资源简介 7.1.2 复数的几何意义1.如图，复平面内点P所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（ ）A.2＋2iB.3＋iC.3＋3iD.3＋2i2.（2024·台州月考）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为（ ）A.－2－i B.2＋iC.1－2i D.－1＋2i3.设复数z＝4－3i，则｜｜＝（ ）A.7 B.1C.5 D.254.已知复数z＝m＋i（m∈R），则“｜z｜＞”是“m＞3”的（ ）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.（多选）在复平面内，复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜｜＝.点Z与Z1关于x轴对称.则点Z对应的复数z＝（ ）A.1－i B.1＋iC.1－i D.1＋i6.（多选）设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）A.｜z｜＝B.复数z在复平面内对应的点在第四象限C.z的共轭复数为－1＋2iD.复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上7.（2024·湛江月考）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，2），则＝ .8.已知z＝m－1＋（m＋2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是 .9.若复数z＝cos θ＋1＋isin θ，则｜z｜的最大值为 .10.在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；（2）如果（1）中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.11.已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z对应的点的集合是（ ）A.1个圆 B.线段C.2个点 D.2个圆12.（多选）已知复数z＝cos α＋（sin α）i（α∈R，i为虚数单位），则下列说法正确的有（ ）A.当α＝－时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B.当α＝时，z为纯虚数C.｜z｜的最大值为D.z的共轭复数为＝－cos α＋（sin α）i13.（2024·临沂月考）复数z对应的向量与a＝（3，4）共线，对应的点Z在第三象限，且｜z｜＝10，则＝ .14.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为－1，对应的复数为2＋2i，对应的复数为4－4i.（1）求点D对应的复数；（2）求平行四边形ABCD的面积.15.（2024·嘉兴质检）若复数z1＝1＋2i，z2＝3－i（其中i为虚数单位）所对应的向量分别为和（O为坐标原点），则△OZ1Z2的面积为 .16.已知x为实数，复数z＝x－2＋（x＋2）i.（1）当x为何值时，复数z的模最小？（2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值.7.1.2 复数的几何意义1.D 由题意可知：点P的坐标为（3，2），所以复平面内点P所表示的复数为3＋2i，故选D.2.C 由题意可知，点A的坐标为（－1，－2），则点B的坐标为（1，－2），故向量对应的复数为1－2i.3.C 复数z＝4－3i，则＝4＋3i，所以｜｜＝＝5，故选C.4.C 由｜z｜＝＞，得m2＞9，解得m＞3或m＜－3.故“｜z｜＞”是“m＞3”的必要不充分条件.5.CD 由于复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜｜＝，所以｜｜＝＝，所以a＝±1，Z1（1，1）或Z1（1，－1），又点Z与Z1关于x轴对称，所以点Z（1，－1）或Z（1，1），所以复数z为1－i或1＋i.故选C、D.6.AC ｜z｜＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为（－1，－2），在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点（－1，－2）不在直线y＝－2x上，D不正确.故选A、C.7.－1－2i 解析：因为复数z对应的点的坐标是（－1，2），所以z＝－1＋2i，因此＝－1－2i.8.（－2，1） 解析：∵z＝m－1＋（m＋2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m－1＜0，m＋2＞0，解得－2＜m＜1，故实数m的取值范围是（－2，1）.9.2 解析：｜z｜＝＝，当cos θ＝1时，｜z｜max＝2.10.解：（1）设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），则点B的坐标为（x1，y1），由题意可知，点A的坐标为（2，1），根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.（2）设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R），则点C的坐标为（x2，y2），由（1）可得，点B的坐标为（2，－1），由对称性可知x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.11.A 由题意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3或｜z｜＝－1.∵｜z｜≥0，∴｜z｜＝3，∴复数z对应的点的集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆.12.BC 对于A，当α＝－时，z＝cos（－）＋［sin（－）］i＝－i，复平面内表示复数z的点位于第四象限，故A错误；对于B，当α＝时，z＝cos ＋（sin ）i＝i，为纯虚数，故B正确；对于C，｜z｜＝＝，最大值为，故C正确；对于D，z的共轭复数为＝cos α－（sin α）i，故D错误.故选B、C.13.－6＋8i 解析：设复数z＝x＋yi，x，y∈R，则＝（x，y），∵复数z对应的向量与a＝（3，4）共线，∴4x－3y＝0①，由｜z｜＝10得x2＋y2＝100②，由①②可得x＝6，y＝8或x＝－6，y＝－8.∵z对应的点Z在第三象限，∴z＝－6－8i，∴＝－6＋8i.14.解：（1）由点A对应的复数为－1，对应的复数为2＋2i，得A（－1，0），＝（2，2），可得B（1，2）.又对应的复数为4－4i，得＝（4，－4），可得C（5，－2）.设点D对应的复数为x＋yi，x，y∈R.得＝（x－5，y＋2），＝（－2，－2）.∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝－4，故点D对应的复数为3－4i.（2）由＝（2，2），＝（4，－4），可得·＝0，∴⊥ ，又∵｜｜＝2，｜｜＝4，故平行四边形ABCD的面积为2×4＝16.15. 解析：由题意得＝（1，2），＝（3，－1），则｜｜＝＝，｜｜＝＝，∴cos∠Z1OZ2＝＝＝，∴sin∠Z1OZ2＝，∴△OZ1Z2的面积S＝｜｜·｜｜sin∠Z1OZ2＝×××＝.16.解：（1）由题意得｜z｜＝＝≥2，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2.（2）由（1）知当x＝0时，复数z的模最小，则Z（－2，2）.因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.又mn＞0，所以m＞0，n＞0.所以＋＝（ ＋）（ m＋）＝＋＋≥＋.当且仅当＝，即n2＝2m2时等号成立.又2m＋n＝2且mn＞0，所以取等号时m＝2－，n＝2－2.1 / 27.1.2 复数的几何意义新课程标准解读 核心素养1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系 直观想象2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系 直观想象3.通过向量的模表示复数的模 数学运算 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型.【问题】 （1）你能否为复数找一个几何模型？（2）怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？ 知识点一 复数与复平面内点的关系1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 叫做实轴， 叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b），这是复数的一种几何意义.提醒 复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的点是（a，b），而不是（a，bi）.知识点二 复数与复平面内向量的关系如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即复数z＝a＋bi平面向量.为了方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定， 的向量表示同一个复数.知识点三 复数的模1.定义：向量的 叫做复数z＝a＋bi的 或绝对值.2.记法：复数z＝a＋bi的模记作 .3.公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ （a，b∈R）.知识点四 共轭复数1.定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 .2.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝ .提醒 （1）互为共轭的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称；（2）｜z｜＝｜｜.1.复数－1＋i在复平面内对应的点在（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.（2024·济源月考）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（－1，2），则＝（ ）A.－1＋2i B.1＋2iC.1－2i D.－1－2i3.若z＝－i（i为虚数单位），则｜z｜＝ .题型一 复数与复平面内点的关系【例1】 在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i对应的点：（1）在虚轴上；（2）在第二、四象限；分别求实数m的取值范围.【母题探究】1.（变设问）本例条件不变，若复数在第二象限，求m的取值范围.2.（变设问）本例条件不变，若复数在直线y＝x上，求m的值.通性通法利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤（1）找对应关系：复数的几何表示即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据；（2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.提醒 复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示.【跟踪训练】1.（2024·三明月考）已知复数z＝1－2i，则z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ）A.（1，－2） B.（1，2）C.（－2，1） D.（－1，－2）2.已知复数z1＝2－ai（a∈R，i为虚数单位）对应的点在直线y＝x＋上，则复数z2＝a＋2i对应的点在（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限题型二 复数与复平面内向量的关系【例2】 在复平面内，向量表示的复数为－1＋5i，将向量向右平移2个单位长度后，再向上平移1个单位长度，得到向量，求：（1）向量对应的复数；（2）点A1对应的复数.通性通法复数与平面向量的对应关系（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量；（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.【跟踪训练】1.（2024·连云港质检）若O为复平面的原点，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是（ ）A.－10＋8i B.10－8iC.0 D.10＋8i2.在复平面内，把复数1＋i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转180°，求所得向量对应的复数.题型三 复数的模及共轭复数【例3】 （1）（2024·聊城月考）已知x＋xi＝1＋yi，其中x，y∈R，则｜x＋yi｜＝（ ）A.1 B.C. D.2（2）已知复数z1＝－i，z2＝－＋i.①求｜｜，｜｜的值并比较大小；②设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示.通性通法1.复数的模的计算（1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；（2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.2.互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.【跟踪训练】1.已知0＜a＜3，复数z＝a＋i（i是虚数单位），则｜z｜的取值范围是（ ）A.（1，） B.（1，）C.（1，3） D.（1，10）2.设复数z＝x＋yi，x，y∈R，且｜x｜＝｜y｜，则满足｜z｜＝1的复数z共有 个.1.已知复数z＝2i，则z的共轭复数＝（ ）A.0 B.2i C.－2i D.－42.在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.（2024·新高考Ⅱ卷1题）已知z＝－1－i，则｜z｜＝（ ）A.0 B.1C. D.24.复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是 .7.1.2 复数的几何意义【基础知识·重落实】知识点一1.x轴 y轴知识点二 相等知识点三1.模 模 2.｜z｜或｜a＋bi｜ 3.知识点四1.相等 互为相反数 共轭虚数 2.a－bi自我诊断1.B 复数－1＋i在复平面内对应的点为（－1，1），故在第二象限.故选B.2.D 由题，z＝－1＋2i，故＝－1－2i，故选D.3. 解析：因为z＝－i，所以｜z｜＝＝.【典型例题·精研析】【例1】 解：复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i在复平面内对应的点为（m2－2m－8，m2＋3m－10）.（1）由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或4.（2）由题意，（m2－2m－8）（m2＋3m－10）＜0.∴2＜m＜4或－5＜m＜－2.母题探究1.解：由题意，∴2＜m＜4.2.解：由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.跟踪训练1.D z在复平面内对应的点为（1，－2），关于虚轴对称的点是（－1，－2）.故选D.2.B 复数z1＝2－ai（a∈R）对应的点的坐标为（2，－a），该点在直线y＝x＋上，故－a＝＋，解得a＝－2，所以复数z2＝－2＋2i，它对应的点的坐标为（－2，2），在第二象限.故选B.【例2】 解：（1）由向量平移可知＝＝（－1，5），∴向量对应的复数为－1＋5i.（2）依题意A（－1，5），将A（－1，5）向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（1，6），即A1（1，6），故点A1对应的复数为1＋6i.跟踪训练1.C 由复数的几何意义，可得＝（5，－4），＝（－5，4），所以＋＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），所以＋对应的复数为0.2.解：复数1＋i对应的向量的坐标为（1，1），将向量按逆时针方向旋转180°，则对应的向量的坐标为（－1，－1），所得向量对应的复数为－1－i.【例3】 （1）B 因为x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，则｜x＋yi｜＝｜1＋i｜＝＝.故选B.（2）解：①｜｜＝｜＋i｜＝ ＝2，｜｜＝＝ ＝1.所以｜｜＞｜｜.②由｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜，得1≤｜z｜≤2.不等式1≤｜z｜≤2等价于不等式组因为满足｜z｜≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部（包括边界），而满足｜z｜≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部（包括边界），所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环（包括边界），如图中阴影部分所示.跟踪训练1.A 0＜a＜3，复数z＝a＋i（i是虚数单位），则｜z｜＝∈（1，）.2.4 解析：法一（代数运算） 由｜z｜＝1，得x2＋y2＝1.又｜x｜＝｜y｜，联立，解得z＝±±i.法二（几何意义） 由｜z｜＝1，知复数z在复平面内对应的点构成一个单位圆.又｜x｜＝｜y｜，故复数z在复平面内对应的点落在直线y＝±x上，显然直线y＝±x与单位圆有四个交点.随堂检测1.C 因为复数z＝2i，则z的共轭复数＝－2i，故选C.2.B 依题意，在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点为（－3，4），位于第二象限.3.C 若z＝－1－i，则｜z｜＝＝.故选C.4.－6－8i 解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝（4，3），＝（－2，－5），又＝－＝（－2，－5）－（4，3）＝（－6，－8），所以向量表示的复数是－6－8i.3 / 4(共58张PPT)7.1.2 复数的几何意义新课程标准解读 核心素养1.通过实例了解复平面的点与复数一一对应关系 直观想象2.通过复平面，把复数与向量建立起紧密的联系 直观想象3.通过向量的模表示复数的模 数学运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型.【问题】 （1）你能否为复数找一个几何模型？（2）怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？知识点一 复数与复平面内点的关系1. 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 叫做实轴， 叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2. 复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系，即复数z＝a＋bi 复平面内的点Z（a，b），这是复数的一种几何意义.提醒 复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的点是（a，b），而不是（a，bi）.x轴 y轴 知识点二 复数与复平面内向量的关系如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量 由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量 唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即复数z＝a＋bi 平面向量 .为了方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量 ，并且规定， 的向量表示同一个复数.相等 知识点三 复数的模1. 定义：向量 的 叫做复数z＝a＋bi的 或绝对值.2. 记法：复数z＝a＋bi的模记作 .3. 公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝ （a，b∈R）.模 模 ｜z｜或｜a＋bi｜ 知识点四 共轭复数1. 定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 .2. 表示：复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi，那么＝ .提醒 （1）互为共轭的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称；（2）｜z｜＝｜ ｜.相等 互为相反数 共轭虚数 a－bi 1. 复数－1＋i在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限解析： 复数－1＋i在复平面内对应的点为（－1，1），故在第二象限.故选B.2. （2024·济源月考）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（－1，2），则 ＝（ ）A. －1＋2i B. 1＋2iC. 1－2i D. －1－2i解析： 由题，z＝－1＋2i，故 ＝－1－2i，故选D.3. 若z＝ － i（i为虚数单位），则｜z｜＝ .解析：因为z＝ － i，所以｜z｜＝ ＝ . 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 复数与复平面内点的关系【例1】 在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i对应的点：（1）在虚轴上；解：复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i在复平面内对应的点为（m2－2m－8，m2＋3m－10）.由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或4.（2）在第二、四象限；分别求实数m的取值范围.解：由题意，（m2－2m－8）（m2＋3m－10）＜0.∴2＜m＜4或－5＜m＜－2.【母题探究】1. （变设问）本例条件不变，若复数在第二象限，求m的取值范围.解：由题意，∴2＜m＜4.2. （变设问）本例条件不变，若复数在直线y＝x上，求m的值.解：由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝ .通性通法利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤（1）找对应关系：复数的几何表示即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，这是解决此类问题的根据；（2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解.提醒 复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示.【跟踪训练】1. （2024·三明月考）已知复数z＝1－2i，则z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ）A. （1，－2） B. （1，2）C. （－2，1） D. （－1，－2）解析： z在复平面内对应的点为（1，－2），关于虚轴对称的点是（－1，－2）.故选D.2. 已知复数z1＝2－ai（a∈R，i为虚数单位）对应的点在直线y＝x＋ 上，则复数z2＝a＋2i对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限解析： 复数z1＝2－ai（a∈R）对应的点的坐标为（2，－a），该点在直线y＝ x＋ 上，故－a＝ ＋ ，解得a＝－2，所以复数z2＝－2＋2i，它对应的点的坐标为（－2，2），在第二象限.故选B.题型二 复数与复平面内向量的关系【例2】 在复平面内，向量 表示的复数为－1＋5i，将向量向右平移2个单位长度后，再向上平移1个单位长度，得到向量，求：（1）向量 对应的复数；解：由向量平移可知 ＝ ＝（－1，5），∴向量 对应的复数为－1＋5i.（2）点A1对应的复数.解：依题意A（－1，5），将A（－1，5）向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（1，6），即A1（1，6），故点A1对应的复数为1＋6i.通性通法复数与平面向量的对应关系（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量；（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.【跟踪训练】1. （2024·连云港质检）若O为复平面的原点，向量 对应的复数是5－4i，向量 对应的复数是－5＋4i，则 ＋ 对应的复数是（ ）A. －10＋8i B. 10－8iC. 0 D. 10＋8i解析： 由复数的几何意义，可得 ＝（5，－4）， ＝（－5，4），所以 ＋ ＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），所以 ＋ 对应的复数为0.2. 在复平面内，把复数1＋i对应的向量 绕点O按逆时针方向旋转180°，求所得向量对应的复数.解：复数1＋i对应的向量 的坐标为（1，1），将向量 按逆时针方向旋转180°，则对应的向量的坐标为（－1，－1），所得向量对应的复数为－1－i.题型三 复数的模及共轭复数【例3】 （1）（2024·聊城月考）已知x＋xi＝1＋yi，其中x，y∈R，则｜x＋yi｜＝（ ）A. 1 B.C. D. 2解析： 因为x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，则｜x＋yi｜＝｜1＋i｜＝ ＝ .故选B.（2）已知复数z1＝ －i，z2＝－ ＋ i.①求｜ ｜，｜ ｜的值并比较大小；②设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，则满足｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的点Z组成的集合是什么图形？并作图表示.解：①｜ ｜＝｜ ＋i｜＝ ＝2，｜ ｜＝ ＝ ＝1.所以｜ ｜＞｜ ｜.②由｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜，得1≤｜z｜≤2.不等式1≤｜z｜≤2等价于不等式组因为满足｜z｜≤2的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆及其内部（包括边界），而满足｜z｜≥1的点Z组成的集合是圆心在原点、半径为1的圆的外部（包括边界），所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环（包括边界），如图中阴影部分所示.通性通法1. 复数的模的计算（1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；（2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.2. 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.【跟踪训练】1. 已知0＜a＜3，复数z＝a＋i（i是虚数单位），则｜z｜的取值范围是（ ）A. （1， ） B. （1， ）C. （1，3） D. （1，10）解析： 0＜a＜3，复数z＝a＋i（i是虚数单位），则｜z｜＝∈（1， ）.2. 设复数z＝x＋yi，x，y∈R，且｜x｜＝｜y｜，则满足｜z｜＝1的复数z共有 个.4解析：法一（代数运算） 由｜z｜＝1，得x2＋y2＝1.又｜x｜＝｜y｜，联立，解得z＝± ± i.法二（几何意义） 由｜z｜＝1，知复数z在复平面内对应的点构成一个单位圆.又｜x｜＝｜y｜，故复数z在复平面内对应的点落在直线y＝±x上，显然直线y＝±x与单位圆有四个交点.1. 已知复数z＝2i，则z的共轭复数 ＝（ ）A. 0 B. 2iC. －2i D. －4解析： 因为复数z＝2i，则z的共轭复数 ＝－2i，故选C.2. 在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限解析： 依题意，在复平面内，复数z＝－3＋4i对应的点为（－3，4），位于第二象限.3. （2024·新高考Ⅱ卷1题）已知z＝－1－i，则｜z｜＝（ ）A. 0 B. 1C. D. 2解析：若z＝－1－i，则｜z｜＝ ＝ .故选C.4. 复数4＋3i与－2－5i分别表示向量 与 ，则向量 表示的复数是 .解析：因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量 与 ，所以＝（4，3）， ＝（－2，－5），又 ＝ － ＝（－2，－5）－（4，3）＝（－6，－8），所以向量 表示的复数是－6－8i.－6－8i知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 如图，复平面内点P所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（ ）A. 2＋2i B. 3＋i C. 3＋3i D. 3＋2i解析： 由题意可知：点P的坐标为（3，2），所以复平面内点P所表示的复数为3＋2i，故选D.123456789101112131415162. （2024·台州月考）在复平面内，O为原点，向量 对应的复数为－1－2i，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量 对应的复数为（ ）A. －2－i B. 2＋iC. 1－2i D. －1＋2i解析： 由题意可知，点A的坐标为（－1，－2），则点B的坐标为（1，－2），故向量 对应的复数为1－2i.123456789101112131415163. 设复数z＝4－3i，则｜ ｜＝（ ）A. 7 B. 1C. 5 D. 25解析： 复数z＝4－3i，则 ＝4＋3i，所以｜ ｜＝ ＝5，故选C.123456789101112131415164. 已知复数z＝m＋i（m∈R），则“｜z｜＞ ”是“m＞3”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件解析： 由｜z｜＝ ＞ ，得m2＞9，解得m＞3或m＜－3.故“｜z｜＞ ”是“m＞3”的必要不充分条件.123456789101112131415165. （多选）在复平面内，复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜｜＝ .点Z与Z1关于x轴对称.则点Z对应的复数z＝（ ）A. 1－ i B. 1＋ iC. 1－i D. 1＋i解析：由于复数z1＝1－ai（a∈R）对应的点Z1满足｜ ｜＝ ，所以｜ ｜＝ ＝ ，所以a＝±1，Z1（1，1）或Z1（1，－1），又点Z与Z1关于x轴对称，所以点Z（1，－1）或Z（1，1），所以复数z为1－i或1＋i.故选C、D.123456789101112131415166. （多选）设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）A. ｜z｜＝B. 复数z在复平面内对应的点在第四象限C. z的共轭复数为－1＋2iD. 复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上解析： ｜z｜＝ ＝ ，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为（－1，－2），在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点（－1，－2）不在直线y＝－2x上，D不正确.故选A、C.123456789101112131415167. （2024·湛江月考）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，2），则 ＝ .解析：因为复数z对应的点的坐标是（－1，2），所以z＝－1＋2i，因此 ＝－1－2i.－1－2i123456789101112131415168. 已知z＝m－1＋（m＋2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是 .解析：∵z＝m－1＋（m＋2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m－1＜0，m＋2＞0，解得－2＜m＜1，故实数m的取值范围是（－2，1）.（－2，1）123456789101112131415169. 若复数z＝ cos θ＋1＋i sin θ，则｜z｜的最大值为 .解析：｜z｜＝ ＝ ，当 cos θ＝1时，｜z｜max＝2.21234567891011121314151610. 在复平面内，O是原点，向量 对应的复数为2＋i.（1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量 对应的复数；解：设向量 对应的复数为z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），则点B的坐标为（x1，y1），由题意可知，点A的坐标为（2，1），根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.12345678910111213141516（2）如果（1）中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.解：设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R），则点C的坐标为（x2，y2），由（1）可得，点B的坐标为（2，－1），由对称性可知x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.1234567891011121314151611. 已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z对应的点的集合是（ ）A. 1个圆 B. 线段C. 2个点 D. 2个圆解析： 由题意知（｜z｜－3）（｜z｜＋1）＝0，即｜z｜＝3或｜z｜＝－1.∵｜z｜≥0，∴｜z｜＝3，∴复数z对应的点的集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆.1234567891011121314151612. （多选）已知复数z＝ cos α＋（ sin α）i（α∈R，i为虚数单位），则下列说法正确的有（ ）A. 当α＝－ 时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B. 当α＝ 时，z为纯虚数C. ｜z｜的最大值为D. z的共轭复数为 ＝－ cos α＋（ sin α）i12345678910111213141516解析： 对于A，当α＝－ 时，z＝ cos （－ ）＋［ sin（－ ）］i＝ － i，复平面内表示复数z的点位于第四象限，故A错误；对于B，当α＝ 时，z＝ cos ＋（ sin ）i＝ i，为纯虚数，故B正确；对于C，｜z｜＝ ＝，最大值为 ，故C正确；对于D，z的共轭复数为＝ cos α－（ sin α）i，故D错误.故选B、C.1234567891011121314151613. （2024·临沂月考）复数z对应的向量 与a＝（3，4）共线，对应的点Z在第三象限，且｜z｜＝10，则 ＝ .解析：设复数z＝x＋yi，x，y∈R，则 ＝（x，y），∵复数z对应的向量 与a＝（3，4）共线，∴4x－3y＝0①，由｜z｜＝10得x2＋y2＝100②，由①②可得x＝6，y＝8或x＝－6，y＝－8.∵z对应的点Z在第三象限，∴z＝－6－8i，∴ ＝－6＋8i.－6＋8i12345678910111213141516解：由点A对应的复数为－1，对应的复数为2＋2i，得A（－1，0）， ＝（2，2），可得B（1，2）.14. 如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为－1， 对应的复数为2＋2i， 对应的复数为4－4i.（1）求点D对应的复数；12345678910111213141516又 对应的复数为4－4i，得 ＝（4，－4），可得C（5，－2）.设点D对应的复数为x＋yi，x，y∈R.得 ＝（x－5，y＋2）， ＝（－2，－2）.∵ABCD为平行四边形，∴ ＝ ，解得x＝3，y＝－4，故点D对应的复数为3－4i.12345678910111213141516（2）求平行四边形ABCD的面积.解：由 ＝（2，2）， ＝（4，－4），可得 · ＝0，∴ ⊥ ，又∵｜ ｜＝2 ，｜ ｜＝4 ，故平行四边形ABCD的面积为2 ×4 ＝16.1234567891011121314151615. （2024·嘉兴质检）若复数z1＝1＋2i，z2＝3－i（其中i为虚数单位）所对应的向量分别为 和 （O为坐标原点），则△OZ1Z2的面积为 . 12345678910111213141516解析：由题意得 ＝（1，2）， ＝（3，－1），则｜｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝ ，∴ cos ∠Z1OZ2＝ ＝ ＝，∴ sin ∠Z1OZ2＝ ，∴△OZ1Z2的面积S＝ ｜ ｜｜｜ sin ∠Z1OZ2＝ × × × ＝ .1234567891011121314151616. 已知x为实数，复数z＝x－2＋（x＋2）i.（1）当x为何值时，复数z的模最小？解：由题意得｜z｜＝ ＝≥2 ，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2 .12345678910111213141516解：由（1）知当x＝0时，复数z的模最小，则Z（－2，2）.因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2.又mn＞0，所以m＞0，n＞0.所以 ＋ ＝ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋ .当且仅当 ＝ ，即n2＝2m2时等号成立.又2m＋n＝2且mn＞0，所以取等号时m＝2－ ，n＝2 －2.（2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求 ＋ 的最小值及取得最小值时m，n的值.12345678910111213141516谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 7.1.2 复数的几何意义.docx 7.1.2 复数的几何意义.pptx 7.1.2 复数的几何意义（练习，含解析）.docx
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