资源简介

7.1.1　数系的扩充和复数的概念
1.已知复数z＝－＋i（i为虚数单位），则z的虚部为（　　）
A.－ B.i
C. D.
2.已知复数z＝m2－9＋（m－3）i，其中i为虚数单位，若复数z为纯虚数，则实数m＝（　　）
A.－3 B.3
C.±3 D.0
3.（2024·金华月考）实数x，y满足条件：（x＋y）＋（y－1）i＝y＋（2y＋1）i（其中i为虚数单位），则x＋y＝（　　）
A.－2 B.2
C.3 D.－3
4.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.（多选）下列命题正确的是（　　）
A.（a2＋1）i（a∈R）是纯虚数
B.－i2＝1
C.1＋4i＞3i
D.若z∈C，则z2≥0
6.（多选）下列命题为真命题的是（　　）
A.复数集是实数集与纯虚数集的并集
B.x＝i是方程x2＋2＝0的解
C.已知复数z1，z2，若z1＞z2，则z1－z2＞0
D.i是－1的一个平方根
7.已知复数z的实部为－1，虚部为－3，则z＝　　　　.
8.（2024·佛山月考）若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝　　　　.
9.若复数z＝sin 2α－（1－cos 2α）i是纯虚数，则α＝　　　　.
10.当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－8）i是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0.
11.如果C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，则（　　）
A.C＝R∪I B.R∪I＝{0}
C.R＝C∩I D.R∩I＝
12.已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z＝（　　）
A.3＋i B.3－i
C.－3－i D.－3＋i
13.（2024·宁德月考）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的实数m的取值集合是　　　　.
14.分别求满足下列条件的实数x，y的值.
（1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i；
（2）＋（x2－2x－3）i＝0.
15.（2024·丽水质检）若复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则（　　）
A.a＝－1 B.a≠－1且a≠2
C.a≠－1 D.a≠2
16.已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.
（1）若z1为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
1.C　z＝－＋i的虚部为，故选C.
2.A　复数z＝m2－9＋（m－3）i为纯虚数，则解得m＝－3，故选A.
3.A　因为（x＋y）＋（y－1）i＝y＋（2y＋1）i，所以解得所以x＋y＝－2，故选A.
4.B　若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件.
5.AB　对于A：因为a2＋1≥1，所以（a2＋1）i（a∈R）是纯虚数，故正确；对于B：i2＝－1，所以－i2＝1，故正确；对于C：复数不能比较大小，故错误；对于D：当z＝i时，z2＝i2＝－1＜0，故错误.故选A、B.
6.BCD　复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题；当x＝i时，x2＋2＝0，B为真命题；两个复数z1，z2满足z1＞z2，说明z1，z2都是实数，显然有z1－z2＞0，C为真命题；根据虚数单位i的定义，D为真命题.故选B、C、D.
7.－1－3i　解析：由已知可得z＝－1－3i.
8.2＋i　解析：由xi－i2＝y＋2i可得1＋xi＝y＋2i，则所以x＋yi＝2＋i.
9.kπ＋（k∈Z）　解析：由题意知sin 2α＝0，1－cos 2α≠0，∴2α＝2kπ＋π（k∈Z），∴α＝kπ＋（k∈Z）.
10.解：由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，由m2－2m－8＝0，得m＝4或m＝－2.
（1）当m2－2m－8＝0时，复数z为实数，∴m＝4或m＝－2.
（2）当m2－2m－8≠0时，复数z为虚数，∴m≠4且m≠－2.
（3）当时，复数z是纯虚数，∴m＝－3.
（4）当时，复数z＝0，∴m＝－2.
11.D　复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集，所以R∩I＝ .
12.B　由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即解得∴z＝3－i.
13.{3}　解析：由已知，得解得m＝3，所以所求实数m的取值集合是{3}.
14.解：（1）因为x，y∈R，所以由复数相等的充要条件得解得
（2）因为x∈R，所以由复数相等的充要条件得
即
所以x＝3.
15.C　复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或｜a－1｜－1＝0，解得a≠－1.
16.解：（1）∵z1为纯虚数，
∴解得m＝－2.
（2）由z1＝z2，
得
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝（sin θ－1）2＋2.
∵－1≤sin θ≤1，
∴当sin θ＝1时，λmin＝2，
当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2，6].
2 / 27.1.1　数系的扩充和复数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过方程的解，了解引进复数的必要性 数学抽象
2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件 逻辑推理
　　数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
　　因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解；
　　因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解；
　　因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解.
【问题】　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，将数的范围再扩充到一个更新的领域，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复数的有关概念
1.复数
（1）定义：形如　　　　（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做　　　　　　，满足i2＝　　　.复数a＋bi的实部是　　　，虚部是　　　；
（2）表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R）.
2.复数集
（1）定义：　　　构成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫做复数集；
（2）表示：用符号　　　表示.
【想一想】
　复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以是实数吗？满足什么条件？
知识点二　复数的分类
1.复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下：
复数
2.集合表示：
知识点三　复数相等
　设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di 　　　　　　.
提醒　在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立.
1.已知复数z满足z＝2－i，则复数z的虚部是（　　）
A.－2　　　B.－1 C.1　　　D.2
2.在2＋，i，8＋5i，（1－）i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
3.（2024·东营月考）若复数（x－i）i＝y＋2i，x，y∈R，则x＋y＝（　　）
A.－1 B.3
C.1 D.－3
题型一 复数的概念
【例1】　（1）说出下列复数的实部和虚部：－2＋i，＋i，，－i，i，0；
（2）判断N*，N，Z，Q，R，C的关系.
通性通法
复数概念的几个关注点
（1）复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b；
（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分；
（3）如果两个复数都是实数可以比较大小，否则不能比较大小.
【跟踪训练】
1.设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间的关系为（　　）
A.A B C B.B A C
C.B C A D.A C B
2.若复数z＝（2a－1）＋（3＋a）i（a∈R）的实部与虚部相等，则a＝　　　　.
题型二 复数的分类
【例2】　当m为何实数时，复数z＝＋（m2－2m－15）i是下列数？
（1）虚数；（2）纯虚数.
【母题探究】
1.（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，复数z为实数？
2.（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z＞0.
通性通法
解决复数分类问题的方法（步骤）
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部；
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可；
（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）：①z为实数 b＝0；②z为虚数 b≠0；③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
【跟踪训练】
1.若复数z＝（x2－100）＋（x－10）i为纯虚数，则实数x＝（　　）
A.－10 B.10
C.100 D.－10或10
2.（2024·新乡月考）若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值为　　　　.
题型三 两个复数相等
【例3】　（1）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实数m的值；
（2）已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值.
通性通法
复数相等问题的解题技巧
（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解；
（2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
【跟踪训练】
1.设a，b为实数，若复数a＋1＋bi＝1＋i，则（　　）
A.a＝1，b＝1 B.a＝3，b＝1
C.a＝0，b＝1 D.a＝1，b＝3
2.若实数x，y满足（x＋y）＋（x－y）i＝2，则xy＝　　　　.
1.设复数z＝3－4i，则z的实部与虚部的和为（　　）
A.－1 B.1
C.5 D.7
2.设a∈R，1＋a2i＝a＋i（i为虚数单位），则a＝（　　）
A.－1 B.0
C.1 D.1或－1
3.下列命题中，真命题的个数是（　　）
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A.0 B.1
C.2 D.3
4.（2024·龙岩月考）若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，则实数m的值为（　　）
A.－1 B.±1
C.1 D.－2
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）a＋bi　虚数单位　－1　a　b　
2.（1）全体复数　（2）C
想一想
　提示：b＝0时，复数为实数.
知识点二
1.b＝0　a＝0
知识点三
　a＝c且b＝d
自我诊断
1.B　由题意，复数z满足z＝2－i，根据复数的概念，可得复数z的虚部为－1.故选B.
2.C　i，（1－）i是纯虚数，2＋，0.618是实数，8＋5i是虚数.故纯虚数的个数为2.
3.B　因为复数（x－i）i＝y＋2i，x，y∈R，即1＋xi＝y＋2i，所以x＝2，y＝1，故x＋y＝3，故选B.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）－2＋i，＋i，，－i，i，0的实部分别为－2，，，0，0，0；虚部分别为，1，0，－，1，0.
（2）根据各数集的含义可知，N* N Z Q R C.
跟踪训练
1.B　根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数.因此只有B正确.故选B.
2.4　解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.
【例2】　解：（1）当即m≠5且m≠－3时，复数z是虚数.
（2）当即m＝3或－2时，复数z是纯虚数.
母题探究
1.解：当即m＝5时，复数z是实数.
2.解：因为z＞0，所以z为实数，需满足解得m＝5.
跟踪训练
1.A　∵z为纯虚数，∴x2－100＝0同时x－10≠0，∴x＝－10，故选A.
2.－3　解析：因为z＜0，所以解得m＝－3.
【例3】　解：（1）由已知得
解得m＝－2.
（2）因为x，y∈R，所以x＋y∈R，xy∈R，
依题意，得
解得或
跟踪训练
1.C　由a＋1＋bi＝1＋i可得解得故选C.
2.1　解析：由（x＋y）＋（x－y）i＝2（x，y∈R）得解得所以xy＝1.
随堂检测
1.A　由z＝3－4i知实部为3，虚部为－4，故实部与虚部的和为－1.故选A.
2.C　因为a∈R，1＋a2i＝a＋i，所以有1＝a，a2＝1，即a＝1，故选C.
3.A　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题；②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题；③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.
4.C　因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，所以m2－m－2≠0，且m2－1＝0，解得m＝1.
3 / 4(共54张PPT)
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过方程的解，了解引进复数的必要性 数学抽象
2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
　　因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了
负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内
有解；
　　因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分
数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内
有解；
　　因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了
无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围
内有解.
【问题】　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那
么，能否像前面一样，将数的范围再扩充到一个更新的领域，使得这
个方程有解并将实数进行扩充呢？
知识点一　复数的有关概念
1. 复数
（1）定义：形如 （a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫
做 ，满足i2＝ .复数a＋bi的实部
是 ，虚部是 ；
（2）表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R）.
a＋bi　
虚数单位　
－1　
a　
b　
2. 复数集
（1）定义： 构成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫
做复数集；
（2）表示：用符号 表示.
【想一想】
复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以是实数吗？满足什么条件？
提示：b＝0时，复数为实数.
全体复数　
C　
知识点二　复数的分类
1. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下：
复数
2. 集合表示：
知识点三　复数相等
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di .
提醒　在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，
d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若
忽略前提条件，则结论不能成立.
a＝c且b＝d
1. 已知复数z满足z＝2－i，则复数z的虚部是（　　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析：　由题意，复数z满足z＝2－i，根据复数的概念，可得复
数z的虚部为－1.故选B.
2. 在2＋ ， i，8＋5i，（1－ ）i，0.618这几个数中，纯虚数的
个数为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析：　 i，（1－ ）i是纯虚数，2＋ ，0.618是实数，8＋
5i是虚数.故纯虚数的个数为2.
3. （2024·东营月考）若复数（x－i）i＝y＋2i，x，y∈R，则x＋y
＝（　　）
A. －1 B. 3
C. 1 D. －3
解析：　因为复数（x－i）i＝y＋2i，x，y∈R，即1＋xi＝y＋
2i，所以x＝2，y＝1，故x＋y＝3，故选B.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数的概念
【例1】　（1）说出下列复数的实部和虚部：－2＋ i， ＋i，
，－ i，i，0；
解：－2＋ i， ＋i， ，－ i，i，0的实部分别为－2， ，
，0，0，0；虚部分别为 ，1，0，－ ，1，0.
（2）判断N*，N，Z，Q，R，C的关系.
解：根据各数集的含义可知，N* N Z Q R C.
通性通法
复数概念的几个关注点
（1）复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z
的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b；
（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是
复数的两大构成部分；
（3）如果两个复数都是实数可以比较大小，否则不能比较大小.
【跟踪训练】
1. 设集合A＝{虚数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，则A，B，C间
的关系为（　　）
A. A B C B. B A C
C. B C A D. A C B
解析：　根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚
数和非纯虚数.因此只有B正确.故选B.
2. 若复数z＝（2a－1）＋（3＋a）i（a∈R）的实部与虚部相等，
则a＝ .
解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4.
4
题型二 复数的分类
【例2】　当m为何实数时，复数z＝ ＋（m2－2m－15）i是
下列数？
（1）虚数；
解：当即m≠5且m≠－3时，复数z是
虚数.
（2）纯虚数.
解：当即m＝3或－2时，复数z是纯虚数.
【母题探究】
1. （变设问）本例中条件不变，当m为何值时，复数z为实数？
解：当即m＝5时，复数z是实数.
2. （变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z＞0.
解：因为z＞0，所以z为实数，需满足解得
m＝5.
通性通法
解决复数分类问题的方法（步骤）
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）
的形式，以确定实部和虚部；
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满
足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满
足的方程（不等式）即可；
（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）：①z为实数
b＝0；②z为虚数 b≠0；③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
【跟踪训练】
1. 若复数z＝（x2－100）＋（x－10）i为纯虚数，则实数x＝（　　）
A. －10 B. 10
C. 100 D. －10或10
解析：　∵z为纯虚数，∴x2－100＝0同时x－10≠0，∴x＝－
10，故选A.
2. （2024·新乡月考）若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数
m的值为 .
解析：因为z＜0，所以解得m＝－3.
－3
题型三 两个复数相等
【例3】　（1）已知（m2＋7m＋10）＋（m2－5m－14）i＝0，求实
数m的值；
解：由已知得
解得m＝－2.
（2）已知x＋y－xyi＝24i－5，其中x，y∈R，求x，y的值.
解：因为x，y∈R，所以x＋y∈R，xy∈R，
依题意，得
解得或
通性通法
复数相等问题的解题技巧
（1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚
部相等列方程组求解；
（2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方
程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.
【跟踪训练】
1. 设a，b为实数，若复数a＋1＋bi＝1＋i，则（　　）
A. a＝1，b＝1 B. a＝3，b＝1
C. a＝0，b＝1 D. a＝1，b＝3
解析：由a＋1＋bi＝1＋i可得解得故选C.
2. 若实数x，y满足（x＋y）＋（x－y）i＝2，则xy＝ .
解析：由（x＋y）＋（x－y）i＝2（x，y∈R）得
解得所以xy＝1.
1
1. 设复数z＝3－4i，则z的实部与虚部的和为（　　）
A. －1 B. 1
C. 5 D. 7
解析：由z＝3－4i知实部为3，虚部为－4，故实部与虚部的和
为－1.故选A.
2. 设a∈R，1＋a2i＝a＋i（i为虚数单位），则a＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 1或－1
解析：　因为a∈R，1＋a2i＝a＋i，所以有1＝a，a2＝1，即a
＝1，故选C.
3. 下列命题中，真命题的个数是（　　）
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，
b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形
式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题；②由于两个虚
数不能比较大小，所以②是假命题；③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝
0成立，所以③是假命题.故选A.
4. （2024·龙岩月考）若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，
则实数m的值为（　　）
A. －1 B. ±1
C. 1 D. －2
解析：　因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为纯虚数，所以
m2－m－2≠0，且m2－1＝0，解得m＝1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知复数z＝－ ＋ i（i为虚数单位），则z的虚部为（　　）
解析：　z＝－ ＋ i的虚部为 ，故选C.
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2. 已知复数z＝m2－9＋（m－3）i，其中i为虚数单位，若复数z为纯
虚数，则实数m＝（　　）
A. －3 B. 3 C. ±3 D. 0
解析：　复数z＝m2－9＋（m－3）i为纯虚数，则
解得m＝－3，故选A.
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3. （2024·金华月考）实数x，y满足条件：（x＋y）＋（y－1）i＝
y＋（2y＋1）i（其中i为虚数单位），则x＋y＝（　　）
A. －2 B. 2
C. 3 D. －3
解析：　因为（x＋y）＋（y－1）i＝y＋（2y＋1）i，所以
解得所以x＋y＝－2，故选A.
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4. 设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚
数”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　若复数a－bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，故ab＝0.而
由ab＝0不一定能得到复数a－bi是纯虚数，故“ab＝0”是“复
数a－bi为纯虚数”的必要不充分条件.
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5. （多选）下列命题正确的是（　　）
A. （a2＋1）i（a∈R）是纯虚数
B. －i2＝1
C. 1＋4i＞3i
D. 若z∈C，则z2≥0
解析：　对于A：因为a2＋1≥1，所以（a2＋1）i（a∈R）是
纯虚数，故正确；对于B：i2＝－1，所以－i2＝1，故正确；对于
C：复数不能比较大小，故错误；对于D：当z＝i时，z2＝i2＝－1
＜0，故错误.故选A、B.
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6. （多选）下列命题为真命题的是（　　）
A. 复数集是实数集与纯虚数集的并集
C. 已知复数z1，z2，若z1＞z2，则z1－z2＞0
D. i是－1的一个平方根
解析：　复数集是实数集和虚数集的并集，A为假命题；当x＝ i时，x2＋2＝0，B为真命题；两个复数z1，z2满足z1＞z2，说明z1，z2都是实数，显然有z1－z2＞0，C为真命题；根据虚数单位i的定义，D为真命题.故选B、C、D.
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7. 已知复数z的实部为－1，虚部为－3，则z＝ .
解析：由已知可得z＝－1－3i.
－1－3i
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8. （2024·佛山月考）若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi
＝
解析：由xi－i2＝y＋2i可得1＋xi＝y＋2i，则所以x＋yi
＝2＋i.
2＋i
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9. 若复数z＝ sin 2α－（1－ cos 2α）i是纯虚数，则α＝
.
解析：由题意知 sin 2α＝0，1－ cos 2α≠0，∴2α＝2kπ＋π
（k∈Z），∴α＝kπ＋ （k∈Z）.
kπ＋
（k∈Z）
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10. 当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－
8）i是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0.
解：由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，由m2－2m
－8＝0，得m＝4或m＝－2.
（1）当m2－2m－8＝0时，复数z为实数，∴m＝4或m＝－2.
（2）当m2－2m－8≠0时，复数z为虚数，∴m≠4且m≠－2.
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（3）当时，复数z是纯虚数，∴m＝－3.
（4）当时，复数z＝0，∴m＝－2.
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11. 如果C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，则（　　）
A. C＝R∪I B. R∪I＝{0}
C. R＝C∩I D. R∩I＝
解析：　复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交
集，所以R∩I＝ .
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12. 已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数
根n，且z＝m＋ni，则复数z＝（　　）
A. 3＋i B. 3－i
C. －3－i D. －3＋i
解析：　由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即
解得∴z＝3－i.
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13. （2024·宁德月考）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋
3）i＋10成立的实数m的取值集合是
解析：由已知，得解得m＝3，所以所求实
数m的取值集合是{3}.
{3}
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14. 分别求满足下列条件的实数x，y的值.
（1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i；
解：因为x，y∈R，所以由复数相等的充要条件得
解得
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（2） ＋（x2－2x－3）i＝0.
解：因为x∈R，所以由复数相等的充要条件得
即所以x
＝3.
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15. （2024·丽水质检）若复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i
（a∈R）不是纯虚数，则（　　）
A. a＝－1 B. a≠－1且a≠2
C. a≠－1 D. a≠2
解析：　复数a2－a－2＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚
数，则有a2－a－2≠0或｜a－1｜－1＝0，解得a≠－1.
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16. 已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2 sin θ＋（ cos θ－2）i
（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.
（1）若z1为纯虚数，求实数m的值；
解：∵z1为纯虚数，∴解得m＝－2.
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（2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
解：由z1＝z2，得
∴λ＝4－ cos 2θ－2 sin θ＝ sin 2θ－2 sin θ＋3＝（ sin θ－1）2
＋2.
∵－1≤ sin θ≤1，
∴当 sin θ＝1时，λmin＝2，
当 sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2，6].
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谢 谢 观 看！

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