资源简介

欧拉公式及应用
　欧拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.
【例】　（1）欧拉公式ei θ＝cos θ＋isin θ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满足（eiπ＋i）·z＝i，则z的虚部为（　　）
A. B.－
C.1 D.－1
（2）（多选）欧拉公式exi＝cos x＋isin x（其中i为虚数单位，x∈R），依据欧拉公式，下列选项正确的是（　　）
A.复数e2i对应的点位于第三象限
B.为纯虚数
C.复数的模等于
D.的共轭复数为－i
【迁移应用】
1.（2024·济南月考）欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ（e＝2.718 28…），被誉为数学上优美的数学公式.已知＝＋i，则θ＝（　　）
A.＋2kπ（k∈Z）
B.＋2kπ（k∈Z）
C.＋kπ（k∈Z）
D.＋kπ（k∈Z）
2.（多选）公式eix＝cos x＋isin x（x∈R，i为虚数单位）在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（　　）
A.eiπ＋1＝0
B.（＋i）2 025＝－1
C.｜eix＋e－ix｜≤2
D.－2≤eix－e－ix≤2
拓视野　欧拉公式及应用
【例】　（1）B　（2）BC　解析：（1）由欧拉公式知：eiπ＝cos π＋isin π＝－1，∴（eiπ＋i）·z＝（－1＋i）·z＝i，∴z＝＝＝＝－i，∴z的虚部为－，故选B.
（2）由题知e2i＝cos 2＋isin 2，而cos 2＜0，sin 2＞0，则复数e2i对应的点位于第二象限，故A错误；＝cos＋isin＝i，则为纯虚数，故B正确；＝＝
＝＋i，则的模为
＝＝，故C正确；＝cos＋isin＝＋i，其共轭复数为－i，故D错误.故选B、C.
迁移应用
1.B　∵eiθ＝cos θ＋isin θ，∴＝cos（θ＋）＋isin（θ＋）＝＋i，∴ θ＋＝2kπ＋（k∈Z），∴θ＝2kπ＋（k∈Z），故选B.
2.ABC　对于A，当x＝π时，因为eiπ＝cos π＋isin π＝－1，所以eiπ＋1＝0，故选项A正确；对于B，（＋i）2 025＝（cos＋isin）2 025＝（）2 025＝e675πi＝cos 675π＋isin 675π＝－1，故选项B正确；对于C，由eix＝cos x＋isin x，e－ix＝cos（－x）＋isin（－x）＝cos x－isin x，所以eix＋e－ix＝2cos x，得出｜eix＋e－ix｜＝｜2cos x｜≤2，故选项C正确；对于D，由C选项的分析得eix－e－ix＝2isin x，推不出－2≤eix－e－ix≤2，故选项D错误.故选A、B、C.
1 / 1(共33张PPT)
拓 视 野　欧拉公式及应用
　欧拉公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名
数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角
函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被
誉为“数学中的天桥”.
【例】　（1）欧拉公式ei θ＝ cos θ＋i sin θ把自然对数的底数e、虚数
单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满
足（eiπ＋i）·z＝i，则z的虚部为（　B　）
C. 1 D. －1
解析：由欧拉公式知：eiπ＝ cos π＋i sin π＝－1，∴（eiπ＋i）·z＝
（－1＋i）·z＝i，∴z＝ ＝ ＝ ＝ － i，∴z的虚
部为－ ，故选B.
B
（2）（多选）欧拉公式exi＝ cos x＋i sin x（其中i为虚数单位，
x∈R），依据欧拉公式，下列选项正确的是（　BC　）
A. 复数e2i对应的点位于第三象限
BC
解析：由题知e2i＝ cos 2＋i sin 2，而 cos 2＜0， sin 2＞0，则复
数e2i对应的点位于第二象限，故A错误； ＝ cos ＋i sin ＝
i，则 为纯虚数，故B正确； ＝ ＝ ＝ ＋ i，则 的模为 ＝ ＝ ，故C正确； ＝ cos ＋i sin ＝ ＋ i，其共轭复数为 － i，故D错误.故选B、C.
【迁移应用】
1. （2024·济南月考）欧拉公式eiθ＝ cos θ＋i sin θ（e＝2.718
28…），被誉为数学上优美的数学公式.已知 ＝ ＋
i，则θ＝（　　）
解析：　∵eiθ＝ cos θ＋i sin θ，∴ ＝ cos （θ＋ ）＋i
sin （θ＋ ）＝ ＋ i，∴ θ＋ ＝2kπ＋
（k∈Z），∴θ＝2kπ＋ （k∈Z），故选B.
2. （多选）公式eix＝ cos x＋i sin x（x∈R，i为虚数单位）在复变函
数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则
有（　　）
A. eiπ＋1＝0
C. ｜eix＋e－ix｜≤2 D. －2≤eix－e－ix≤2
解析：　对于A，当x＝π时，因为eiπ＝ cos π＋i sin π＝－1，
所以eiπ＋1＝0，故选项A正确；对于B，（ ＋ i）2 025＝（ cos
＋i sin ）2 025＝（ ）2 025＝e675πi＝ cos 675π＋i sin 675π＝－1，
故选项B正确；对于C，由eix＝ cos x＋i sin x，e－ix＝ cos （－x）
＋i sin （－x）＝ cos x－i sin x，所以eix＋e－ix＝2 cos x，得出｜eix
＋e－ix｜＝｜2 cos x｜≤2，故选项C正确；对于D，由C选项的分
析得eix－e－ix＝2i sin x，推不出－2≤eix－e－ix≤2，故选项D错误.
故选A、B、C.
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 复数z＝i（2－i）在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　z＝i（2－i）＝2i－i2＝1＋2i，∴复数对应的点的坐标
为（1，2），位于第一象限.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 已知复数z＝ ＋5i，则｜z｜＝（　　）
解析：　z＝ ＋5i＝ ＋5i＝－1＋7i，故｜z｜＝
5 ，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. （2024·新高考Ⅰ卷2题）若 ＝1＋i，则z＝（　　）
A. －1－i B. －1＋i
C. 1－i D. 1＋i
解析：　法一　因为 ＝ ＝1＋ ＝1＋i，所以z＝1＋
＝1－i.故选C.
法二　由 ＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. （1＋i）20－（1－i）20＝（　　）
A. －1 024 B. 1 024
C. 0 D. 512
解析：　∵（1＋i）2＝2i，∴（1＋i）4＝－4，又（1－i）2＝－
2i，∴（1－i）4＝－4，∴（1＋i）20－（1－i）20＝（－4）5－
（－4）5＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）在复平面内，复数z对应的点与复数 对应的点关于实
轴对称，则（　　）
A. 复数z＝1＋i
C. 复数z对应的点位于第一象限
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　复数 ＝ ＝ ＝－1－i对应的点的
坐标为（－1，－1）.因为复数z对应的点与复数 对应的点关于
实轴对称，所以复数z对应的点的坐标为（－1，1），所以复数z
＝－1＋i.故A、C均错. ＝－1－i，｜ ｜＝ ， 的实部是－
1，B、D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）若复数z满足z（1－i）＝｜1－ i｜，则（　　）
A. z＝－1＋i B. z的实部为1
D. z2＝2i
解析：　由z（1－i）＝｜1－ i｜，得z（1－i）＝2，所以z
＝ ＝ ＝1＋i，A错误；实部为1，B正确； ＝1－i，
C错误；z2＝（1＋i）2＝1＋2i＋i2＝2i，D正确.故选B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. （4－i）（6＋2i）－（7－i）（4＋3i）＝ .
解析：（4－i）（6＋2i）－（7－i）（4＋3i）＝（24＋8i－6i＋
2）－（28＋21i－4i＋3）＝（26＋2i）－（31＋17i）＝－5－15i.
－5－15i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根x＝ .
解析：x＝ ＝－3±i.
－3±i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. （2024·绍兴月考）若z＝（a－ ）＋ai为纯虚数，其中a∈R，
则 ＝ .
解析：∵z为纯虚数，∴∴a＝ ，∴ ＝
＝ ＝ ＝－i.
－i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 计算：
（1）（ － ＋ i）（2－i）（3＋i）；
解：（ － ＋ i）（2－i）（3＋i）＝（ － ＋ i）·（7－i）＝ ＋ i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2） .
解： ＝
＝ ＝ ＝
＝－2－2i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. （2024·莆田月考）已知复数z满足z（1＋i）＝2ti（t∈R），
若｜z｜＝2 ，则t＝（　　）
A. －2 B. －1
C. ±2 D. ±1
解析：　由z（1＋i）＝2ti（t∈R），得z＝ ＝
＝ti（1－i）＝t＋ti，因为｜z｜＝2 ，所以t2＋t2＝（2 ）
2，解得t＝2或t＝－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. （多选）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表
学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要
性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程x3＝1，它的两个虚数根
分别为（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　对于方程x3＝1，移项因式分解可得：（x－1）（x2
＋x＋1）＝0，x＝1为实数根，要求虚数根，解方程x2＋x＋1＝0
即可，解得x＝ . 故选C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. 方程z2－4｜z｜＋3＝0在复数集内解的个数为 .
解析：令z＝a＋bi（a，b∈R），则a2－b2＋2abi－4
＋3＝0，得当b＝0时，a2－4｜a｜
＋3＝0，a＝±1或a＝±3；当a＝0时，b2＋4｜b｜－3＝0，｜
b｜＝－2＋ 或｜b｜＝－2－ （舍）.综上共有6个解：z＝
±1，z＝±3，z＝±（ －2）i.
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 已知复数z＝2＋i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2＋px
＋q＝0的根.
（1）求p＋q的值；
解：关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的虚根互为共轭复数，所以它的另一根是2－i，根据根与系数的关系可得p＝－4，q＝5，p＋q＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）复数w满足zw是实数，且｜w｜＝2 ，求复数w的值.
解：设w＝a＋bi（a，b∈R）.
由（a＋bi）（2＋i）＝（2a－b）＋（a＋2b）i∈R，得
a＋2b＝0.又｜w｜＝2 ，则a2＋b2＝20，
解得a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2，因此w＝4－2i或w
＝－4＋2i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. （多选）下面四个命题中真命题为（　　）
A. 若复数z满足z2∈R，则z∈R
B. 若复数z满足z∈R，则z2∈R
C. 若复数z1，z2满足z1·z2＝0，则z1＝0或z2＝0
D. 若复数z满足｜z｜2＝z2，则z∈R
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　当z＝i，则z2＝－1∈R，而z＝i R，故A错误；当
z∈R时，z2∈R，故B正确；复数z1，z2满足z1·z2＝0，不妨设z1
＝a＋bi（a，b∈R），z2＝c＋di（c，d∈R），则z1·z2＝ac
－bd＋（ad＋bc）i＝0，则两式平方后相加得：
a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2＝（a2＋b2）·（c2＋d2）＝0，故a2＋b2
＝0或c2＋d2＝0，即z1＝0或z2＝0，C正确；设z＝m＋ni（m，
n∈R），则｜z｜2＝m2＋n2，z2＝m2－n2＋2mni，则m2＋n2＝
m2－n2＋2mni，整理得：n2＝mni，故n＝0，m∈R，所以
z∈R，D正确.故选B、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 已知复数z满足z＋2i， 均为实数，复数（z＋xi）2（x∈R）
在复平面内对应的点在第一象限，其中i为虚数单位.
（1）求复数z；
解：设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＋2i＝a＋（b＋2）i，
∵z＋2i为实数，∴b＋2＝0，解得b＝－2，
∴ ＝ ＝ ＝ ＋ i，
∵ 为实数，∴ ＝0，解得a＝4.
∴z＝4－2i.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）求实数x的取值范围.
解：∵复数（z＋xi）2＝[4＋（x－2）i]2＝16－（x
－2）2＋8（x－2）i＝（12＋4x－x2）＋（8x－16）i，且
复数（z＋xi）2在复平面内对应的点在第一象限，
∴解得2＜x＜6.
即实数x的取值范围是（2，6）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑