＝30＝a，所以三角形有一个解；D选项，可得C＝24°，所以三角形有一个解，故选A.
2.C　由题意知a＞b，则x＞2，又由sin A＝＝＜1，可得x＜2，∴x的取值范围是2＜x＜2.故选C.
3.C　法一　由正弦定理和已知条件，得＝，∴sin B＝.∵＞1，∴此三角形无解.
法二　∵c＝2，bsin C＝2，∴c＜bsin C，故此三角形无解.
法三　作∠ACD＝30°，AC＝b＝4，以A为圆心，AB＝c＝2为半径画圆（图略），该圆与CD无交点，则此三角形无解.
2 / 2(共38张PPT)
拓 视 野　三角形解的个数判断
1. 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，
三角形被唯一确定.
2. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能
出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.那么怎样
判断解的个数呢？
具体方法如下：
（1）代数法：三角形解的个数可由三角形中“大边对大角”来判
定.不妨设A为锐角，若a≥b，则A≥B，从而B为锐角，有
一解.若a＜b，则A＜B，由正弦定理得 sin B＝ ，①
sin B＞1，即a＜b sin A，无解；② sin B＝1，即a＝b sin A，
一解；③ sin B＜1，即b sin A＜a＜b，两解.
（2）几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边
长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个
数即为三角形解的个数，见下表：
分类 图形 关系式 解的个数
A为 锐角 a＜b sin A 无解
分类 图形 关系式 解的个数
A为锐
角 a＝b sin A 一解
b sin A＜ a＜b 两解
a≥b 一解
分类 图形 关系式 解的个数
A为 钝角 或直角 a＞b 一解
a≤b 无解
【例】　不解三角形，判断下列三角形解的个数（△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c）：
（1）a＝5，b＝4，A＝120°；
解： sin B＝ sin 120°＝ × ＜ ，所以三角形有一解.
（2）a＝9，b＝10，A＝60°；
解： sin B＝ sin 60°＝ × ＝ ，而 ＜ ＜1.
所以当B为锐角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是
60°＜B＜90°.满足A＋B＜180°；
当B为钝角时，满足 sin B＝ 的角B的取值范围是90°＜B
＜120°，也满足A＋B＜180°.故三角形有两解.
（3）b＝72，c＝50，C＝135°.
解： sin B＝ ＝ sin C＞ sin C＝ .
所以B＞45°，所以B＋C＞180°，故三角形无解.
方法总结
1. 在△ABC中，0＜ sin B≤1，故 ≥1.∵ ＝ ，∴a＝
，∴a≥b sin A. 这是已知a，b，A解三角形时，判断三角形
解的个数（1或2）的前提.
2. 解三角形时，可以先求出 sin B的值并与1进行比较，再结合已知条
件判断三角形解的个数.
【迁移应用】
1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.根据下列
条件解三角形，其中有两解的是（　　）
A. a＝30，b＝50，A＝36°
B. a＝50，b＝30，A＝36°
C. a＝30，b＝60，A＝30°
D. a＝30，B＝20°，A＝136°
解析：　A选项，b sin A＝50 sin 36°＜a，又a＜b，所以三角
形有两个解；B选项，b sin A＝30 sin 36°＜a，又a＞b，所以三
角形有一个解；C选项，b sin A＝60 sin 30°＝30＝a，所以三角形
有一个解；D选项，可得C＝24°，所以三角形有一个解，故选A.
2. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝
x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（　）
A. x＞2 B. x＜2
解析：　由题意知a＞b，则x＞2，又由 sin A＝ ＝ ＜1，
可得x＜2 ，∴x的取值范围是2＜x＜2 .故选C.
3. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4 ，
c＝2，C＝30°，那么此三角形（　　）
A. 有一解 B. 有两解
C. 无解 D. 解的个数不确定
解析：　法一　由正弦定理和已知条件，得 ＝ ，∴ sin
B＝ .∵ ＞1，∴此三角形无解.
法二　∵c＝2，b sin C＝2 ，∴c＜b sin C，故此三角形无解.
法三　作∠ACD＝30°，AC＝b＝4 ，以A为圆心，AB＝c＝2为
半径画圆（图略），该圆与CD无交点，则此三角形无解.
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 sin B＝（　　）
解析：　由 ＝ ，故 ＝ ，解得 sin B＝ .故选A.
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2. 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
＝ ，则角B的大小为（　　）
解析：　由正弦定理 ＝ 及 ＝ ，可得 sin B＝ cos
B. 又0＜B＜π，所以B＝ .
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3. （2024·阳江月考）在△ABC中，已知AB＝ AC，B＝30°，则
C＝（　　）
A. 45° B. 15°
C. 45°或135° D. 15°或105°
解析：因为AB＝ AC，由正弦定理得 ＝ ，又因为B＝30°，所以 sin C＝ ，又因为AB＞AC，所以C＝45°或C＝35°.
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4. （2024·开封月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，已知a＝2， sin （A＋B）＝ ， sin A＝ ，则c＝（　　）
A. 4 B. 3
解析：　 sin C＝ sin （A＋B）＝ .由正弦定理得c＝ · sin C
＝ × ＝ .故选C.
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5. （多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a
cos A＝b cos B，则△ABC是（　　）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
解析：　由正弦定理 ＝ ，得 ＝ .又a cos A＝b cos
B，所以 ＝ ，所以 ＝ ，所以 sin A· cos A＝ sin B· cos
B，所以2 sin A· cos A＝2 sin B· cos B，即 sin 2A＝ sin 2B. 因为
A，B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A
＋B＝ ，故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
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6. （多选）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（　）
A. a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B. b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C. a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
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解析：　A中，∵ ＝ ，∴ sin B＝ ＝1，∴B
＝90°，即只有一解；B中，∵ ＝ ，∴ sin C＝ ＝
＝ ，且c＞b，∴C＞B，故有两解；C中，∵A＝
90°，a＝5，c＝2，∴b＝ ＝ ，有解；D中，∵
＝ ，∴ sin B＝ ＝ ＝ ，又b＜a，∴只有一解.
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7. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝ .
解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B，
C分别为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝ sin 30°∶ sin
30°∶ sin 120°＝1∶1∶ .
1∶1∶
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8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a sin C＝
c，则A＝ .
解析：设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，得2×2R sin A
sin C＝ ×2R sin C，因此 sin A＝ ，又因为0°＜A＜180°，
故A＝45°或A＝135°.
45°或135°
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9. （2024·烟台月考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
b，c.若a＝ ， sin B＝ ，C＝ ，则b＝ .
解析：在△ABC中，∵ sin B＝ ，0＜B＜π，∴B＝ 或B＝ π.又
∵B＋C＜π，C＝ ，∴B＝ ，∴A＝π－ － ＝ π.∵ ＝
，∴b＝ ＝1.
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解：∵A＝30°，C＝105°，∴B＝180°－（A＋C）＝45°.
∵ ＝ ＝ ，
∴b＝ ＝ ＝2 ，
c＝ ＝ ＝ ＋ .
∴B＝45°，b＝2 ，c＝ ＋ .
10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条
件解三角形：
（1）A＝30°，C＝105°，a＝2；
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（2）b＝3，c＝3 ，B＝30°.
解：由正弦定理，得 ＝ ，
即 ＝ ，解得 sin C＝ .
∵c＞b，∴C＝60°或C＝120°.
①当C＝60°时，A＝180°－（B＋C）＝90°，△ABC为
直角三角形，此时a＝ ＝6.
②当C＝120°时，A＝180°－（B＋C）＝30°＝B，
∴a＝b＝3.
综上可知，A＝90°，C＝60°，a＝6或A＝30°，C＝120°，a＝3.
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11. 在△ABC中，若 sin C＝2 sin B cos B，且B∈（ ， ），则 的取
值范围为（　　）
C. （0，2）
解析：　由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2 cos B. 又 ＜B
＜ ，余弦函数在此范围内单调递减，故 ＜ cos B＜ ，∴ ∈
（ ， ）.
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12. （多选）下列说法中正确的是（　　）
A. 在△ABC中，a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C
B. 在△ABC中，若 sin 2A＝ sin 2B，则A＝B
C. 在△ABC中，若 sin A＞ sin B，则A＞B；若A＞B，则 sin A＞ sin B
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解析：　对于A，由 ＝ ＝ ＝2R，可得a∶b∶c
＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝ sin A∶ sin B∶ sin C，故A正
确；对于B，由 sin 2A＝ sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，即A
＝B或A＋B＝ ，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理
可得， sin A＞ sin B a＞b A＞B，故C正确；对于D，由
＝ ＝ ＝2R，可得 ＝ ＝2R＝ ，
故D正确.
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13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足B
＝60°，c＝2的三角形有两解，则b的取值范围为 .
解析：在△ABC中，B＝60°，c＝2，由正弦定理 ＝ ，
得c＝ .若此三角形有两解，则必须满足的条件为c＞b＞c
sin B，即 ＜b＜2.
（ ，2）
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14. （2024·嘉兴月考）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，且a cos C＋ c＝b.
（1）求角A的大小；
解：由a cos C＋ c＝b，
得 sin A cos C＋ sin C＝ sin B.
因为 sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C，
所以 sin C＝ cos A sin C.
因为 sin C≠0，所以 cos A＝ .
因为0＜A＜π，所以A＝ .
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（2）若a＝1，b＝ ，求c的值.
解：由正弦定理，得 sin B＝ ＝ .
又b＞a，所以B＞A，所以B＝ 或B＝ .
①当B＝ 时，由A＝ ，得C＝ ，
所以c＝ ＝2.
②当B＝ 时，由A＝ ，得C＝ .
所以c＝a＝1.
综上可得c＝1或c＝2.
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15. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BPC＝90°，AB＝ ，BC＝1，
∠APC＝120°，则tan∠BCP＝ .

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解析：由题得AC＝ ＝2，∠ACB＝60°.设∠BCP
＝α，∴∠ACP＝60°－α，∠CAP＝180°－120°－（60°－α）
＝α，在Rt△PBC中，PC＝1× cos α＝ cos α.在△ACP中，由正
弦定理得 ＝ ，∴tan α＝ .
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16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝ ，
A＝ ，试求△ABC的周长的取值范围.
解：由正弦定理，得 ＝ ＝ ，
即 ＝ ＝ ＝2，
∴b＝2 sin B，c＝2 sin C，
∴△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝ ＋2 sin B＋2 sin C＝ ＋2
sin B＋2 sin （ －B）
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＝ ＋3 sin B＋ cos B
＝ ＋2 sin （B＋ ），
又B∈（0， ），∴B＋ ∈（ ， ），
∴ sin （B＋ ）∈（ ，1］，∴L∈（2 ，3 ].
即△ABC的周长的取值范围为（2 ，3 ].
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