资源简介 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义1.若复数z满足z＋（3－4i）＝1，则z的虚部是（ ）A.－2 B.4C.3 D.－42.（2024·日照月考）若实数x，y满足（x＋i）＋（1－yi）＝2，则xy的值为（ ）A.1 B.2C.－2 D.－13.设复数z满足z＋1－2i＝－3＋i，则｜z｜＝（ ）A.6 B.6C.5 D.54.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为（ ）A.2＋8i B.－6－6iC.4－4i D.－4＋i5.（多选）下面关于｜（3＋2i）－（1＋i）｜的表述正确的是（ ）A.表示点（3，2）与点（1，1）之间的距离B.表示点（3，2）与点（－1，－1）之间的距离C.表示点（2，1）到原点的距离D.表示坐标为（－2，－1）的向量的模6.（多选）在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是（ ）A.点C位于第二象限B.z1＋z3＝z2C.｜z1－z3｜＝｜｜D.｜z2＋z3｜＝7.若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝ .8.（2024·周口月考）设f（z）＝z－3i＋｜z｜，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f（z1＋z2）＝ .9.若复数z＝a＋bi（a，b∈R，i为虚数单位）满足｜z－2i｜＝｜z｜，写出一个满足条件的复数z＝ .10.计算：（1）（2－i）＋（－2i）；（2）（3＋2i）＋（－2）i；（3）（1＋2i）＋（i＋i2）＋｜3＋4i｜；（4）（6－3i）＋（3＋2i）－（3－4i）－（－2＋i）.11.（2024·温州月考）复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值为（ ）A.3－2 B.－1C.3＋2 D.＋112.（多选）设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题为真命题的是（ ）A.z＋∈RB.z－是纯虚数C.若z＝cos＋isin，则｜z｜＝1D.若｜z－i｜＝1，则｜z｜的最大值为213.如图，在复平面内，向量对应的复数z1＝2＋i，绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则｜z1＋z2｜＝ .14.已知复数z1＝1＋（10－a2）i，z2＝（2a－5）i（a＞0），＋z2∈R.（1）求实数a的值；（2）若z∈C，｜z－z2｜＝2，求｜z｜的取值范围.15.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中所求的点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即费马点.根据以上材料，若z∈C，则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜的最小值为（ ）A.2－2 B.2＋2C.－1 D.＋116.已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：（1）点C，D对应的复数；（2）平行四边形ABCD的面积.7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义1.B z＝1－（3－4i）＝－2＋4i，所以z的虚部是4.2.A 依题意，得x＋1＝2且1－y＝0，所以x＝y＝1，所以xy＝1.3.D 因为z＋1－2i＝－3＋i，所以z＝－4＋3i，所以｜z｜＝＝5.故选D.4.C 因为＝－＝－（＋），所以表示的复数为3＋2i－（1＋5i－2＋i）＝4－4i.5.ACD 由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点（3，2）与点（1，1），所以｜（3＋2i）－（1＋i）｜表示点（3，2）与点（1，1）之间的距离，故A正确，B错误；｜（3＋2i）－（1＋i）｜＝｜2＋i｜表示点（2，1）到原点的距离，｜（1＋i）－（3＋2i）｜＝｜－2－i｜表示坐标为（－2，－1）的向量的模，故C、D正确.故选A、C、D.6.BC 如图，由题意，O（0，0），A（1，1），B（1，2），＝（0，1），∵OABC为平行四边形，∴＝（0，1），则C（0，1），∴z3＝i，点C位于虚轴上，故A错误；z1＋z3＝（1＋i）＋i＝1＋2i＝z2，故B正确；｜z1－z3｜＝｜1＋i－i｜＝1＝｜｜，故C正确；｜z2＋z3｜＝｜（1＋2i）＋i｜＝｜1＋3i｜＝，故D错误.故选B、C.7.4＋i 解析：两式相加得2z1＝8＋2i，所以z1＝4＋i.8.3＋3 解析：z1＋z2＝3＋3i，故f（z1＋z2）＝f（3＋3i）＝3＋｜3＋3i｜＝3＋3.9.1＋i（答案不唯一） 解析：z＝a＋bi，故z－2i＝a＋（b－2）i.由｜z－2i｜＝｜z｜知，＝，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i（a可为任意实数）均满足题意，可取z＝1＋i.10.解：（1）原式＝（2＋）－（＋2）i＝－i.（2）原式＝3＋（2＋－2）i＝3＋i.（3）原式＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i.（4）原式＝[6＋3－3－（－2）]＋[－3＋2－（－4）－1]i＝8＋2i.11.D ｜z1－z2｜＝｜（1－sin θ）＋（cos θ＋1）i｜＝＝＝，∵－1≤cos（ θ＋）≤1，∴｜z1－z2｜max＝＝＋1.12.AD 因为复数z与其共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，所以z＋∈R，A为真命题；当z为实数时，也为实数，则z－是实数，B为假命题；若z＝cos＋isin，则｜z｜＝≠1，C为假命题；｜z－i｜＝1表示以点（0，1）为圆心，1为半径的圆，结合图形（图略）知，｜z｜的最大值为圆心到原点的距离与半径之和，即为1＋1＝2，D为真命题.13. 解析：由题意可设z2＝a＋bi（a＜0，b＞0），则解得∴z2＝－1＋2i，∴z1＋z2＝（2＋i）＋（－1＋2i）＝1＋3i，∴｜z1＋z2｜＝.14.解：（1）由题意得＝1－（10－a2）i，所以＋z2＝1－（10－a2）i＋（2a－5）i＝1＋（a2＋2a－15）i，因为＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3，因为a＞0，所以a＝3.（2）由（1）知z2＝i，所以满足条件｜z－z2｜＝2的点的集合是以（0，1）为圆心，2为半径的圆，设为圆A，所以｜z｜的取值范围即圆A上的点到坐标原点的距离的范围，所以2－1≤｜z｜≤2＋1，即1≤｜z｜≤3.故｜z｜的取值范围为[1，3].15.B 设z＝x＋yi（x，y∈R），则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜表示点Z（x，y）到△ABC三个顶点A（2，0），B（－2，0），C（0，－2）的距离之和.依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°，此时｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜＝×2＋（2－2tan 30°）＝2＋2.故选B.16.解：（1）∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，∴向量对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.又∵＝＋，∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.∵＝，∴向量对应的复数为3－i.即＝（3，－1）.设D（x，y），则＝（x－2，y－1）＝（3，－1），∴解得∴点D对应的复数为5.（2）∵·＝｜｜｜｜cos B，∴cos B＝＝＝.∵0＜B＜π，∴sin B＝.∴S平行四边形ABCD＝｜｜｜｜sin B＝××＝7.∴平行四边形ABCD的面积为7.2 / 27.2.1 复数的加、减运算及其几何意义新课程标准解读 核心素养1.通过实例，结合实数的加、减运算法则理解复数代数形式的加、减运算法则 数学抽象2.结合向量的加、减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义 数学运算 我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律.【问题】 复数中的加法满足交换律与结合律吗？ 知识点一 复数的加、减法运算1.运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则（1）z1＋z2＝ ；（2）z1－z2＝ .2.加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有（1）z1＋z2＝ ；（2）（z1＋z2）＋z3＝ .知识点二 复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是 ，与z1－z2对应的向量是 .提醒 （1）把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可；（2）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.1.若复数z1＝2＋3i，z2＝－4－5i，则z1＋z2＝（ ）A.－2－2i B.6＋8iC.2－2i D.－6－8i2.（2024·泰安月考）i为虚数单位，若1＋z＝2＋3i，则复数z的虚部为（ ）A.1 B.3 C.i D.3i3.（2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝ .题型一 复数的加、减运算【例1】 （1）计算：（8－2i）－（－7＋5i）＋（3＋7i）；（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.通性通法复数加、减法运算的法则（1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部；（2）复数的运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.【跟踪训练】1.若（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a－b＝（ ）A.5 B.1C.0 D.－32.（2024·信阳月考）已知i为虚数单位，复数z满足则z＝（ ）A.2－i B.2＋iC.1－2i D.1＋2i题型二 复数加、减法几何意义的应用【例2】 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.求：（1）对应的复数；（2）对应的复数；（3）对应的复数及｜｜的大小.【母题探究】 （变设问）若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数.通性通法复数与向量的对应关系的三个关注点（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）与以原点为起点，Z（a，b）为终点的向量一一对应；（2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变；（3）复数加、减运算可转化为向量的加、减运算.【跟踪训练】1.已知复平面内的向量，对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则｜｜＝ .2.若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是 .题型三 复数模的最值问题【例3】 （1）已知复数z满足｜z＋i｜＝｜z－i｜，则｜z＋1＋2i｜的最小值为（ ）A.1 B.2C. D.（2）（2024·湖州质检）已知复数z满足｜z＋i｜＝1，则｜z＋1｜的最大值为（ ）A. B.2C.＋1 D.3通性通法两个复数差的模的几何意义（1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；（2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；（3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.【跟踪训练】已知复数z满足｜z｜＝1，求｜z－2i｜的取值范围.1.复数（－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）的模为（ ）A.－6＋7i B.6＋7iC. D.852.（2024·泉州月考）若（－3a＋bi）－（2b＋ai）＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝（ ）A. B.－C.－ D.53.若复数z满足｜z－i｜＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 .4.已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.（1）求z1－z2；（2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量.7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义【基础知识·重落实】知识点一1.（1）（a＋c）＋（b＋d）i （2）（a－c）＋（b－d）i 2.（1）z2＋z1 （2）z1＋（z2＋z3）知识点二 自我诊断1.A 由复数z1＝2＋3i，z2＝－4－5i，则z1＋z2＝（2＋3i）＋（－4－5i）＝－2－2i，故选A.2.B 因为1＋z＝2＋3i，则z＝2－1＋3i＝1＋3i，故复数z的虚部为3，故选B.3.1＋9i 解析：（2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝（2－6＋5）＋（1＋2＋6）i＝1＋9i.【典型例题·精研析】【例1】 解：（1）（8－2i）－（－7＋5i）＋（3＋7i）＝[8－（－7）＋3]＋（－2－5＋7）i＝15＋3.（2）∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，∴（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，∴∴∴z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i.跟踪训练1.B 因为（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1.故选B.2.A 因为所以两个等式相加得，2z＝4－2i，所以z＝2－i.故选A.【例2】 解：（1）因为＝－，所以对应的复数为－3－2i.（2）因为＝－，所以对应的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i.（3）因为＝＋，所以对应的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i，所以｜｜＝＝.母题探究 解：由题意知，点M为OB的中点，则＝.由例题知点B的坐标为（1，6），得点M的坐标为（ ，3），所以点M对应的复数为＋3i.跟踪训练1. 解析：∵＝＋，∴对应的复数为（－2＋i）＋（3＋2i）＝1＋3i，∴｜｜＝＝.2.（－∞，2） 解析：z2－z1＝1＋（a－2）i，由题意知a－2＜0，即a＜2.【例3】 （1）B （2）C 解析：（1）设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足｜z＋i｜＝｜z－i｜，所以由复数的几何意义可知，点Z到点（0，－1）和（0，1）的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，又｜z＋1＋2i｜表示点Z到点（－1，－2）的距离，所以问题转化为x轴上的动点Z到定点（－1，－2）距离的最小值，所以｜z＋1＋2i｜的最小值为2，故选B.（2）设z＝a＋bi，a，b∈R.因为｜z＋i｜＝｜a＋（b＋1）i｜＝1，所以a2＋（b＋1）2＝1，因为｜z＋1｜＝｜a＋1＋bi｜＝，所以｜z＋1｜相当于圆a2＋（b＋1）2＝1上的点到点（－1，0）的距离，所以｜z＋1｜的最大值为圆心（0，－1）到点（－1，0）的距离与圆的半径1的和，即＋1，故选C.跟踪训练 解：｜z｜＝1表示z在复平面上对应的点是单位圆上的点.｜z－2i｜表示单位圆上的点与（0，2）之间的距离，所以最小距离为2－1＝1，最大距离为2＋1＝3.所以｜z－2i｜的取值范围为[1，3].随堂检测1.C （－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）＝－6＋7i，复数－6＋7i的模为＝，故选C.2.B （－3a＋bi）－（2b＋ai）＝（－3a－2b）＋（b－a）i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，故有a＋b＝－.3.9π 解析：由条件知｜z－i｜＝3，所以点Z的轨迹是以点（0，1）为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.4.解：（1）由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i.（2）在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中.3 / 3(共56张PPT)7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义新课程标准解读 核心素养1.通过实例，结合实数的加、减运算法则理解复数代数形式的加、减运算法则 数学抽象2.结合向量的加、减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义 数学运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律.【问题】 复数中的加法满足交换律与结合律吗？知识点一 复数的加、减法运算1. 运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则（1）z1＋z2＝ ；（2）z1－z2＝ .2. 加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有（1）z1＋z2＝ ；（2）（z1＋z2）＋z3＝ .（a＋c）＋（b＋d）i （a－c）＋（b－d）i z2＋z1 z1＋（z2＋z3） 知识点二 复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为 ， ，以， 为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是 ，与z1－z2对应的向量是 . 提醒 （1）把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可；（2）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.1. 若复数z1＝2＋3i，z2＝－4－5i，则z1＋z2＝（ ）A. －2－2i B. 6＋8iC. 2－2i D. －6－8i解析： 由复数z1＝2＋3i，z2＝－4－5i，则z1＋z2＝（2＋3i）＋（－4－5i）＝－2－2i，故选A.2. （2024·泰安月考）i为虚数单位，若1＋z＝2＋3i，则复数z的虚部为（ ）A. 1 B. 3C. i D. 3i解析： 因为1＋z＝2＋3i，则z＝2－1＋3i＝1＋3i，故复数z的虚部为3，故选B.3. （2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝ .解析：（2＋i）－（6－2i）＋（5＋6i）＝（2－6＋5）＋（1＋2＋6）i＝1＋9i.1＋9i典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 复数的加、减运算【例1】 （1）计算：（8－2i）－（－7＋5i）＋（3 ＋7i）；解：（8－2i）－（－7＋5i）＋（3 ＋7i）＝[8－（－7）＋3 ]＋（－2－5＋7）i＝15＋3 .（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，∴（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，∴∴∴z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i.通性通法复数加、减法运算的法则（1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部；（2）复数的运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.【跟踪训练】1. 若（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a－b＝（ ）A. 5 B. 1C. 0 D. －3解析： 因为（1－i）＋（2＋3i）＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1.故选B.2. （2024·信阳月考）已知i为虚数单位，复数z满足则z＝（ ）A. 2－i B. 2＋iC. 1－2i D. 1＋2i解析： 因为所以两个等式相加得，2z＝4－2i，所以z＝2－i.故选A.题型二 复数加、减法几何意义的应用【例2】 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.求：（1） 对应的复数；解：因为 ＝－ ，所以 对应的复数为－3－2i.（2） 对应的复数；解：因为 ＝ － ，所以 对应的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i.（3） 对应的复数及｜ ｜的大小.解：因为 ＝ ＋ ，所以 对应的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i，所以｜ ｜＝ ＝ .【母题探究】（变设问）若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数.解：由题意知，点M为OB的中点，则 ＝ .由例题知点B的坐标为（1，6），得点M的坐标为（ ，3），所以点M对应的复数为 ＋3i.通性通法复数与向量的对应关系的三个关注点（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）与以原点为起点，Z（a，b）为终点的向量一一对应；（2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变；（3）复数加、减运算可转化为向量的加、减运算.【跟踪训练】1. 已知复平面内的向量 ， 对应的复数分别是－2＋i，3＋2i，则｜ ｜＝ .解析：∵ ＝ ＋ ，∴ 对应的复数为（－2＋i）＋（3＋2i）＝1＋3i，∴｜ ｜＝ ＝ .2. 若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是 .解析：z2－z1＝1＋（a－2）i，由题意知a－2＜0，即a＜2. （－∞，2）题型三 复数模的最值问题【例3】 （1）已知复数z满足｜z＋i｜＝｜z－i｜，则｜z＋1＋2i｜的最小值为（ B ）A. 1 B. 2B解析：设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足｜z＋i｜＝｜z－i｜，所以由复数的几何意义可知，点Z到点（0，－1）和（0，1）的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为x轴，又｜z＋1＋2i｜表示点Z到点（－1，－2）的距离，所以问题转化为x轴上的动点Z到定点（－1，－2）距离的最小值，所以｜z＋1＋2i｜的最小值为2，故选B.解析：设z＝a＋bi，a，b∈R. 因为｜z＋i｜＝｜a＋（b＋1）i｜＝1，所以a2＋（b＋1）2＝1，因为｜z＋1｜＝｜a＋1＋bi｜＝，所以｜z＋1｜相当于圆a2＋（b＋1）2＝1上的点到点（－1，0）的距离，所以｜z＋1｜的最大值为圆心（0，－1）到点（－1，0）的距离与圆的半径1的和，即 ＋1，故选C.（2）（2024·湖州质检）已知复数z满足｜z＋i｜＝1，则｜z＋1｜的最大值为（ C ）B. 2 D. 3C通性通法两个复数差的模的几何意义（1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；（2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；（3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.【跟踪训练】已知复数z满足｜z｜＝1，求｜z－2i｜的取值范围.解：｜z｜＝1表示z在复平面上对应的点是单位圆上的点.｜z－2i｜表示单位圆上的点与（0，2）之间的距离，所以最小距离为2－1＝1，最大距离为2＋1＝3.所以｜z－2i｜的取值范围为[1，3].1. 复数（－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）的模为（ ）A. －6＋7i B. 6＋7iD. 85解析： （－3＋i）－（5－i）＋（2＋5i）＝－6＋7i，复数－6＋7i的模为 ＝ ，故选C.2. （2024·泉州月考）若（－3a＋bi）－（2b＋ai）＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝（ ）D. 5解析： （－3a＋bi）－（2b＋ai）＝（－3a－2b）＋（b－a）i＝3－5i，所以解得a＝ ，b＝－ ，故有a＋b＝－ .3. 若复数z满足｜z－i｜＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为 .解析：由条件知｜z－i｜＝3，所以点Z的轨迹是以点（0，1）为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.9π4. 已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i.（1）求z1－z2；解：由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i.（2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量.解：在复平面内作复数z1－z2所对应的向量，如图中 .知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 若复数z满足z＋（3－4i）＝1，则z的虚部是（ ）A. －2 B. 4C. 3 D. －4解析： z＝1－（3－4i）＝－2＋4i，所以z的虚部是4.123456789101112131415162. （2024·日照月考）若实数x，y满足（x＋i）＋（1－yi）＝2，则xy的值为（ ）A. 1 B. 2C. －2 D. －1解析： 依题意，得x＋1＝2且1－y＝0，所以x＝y＝1，所以xy＝1.123456789101112131415163. 设复数z满足z＋1－2i＝－3＋i，则｜z｜＝（ ）A. 6D. 5解析： 因为z＋1－2i＝－3＋i，所以z＝－4＋3i，所以｜z｜＝ ＝5.故选D.123456789101112131415164. 在复平面内，O是原点， ， ， 表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则 表示的复数为（ ）A. 2＋8i B. －6－6iC. 4－4i D. －4＋i解析： 因为 ＝ － ＝ －（ ＋ ），所以 表示的复数为3＋2i－（1＋5i－2＋i）＝4－4i.123456789101112131415165. （多选）下面关于｜（3＋2i）－（1＋i）｜的表述正确的是（ ）A. 表示点（3，2）与点（1，1）之间的距离B. 表示点（3，2）与点（－1，－1）之间的距离C. 表示点（2，1）到原点的距离D. 表示坐标为（－2，－1）的向量的模12345678910111213141516解析： 由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点（3，2）与点（1，1），所以｜（3＋2i）－（1＋i）｜表示点（3，2）与点（1，1）之间的距离，故A正确，B错误；｜（3＋2i）－（1＋i）｜＝｜2＋i｜表示点（2，1）到原点的距离，｜（1＋i）－（3＋2i）｜＝｜－2－i｜表示坐标为（－2，－1）的向量的模，故C、D正确.故选A、C、D.123456789101112131415166. （多选）在复平面内有一个平行四边形OABC，点O为坐标原点，点A对应的复数为z1＝1＋i，点B对应的复数为z2＝1＋2i，点C对应的复数为z3，则下列结论正确的是（ ）A. 点C位于第二象限B. z1＋z3＝z212345678910111213141516解析： 如图，由题意，O（0，0），A（1，1），B（1，2）， ＝（0，1），∵OABC为平行四边形，∴ ＝（0，1），则C（0，1），∴z3＝i，点C位于虚轴上，故A错误；z1＋z3＝（1＋i）＋i＝1＋2i＝z2，故B正确；｜z1－z3｜＝｜1＋i－i｜＝1＝｜ ｜，故C正确；｜z2＋z3｜＝｜（1＋2i）＋i｜＝｜1＋3i｜＝ ，故D错误.故选B、C.123456789101112131415167. 若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝ .解析：两式相加得2z1＝8＋2i，所以z1＝4＋i.4＋i123456789101112131415168. （2024·周口月考）设f（z）＝z－3i＋｜z｜，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f（z1＋z2）＝ .解析：z1＋z2＝3＋3i，故f（z1＋z2）＝f（3＋3i）＝3＋｜3＋3i｜＝3＋3 .3＋3123456789101112131415169. 若复数z＝a＋bi（a，b∈R，i为虚数单位）满足｜z－2i｜＝｜z｜，写出一个满足条件的复数z＝ .解析：z＝a＋bi，故z－2i＝a＋（b－2）i.由｜z－2i｜＝｜z｜知， ＝ ，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i（a可为任意实数）均满足题意，可取z＝1＋i.1＋i（答案不唯一）1234567891011121314151610. 计算：（1）（2－ i）＋（ －2i）；解：原式＝（2＋ ）－（ ＋2）i＝ － i.（2）（3＋2i）＋（ －2）i；解：原式＝3＋（2＋ －2）i＝3＋ i.（3）（1＋2i）＋（i＋i2）＋｜3＋4i｜；解：原式＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i.（4）（6－3i）＋（3＋2i）－（3－4i）－（－2＋i）.解：原式＝[6＋3－3－（－2）]＋[－3＋2－（－4）－1]i＝8＋2i.1234567891011121314151611. （2024·温州月考）复数z1＝1＋i cos θ，z2＝ sin θ－i，则｜z1－z2｜的最大值为（ ）12345678910111213141516解析： ｜z1－z2｜＝｜（1－ sin θ）＋（ cos θ＋1）i｜＝＝ ＝，∵－1≤ cos （ θ＋ ）≤1，∴｜z1－z2｜max＝ ＝ ＋1.1234567891011121314151612. （多选）设复数z的共轭复数为 ，i为虚数单位，则下列命题为真命题的是（ ）D. 若｜z－i｜＝1，则｜z｜的最大值为212345678910111213141516解析： 因为复数z与其共轭复数 的实部相等，虚部互为相反数，所以z＋ ∈R，A为真命题；当z为实数时， 也为实数，则z－ 是实数，B为假命题；若z＝ cos ＋i sin ，则｜z｜＝≠1，C为假命题；｜z－i｜＝1表示以点（0，1）为圆心，1为半径的圆，结合图形（图略）知，｜z｜的最大值为圆心到原点的距离与半径之和，即为1＋1＝2，D为真命题.1234567891011121314151613. 如图，在复平面内，向量 对应的复数z1＝2＋i， 绕点O逆时针旋转90°后对应的复数为z2，则｜z1＋z2｜＝ . 12345678910111213141516解析：由题意可设z2＝a＋bi（a＜0，b＞0），则解得∴z2＝－1＋2i，∴z1＋z2＝（2＋i）＋（－1＋2i）＝1＋3i，∴｜z1＋z2｜＝ .1234567891011121314151614. 已知复数z1＝1＋（10－a2）i，z2＝（2a－5）i（a＞0）， ＋z2∈R.（1）求实数a的值；解：由题意得 ＝1－（10－a2）i，所以 ＋z2＝1－（10－a2）i＋（2a－5）i＝1＋（a2＋2a－15）i，因为 ＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3，因为a＞0，所以a＝3.12345678910111213141516（2）若z∈C，｜z－z2｜＝2，求｜z｜的取值范围.解：由（1）知z2＝i，所以满足条件｜z－z2｜＝2的点的集合是以（0，1）为圆心，2为半径的圆，设为圆A，所以｜z｜的取值范围即圆A上的点到坐标原点的距离的范围，所以2－1≤｜z｜≤2＋1，即1≤｜z｜≤3.故｜z｜的取值范围为[1，3].1234567891011121314151615. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中所求的点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即费马点.根据以上材料，若z∈C，则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜的最小值为（ ）12345678910111213141516解析： 设z＝x＋yi（x，y∈R），则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜表示点Z（x，y）到△ABC三个顶点A（2，0），B（－2，0），C（0，－2）的距离之和.依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°，此时｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜＝×2＋（2－2tan 30°）＝2 ＋2.故选B.1234567891011121314151616. 已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i，求：（1）点C，D对应的复数；解：∵向量 对应的复数为1＋2i，向量 对应的复数为3－i，∴向量 对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.又∵ ＝ ＋ ，∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.∵ ＝ ，∴向量 对应的复数为3－i.12345678910111213141516即 ＝（3，－1）.设D（x，y），则 ＝（x－2，y－1）＝（3，－1），∴解得∴点D对应的复数为5.12345678910111213141516（2）平行四边形ABCD的面积.解：∵ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos B，∴ cos B＝ ＝ ＝ .∵0＜B＜π，∴ sin B＝ .∴S平行四边形ABCD＝｜ ｜｜ ｜ sin B＝ × × ＝7.∴平行四边形ABCD的面积为7.12345678910111213141516谢 谢 观 看！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义.docx 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义.pptx 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（练习，含解析）.docx
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