资源简介

7.2.2　复数的乘、除运算
1.复数z＝i（2－i）在复平面内对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知复数z＝＋5i，则｜z｜＝（　　）
A. B.5
C.3 D.2
3.（2024·新高考Ⅰ卷2题）若＝1＋i，则z＝（　　）
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
4.（1＋i）20－（1－i）20＝（　　）
A.－1 024 B.1 024
C.0 D.512
5.（多选）在复平面内，复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（　　）
A.复数z＝1＋i
B.｜｜＝
C.复数z对应的点位于第一象限
D.复数的实部是－1
6.（多选）若复数z满足z（1－i）＝｜1－i｜，则（　　）
A.z＝－1＋i
B.z的实部为1
C.＝1＋i
D.z2＝2i
7.（4－i）（6＋2i）－（7－i）（4＋3i）＝　　　　.
8.在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根x＝　　　　.
9.（2024·绍兴月考）若z＝（a－）＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝　　　　.
10.计算：
（1）（ －＋i）（2－i）（3＋i）；
（2）.
11.（2024·莆田月考）已知复数z满足z（1＋i）＝2ti（t∈R），若｜z｜＝2，则t＝（　　）
A.－2 B.－1
C.±2 D.±1
12.（多选）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性.对于方程x3＝1，它的两个虚数根分别为（　　）
A. B.
C. D.
13.方程z2－4｜z｜＋3＝0在复数集内解的个数为　　　　.
14.已知复数z＝2＋i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的根.
（1）求p＋q的值；
（2）复数w满足zw是实数，且｜w｜＝2，求复数w的值.
15.（多选）下面四个命题中真命题为（　　）
A.若复数z满足z2∈R，则z∈R
B.若复数z满足z∈R，则z2∈R
C.若复数z1，z2满足z1·z2＝0，则z1＝0或z2＝0
D.若复数z满足｜z｜2＝z2，则z∈R
16.已知复数z满足z＋2i，均为实数，复数（z＋xi）2（x∈R）在复平面内对应的点在第一象限，其中i为虚数单位.
（1）求复数z；
（2）求实数x的取值范围.
7.2.2　复数的乘、除运算
1.A　z＝i（2－i）＝2i－i2＝1＋2i，∴复数对应的点的坐标为（1，2），位于第一象限.
2.B　z＝＋5i＝＋5i＝－1＋7i，故｜z｜＝5，故选B.
3.C　法一　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
法二　由＝1＋i，得z＝（z－1）·（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i.
4.C　∵（1＋i）2＝2i，∴（1＋i）4＝－4，又（1－i）2＝－2i，∴（1－i）4＝－4，∴（1＋i）20－（1－i）20＝（－4）5－（－4）5＝0.
5.BD　复数＝＝＝－1－i对应的点的坐标为（－1，－1）.因为复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称，所以复数z对应的点的坐标为（－1，1），所以复数z＝－1＋i.故A、C均错.＝－1－i，｜｜＝，的实部是－1，B、D正确.
6.BD　由z（1－i）＝｜1－i｜，得z（1－i）＝2，所以z＝＝＝1＋i，A错误；实部为1，B正确；＝1－i，C错误；z2＝（1＋i）2＝1＋2i＋i2＝2i，D正确.故选B、D.
7.－5－15i　解析：（4－i）（6＋2i）－（7－i）（4＋3i）＝（24＋8i－6i＋2）－（28＋21i－4i＋3）＝（26＋2i）－（31＋17i）＝－5－15i.
8.－3±i　解析：x＝＝－3±i.
9.－i　解析：∵z为纯虚数，∴∴a＝，∴＝＝＝＝－i.
10.解：（1）（ －＋i）（2－i）（3＋i）＝（ －＋i）·（7－i）＝＋i.
（2）＝
＝＝＝
＝－2－2i.
11.C　由z（1＋i）＝2ti（t∈R），得z＝＝＝ti（1－i）＝t＋ti，因为｜z｜＝2，所以t2＋t2＝（2）2，解得t＝2或t＝－2.
12.CD　对于方程x3＝1，移项因式分解可得：（x－1）（x2＋x＋1）＝0，x＝1为实数根，要求虚数根，解方程x2＋x＋1＝0即可，解得x＝. 故选C、D.
13.6　解析：令z＝a＋bi（a，b∈R），则a2－b2＋2abi－4＋3＝0，得当b＝0时，a2－4｜a｜＋3＝0，a＝±1或a＝±3；当a＝0时，b2＋4｜b｜－3＝0，｜b｜＝－2＋或｜b｜＝－2－（舍）.综上共有6个解：z＝±1，z＝±3，z＝±（－2）i.
14.解：（1）关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的虚根互为共轭复数，所以它的另一根是2－i，根据根与系数的关系可得p＝－4，q＝5，p＋q＝1.
（2）设w＝a＋bi（a，b∈R）.
由（a＋bi）（2＋i）＝（2a－b）＋（a＋2b）i∈R，得a＋2b＝0.又｜w｜＝2，则a2＋b2＝20，
解得a＝4，b＝－2或a＝－4，b＝2，因此w＝4－2i或w＝－4＋2i.
15.BCD　当z＝i，则z2＝－1∈R，而z＝i R，故A错误；当z∈R时，z2∈R，故B正确；复数z1，z2满足z1·z2＝0，不妨设z1＝a＋bi（a，b∈R），z2＝c＋di（c，d∈R），则z1·z2＝ac－bd＋（ad＋bc）i＝0，则两式平方后相加得：a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2＝（a2＋b2）·（c2＋d2）＝0，故a2＋b2＝0或c2＋d2＝0，即z1＝0或z2＝0，C正确；设z＝m＋ni（m，n∈R），则｜z｜2＝m2＋n2，z2＝m2－n2＋2mni，则m2＋n2＝m2－n2＋2mni，整理得：n2＝mni，故n＝0，m∈R，所以z∈R，D正确.故选B、C、D.
16.解：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＋2i＝a＋（b＋2）i，
∵z＋2i为实数，∴b＋2＝0，解得b＝－2，
∴＝＝＝＋i，
∵为实数，∴＝0，解得a＝4.
∴z＝4－2i.
（2）∵复数（z＋xi）2＝[4＋（x－2）i]2＝16－（x－2）2＋8（x－2）i＝（12＋4x－x2）＋（8x－16）i，且复数（z＋xi）2在复平面内对应的点在第一象限，
∴解得2＜x＜6.
即实数x的取值范围是（2，6）.
2 / 27.2.2　复数的乘、除运算
新课程标准解读 核心素养
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算 数学抽象
2.理解复数乘法的运算律 数学运算
　　我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足aman＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，其中m，n均为正整数.
【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复数的乘法
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝　　　　　　.
2.复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝　　　
结合律 （z1z2）z3＝　　　
分配律 z1（z2＋z3）＝　　　
【想一想】
1.复数的乘法与多项式乘法有何不同？
2.多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？
知识点二　复数的除法
　复数代数形式的除法法则
（a＋bi）÷（c＋di）＝＝　　　　　　（a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）.
提醒　对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”类似；②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.
1.已知i为虚数单位，复数z＝（3－i）（2＋i），则z的虚部为（　　）
A.i B.1
C.7i D.7
2.复数z＝－i在复平面内对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.（2024·烟台月考）设复数z满足（1＋i）z＝2－2i（i为虚数单位），则｜z｜＝　　　　.
题型一 复数代数形式的乘法运算
【例1】　计算下列各题：
（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）；
（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i.
通性通法
复数的乘法运算法则的应用
（1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；
（2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
【跟踪训练】
1.（2024·安阳月考）复数z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）在复平面内对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－∞，1） B.（－∞，－1）
C.（1，＋∞） D.（－1，＋∞）
题型二 复数代数形式的除法运算
【例2】　计算：
（1）（1－2i）÷（2＋i）；
（2）；
（3）.
通性通法
1.两个复数代数形式的除法运算的步骤
（1）首先将除式写为分式；
（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.
2.常用公式
（1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i.
【跟踪训练】
1.已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积是（　　）
A.　　　B.－ C.i　　　D.－i
2.（2022·北京高考2题）若复数z满足i·z＝3－4i，则｜z｜＝（　　）
A.1 B.5
C.7 D.25
题型三 i幂值的周期性及应用
【例3】　（1）复数z＝i2 025的模是（　　）
A.i B.－1
C.0 D.1
（2）计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100（i为虚数单位）的结果是　　　　.
通性通法
利用i幂值的周期性解题的技巧
（1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i；
（2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
【跟踪训练】
　计算：＋.
题型四 在复数范围内解方程
【例4】　在复数范围内解下列方程：
（1）x2＋5＝0；
（2）x2＋4x＋6＝0.
通性通法
　　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法
（1）求根公式法：
①当Δ≥0时，x＝；
②当Δ＜0时，x＝.
（2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解；
（3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－，x1x2＝.
【跟踪训练】
1.（2024·厦门月考）已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0（q∈R）的一个根，则该方程的另一个根为（　　）
A.2i＋3 B.－2i－3
C.2i－3 D.－2i＋3
2.已知关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值.
1.已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m＝（　　）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
2.（2024·深圳月考）已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4（其中i为虚数单位），则｜z｜＝（　　）
A.2 B.2
C.4 D.10
3.（2024·济宁月考）若复数z满足方程i＝1－i，则z＝　　　　.
4.计算：（1）（1＋i）2 024；
（2）（－2＋3i）÷（1＋2i）.
7.2.2　复数的乘、除运算
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（ac－bd）＋（ad＋bc）i　
2.z2z1　z1（z2z3）　z1z2＋z1z3
想一想
1.提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并.
2.提示：仍然成立，乘法公式也适用.
知识点二
　＋i
自我诊断
1.B　∵z＝（3－i）（2＋i）＝7＋i，∴z的虚部为1.故选B.
2.C　因为z＝－i＝－i＝－i＝－－i，所以z在复平面内对应的点为（－，－），位于第三象限.故选C.
3.2　解析：由已知可得z＝＝＝－2i，因此，｜z｜＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋i.
（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i
＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i
＝（3＋11i）（3－4i）＋2i
＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
跟踪训练
1.A　z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限.
2.B　因为（1－i）（a＋i）＝a＋1＋（1－a）i，所以它在复平面内对应的点为（a＋1，1－a），又此点在第二象限，所以解得a＜－1.
【例2】　解：（1）（1－2i）÷（2＋i）＝＝＝＝－i.
（2）＝＝＝－2＋i.
（3）
＝＝＝
＝＋i.
跟踪训练
1.A　因为＝＝＋i，所以的实部与虚部之积是.
2.B　依题意可得z＝＝＝－4－3i，所以｜z｜＝＝5，故选B.
【例3】　（1）D　（2）1　解析：（1）因为z＝i2 025＝i4×506＋1＝i，所以复数z的模是1.故选D.
（2）由复数的运算法则可知：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100＝1＋（i＋i2＋i3＋i4）＋…＋（i97＋i98＋i99＋i100）＝1＋0＋…＋0＝1.
跟踪训练
　解：∵＝＝＝i，＝＝－i，而i4＝（－i）4＝1，
∴＋＝i2 024＋（－i）2 025＝i2024＋（－i）2024·（－i）1＝1－i.
【例4】　解：（1）因为x2＋5＝0，
所以x2＝－5，
又因为（i）2＝（－i）2＝－5，
所以x＝±i，所以方程x2＋5＝0的根为x＝±i.
（2）法一　因为x2＋4x＋6＝0，所以（x＋2）2＝－2，
因为（i）2＝（－i）2＝－2，
所以x＋2＝i或x＋2＝－i，
即x＝－2＋i或x＝－2－i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
法二　由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根.
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且b≠0），
则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，
所以
又因为b≠0，
所以
解得a＝－2，b＝±.所以x＝－2±i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i.
跟踪训练
1.B　根据题意，方程的另一个根为－6－（2i－3）＝－3－2i.故选B.
2.解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（＋kx0＋2）＋（2x0＋k）i＝0.
由复数相等的条件得＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，
解得或
∴方程的实根为x＝或－，相应的k的值为－2或2.
随堂检测
1.A　由（m＋i）（2－3i）＝（2m＋3）＋（2－3m）i＝5－i，得解得m＝1.
2.B　依题意，z＝i＋2×（－1）＋3（－i）＋4＝2－2i，所以｜z｜＝＝2.故选B.
3.－1＋i　解析：由题意可得＝＝＝－i（1－i）＝－1－i，所以z＝－1＋i.
4.解：（1）原式＝[（1＋i）2]1 012＝（1＋2i＋i2）1 012＝（2i）1 012＝21 012·i1 012＝21 012·i4×253＝21 012.
（2）原式＝＝
＝＝＋i.
4 / 4(共38张PPT)
7.2.2　复数的乘、除运算
新课程标准解读 核心素养
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算 数学抽象
2.理解复数乘法的运算律 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，
b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满
足aman＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn，其中m，n均为正
整数.
【问题】　复数的运算满足上述的运算律吗？
知识点一　复数的乘法
1. 复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a＋
bi）（c＋di）＝ .
（ac－bd）＋（ad＋bc）i　
2. 复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝
结合律 （z1z2）z3＝
分配律 z1（z2＋z3）＝
z2z1　
z1（z2z3）　
z1z2＋z1z3　
1. 复数的乘法与多项式乘法有何不同？
提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所
得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并.
2. 多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？
提示：仍然成立，乘法公式也适用.
【想一想】
知识点二　复数的除法
　复数代数形式的除法法则
（a＋bi）÷（c＋di）＝ ＝ 　 ＋ i　（a，b，
c，d∈R，且c＋di≠0）.
提醒　对复数除法的两点说明：①实数化：分子、分母同乘以分母的
共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数
化，这与根式除法的分母“有理化”类似；②代数式：注意最后结果
要将实部、虚部分开.
＋ i　
1. 已知i为虚数单位，复数z＝（3－i）（2＋i），则z的虚部为（　）
A. i B. 1
C. 7i D. 7
解析：　∵z＝（3－i）（2＋i）＝7＋i，∴z的虚部为1.故选B.
2. 复数z＝ －i在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　因为z＝ －i＝ －i＝ －i＝－ －
i，所以z在复平面内对应的点为（－ ，－ ），位于第三象限.
故选C.
3. （2024·烟台月考）设复数z满足（1＋i）z＝2－2i（i为虚数单
位），则｜z｜＝ .
解析：由已知可得z＝ ＝ ＝－2i，因此，｜
z｜＝2.
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数代数形式的乘法运算
【例1】　计算下列各题：
（1）（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）；
解：（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋i.
（2）（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i.
解：（2－i）（－1＋5i）（3－4i）＋2i
＝（－2＋10i＋i－5i2）（3－4i）＋2i
＝（3＋11i）（3－4i）＋2i
＝（9－12i＋33i－44i2）＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
通性通法
复数的乘法运算法则的应用
（1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注
意要把i2化为－1，进行最后结果的化简；
（2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更
简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
【跟踪训练】
1. （2024·安阳月考）复数z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）在复平
面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　z＝（1－i）（1＋i）＋（－1＋i）＝1－i2－1＋i＝1＋
i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限.
2. 若复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数
a的取值范围是（　　）
A. （－∞，1） B. （－∞，－1）
C. （1，＋∞） D. （－1，＋∞）
解析：　因为（1－i）（a＋i）＝a＋1＋（1－a）i，所以它在
复平面内对应的点为（a＋1，1－a），又此点在第二象限，所以
解得a＜－1.
题型二 复数代数形式的除法运算
【例2】　计算：
（1）（1－2i）÷（2＋i）；
解：（1－2i）÷（2＋i）＝ ＝ ＝ ＝－i.
（2） ；
解： ＝ ＝ ＝－2＋i.
（3） .
解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i.
通性通法
1. 两个复数代数形式的除法运算的步骤
（1）首先将除式写为分式；
（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代
数形式.
2. 常用公式
（1） ＝－i；（2） ＝i；（3） ＝－i.
【跟踪训练】
1. 已知i为虚数单位，则 的实部与虚部之积是（　　）
解析：　因为 ＝ ＝ ＋ i，所以 的实部与虚部
之积是 .
2. （2022·北京高考2题）若复数z满足i·z＝3－4i，则｜z｜＝（　　）
A. 1 B. 5
C. 7 D. 25
解析：　依题意可得z＝ ＝ ＝－4－3i，所以｜z｜
＝ ＝5，故选B.
题型三 i幂值的周期性及应用
【例3】　（1）复数z＝i2 025的模是（　D　）
A. i B. －1
C. 0 D. 1
解析：因为z＝i2 025＝i4×506＋1＝i，所以复数z的模是1.故选D.
（2）计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100（i为虚数单位）的结果是 .
D
解析：由复数的运算法则可知：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100＝1＋（i
＋i2＋i3＋i4）＋…＋（i97＋i98＋i99＋i100）＝1＋0＋…＋0＝1.
1
通性通法
利用i幂值的周期性解题的技巧
（1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，
3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i；
（2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
【跟踪训练】
计算： ＋ .
解：∵ ＝ ＝ ＝i， ＝ ＝－i，而i4＝（－i）4
＝1，
∴ ＋ ＝i2 024＋（－i）2 025＝i2024＋（－i）
2024·（－i）1＝1－i.
题型四 在复数范围内解方程
【例4】　在复数范围内解下列方程：
（1）x2＋5＝0；
解：因为x2＋5＝0，所以x2＝－5，
又因为（ i）2＝（－ i）2＝－5，
所以x＝± i，所以方程x2＋5＝0的根为x＝± i.
（2）x2＋4x＋6＝0.
解：法一　因为x2＋4x＋6＝0，所以（x＋2）2＝－2，
因为（ i）2＝（－ i）2＝－2，
所以x＋2＝ i或x＋2＝－ i，
即x＝－2＋ i或x＝－2－ i，
所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± i.
法二　由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8＜0，所以方程x2＋4x＋6
＝0无实数根.
在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且
b≠0），
则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0，
所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，
整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，
所以
又因为b≠0，所以
解得a＝－2，b＝± .所以x＝－2± i，
即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2± i.
通性通法
　　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的
求解方法
（1）求根公式法：
①当Δ≥0时，x＝ ；
②当Δ＜0时，x＝ .
（2）利用复数相等的定义求解：设方程的根为x＝m＋ni（m，
n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数
相等的定义求解；
（3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
【跟踪训练】
1. （2024·厦门月考）已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0
（q∈R）的一个根，则该方程的另一个根为（　　）
A. 2i＋3 B. －2i－3
C. 2i－3 D. －2i＋3
解析：根据题意，方程的另一个根为－6－（2i－3）＝－3－2i.故选B.
2. 已知关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根
及实数k的值.
解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得（ ＋kx0＋2）＋
（2x0＋k）i＝0.
由复数相等的条件得 ＋kx0＋2＝2x0＋k＝0，
解得或
∴方程的实根为x＝ 或－ ，相应的k的值为－2 或2 .
1. 已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m＝
（　　）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
解析：　由（m＋i）（2－3i）＝（2m＋3）＋（2－3m）i＝5－
i，得解得m＝1.
2. （2024·深圳月考）已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4（其中i为虚数单
位），则｜z｜＝（　　）
A. 2 C. 4 D. 10
解析：　依题意，z＝i＋2×（－1）＋3（－i）＋4＝2－2i，所
以｜z｜＝ ＝2 .故选B.
3. （2024·济宁月考）若复数z满足方程 i＝1－i，则z＝ .
解析：由题意可得 ＝ ＝ ＝－i（1－i）＝－1－i，所
以z＝－1＋i.
－1＋i
4. 计算：（1）（1＋i）2 024；
解：原式＝[（1＋i）2]1 012＝（1＋2i＋i2）1 012＝（2i）1 012＝ 21 012·i1 012＝21 012·i4×253＝21 012.
（2）（－2＋3i）÷（1＋2i）.
解：原式＝ ＝
＝ ＝ ＋ i.
谢 谢 观 看！

展开更多......

收起↑