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培优课　解三角形中的综合问题
1.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4（＋1），且sin B＋sin C＝sin A，则a＝（　　）
A.　　　 B.2
C.4　　　 D.2
2.（2024·威海质检）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝（a，cos），n＝（b，cos），p＝（c，cos）共线，则△ABC为（　　）
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，C＝120°，c＝2bcos B，则AC边上的中线长为（　　）
A. B.3 C. D.4
4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos∠ADB＝（　　）
A.－ B. C. D.±
5.（2024·郑州月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则＋的最大值为（　　）
A.8 B.6 C.3 D.4
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大值是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
7.（多选）在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos∠BAC＝，以下结论正确的是（　　）
A.AB＝8 B.＝
C.AB＝6 D.△ABD的面积为
8.（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝9∶10∶11，则下列结论正确的是（　　）
A.sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c＝6，则△ABC外接圆的半径为
9.（2024·金华月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Asin Bcos C＝sin2C，则＝　　　　，角C的最大值为　　　　.
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝6，1≤b≤4，则sin A的取值范围为　　　　.
11.已知a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x），f（x）＝a·b.
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）＝且b＝.求a＋c的取值范围.
12.（2024·潮州月考）在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ADC面积的2倍.
（1）求；
（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长.
13.如图，某镇有一块空地形如△OAB，其中OA＝3 km，OB＝3 km，∠AOB＝90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在△OAN的一周安装防护网.
（1）当AM＝ km时，求防护网的总长度；
（2）为了节省投入的资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小.问：如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小，最小面积是多少？
培优课　解三角形中的综合问题
1.C　由题知周长为a＋b＋c＝4（＋1）①，∵sin B＋sin C＝sin A，由正弦定理得b＋c＝a②，∴由①②，可解得a＝4，故选C.
2.A　∵向量m，n共线，∴acos ＝bcos ，由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos ，∴2sin·coscos＝2sincoscos.∵cos≠0，cos≠0，∴sin＝sin.∵0＜＜，0＜＜，∴＝，即A＝B，同理可得B＝C，∴△ABC为等边三角形.故选A.
3.C　由题意结合正弦定理得sin C＝2sin Bcos B，即sin C＝sin 2B，因为B，C为△ABC的内角，所以C＝2B或C＋2B＝180°，当C＝2B时，B＝60°，不符合三角形内角和定理，当C＋2B＝180°时，B＝30°，故A＝30°，因此a＝b，因为△ABC的面积为，所以a·a·＝，解得a＝2（负值舍去），即a＝b＝2.由余弦定理可知c＝＝＝2.设AC边的中点为D，则＝（＋），因此｜｜＝
＝
＝＝.故选C.
4.B　因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，a＝CB＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c·，解得c＝4.在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.因为b＞c，所以B＞C.又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB＜∠ADC，所以∠ADB为锐角，所以cos∠ADB＝.故选B.
5.D　∵BC边上的高为a，∴S△ABC＝a×a＝bcsin A，∴a2＝2·bcsin A，由余弦定理得2bcsin A＝b2＋c2－2bccos A，整理得＝2sin A＋2cos A，即＋＝4sin（A＋）.∵A∈（0，π），∴A＋∈（，），∴当A＋＝，即A＝时，4sin（A＋）有最大值，且最大值为4.∴＋的最大值为4.
6.B　设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，由余弦定理得b2＝9＋x2＋6xcos θ　①，在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－18xcos θ　②，联立①②，消去cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2　③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2　④，联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc（当且仅当3b＝c时，等号成立），∴bc≤16，∴S△ABC＝bcsin ≤×16×＝4.故选B.
7.BCD　如图所示，因为AD是角平分线，设∠CAD＝∠DAB＝α，则∠BAC＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos2α－1＝，且0＜α＜，所以cos α＝，在Rt△ACD中，AD＝1，所以AC＝ADcos α＝，在Rt△ACB中，AB＝＝×8＝6，故A错误，C正确；根据角平分线定理，＝＝×＝，故B正确；因为cos α＝，且0＜α＜，所以sin α＝，所以S△ABD＝AD·AB·sin α＝×6×＝，故D正确，故选B、C、D.
8.ACD　因为（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝9∶10∶11，所以可设解得所以由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，故A正确；易知c最大，所以△ABC中角C最大，又cos C＝＝＝＞0，所以C为锐角，所以△ABC为锐角三角形，故B错误；易知a最小，所以△ABC中角A最小，又cos A＝＝＝，所以cos 2A＝2cos2A－1＝，所以cos 2A＝cos C，由△ABC中角C最大且C为锐角可得2A∈（0，π），C∈（0，），所以2A＝C，故C正确；设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得2R＝，又c＝6，sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，故D正确.故选A、C、D.
9.2　　解析：∵2sin Asin Bcos C＝sin2C，∴2abcos C＝c2 a2＋b2－c2＝c2 ＝2，∴cos C＝＝≥，当且仅当a＝b时取等号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤，即角C的最大值为.
10.［，1］　解析：∵C＝，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋27∈[27，31]，∴c∈[3，]，∴由正弦定理＝，可得sin A＝＝＝∈［，1］.
11.解：（1）因为a＝（sin x，－cos x），b＝（cos x，cos x），
则f（x）＝a·b＝sin xcos x－cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝sin（2x－）－，
由2x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），
即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝＋（k∈Z）.
（2）由f（B）＝，得sin（2B－）＝1，又2B－∈（－，），即2B－＝.
所以B＝，又b＝，
由正弦定理＝＝，得a＝2sin A，c＝2sin C，
即a＋c＝2sin A＋2sin C＝2sin A＋2sin（－A）＝2cos（A－），
又0＜A＜，所以－＜A－＜，
所以2cos（A－）∈（，2].
即a＋c的取值范围为（，2].
12.解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E.
因为＝＝2，
所以BD＝2DC.
因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC.
在△ABD中，＝，所以sin B＝.
在△ADC中，＝，
所以sin C＝，
所以＝＝.
（2）由（1）知，BD＝2DC＝2×＝.
如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N.
因为AD平分∠BAC，所以DM＝DN，
所以＝＝2，所以AB＝2AC.
令AC＝x，则AB＝2x.
因为∠BAD＝∠DAC，
所以cos∠BAD＝cos∠DAC，
所以由余弦定理可得
＝，
解得x＝1，即AC＝1.
综上，BD的长为，AC的长为1.
13.解：（1）因为在△OAB中，OA＝3 km，OB＝3 km，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°.
在△AOM中，由OA＝3 km，AM＝ km，∠OAM＝60°及余弦定理，得
OM＝＝ km.
所以OM2＋AM2＝OA2，
即OM⊥AN，
所以∠AOM＝30°，即∠AON＝60°.
所以△OAN为等边三角形，所以△OAN的周长为3OA＝9 km，即防护网的总长度为9 km.
（2）设∠AOM＝θ（0°＜θ＜60°）.
在△OAN中，由＝，得ON＝ km.
在△AOM中，由＝，得OM＝ km.
所以S△OMN＝OM·ON·sin 30°
＝
＝ km2.
当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，△OMN的面积最小，最小面积为 km2.
2 / 2培优课　解三角形中的综合问题
题型一 解三角形与三角恒等变换的综合
【例1】　已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＋c＝2b.
（1）求证：B≤；
（2）若C＝2A，试求a∶b∶c.
通性通法
　　对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理（A＋B＋C＝π）展开的，一般是通过正、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系（此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到减元的目的），进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解.
【跟踪训练】
　（2024·宁波月考）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，＋＝6cos C，则＋＝　　　　.
题型二 解三角形与三角函数的综合
【例2】　已知函数f（x）＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＋，其中ω＞0，若实数x1，x2满足｜f（x1）－f（x2）｜＝2时，｜x1－x2｜的最小值为.
（1）求ω的值及f（x）的对称中心；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）＝－1，a＝，求△ABC周长的取值范围.
通性通法
　　正、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式求解问题中出现的三角函数值；二是先利用函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题.
【跟踪训练】
　（2024·郑州月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设f（x）＝sin（x＋B）＋cos（x＋B）tan C，且f（）＝－.
（1）求角A；
（2）若△ABC的面积为，且sin B＋sin C＝，求a的值.
题型三 解三角形中的中线问题
【例3】　在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足bcos ＝asin B.
（1）求A；
（2）若a＝，·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长.
通性通法
求解三角形中线问题的常用方法
（1）中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2（BD2＋AD2）；
（2）向量法：＝（b2＋c2＋2bccos A）.
【跟踪训练】
　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足asin B＝bcos A.
（1）求角A的大小；
（2）若BC边上的中线AD＝，且c＝4，求b的值.
题型四 解三角形中的角平分线问题
【例4】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcos ＝asin B.若a＝2，·＝，AD是△ABC的角平分线，求AD的长.
通性通法
求解三角形中角平分线问题的常用方法
　　在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c：
（1）利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD；
（2）内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝；
（3）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AD＝（角平分线长公式）.
【跟踪训练】
　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，b＝2，b2＋c2－a2＝bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE＝（　　）
A.　　　 B.
C.2　　　 D.3
题型五 解三角形中的最值（范围）问题
【例5】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A.
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.
通性通法
　　解三角形中的最值（范围）问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值（范围）.
【跟踪训练】
　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S＝（a2＋b2－c2）.
（1）求角C的大小；
（2）求sin A·sin B的最大值.
1.在△ABC中，BC＝3，AC＝5，＜B＜π，则边AB的取值范围是（　　）
A.（2，8） B.（1，4）
C.（4，＋∞） D.（2，4）
2.（2024·汕尾月考）在△ABC中，BC＝3，AB＝7，C＝π，则AB边上的高为（　　）
A. 　 B.
C. 　 D.
3.在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD为∠BAC的角平分线，则AD＝　　　　.
培优课　解三角形中的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）证明：由余弦定理的推论得cos B＝＝≥＝，∵B是△ABC的内角，∴0＜B≤.
（2）在△ABC中，由a＋c＝2b，结合正弦定理可得sin A＋sin C＝2sin B，
∵C＝2A，∴B＝π－A－C＝π－3A，
∴sin A＋sin 2A＝2sin 3A，
即sin A＋2sin Acos A＝2（sin A·cos 2A＋cos A·sin 2A）＝2[sin A·（2cos2A－1）＋2sin Acos2A]，
∵sin A＞0，
∴1＋2cos A＝2（2cos2A＋2cos2A－1），
整理得8cos2A－2cos A－3＝0，
解得cos A＝或cos A＝－.
∵C＝2A，∴0＜A＜，
∴cos A＝.
由余弦定理的推论得cos A＝＝，
代入a＋c＝2b，得2b2＋2c2－2（2b－c）2＝3bc，整理得b＝c，
∴a＝c，
故a∶b∶c＝c∶c∶c＝4∶5∶6.
跟踪训练
　4　解析：法一　因为＋＝6cos C，所以＝6·，所以2a2＋2b2＝3c2.而＋＝＋，由正弦定理及余弦定理的推论，可得 ＋＝（·＋·）＝·＝·＝＝4.
法二　由＋＝6cos C，可得a2＋b2＝6abcos C.又在△ABC中，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得c2＝4abcos C，故＋＝·（＋）＝·＝·＝·＝4.
法三　＋＝＋1＋＋1－2
＝＋
－2
＝＋－2.观察式子结构，使用正弦定理，得到＋＝·（＋）－2＝（＋）－2＝·6cos C－2＝4.
【例2】　解：（1）f（x）＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＋＝sin 2ωx－＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin（2ωx＋），
显然f（x）的最大值为1，最小值为－1，
则｜f（x1）－f（x2）｜＝2时，｜x1－x2｜的最小值等于，则＝，则＝π，ω＝1；
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，则f（x）的对称中心为（－＋，0），k∈Z.
（2）f（A）＝sin（2A＋）＝－1，2A＋＝－＋2kπ，k∈Z，又A∈（0，π），则A＝，
由正弦定理得＝＝＝＝2，则b＝2sin B，c＝2sin C，
则周长为a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C＝＋2sin B＋2sin（－B）＝＋sin B＋cos B＝＋2sin（B＋），
又0＜B＜，则＜B＋＜，则＜2sin（B＋）≤2，
故周长的取值范围为（2，2＋］.
跟踪训练
　解：（1）f（x）＝
＝＝
＝－.
∵f（）＝－，
∴－＝－，
∴sin（－A）＝1.
又0＜A＜π，∴－＜－A＜，
∴－A＝，∴A＝.
（2）∵△ABC的面积S＝bcsin A＝bc·＝，∴bc＝4，
设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理知＝＝＝2R，
sin B＝，sin C＝，a＝R，
sin B＋sin C＝ b＋c＝R，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ，∴a2＝（b＋c）2－3bc，
∴3R2＝6R2－12，∴R＝2，∴a＝2.
【例3】　解：（1）cos ＝cos（－）＝sin ，∴bsin ＝asin B，
由正弦定理得：sin Bsin ＝sin Asin B，
∵sin B≠0，∴sin ＝sin A，
∴sin ＝2sin cos ，∵A∈（0，π），∈（0，），∴sin ≠0，
得cos ＝，即＝，
∴A＝.
（2）∵·＝3，
∴bccos（π－A）＝3，得bc＝6，
由余弦定理得：b2＋c2＝a2＋2bccos A＝13，
∵＝（＋），
∴｜｜2＝（＋）2＝（c2＋b2＋2bccos A）＝，
∴｜｜＝，即AD的长为.
跟踪训练
　解：（1）由asin B＝bcos A及正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A，
因为A，B∈（0，π），则sin B＞0，可得sin A＝cos A＞0，
则tan A＝，因此A＝.
（2）因为＝（＋），
所以2＝＋，所以4＝（＋）2＝＋＋2·，
即28＝c2＋b2＋2bccos∠BAC＝c2＋b2＋bc，
即b2＋4b－12＝0，解得b＝2（负值舍去）.
【例4】　解：由bcos＝asin B可得A＝，由·＝，得cbcos ＝，∴bc＝3，又a＝2，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝（b＋c）2－2bc＋bc＝12，
可得b＋c＝＝，
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
∴bcsin ＝b·AD·sin ＋c·AD·sin ，
∴AD＝＝＝.
跟踪训练
　A　∵b2＋c2－a2＝bc，∴cos ∠BAC＝＝，∵B＝，∴∠BAC∈（0，） ，∴∠BAC＝，∴C＝，∴＝，∴c＝×＝2.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝，∴∠AEB＝π－－＝，
∴＝，
∴AE＝＝×sin ＝×＝.
【例5】　解：（1）由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
又sin B＝2sincos，所以cos＝2sin·cos.
因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.
（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC＝a.
由（1）知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
所以S△ABC＝（＋）＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.
结合A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，所以tan C∈（，＋∞）.
从而＜S△ABC＜.
因此，△ABC面积的取值范围是（，）.
跟踪训练
　解：（1）由题意可知absin C＝×2abcos C.
所以tan C＝.
因为0＜C＜π，所以C＝.
（2）由已知sin A·sin B＝sin A·sin （π－C－A）＝sin A·sin（－A）＝sin A（cos A＋sin A）＝sin 2A－cos 2A＋＝sin（2A－）＋.
因为0＜A＜，所以－＜2A－＜，
所以当2A－＝，即A＝时，
sin A·sin B取最大值.
所以sin A·sin B的最大值是.
随堂检测
1.D　令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依题意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以cos B＝＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜4，所以c的取值范围即AB的取值范围是（2，4）.故选D.
2.B　因为BC＝3，AB＝7，C＝π，所以由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosπ，即49＝AC2＋9＋3AC，解得AC＝5或AC＝－8（舍去），设AB边上的高为h，则AB·h＝AC·BC·sin C，即7h＝3×5× h＝，故选B.
3.　解析：由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD得，×2×3×sin 120°＝×2AD×sin 60°＋×3AD×sin 60°，解得AD＝.
3 / 3(共71张PPT)
培优课　解三角形中的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 解三角形与三角恒等变换的综合
【例1】　已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a
＋c＝2b.
（1）求证：B≤ ；
解：证明：由余弦定理的推论得 cos B＝ ＝
≥ ＝ ，∵B是△ABC的内角，∴0＜B≤ .
（2）若C＝2A，试求a∶b∶c.
解：在△ABC中，由a＋c＝2b，结合正弦定理可得 sin A＋ sin
C＝2 sin B，
∵C＝2A，∴B＝π－A－C＝π－3A，
∴ sin A＋ sin 2A＝2 sin 3A，
即 sin A＋2 sin A cos A＝2（ sin A cos 2A＋ cos A· sin 2A）＝
2[ sin A（2 cos 2A－1）＋2 sin A cos 2A]，
∵ sin A＞0，
∴1＋2 cos A＝2（2 cos 2A＋2 cos 2A－1），
整理得8 cos 2A－2 cos A－3＝0，
解得 cos A＝ 或 cos A＝－ .
∵C＝2A，∴0＜A＜ ，∴ cos A＝ .
由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ ，
代入a＋c＝2b，得2b2＋2c2－2（2b－c）2＝3bc，整理得b
＝ c，
∴a＝ c，
故a∶b∶c＝ c∶ c∶c＝4∶5∶6.
通性通法
　　对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理（A＋
B＋C＝π）展开的，一般是通过正、余弦定理边化角，求得相应的角
或者寻找相应的角之间的关系（此时往往需要用到三角形内角和定理
替换角，达到减元的目的），进而运用三角恒等变换及诱导公式转化
为一个角的三角函数问题，从而求解.
【跟踪训练】
（2024·宁波月考）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c， ＋ ＝6 cos C，则 ＋ ＝ .
解析：法一　因为 ＋ ＝6 cos C，所以 ＝6· ，所以
2a2＋2b2＝3c2.而 ＋ ＝ ＋ ，由正弦定理及余
弦定理的推论，可得 ＋ ＝ （ · ＋
· ）＝ · ＝ · ＝ ＝4.
4
法二　由 ＋ ＝6 cos C，可得a2＋b2＝6ab cos C. 又在△ABC中，
由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得c2＝4ab cos C，故 ＋
＝ ·（ ＋ ）＝ · ＝ · ＝
· ＝4.
法三　 ＋ ＝ ＋1＋ ＋1－2＝
＋ －2＝ ＋ －2.观察式子结构，使用
正弦定理，得到 ＋ ＝ ·（ ＋ ）－2＝ （ ＋
）－2＝ ·6 cos C－2＝4.
题型二 解三角形与三角函数的综合
【例2】　已知函数f（x）＝ sin ωx cos ωx－ sin 2ωx＋ ，其中ω
＞0，若实数x1，x2满足｜f（x1）－f（x2）｜＝2时，｜x1－x2｜的
最小值为 .
（1）求ω的值及f（x）的对称中心；
解：f（x）＝ sin ωx cos ωx－ sin 2ωx＋ ＝ sin 2ωx－
＋ ＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx＝ sin （2ωx＋ ），
显然f（x）的最大值为1，最小值为－1，
则｜f（x1）－f（x2）｜＝2时，｜x1－x2｜的最小值等于 ，
则 ＝ ，则 ＝π，ω＝1；
令2x＋ ＝kπ，k∈Z，解得x＝－ ＋ ，k∈Z，则f（x）
的对称中心为（－ ＋ ，0），k∈Z.
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）
＝－1，a＝ ，求△ABC周长的取值范围.
解：f（A）＝ sin （2A＋ ）＝－1，2A＋ ＝－ ＋2kπ，
k∈Z，又A∈（0，π），则A＝ ，
由正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ＝2，则b＝2 sin B，c＝2
sin C，
则周长为a＋b＋c＝ ＋2 sin B＋2 sin C＝ ＋2 sin B＋2 sin
（ －B）＝ ＋ sin B＋ cos B＝ ＋2 sin （B＋ ），
又0＜B＜ ，则 ＜B＋ ＜ ，则 ＜2 sin （B＋ ）≤2，
故周长的取值范围为（2 ，2＋ ］.
通性通法
　　正、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由
正、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公
式求解问题中出现的三角函数值；二是先利用函数的性质，再利用函
数求角，解与三角形有关的问题.
【跟踪训练】
（2024·郑州月考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，设f（x）＝ sin （x＋B）＋ cos （x＋B）tan C，且f（ ）
＝－ .
（1）求角A；
解：f（x）＝ ＝
＝ ＝－ .
∵f（ ）＝－ ，∴－ ＝－ ，∴ sin （ －
A）＝1.
又0＜A＜π，∴－ ＜ －A＜ ，∴ －A＝ ，∴A＝ .
（2）若△ABC的面积为 ，且 sin B＋ sin C＝ ，求a的值.
解：∵△ABC的面积S＝ bc sin A＝ bc· ＝ ，∴bc＝4，
设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理知 ＝ ＝
＝2R，
sin B＝ ， sin C＝ ，a＝ R， sin B＋ sin C＝ b＋c
＝ R，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ，∴a2＝（b＋c）2－
3bc，
∴3R2＝6R2－12，∴R＝2，∴a＝2 .
题型三 解三角形中的中线问题
【例3】　在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，
c，且满足b cos ＝a sin B.
（1）求A；
解： cos ＝ cos （ － ）＝ sin ，∴b sin ＝a sin B，
由正弦定理得： sin B sin ＝ sin A sin B，
∵ sin B≠0，∴ sin ＝ sin A，
∴ sin ＝2 sin cos ，∵A∈（0，π）， ∈（0， ），∴ sin
≠0，得 cos ＝ ，即 ＝ ，
∴A＝ .
（2）若a＝ ， · ＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长.
解：∵ · ＝3，
∴bc cos （π－A）＝3，得bc＝6，
由余弦定理得：b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13，
∵ ＝ （ ＋ ），
∴｜ ｜2＝ （ ＋ ）2＝ （c2＋b2＋2bc cos A）＝ ，
∴｜ ｜＝ ，即AD的长为 .
通性通法
求解三角形中线问题的常用方法
（1）中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2
＝2（BD2＋AD2）；
（2）向量法： ＝ （b2＋c2＋2bc cos A）.
【跟踪训练】
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a sin B＝
b cos A.
（1）求角A的大小；
解：由a sin B＝ b cos A及正弦定理可得 sin A sin B＝ sin
B cos A，
因为A，B∈（0，π），则 sin B＞0，可得 sin A＝ cos A＞0，
则tan A＝ ，因此A＝ .
（2）若BC边上的中线AD＝ ，且c＝4，求b的值.
解：因为 ＝ （ ＋ ），
所以2 ＝ ＋ ，所以4 ＝（ ＋ ）2＝ ＋
＋2 · ，
即28＝c2＋b2＋2bc cos ∠BAC＝c2＋b2＋bc，
即b2＋4b－12＝0，解得b＝2（负值舍去）.
题型四 解三角形中的角平分线问题
【例4】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且满足b cos ＝a sin B. 若a＝2 ， · ＝ ，AD是△ABC的
角平分线，求AD的长.
解：由b cos ＝a sin B可得A＝ ，由 · ＝ ，得cb cos ＝
，∴bc＝3，又a＝2 ，
∴a2＝b2＋c2－2bc cos A＝（b＋c）2－2bc＋bc＝12，
可得b＋c＝ ＝ ，
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
∴ bc sin ＝ b·AD· sin ＋ c·AD· sin ，
∴AD＝ ＝ ＝ .
通性通法
求解三角形中角平分线问题的常用方法
　　在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，
b，c：
（1）利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD；
（2）内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则 ＝ ；
（3）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AD＝ （角平分线
长公式）.
【跟踪训练】
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝ ，b
＝2 ，b2＋c2－a2＝ bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则
AE＝（　　）
A. B.
C. 2 D. 3
解析：　∵b2＋c2－a2＝ bc，∴ cos ∠BAC＝ ＝ ，
∵B＝ ，∴∠BAC∈（0， ） ，∴∠BAC＝ ，∴C＝ ，∴
＝ ，∴c＝ × ＝2.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝ ∠BAC＝
，∴∠AEB＝π－ － ＝ ，∴ ＝ ，∴AE＝ ＝
× sin ＝ × ＝ .
题型五 解三角形中的最值（范围）问题
【例5】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin
＝b sin A.
（1）求B；
解：由题设及正弦定理得 sin A sin ＝ sin B sin A.
因为 sin A≠0，所以 sin ＝ sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得 sin ＝ cos ，
又 sin B＝2 sin cos ，所以 cos ＝2 sin · cos .
因为 cos ≠0，所以 sin ＝ ，所以B＝60°.
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.
解：由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC＝ a.
由（1）知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝ ＝ ＝ ＋ .
所以S△ABC＝ （ ＋ ）＝ ＋ .
由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.
结合A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，所以tan C∈（ ，＋∞）.
从而 ＜S△ABC＜ .
因此，△ABC面积的取值范围是（ ， ）.
通性通法
　　解三角形中的最值（范围）问题主要有两种解决方法：一是将问
题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问
题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调
性，再结合角的范围确定最值（范围）.
【跟踪训练】
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面
积为S，且满足S＝ （a2＋b2－c2）.
（1）求角C的大小；
解：由题意可知 ab sin C＝ ×2ab cos C.
所以tan C＝ .
因为0＜C＜π，所以C＝ .
（2）求 sin A· sin B的最大值.
解：由已知 sin A· sin B＝ sin A· sin （π－C－A）＝ sin A· sin
（ －A）＝ sin A（ cos A＋ sin A）＝ sin 2A－ cos 2A
＋ ＝ sin （2A－ ）＋ .
因为0＜A＜ ，所以－ ＜2A－ ＜ ，
所以当2A－ ＝ ，即A＝ 时， sin A· sin B取最大值 .
所以 sin A· sin B的最大值是 .
1. 在△ABC中，BC＝3，AC＝5， ＜B＜π，则边AB的取值范围是
（　　）
A. （2，8） B. （1，4）
C. （4，＋∞） D. （2，4）
解析：　令△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，依
题意，5－3＜c＜5＋3，即2＜c＜8，由于B为钝角，所以 cos B＝
＜0，a2＋c2－b2＝9＋c2－25＝c2－16＜0，解得2＜c＜
4，所以c的取值范围即AB的取值范围是（2，4）.故选D.
2. （2024·汕尾月考）在△ABC中，BC＝3，AB＝7，C＝ π，则AB
边上的高为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　因为BC＝3，AB＝7，C＝ π，所以由余弦定理可得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos π，即49＝AC2＋9＋3AC，解得
AC＝5或AC＝－8（舍去），设AB边上的高为h，则 AB·h＝
AC·BC· sin C，即7h＝3×5× h＝ ，故选B.
3. 在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3，D为BC上一点，AD为∠BAC的角平分线，则AD＝ .
解析：由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD得， ×2×3× sin 120°＝
×2AD× sin 60°＋ ×3AD× sin 60°，解得AD＝ .

知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的
周长为4（ ＋1），且 sin B＋ sin C＝ sin A，则a＝（　　）
A. B. 2
C. 4 D. 2
解析：　由题知周长为a＋b＋c＝4（ ＋1）①，∵ sin B＋ sin
C＝ sin A，由正弦定理得b＋c＝ a②，∴由①②，可解得a
＝4，故选C.
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2. （2024·威海质检）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，已知三个向量m＝（a， cos ），n＝（b， cos ），p
＝（c， cos ）共线，则△ABC为（　　）
A. 等边三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
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解析：　∵向量m，n共线，∴a cos ＝b cos ，由正弦定理得
sin A cos ＝ sin B cos ，∴2 sin · cos cos ＝2 sin cos cos .
∵ cos ≠0， cos ≠0，∴ sin ＝ sin .∵0＜ ＜ ，0＜ ＜ ，
∴ ＝ ，即A＝B，同理可得B＝C，∴△ABC为等边三角形.故
选A.
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3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的
面积为 ，C＝120°，c＝2b cos B，则AC边上的中线长为（　）
A. B. 3
C. D. 4
解析：　由题意结合正弦定理得 sin C＝2 sin B cos B，即 sin C＝
sin 2B，因为B，C为△ABC的内角，所以C＝2B或C＋2B＝
180°，当C＝2B时，B＝60°，不符合三角形内角和定理，当C
＋2B＝180°时，B＝30°，
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故A＝30°，因此a＝b，因为△ABC的面积为 ，所以 a·a· ＝ ，解得a＝2（负值舍去），即a＝b＝2.由余弦定理可知c＝ ＝ ＝2 .设AC边的中点为D，则 ＝ （ ＋ ），因此｜ ｜＝＝
＝ ＝ .故选C.
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4. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，
b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝ ，则 cos ∠ADB＝
（　　）
A. － B.
C. D. ±
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解析：　因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD
＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以 ＝ ＝ ＝ ＝
3.因为BD＝ ，所以CD＝3 ，a＝CB＝4 .由余弦定理可
得a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c· ，解得c
＝4.在△ABD中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝
，所以 sin ∠ADB＝ .因为b＞c，所以B＞C.
又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB＜∠ADC，
所以∠ADB为锐角，所以 cos ∠ADB＝ .故选B.
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5. （2024·郑州月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且BC边上的高为 a，则 ＋ 的最大值为（　　）
A. 8 B. 6
C. 3 D. 4
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解析：　∵BC边上的高为 a，∴S△ABC＝ a× a＝ bc sin
A，∴a2＝2 bc sin A，由余弦定理得2 bc sin A＝b2＋c2－2bc
cos A，整理得 ＝2 sin A＋2 cos A，即 ＋ ＝4 sin （A＋
）.∵A∈（0，π），∴A＋ ∈（ ， ），∴当A＋ ＝ ，即
A＝ 时，4 sin （A＋ ）有最大值，且最大值为4.∴ ＋ 的最大
值为4.
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6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝
，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大
值是（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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解析：　设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x，在△ACD中，由
余弦定理得b2＝9＋x2＋6x cos θ　①，在△ABD中，由余弦定理得
c2＝9＋9x2－18x cos θ　②，联立①②，消去 cos θ得3b2＋c2＝36
＋12x2　③，在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2　④，
联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc（当且
仅当3b＝c时，等号成立），∴bc≤16，∴S△ABC＝ bc sin ≤
×16× ＝4 .故选B.
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7. （多选）在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，
AD＝1， cos ∠BAC＝ ，以下结论正确的是（　　）
A. AB＝8 B. ＝
C. AB＝6 D. △ABD的面积为
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解析：　如图所示，因为AD是角平分线，设
∠CAD＝∠DAB＝α，则∠BAC＝2α，根据二
倍角公式得 cos 2α＝2 cos 2α－1＝ ，且0＜α
＜ ，所以 cos α＝ ，在Rt△ACD中，AD＝1，所以AC＝AD cos α＝ ，在Rt△ACB中，AB＝ ＝ ×8＝6，故A错误，C正确；根据角平分线定理， ＝ ＝ × ＝ ，故B正确；因为 cos α＝ ，且0＜α＜ ，所以 sin α＝ ，所以S△ABD＝ AD·AB· sin α＝ ×6× ＝ ，故D正确，故选B、C、D.
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8. （多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝9∶10∶11，则下列结论正
确的是（　　）
A. sin A∶ sin B∶ sin C＝4∶5∶6
B. △ABC是钝角三角形
C. △ABC的最大内角是最小内角的2倍
D. 若c＝6，则△ABC外接圆的半径为
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解析：　因为（a＋b）∶（a＋c）∶（b＋c）＝
9∶10∶11，所以可设解得所以由
正弦定理可得 sin A∶ sin B∶ sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，故A正
确；易知c最大，所以△ABC中角C最大，又 cos C＝ ＝
＝ ＞0，所以C为锐角，所以△ABC为锐
角三角形，故B错误；
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易知a最小，所以△ABC中角A最小，又 cos A＝ ＝ ＝ ，所以 cos 2A＝2 cos 2A－1＝ ，所以 cos 2A＝ cos C，由△ABC中角C最大且C为锐角可得2A∈（0，π），C∈（0， ），所以2A＝C，故C正确；设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得2R＝ ，又c＝6， sin C＝ ＝ ，所以2R＝ ，解得R＝ ，故D正确.故选A、C、D.
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9. （2024·金华月考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，若2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，则 ＝ ，角C
的最大值为 .
解析：∵2 sin A sin B cos C＝ sin 2C，∴2ab cos C＝c2 a2＋b2－c2
＝c2 ＝2，∴ cos C＝ ＝ ≥ ，当且仅当a
＝b时取等号.∵0＜C＜π，∴0＜C≤ ，即角C的最大值为 .
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10. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝ ，
a＝6，1≤b≤4，则 sin A的取值范围为 .
解析：∵C＝ ，a＝6，1≤b≤4，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2
－ab＝36＋b2－6b＝（b－3）2＋27，∴c2＝（b－3）2＋
27∈[27，31]，∴c∈[3 ， ]，∴由正弦定理 ＝ ，
可得 sin A＝ ＝ ＝ ∈［ ，1］.
［ ，1］
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11. 已知a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x， cos x），f（x）
＝a·b.
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
解：因为a＝（ sin x，－ cos x），b＝（ cos x， cos x），
则f（x）＝a·b＝ sin x cos x－ cos 2x＝ sin 2x－ cos
2x－ ＝ sin （2x－ ）－ ，
由2x－ ＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z），
即函数f（x）图象的对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）.
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（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f
（B）＝ 且b＝ .求a＋c的取值范围.
解：由f（B）＝ ，得 sin （2B－ ）＝1，又2B－
∈（－ ， ），即2B－ ＝ .
所以B＝ ，又b＝ ，
由正弦定理 ＝ ＝ ，得a＝2 sin A，c＝2 sin C，
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即a＋c＝2 sin A＋2 sin C＝2 sin A＋2 sin （ －A）＝2
cos （A－ ），
又0＜A＜ ，所以－ ＜A－ ＜ ，
所以2 cos （A－ ）∈（ ，2 ].
即a＋c的取值范围为（ ，2 ].
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12. （2024·潮州月考）在△ABC中，D是BC上的点，AD平分
∠BAC，△ABD的面积是△ADC面积的2倍.
（1）求 ；
解：如图，
过A作AE⊥BC于E.
因为 ＝ ＝2，
所以BD＝2DC.
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因为AD平分∠BAC，所以∠BAD∠DAC.
在△ABD中， ＝ ，
所以 sin B＝ .
在△ADC中， ＝ ，
所以 sin C＝ ，
所以 ＝ ＝ .
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（2）若AD＝1，DC＝ ，求BD和AC的长.
解：由（1）知，BD＝2DC＝2× ＝ .
如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N.
因为AD平分∠BAC，所以DM＝DN，
所以 ＝ ＝2，所以AB＝2AC.
令AC＝x，则AB＝2x.
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因为∠BAD＝∠DAC，所以 cos ∠BAD＝ cos ∠DAC，
所以由余弦定理可得 ＝ ，
解得x＝1，即AC＝1.
综上，BD的长为 ，AC的长为1.
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13. 如图，某镇有一块空地形如△OAB，其中OA＝3 km，OB＝3
km，∠AOB＝90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游
景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB
上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假
山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在
△OAN的一周安装防护网.
（1）当AM＝ km时，求防护网的总长度；
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解：因为在△OAB中，OA＝3 km，OB＝3 km，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°.
在△AOM中，由OA＝3 km，AM＝ km，∠OAM＝60°及余弦定理，得OM＝ ＝ km.
所以OM2＋AM2＝OA2，即OM⊥AN，
所以∠AOM＝30°，即∠AON＝60°.
所以△OAN为等边三角形，所以△OAN的周长为3OA＝9 km，即防护
网的总长度为9 km.
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（2）为了节省投入的资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小.
问：如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小，最小面
积是多少？
解：设∠AOM＝θ（0°＜θ＜60°）.
在△OAN中，由 ＝ ，
得ON＝ km.
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在△AOM中，由 ＝ ，得OM＝
km.
所以S△OMN＝ OM·ON· sin 30°＝ ＝
km2.
当2θ＋60°＝90°，即θ＝15°时，△OMN的面积最小，最
小面积为 km2.
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