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培优课　平面向量中的最值（范围）问题
1.已知向量a＝（1，0），b＝（4，m），若｜2a－b｜不超过3，则m的取值范围为（　　）
A.[－，] B.[－，]
C.[－3，3] D.[－5，5]
2.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且（a－2b）·（2a＋b）≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是（　　）
A.［0，］ B.［，］
C.［，π］ D.（，）
3.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则·的取值范围是（　　）
A.[2，14] B.[0，12]
C.[0，6] D.[2，8]
4.（2024·宁波质检）设0≤θ＜2π，已知两个向量＝（cos θ，sin θ），＝（2＋sin θ，2－cos θ），则向量的长度的最大值是（　　）
A.　　　B. C.3　　　D.2
5.设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个动点，＝λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是（　　）
A.≤λ≤1 B.1－≤λ≤1
C.≤λ≤1＋ D.1－≤λ≤1＋
6.（多选）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，＝λ＋μ，则下列结论正确的是（　　）
A.当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝
B.λμ的最大值为
C.μ的取值范围为[0，1]
D.λ＋μ的取值范围为［，2］
7.向量a，b满足｜a｜＝1，a与b的夹角为，则｜a－b｜的最小值为　　　　.
8.（2024·郑州月考）在△ABC中，·（－4）＝0，则cos A的最小值为　　　　.
9.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则·的取值范围是　　　　.
10.已知·＝0，M是线段BC的中点.
（1）若｜｜＝2｜｜，求向量－与向量＋的夹角的余弦值；
（2）若O是线段AM上任意一点，且｜｜＝2｜｜＝2，求·＋·的最小值.
11.如图，已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点（不包括边界），设＝a，＝b.
（1）试用a，b表示；
（2）若＝λa＋μb，求λ＋μ的取值范围.
12.（2024·福州质检）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足＝＋.
（1）证明A，B，C三点共线，并求的值；
（2）已知A（1，sin x），B（1＋sin x，sin x），x∈（0，π），且函数f（x）＝·＋（ 2m－）｜｜的最小值为，求实数m的值.
培优课　平面向量中的最值（范围）问题
1.B　由题意知，2a－b＝（－2，－m），所以｜2a－b｜＝≤3，得4＋m2≤9，即m2≤5，解得－≤m≤，即实数m的取值范围为[－，]，故选B.
2.C　（a－2b）·（2a＋b）＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3｜a｜｜b｜cos θ－2×16＝－14－3×3×4cos θ≥4，所以cos θ≤－，所以θ∈［，π］.
3.A　如图，建立平面直角坐标系，则A（0，0），E（2，1），设F（x，2）（0≤x≤2），所以＝（2，1），＝（x，2），因此·＝2x＋2，因为0≤x≤2，所以2≤2x＋2≤14，故·的取值范围是[2，14].
4.C　∵＝－＝（2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ），∴｜｜＝
＝，∵0≤θ＜2π，∴－1≤cos θ≤1，∴≤≤3，当cos θ＝－1时，｜｜有最大值3.
5.B　∵＝λ＝（－λ，λ），＝（1－λ）＋λ＝（1－λ，λ），·≥·，∴（1－λ，λ）·（－1，1）≥（λ，－λ）·（λ－1，1－λ），∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，∵点P是线段AB上的一个动点，∴0≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.
6.ABC　以B为原点，，为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，设BC＝2，则B（0，0），E（0，1），D（2，2），设M（t，2），则0≤t≤2，因为＝λ＋μ，所以（t，2）＝λ（0，1）＋μ（2，2）＝（2μ，λ＋2μ），所以2μ＝t，λ＋2μ＝2，即λ＝2－t，μ＝，对于选项A，因为M为线段AD的中点，所以t＝1，故λ＋μ＝2－＝，A正确；对于选项B，λμ＝（2－t）＝t－t2，0≤t≤2，当t＝1时，λμ取最大值为，B正确；对于选项C，因为μ＝，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范围为[0，1]，C正确；对于选项D，λ＋μ＝2－，0≤t≤2，所以1≤λ＋μ≤2，所以λ＋μ的取值范围为[1，2]，D错误.故选A、B、C.
7.　解析：｜a－b｜2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×｜b｜cos＋｜b｜2＝｜b｜2－｜b｜＋1＝（｜b｜－）2＋≥，所以｜a－b｜≥，当｜b｜＝时取得最小值.
8.　解析：在△ABC中，＝－，所以·（－4）＝（－）·（－4）＝－4｜｜2－｜｜2＋5·＝－4｜｜2－｜｜2＋5｜｜·｜｜cos A＝0，在△ABC中，设｜｜＝b，｜｜＝c，则有－4b2－c2＋5bccos A＝0，所以cos A＝≥＝，当且仅当2b＝c时，等号成立.
9.[2，3]　解析：如图，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得｜OQ｜＝，又·＝（＋）·（＋）＝｜｜2＋·＋·＋·＝｜｜2＋·（＋）－1＝｜｜2－1，根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，｜PO｜有最小值为，此时｜｜2－1＝2，当点P位于正六边形的顶点时，｜PO｜有最大值为2，此时｜｜2－1＝3，所以2≤·≤3.
10.解：因为·＝0，所以⊥，
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
（1）令｜｜＝a，则C（0，a），B（2a，0），
所以－＝（2a，－a），＋＝（2a，a）.
设向量－与向量＋的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝.
（2）因为｜｜＝2｜｜＝2，则C（0，1），B（2，0），M（1，），设O（x，），x∈[0，1]，
所以·＋·＝·（＋）＝2·＝2（－x，－）·（1－x，－）＝2（x2－x＋－）＝（x2－x）＝（x－）2－.
当且仅当x＝时，·＋·取得最小值－.
11.解：（1）如图①，延长AG，交BC于点D，则D为BC的中点，＝＝（＋）＝（＋）＝［＋（－）］＝a＋b.
（2）＝－＝a－b，如图②，连接GP并延长，交BC于点P'.
令＝t'（0＜t＜1），'＝m（0＜m＜1），
则＝＋＝a＋b＋t'＝a＋b＋t（＋'）＝a＋b＋t（＋m）＝a＋b＋t（a－b）＋tm（b－a）＝（＋t－tm）a＋（－t＋tm）b（0＜t＜1，0＜m＜1），
因为＝λa＋μb，所以λ＝＋t－tm，μ＝－t＋tm，故λ＋μ＝＋t，
因为0＜t＜1，所以λ＋μ＝＋t∈（，1）.
故λ＋μ的取值范围为（，1）.
12.解：（1）因为＝＋，
所以－＝（－），
所以＝.
又，有公共点B，
所以A，B，C三点共线，＝.
（2）因为A（1，sin x），B（1＋sin x，sin x），
所以＝＋＝（ 1＋sin x，sin x），
所以·＝1＋sin x＋sin2x.
又｜｜＝sin x，
所以f（x）＝·＋（ 2m－）·｜｜＝sin2x＋2msin x＋1.
设sin x＝t，因为x∈（0，π），
所以t∈（0，1]，
所以y＝t2＋2mt＋1＝（t＋m）2＋1－m2.
①当－m≤0，即m≥0时，y＝t2＋2mt＋1无最小值，不合题意；
②当0＜－m≤1，即－1≤m＜0时，
当t＝－m时，ymin＝1－m2＝，
所以m＝－；
③当－m＞1，即m＜－1时，当t＝1时，ymin＝2＋2m＝，m＝－＞－1，不合题意.
综上可知，m＝－.
1 / 2培优课　平面向量中的最值（范围）问题
题型一 向量线性运算中的最值（范围）问题
【例1】　如图，延长线段AB到点C，使得＝2，D点在线段BC上运动，点O 直线AB，满足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是（　　）
A.［－，0］ B.［－2，］
C.［－，0］ D.[－1，1]
通性通法
　　利用向量的概念及线性运算，将所求问题转化为关于参数的等式或不等式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值（范围）.
【跟踪训练】
（2024·杭州月考）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n（m，n均为正实数），则＋的最小值为　　　　.
题型二 向量数量积的最值（范围）问题
【例2】　已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·（－）的最大值为　　　　.
通性通法
　　解决此类问题时，先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，利用数量积的运算法则建立关于变量的关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解.在求最值时我们也可以利用图形直观求解.
【跟踪训练】
在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为　　　　.
题型三 向量模的最值（范围）问题
【例3】　已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若x＋2y＝2，则｜b｜的最小值为　　　　.
通性通法
　　求向量模的最值（范围）一般要利用公式｜a｜＝ 转化为函数或不等式求解，或利用不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜求解.
【跟踪训练】
已知｜a＋b｜＝2，向量a，b的夹角为，则｜a｜＋｜b｜的最大值为　　　　.
题型四 向量夹角的最值（范围）问题
【例4】　非零向量a，b满足2a·b＝a2b2，｜a｜＋｜b｜＝2，则a与b的夹角的最小值为　　　　.
通性通法
　　求向量夹角的最值（范围）问题一般转化为求向量夹角θ的余弦值cos θ＝的最值（范围）问题.
【跟踪训练】
（2024·深圳月考）已知向量a，b满足a＝（t，2－t），｜b｜＝1，且（a－b）⊥b，则a，b夹角θ的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
1.已知向量m＝（a－1，1），n＝（2－b，2）（a＞0，b＞0），若m∥n，则m·n的取值范围是（　　）
A.[2，＋∞） B.（0，＋∞）
C.[2，4） D.（2，4）
2.已知点A（4，3）和B（1，2），O为坐标原点，则｜＋t｜（t∈R）的最小值为（　　）
A.5 B.5
C.3 D.
3.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为（　　）
A.3　　　B.4 C.5　　　D.9
4.（2024·菏泽月考）已知向量a＝（5，5），b＝（λ，1），若a＋b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是　　　　.
培优课　平面向量中的最值（范围）问题
【典型例题·精研析】
【例1】　C　不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0，1]，由平面向量三点共线可知，＝＋，∴＝·－，∴λ＝－，μ＝，x∈[0，1]，则λμ＝－＝－（x2＋2x），∴λμ∈［－，0］.
跟踪训练
　　解析：因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，所以＝＋＝－，所以＝m＋n＝m＋n（－）＝（m－n）＋n，由P，B，C三点共线得，m－n＋n＝m＋n＝1（m，n＞0），所以＋＝（＋）（m＋n）＝＋＋≥＋2＝＋＝（当且仅当3n2＝4m2时，取等号），即＋的最小值为.
【例2】　9　解析：
根据题意，以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图，∴A（0，3），B（4，0），C（0，0），∴＝（4，－3），设＝λ（λ∈[0，1]），则＝＋＝＋λ＝（0，3）＋（4λ，－3λ）＝（4λ，3－3λ），λ∈[0，1]，∴·（－）＝·＝（4λ，3－3λ）·（0，3）＝9－9λ∈[0，9]，∴·（－）的最大值为9.
跟踪训练
　　解析：根据题意，可知·＝（＋）·（＋）＝（＋λ）·（＋）＝·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，等号成立.
【例3】　1　解析：e1·e2＝cos＝，b2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy.∵x＋2y＝2，∴x＝2－2y.∴b2＝（2－2y）2＋y2＋（2－2y）y＝3y2－6y＋4＝3（y－1）2＋1.∴当y＝1时，b2取得最小值1.∴｜b｜的最小值为1.
跟踪训练
　　解析：将｜a＋b｜＝2两边平方并化简得（｜a｜＋｜b｜）2－｜a｜｜b｜＝4，由基本不等式得｜a｜｜b｜≤（）2＝，故（｜a｜＋｜b｜）2≤4，即（｜a｜＋｜b｜）2≤，即｜a｜＋｜b｜≤，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝时，等号成立，所以｜a｜＋｜b｜的最大值为.
【例4】　　解析：设a与b的夹角为θ，由2a·b＝a2b2知，2｜a｜｜b｜cos θ＝a2b2.由基本不等式知，cos θ＝｜a｜·｜b｜≤（）2＝，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝1时等号成立，即cos θ≤，又θ∈[0，π]，故θ∈［，π］.故a与b的夹角的最小值是.
跟踪训练
　C　因为（a－b）⊥b，所以（a－b）·b＝0，a·b＝b2，cos θ＝＝＝＝＝，又因为2t2－4t＋8＝2[（t－）2＋2]≥2[（－）2＋2]＝4，所以0＜cos θ≤，所以θ的最小值为.
随堂检测
1.C　因为m∥n，所以2a－2＝2－b，所以2a＋b＝4，所以b＝4－2a＞0，所以0＜a＜2，所以m·n＝2a＋b－ab＝4－ab＝4－a（4－2a）＝2a2－4a＋4＝2（a－1）2＋2∈[2，4）.
2.D　由题意可得＝（4，3），＝（1，2），则｜＋t｜＝｜（4，3）＋t（1，2）｜＝｜（4＋t，3＋2t）｜＝＝＝，结合二次函数的性质可得，当t＝－2时，｜＋t｜min＝.
3.D　由题图可知B，D，C共线，且x，y均为正，所以x＋y＝1，所以＋＝（＋）（x＋y）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，则＋的最小值为9.
4.（－7，1）∪（1，7）　解析：a＋b＝（5＋λ，6），a－b＝（5－λ，4），由题意得，（a＋b）·（a－b）＞0，且a＋b与a－b不共线，所以解得－7＜λ＜7，且λ≠1，所以λ的取值范围是（－7，1）∪（1，7）.
2 / 2(共51张PPT)
培优课　平面向量中的最值（范围）问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量线性运算中的最值（范围）问题
【例1】　如图，延长线段AB到点C，使得 ＝2 ，D点在线段
BC上运动，点O 直线AB，满足 ＝λ ＋μ ，则λμ的取值范
围是（　　）
D. [－1，1]
解析：　不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0，1]，由平面向量
三点共线可知， ＝ ＋ ，∴ ＝ － ，
∴λ＝－ ，μ＝ ，x∈[0，1]，则λμ＝－ ＝－ （x2＋
2x），∴λμ∈［－ ，0］.
通性通法
　　利用向量的概念及线性运算，将所求问题转化为关于参数的等式
或不等式，然后利用函数的性质或基本不等式求最值（范围）.
【跟踪训练】
（2024·杭州月考）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝
90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足 ＝m
＋n （m，n均为正实数），则 ＋ 的最小值为 　 　.

解析：因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝
AB＝4，CD＝1，所以 ＝ ＋ ＝ － ，所以 ＝m
＋n ＝m ＋n（ － ）＝（m－ n） ＋n ，由P，
B，C三点共线得，m－ n＋n＝m＋ n＝1（m，n＞0），所以
＋ ＝（ ＋ ）（m＋ n）＝ ＋ ＋ ≥ ＋2 ＝ ＋
＝ （当且仅当3n2＝4m2时，取等号），即 ＋ 的最小值为 .
题型二 向量数量积的最值（范围）问题
【例2】　已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边
上任意一点，则 ·（ － ）的最大值为 .
9
解析：根据题意，以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x轴、
y轴建立平面直角坐标系，如图，∴A（0，3），B（4，0），C
（0，0），∴ ＝（4，－3），设 ＝λ （λ∈[0，1]），则
＝ ＋ ＝ ＋λ ＝（0，3）＋（4λ，－3λ）＝（4λ，3－
3λ），λ∈[0，1]，∴ ·（ － ）＝ · ＝（4λ，3－
3λ）·（0，3）＝9－9λ∈[0，9]，∴ ·（ － ）的最大值为9.
通性通法
　　解决此类问题时，先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个
变量或两个变量表示，利用数量积的运算法则建立关于变量的关系
式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解.在求最值时我们
也可以利用图形直观求解.
【跟踪训练】
在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝
60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且 ＝λ ， ＝
，则 · 的最小值为 　 　.

解析：根据题意，可知 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝
（ ＋λ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＋λ · ＋
· ＝1＋ ＋ － ≥1＋2 － ＝ ，当且仅当λ＝ 时，等
号成立.
题型三 向量模的最值（范围）问题
【例3】　已知e1，e2是夹角为 的两个单位向量，非零向量b＝xe1＋
ye2，x，y∈R，若x＋2y＝2，则｜b｜的最小值为 .
1
解析：e1·e2＝ cos ＝ ，b2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy.∵x＋
2y＝2，∴x＝2－2y.∴b2＝（2－2y）2＋y2＋（2－2y）y＝3y2－
6y＋4＝3（y－1）2＋1.∴当y＝1时，b2取得最小值1.∴｜b｜的最
小值为1.
通性通法
　　求向量模的最值（范围）一般要利用公式｜a｜＝ 转化为函
数或不等式求解，或利用不等式｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜
a｜＋｜b｜求解.
【跟踪训练】
已知｜a＋b｜＝2，向量a，b的夹角为 ，则｜a｜＋｜b｜的最大
值为 .

解析：将｜a＋b｜＝2两边平方并化简得（｜a｜＋｜b｜）2－｜
a｜｜b｜＝4，由基本不等式得｜a｜｜b｜≤（ ）2＝
，故 （｜a｜＋｜b｜）2≤4，即（｜a｜＋｜
b｜）2≤ ，即｜a｜＋｜b｜≤ ，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝
时，等号成立，所以｜a｜＋｜b｜的最大值为 .
题型四 向量夹角的最值（范围）问题
【例4】　非零向量a，b满足2a·b＝a2b2，｜a｜＋｜b｜＝2，则a
与b的夹角的最小值为 .

解析：设a与b的夹角为θ，由2a·b＝a2b2知，2｜a｜｜b｜ cos θ＝
a2b2.由基本不等式知， cos θ＝ ｜a｜·｜b｜≤ （ ）2
＝ ，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝1时等号成立，即 cos θ≤ ，又
θ∈[0，π]，故θ∈［ ，π］.故a与b的夹角的最小值是 .
通性通法
　　求向量夹角的最值（范围）问题一般转化为求向量夹角θ的余弦
值 cos θ＝ 的最值（范围）问题.
【跟踪训练】
（2024·深圳月考）已知向量a，b满足a＝（t，2 －t），｜b｜
＝1，且（a－b）⊥b，则a，b夹角θ的最小值为（　　）
解析：　因为（a－b）⊥b，所以（a－b）·b＝0，a·b＝b2，
cos θ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，又因为
2t2－4 t＋8＝2[（t－ ）2＋2]≥2[（ － ）2＋2]＝4，所以
0＜ cos θ≤ ，所以θ的最小值为 .
1. 已知向量m＝（a－1，1），n＝（2－b，2）（a＞0，b＞0），
若m∥n，则m·n的取值范围是（　　）
A. [2，＋∞） B. （0，＋∞）
C. [2，4） D. （2，4）
解析：　因为m∥n，所以2a－2＝2－b，所以2a＋b＝4，所
以b＝4－2a＞0，所以0＜a＜2，所以m·n＝2a＋b－ab＝4－ab
＝4－a（4－2a）＝2a2－4a＋4＝2（a－1）2＋2∈[2，4）.
2. 已知点A（4，3）和B（1，2），O为坐标原点，则｜ ＋
t ｜（t∈R）的最小值为（　　）
B. 5
C. 3
解析：　由题意可得 ＝（4，3）， ＝（1，2），则｜
＋t ｜＝｜（4，3）＋t（1，2）｜＝｜（4＋t，3＋2t）｜＝
＝ ＝
，结合二次函数的性质可得，当t＝－2时，｜
＋t ｜min＝ .
3. 如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且 ＝x ＋
y ，则 ＋ 的最小值为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 9
解析：　由题图可知B，D，C共线，且x，y均为正，所以x＋
y＝1，所以 ＋ ＝（ ＋ ）（x＋y）＝5＋ ＋ ≥5＋2
＝9，当且仅当 ＝ ，即x＝ ，y＝ 时等号成立，则 ＋ 的最
小值为9.
4. （2024·菏泽月考）已知向量a＝（5，5），b＝（λ，1），若a＋
b与a－b的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是
.
解析：a＋b＝（5＋λ，6），a－b＝（5－λ，4），由题意得，
（a＋b）·（a－b）＞0，且a＋b与a－b不共线，所以
解得－7＜λ＜7，且λ≠1，所以λ的
取值范围是（－7，1）∪（1，7）.
（－7，1）∪
（1，7）
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知向量a＝（1，0），b＝（4，m），若｜2a－b｜不超过3，
则m的取值范围为（　　）
C. [－3，3] D. [－5，5]
解析：　由题意知，2a－b＝（－2，－m），所以｜2a－b｜
＝ ≤3，得4＋m2≤9，即m2≤5，解得－ ≤m≤ ，
即实数m的取值范围为[－ ， ]，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且（a－2b）·（2a＋b）≥4，则a
与b的夹角θ的取值范围是（　　）
解析：　（a－2b）·（2a＋b）＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝
2×9－3｜a｜｜b｜ cos θ－2×16＝－14－3×3×4 cos θ≥4，所
以 cos θ≤－ ，所以θ∈［ ，π］.
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3. 在矩形ABCD中，AB＝2 ，AD＝2，点E为线段BC的中点，点
F为线段CD上的动点，则 · 的取值范围是（　　）
A. [2，14] B. [0，12]
C. [0，6] D. [2，8]
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解析：　如图，建立平面直角坐标系，则A（0，0），E
（2 ，1），设F（x，2）（0≤x≤2 ），所以 ＝
（2 ，1）， ＝（x，2），因此 · ＝2 x＋2，因为
0≤x≤2 ，所以2≤2 x＋2≤14，故 · 的取值范围是
[2，14].
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4. （2024·宁波质检）设0≤θ＜2π，已知两个向量 ＝（ cos θ， sin
θ）， ＝（2＋ sin θ，2－ cos θ），则向量 的长度的最大
值是（　　）
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解析：　∵ ＝ － ＝（2＋ sin θ－ cos θ，2－ cos θ－
sin θ），∴｜ ｜
＝
＝ ，∵0≤θ＜2π，∴－1≤ cos θ≤1，∴
≤ ≤3 ，当 cos θ＝－1时，｜ ｜有最大值3 .
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5. 设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个
动点， ＝λ ，若 · ≥ · ，则实数λ的取值范围是
（　　）
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解析：　∵ ＝λ ＝（－λ，λ）， ＝（1－λ） ＋λ
＝（1－λ，λ）， · ≥ · ，∴（1－λ，λ）·（－1，1）≥
（λ，－λ）·（λ－1，1－λ），∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－ ≤λ≤1
＋ ，∵点P是线段AB上的一个动点，∴0≤λ≤1，即满足条件的
实数λ的取值范围是1－ ≤λ≤1.
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6. （多选）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的
动点， ＝λ ＋μ ，则下列结论正确的是（　　）
C. μ的取值范围为[0，1]
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解析：　以B为原点， ， 为x，y轴正方向建立平面直
角坐标系，设BC＝2，则B（0，0），E（0，1），D（2，2），
设M（t，2），则0≤t≤2，因为 ＝λ ＋μ ，所以（t，
2）＝λ（0，1）＋μ（2，2）＝（2μ，λ＋2μ），所以2μ＝t，λ
＋2μ＝2，即λ＝2－t，μ＝ ，对于选项A，因为M为线段AD的
中点，所以t＝1，故λ＋μ＝2－ ＝ ，A正确；对于选项B，λμ
＝（2－t） ＝t－ t2，0≤t≤2，当t＝1时，λμ取最大值为 ，B
正确；
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对于选项C，因为μ＝ ，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范围为
[0，1]，C正确；对于选项D，λ＋μ＝2－ ，0≤t≤2，所以1≤λ＋
μ≤2，所以λ＋μ的取值范围为[1，2]，D错误.故选A、B、C.
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7. 向量a，b满足｜a｜＝1，a与b的夹角为 ，则｜a－b｜的最小
值为 .
解析：｜a－b｜2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×｜
b｜ cos ＋｜b｜2＝｜b｜2－｜b｜＋1＝（｜b｜－ ）2＋
≥ ，所以｜a－b｜≥ ，当｜b｜＝ 时取得最小值 .

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解析：在△ABC中， ＝ － ，所以 ·（ －4 ）＝
（ － ）·（ －4 ）＝－4｜ ｜2－｜ ｜2＋
5 · ＝－4｜ ｜2－｜ ｜2＋5｜ ｜·｜ ｜ cos A＝0，
在△ABC中，设｜ ｜＝b，｜ ｜＝c，则有－4b2－c2＋5bc
cos A＝0，所以 cos A＝ ≥ ＝ ，当且仅当2b＝c
时，等号成立.
8. （2024·郑州月考）在△ABC中， ·（ －4 ）＝0，则 cos A
的最小值为 .

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9. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术
之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以
此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥
的愿望.图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已
知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的
中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直
径，则 · 的取值范围是 .
[2，3]
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解析：如图，取AF的中点Q，根据题意，△AOF
是边长为2的正三角形，易得｜OQ｜＝ ，又
· ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝｜
｜2＋ · ＋ · ＋ · ＝｜ ｜2
＋ ·（ ＋ ）－1＝｜ ｜2－1，根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，｜PO｜有最小值为 ，此时｜ ｜2－1＝2，当点P位于正六边形的顶点时，｜PO｜有最大值为2，此时｜ ｜2－1＝3，所以2≤ · ≤3.
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10. 已知 · ＝0，M是线段BC的中点.
（1）若｜ ｜＝2｜ ｜，求向量 － 与向量 ＋ 的
夹角的余弦值；
解：因为 · ＝0，所以 ⊥ ，
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所
在直线为y轴建立平面直角坐标系.
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（1）令｜ ｜＝a，则C（0，a），B（2a，0），
所以 － ＝（2a，－a）， ＋ ＝（2a，a）.
设向量 － 与向量 ＋ 的夹角为θ，
所以 cos θ＝ ＝ ＝ .
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（2）若O是线段AM上任意一点，且｜ ｜＝2｜ ｜＝2，求
· ＋ · 的最小值.
解：因为｜ ｜＝2｜ ｜＝2，则C（0，1），B（2，
0），M（1， ），设O（x， ），x∈[0，1]，
所以 · ＋ · ＝ ·（ ＋ ）＝2 · ＝2
（－x，－ ）·（1－x， － ）＝2（x2－x＋ － ）＝
（x2－x）＝ （x－ ）2－ .
当且仅当x＝ 时， · ＋ · 取得最小值－ .
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11. 如图，已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点（不包括
边界），设 ＝a， ＝b.
（1）试用a，b表示 ；
解：如图①，延长AG，交BC于点
D，则D为BC的中点， ＝ ＝
（ ＋ ）＝ （ ＋ ）＝
［ ＋ （ － ）］＝ a＋ b.
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（2）若 ＝λa＋μb，求λ＋μ的取值范围.
解： ＝ － ＝ a－ b，如
图②，连接GP并延长，交BC于点P'.
令 ＝t '（0＜t＜1）， '＝m
（0＜m＜1），
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则 ＝ ＋ ＝ a＋ b＋t '＝ a＋ b＋t（ ＋ '）＝ a＋ b＋t（ ＋m ）＝ a＋ b＋t（ a－ b）＋tm（b－a）＝（ ＋ t－tm）a＋（ － t＋tm）b（0＜t＜1，0＜m＜1），
因为 ＝λa＋μb，所以λ＝ ＋ t－tm，μ＝ － t＋tm，故λ＋μ＝ ＋ t，
因为0＜t＜1，所以λ＋μ＝ ＋ t∈（ ，1）.
故λ＋μ的取值范围为（ ，1）.
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12. （2024·福州质检）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，
B，C三点满足 ＝ ＋ .
（1）证明A，B，C三点共线，并求 的值；
解：因为 ＝ ＋ ，
所以 － ＝ （ － ），
所以 ＝ .
又 ， 有公共点B，
所以A，B，C三点共线， ＝ .
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（2）已知A（1， sin x），B（1＋ sin x， sin x），x∈（0，
π），且函数f（x）＝ · ＋（ 2m－ ）｜ ｜的最
小值为 ，求实数m的值.
解：因为A（1， sin x），B（1＋ sin x， sin x），
所以 ＝ ＋ ＝（ 1＋ sin x， sin x），
所以 · ＝1＋ sin x＋ sin 2x.
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又｜ ｜＝ sin x，
所以f（x）＝ · ＋（ 2m－ ）｜ ｜
＝ sin 2x＋2m sin x＋1.
设 sin x＝t，因为x∈（0，π），
所以t∈（0，1]，
所以y＝t2＋2mt＋1＝（t＋m）2＋1－m2.
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①当－m≤0，即m≥0时，y＝t2＋2mt＋1无最小值，不合题意；
②当0＜－m≤1，即－1≤m＜0时，
当t＝－m时，ymin＝1－m2＝ ，
所以m＝－ ；
③当－m＞1，即m＜－1时，当t＝1时，ymin＝2＋2m＝
，m＝－ ＞－1，不合题意.
综上可知，m＝－ .
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