资源简介

　　
一、向量的线性运算
　向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参数等.
【例1】　（1）已知向量a＝（2，1），b＝（－3，4），则2a－b＝（　　）
A.（7，－2） B.（1，－2）
C.（1，－3） D.（7，2）
（2）（2022·新高考Ⅰ卷3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝（　　）
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
反思感悟
向量线性运算的基本原则
　　向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
【跟踪训练】
　如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为　　　　.
二、向量的数量积运算
　平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等.
【例2】　（1）（2023·全国乙卷6题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝（　　）
A. B.3
C.2 D.5
（2）（2022·新高考Ⅱ卷4题）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　　）
A.－6　 B.－5
C.5　　 D.6
（3）（2023·新高考Ⅱ卷13题）已知向量a，b满足｜a－b｜＝，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝　　　　.
反思感悟
1.向量数量积的两种计算方法
（1）当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ；
（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2.
2.利用向量数量积可以解决以下问题
（1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a，b均为非零向量）：
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
（2）求向量的夹角和模的问题：
设a＝（x1，y1），则｜a｜＝；
两向量夹角θ的余弦值（0≤θ≤π，a，b为非零向量）cos θ＝＝.
【跟踪训练】
1.（2023·全国甲卷3题）已知向量a＝（3，1），b＝（2，2），则cos＜a＋b，a－b＞＝（　　）
A. B. C. D.
2.（2021·新高考Ⅱ卷15题）已知向量a＋b＋c＝0，｜a｜＝1，｜b｜＝｜c｜＝2，a·b＋b·c＋c·a＝　　　　.
三、余弦定理、正弦定理
　主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用.
【例3】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3＋，求c.
反思感悟
1.通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角恒等变换得出三角形内角之间的关系进行求解时，注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B A＝B；sin（A－B）＝0 A＝B；sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝等.
2.利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换求出三条边之间的关系.
【跟踪训练】
　（2023·新高考Ⅰ卷17题）已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin（A－C）＝sin B.
（1）求sin A；
（2）设AB＝5，求AB边上的高.
四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用
　余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
【例4】　一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山脚C在西偏北α方向上，行驶a km后到达B处，此时测得此山脚C在西偏北β方向上，在B处看到山顶D的仰角为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α）此山的高度是（　　）
A. B.
C. D.
反思感悟
正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题
（1）分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图；
（2）明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等；
（3）将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形；
（4）在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.
【跟踪训练】
如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋）n mile的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要时长为　　　　h.
章末复习与总结
【例1】　（1）A　（2）B　解析：（1）∵a＝（2，1），b＝（－3，4），∴2a－b＝2（2，1）－（－3，4）＝（4，2）－（－3，4）＝（4＋3，2－4）＝（7，－2）.
（2）法一　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3（－）＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.
法二（作图法）　如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知（即向量m）的系数为负数，排除A、C、D，故选B.
跟踪训练
　　解析：设＝λ（0＜λ＜1），∵＝＋＝－＋m＋＝（m－1）＋.＝＋＝－＋.∴（m－1）＋＝－λ＋λ，∴∴m＝.
【例2】　（1）B　（2）C　（3）　
解析：（1）法一　由题意知，＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝（＋）·（－＋）＝－｜｜2，由题意知｜｜＝｜｜＝2，所以·＝4－1＝3，故选B.
法二　以点A为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），则＝（1，2），＝（－1，2），·＝－1＋4＝3，故选B.
（2）由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
（3）因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝，所以a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝.
跟踪训练
1.B　由题意知，a＋b＝（5，3），a－b＝（1，－1），所以cos＜a＋b，a－b＞＝＝＝＝，故选B.
2.－　解析：由（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝0，得2（a·b＋b·c＋c·a）＋9＝0，故a·b＋b·c＋c·a＝－.
【例3】　解：（1）由余弦定理有a2＋b2－c2＝2abcos C，
对比已知a2＋b2－c2＝ab，
可得cos C＝＝＝，
因为C∈（0，π），所以C＝，
又sin C＝cos B，所以＝cos B，
即cos B＝，又B∈（0，π），所以B＝.
（2）由（1）可得A＝，
则sin A＝sin＝sin（＋）＝×＋×＝，由正弦定理有＝，
从而a＝·c＝c，
又S△ABC＝acsin B＝3＋，即ac＝4（＋1），
将a＝c代入，解得c＝2.
跟踪训练
　解：（1）∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π，
∴4C＝π，则C＝.
∵2sin（A－C）＝sin B＝sin（π－A－C）＝sin（A＋C），
∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C，
则sin Acos C＝3cos Asin C，∴sin A＝3cos A＞0.
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sin A＝.
（2）法一　设AB边上的高为h，
由（1）易得cos A＝，则sin B＝sin（A＋C）＝sin（＋A）＝cos A＋sin A＝.
在△ABC中，由正弦定理＝，得AC＝＝＝2.
又S△ABC＝·AC·AB·sin A＝·AB·h，
∴h＝ACsin A＝2×＝6.
即AB边上的高为6.
法二　由（1）得sin A＝3cos A，则A是锐角，cos A＝，
sin B＝sin（A＋C）＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得AC＝＝＝2，故AB边上的高为ACsin A＝2×＝6.
【例4】　B　设此山高h km，则BC＝，在△ABC中，∠ACB＝β－α，AB＝a km，根据正弦定理得＝，即＝，解得h＝，故选B.
跟踪训练
　1　解析：由题意知AB＝5（3＋）n mile，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－（45°＋30°）＝105°，在△DAB中，由正弦定理得＝，∴DB＝
＝
＝
＝＝10 n mile，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）＝60°，BC＝20 n mile，∴在△DBC中，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900，∴CD＝30 n mile.∴t＝＝1 h.∴救援船到达D点需要1 h.
3 / 3(共31张PPT)
章末复习与总结
一、向量的线性运算
　向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运
算，以及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算
和根据线性运算求参数等.
【例1】　（1）已知向量a＝（2，1），b＝（－3，4），则2a－b
＝（　A　）
A. （7，－2） B. （1，－2）
C. （1，－3） D. （7，2）
解析：∵a＝（2，1），b＝（－3，4），∴2a－b＝2（2，1）－
（－3，4）＝（4，2）－（－3，4）＝（4＋3，2－4）＝（7，－2）.
A
（2）（2022·新高考Ⅰ卷3题）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝
2DA. 记 ＝m， ＝n，则 ＝（　B　）
A. 3m－2n B. －2m＋3n
C. 3m＋2n D. 2m＋3n
B
解析：法一　因为BD＝2DA，所以 ＝3 ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋3 ＝ ＋3（ －
）＝－2 ＋3 ＝－2m＋3n.故选B.
法二（作图法）　如图，利用平行四边形法则，合成出向量 ，由图易知 （即向量m）的系数为负数，排除A、C、D，故选B.
反思感悟
向量线性运算的基本原则
　　向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线
性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理
解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
【跟踪训练】
如图所示，在△ABC中， ＝ ，P是BN上的一点，若 ＝
m ＋ ，则实数m的值为 　 　.

解析：设 ＝λ （0＜λ＜1），∵ ＝ ＋ ＝－ ＋m
＋ ＝（m－1） ＋ . ＝ ＋ ＝－ ＋ .
∴（m－1） ＋ ＝－λ ＋ λ ，∴∴m＝
.
二、向量的数量积运算
　平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用
向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的
长度等.
【例2】　（1）（2023·全国乙卷6题）正方形ABCD的边长是2，E是
AB的中点，则 · ＝（　B　）
B. 3 D. 5
B
解析：法一　由题意知， ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ ＋
＝－ ＋ ，所以 · ＝（ ＋ ）·（－ ＋
）＝ － ｜ ｜2，由题意知｜ ｜＝｜ ｜＝2，所
以 · ＝4－1＝3，故选B.
法二　以点A为坐标原点， ， 的方向分别为x，y轴的正方向
建立平面直角坐标系，则E（1，0），C（2，2），D（0，2），则
＝（1，2）， ＝（－1，2）， · ＝－1＋4＝3，故选B.
（2）（2022·新高考Ⅱ卷4题）已知向量a＝（3，4），b＝（1，
0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（　C　）
A. －6 B. －5
C. 5 D. 6
C
解析：由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3
＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为
＜a，c＞＝＜b，c＞，所以 cos ＜a，c＞＝ cos ＜b，c＞，
即 ＝ ，即 ＝3＋t，解得t＝5，故选C.
（3）（2023·新高考Ⅱ卷13题）已知向量a，b满足｜a－b｜＝
，｜a＋b｜＝｜2a－b｜，则｜b｜＝ 　 　.
解析：因为｜a＋b｜＝｜2a－b｜，所以a2＋2a·b＋b2＝4a2
－4a·b＋b2，则a2＝2a·b.因为｜a－b｜＝ ，所以a2－
2a·b＋b2＝b2＝3，所以｜b｜＝ .

反思感悟
1. 向量数量积的两种计算方法
（1）当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝｜
a｜｜b｜ cos θ；
（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，
y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2.
2. 利用向量数量积可以解决以下问题
（1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）（a，b均为非零向量）：
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0；
（2）求向量的夹角和模的问题：
设a＝（x1，y1），则｜a｜＝ ；
两向量夹角θ的余弦值（0≤θ≤π，a，b为非零向量） cos θ
＝ ＝ .
【跟踪训练】
1. （2023·全国甲卷3题）已知向量a＝（3，1），b＝（2，2），则
cos ＜a＋b，a－b＞＝（　　）
解析：　由题意知，a＋b＝（5，3），a－b＝（1，－1），所
以 cos ＜a＋b，a－b＞＝ ＝ ＝
＝ ，故选B.
2. （2021·新高考Ⅱ卷15题）已知向量a＋b＋c＝0，｜a｜＝1，｜
b｜＝｜c｜＝2，a·b＋b·c＋c·a＝ .
解析：由（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝
0，得2（a·b＋b·c＋c·a）＋9＝0，故a·b＋b·c＋c·a＝－ .
－
三、余弦定理、正弦定理
　主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、
求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用.
【例3】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边
分别为a，b，c，已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab.
（1）求B；
解：由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C，
对比已知a2＋b2－c2＝ ab，
可得 cos C＝ ＝ ＝ ，
因为C∈（0，π），所以C＝ ，
又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B，
即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ .
（2）若△ABC的面积为3＋ ，求c.
解：由（1）可得A＝ ，
则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ，
由正弦定理有 ＝ ，
从而a＝ · c＝ c，
又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1），
将a＝ c代入，解得c＝2 .
1. 通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角恒等变换得出三角
形内角之间的关系进行求解时，注意一些常见的三角等式所体现的
内角关系，如在△ABC中， sin A＝ sin B A＝B； sin （A－B）
＝0 A＝B； sin 2A＝ sin 2B A＝B或A＋B＝ 等.
2. 利用正弦定理、余弦定理化角为边，如 sin A＝ ， cos A＝
等，通过代数变换求出三条边之间的关系.
反思感悟
【跟踪训练】
（2023·新高考Ⅰ卷17题）已知在△ABC中，A＋B＝3C，2 sin （A－
C）＝ sin B.
（1）求 sin A；
解：∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π，
∴4C＝π，则C＝ .
∵2 sin （A－C）＝ sin B＝ sin （π－A－C）＝ sin （A＋C），
∴2 sin A cos C－2 cos A sin C＝ sin A cos C＋ cos A sin C，
则 sin A cos C＝3 cos A sin C，∴ sin A＝3 cos A＞0.
又 sin 2A＋ cos 2A＝1，∴ sin A＝ .
（2）设AB＝5，求AB边上的高.
解：法一　设AB边上的高为h，
由（1）易得 cos A＝ ，则 sin B＝ sin （A＋C）＝ sin （ ＋
A）＝ cos A＋ sin A＝ .
在△ABC中，由正弦定理 ＝ ，得AC＝ ＝ ＝
2 .
又S△ABC＝ ·AC·AB· sin A＝ ·AB·h，
∴h＝AC sin A＝2 × ＝6.
即AB边上的高为6.
法二　由（1）得 sin A＝3 cos A，则A是锐角， cos A＝ ，
sin B＝ sin （A＋C）＝ sin A cos C＋ cos A sin C＝ × ＋
× ＝ .
由正弦定理 ＝ ，得AC＝ ＝ ＝2 ，故AB边上的
高为AC sin A＝2 × ＝6.
四、余弦、正弦定理在实际问题中的应用
　余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的
问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这
类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，
然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行
检验.
【例4】　一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时
测得公路北侧远处一山脚C在西偏北α方向上，行驶a km后到达B
处，此时测得此山脚C在西偏北β方向上，在B处看到山顶D的仰角
为γ，根据这些测量数据计算（其中β＞α）此山的高度是（　　）
解析：　设此山高h km，则BC＝ ，在△ABC中，∠ACB＝β－
α，AB＝a km，根据正弦定理得 ＝ ，即 ＝
，解得h＝ ，故选B.
反思感悟
正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题
（1）分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图；
（2）明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向
角、方位角等；
（3）将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知
识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，
然后解此三角形；
（4）在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原
有数据，尽量减少计算中误差的积累.
【跟踪训练】
如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋ ）n mile的两个观
测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出
求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救
援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点
需要时长为 h.
1
解析：由题意知AB＝5（3＋ ）n mile，∠DBA＝90°－60°＝
30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－（45°＋
30°）＝105°，在△DAB中，由正弦定理得 ＝ ，
∴DB＝ ＝ ＝
＝ ＝10 n mile，又∠DBC
＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）＝60°，BC＝20 n
mile，∴在△DBC中，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC· cos
∠DBC＝300＋1 200－2×10 ×20 × ＝900，∴CD＝30 n
mile.∴t＝ ＝1 h.∴救援船到达D点需要1 h.
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