资源简介

7.3*复数的三角表示
1.若a＜0，则a的三角形式为（　　）
A.a（cos 0＋isin 0） B.a（cos π＋isin π）
C.－a（cos π＋isin π） D.－a（cos π－isin π）
2.复数z＝－i的三角形式为（　　）
A.2
B.2
C.2
D.2
3.复数（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）的三角形式是（　　）
A.sin 30°＋icos 30° B.cos 160°＋isin 160°
C.cos 30°＋isin 30° D.sin 160°＋icos 160°
4.将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（　　）
A.＋i B.－＋i
C.－－i D.－i
5.2÷2（cos 60°＋isin 60°）＝（　　）
A.＋i B.－i
C.＋i D.－i
6.（多选）设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2，则（　　）
A.p q B.p / q
C.q p D.q / p
7.复数cos＋isin的辐角主值是　　　　.
8.计算（cos 40°＋isin 40°）÷（cos 10°＋isin 10°）＝　　　　.
9.设z＝1＋i，则复数的代数形式为　　　　，三角形式是　　　　.
10.下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.
（1）－2；
（2）sin＋icos.
11.如果θ∈，那么复数（1＋i）（cos θ＋isin θ）的辐角主值是（　　）
A.θ＋ B.θ＋
C.θ－ D.θ＋
12.复数cos＋isin经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n＝（　　）
A.3 B.12
C.6k－1（k∈Z） D.6k＋1（k∈Z）
13.如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为　　　　.
14.计算：
（1）2×；
（2）2（cos－isin）÷［（cos＋isin）］.
15.棣莫弗公式（cos x＋isin x）n＝cos nx＋isin nx（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（cos＋isin）2 024在复平面内所对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
16.设复数z1＝＋i，复数z2满足｜z2｜＝2，且z1·在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈（0，π），求z2的代数形式.
7.3*复数的三角表示
1.C　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a（cos π＋isin π）.故选C.
2.D　因为r＝2，所以cos θ＝，因为z＝－i对应的点在第四象限，所以arg（－i）＝，故z＝－i＝2.
3.B　（sin 10°＋icos 10°）（sin 10°＋icos 10°）＝（cos 80°＋isin 80°）·（cos 80°＋isin 80°）＝cos 160°＋isin 160°.故选B.
4.A　i＝cos＋isin，将绕原点按顺时针方向旋转得到对应的复数为cos＋isin＝＋i.
5.B　2÷2（cos 60°＋isin 60°）＝2（cos 0°＋isin 0°）÷[2（cos 60°＋isin 60°）]＝cos（0°－60°）＋isin（0°－60°）＝cos（－60°）＋isin（－60°）＝－i.故选B.
6.AD　当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成立；当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故p q，q /p.故选A、D.
7.　解析：原式＝cos＋isin（2π＋）＝cos＋isin，故其辐角主值为.
8.＋i　解析：（cos 40°＋isin 40°）÷（cos 10°＋isin 10°）＝ cos（40°－10°）＋isin（40°－10°）＝cos 30°＋isin 30°＝＋i.
9.1－i　
解析：将z＝1＋i代入，得原式＝＝＝1－i＝（cos＋isin）.
10.解：（1）不是.
－2＝2（－cos－isin）
＝2
＝2.
（2）不是.
sin＋icos＝cos＋isin＝cos＋isin＝cos＋isin.
11.B　（1＋i）（cos θ＋isin θ）＝·（cos＋isin）（cos θ＋isin θ）＝［cos（θ＋）＋isin（θ＋）］，∵θ∈，∴θ＋∈，∴该复数的辐角主值是θ＋.故选B.
12.C　由题意，得（cos＋isin）n＝cos＋isin＝cos－isin，由复数相等的定义，得解得＝2kπ－（k∈Z），∴n＝6k－1（k∈Z）.
13.2＋i　解析：∵A，B所表示的复数分别是＋i和2，∴所表示的复数为－i，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为（－i）·（cos 60°＋isin 60°）＝＋i，又＝＋，∴对应的复数为＋i＋＋i＝2＋i，即点C对应的复数是2＋i.
14.解：（1）原式＝2×［cos（＋π）＋isin（＋π）］＝（cosπ＋isinπ）＝－＋i.
（2）原式＝2［cos＋isin］÷［（cos＋isin）］＝2［cos（－－）＋isin（－－）］＝2［cos（－）＋isin（－）］＝－2i.
15.C　由棣莫弗公式知，（cos＋isin）2 024＝cos＋isin＝cos（337π＋）＋isin（337π＋）＝cos（π＋）＋isin（π＋）＝－－i，∴复数（cos＋isin）2 024在复平面内所对应的点的坐标为（－，－），位于第三象限.故选C.
16.解：因为z1＝＋i＝2（cos＋isin），
设z2＝2（cos α＋isin α），α∈（0，π），
所以z1·＝2（cos＋isin）×4（cos 2α＋isin 2α）＝8［cos（2α＋）＋isin（2α＋）］.
由题设知2α＋＝2kπ＋（k∈Z），
所以α＝kπ＋（k∈Z）.
又α∈（0，π），所以α＝，
所以z2＝2＝－1＋i.
2 / 27.3*复数的三角表示
新课程标准解读 核心素养
1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 数学抽象
2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 数学运算
设复数z＝1＋i在复平面内对应的点为Z.
【问题】　（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量；
（2）记r为向量的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋i的实部、虚部之间的关系.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　复数的三角形式
1.定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成　　　　　　的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的　　　　.　　　　　　叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式.
2.辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作arg z，即0≤arg z＜2π.
提醒　辐角和辐角主值的区别与联系：区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线（射线OZ）为终边的角，显然辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个；联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z.
知识点二　复数三角形式的乘、除运算
1.乘法运算法则
设z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），则z1z2＝　　　　　　.
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的　　　，积的辐角等于各复数的辐角的　　　.
2.除法运算法则
设z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2），且z2≠0，则＝　　　　　　.
即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的　　　，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的　　　.
1.复数1＋i的辐角主值为（　　）
A. B.
C. D.
2.将复数i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（　　）
A.＋i B.－＋i
C.－－i D.－i
3.计算（cos π＋isin π）÷（cos＋isin）＝　　　　.
题型一 复数的代数形式化为三角形式
【例1】　将下列复数的代数形式化成三角形式：
（1）＋i；
（2）1－i.
通性通法
将复数的代数形式转化为三角形式的步骤
（1）求复数的模；
（2）确定辐角所在的象限；
（3）根据象限求出辐角；
（4）求出复数的三角形式.
【跟踪训练】
　下列复数是复数三角形式表示的是（　　）
A.
B.－
C.
D.cosπ＋isinπ
题型二 复数的三角形式化为代数形式
【例2】　复数z＝（cos＋isin）化为代数形式为（　　）
A.＋i B.－＋i
C.－＋i D.－i
通性通法
　　将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数三角形式为z＝r（cos A＋isin A），代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A.
【跟踪训练】
复数的代数形式为　　　　.
题型三 复数三角形式的乘、除法运算
【例3】　计算：
（1）2×；
（2）6（cos 160°＋isin 160°）÷[（cos 25°＋isin 25°）].
通性通法
　　在进行复数三角形式的乘、除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示.
【跟踪训练】
　计算：2i÷.
题型四 复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例4】　在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数.
通性通法
　　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.即z1z2＝r1r2·[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]，当z1，z2相除时，＝·[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）].
【跟踪训练】
在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数.
1.复数z＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（　　）
A.z＝（sin 45°＋icos 45°）
B.z＝（cos 45°＋isin 45°）
C.z＝[cos（－45°）－isin（－45°）]
D.z＝[cos（－45°）＋isin（－45°）]
2.已知i为虚数单位，z1＝（cos 60°＋isin 60°），z2＝2（sin 30°－icos 30°），则z1·z2＝（　　）
A.4（cos 90°＋isin 90°）
B.4（cos 30°＋isin 30°）
C.4（cos 30°－isin 30°）
D.4（cos 0°＋isin 0°）
3.若｜z｜＝2，arg z＝，则复数z＝　　　　.
4.计算＝　　　　.
7.3*复数的三角表示
【基础知识·重落实】
知识点一
1.r（cos θ＋isin θ）　辐角　r（cos θ＋isin θ）
知识点二
1.r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]　积　和　2.[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1－θ2）]　商　差
自我诊断
1.C　因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg（1＋i）＝.
2.B　i＝cos＋isin，将绕原点按逆时针方向旋转得到对应的复数为cos＋isin＝－＋i.
3.－＋i　解析：（cos π＋isin π）÷（cos＋isin）＝cos＋isin＝－＋i.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）r＝＝2，所以cos θ＝，
因为对应的点在第一象限，所以arg（＋i）＝，
故＋i＝2.
（2）r＝＝，所以cos θ＝，
因为对应的点在第四象限，所以arg（1－i）＝，
故1－i＝.
跟踪训练
　D　选项A，cos与isin之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－＜0不符合r≥0的要求；选项C，是icosπ与sinπ用“＋”连接而不是cosπ＋isinπ的形式.故A、B、C均不是复数的三角形式.故选D.
【例2】　C　z＝＝cos＋（sin）i＝×（－）＋×i＝－＋i.
跟踪训练
　1－i　解析：（cosπ＋isinπ）＝［cos（π＋π）＋isin（π＋π）］＝＝（－i）＝1－i.
【例3】　解：（1）原式＝＝2（cos＋isin）＝－2i.
（2）原式＝3[cos（160°－25°）＋isin（160°－25°）]
＝3（cos 135°＋isin 135°）＝3
＝－3＋3i.
跟踪训练
　解：2i÷
＝2（cos 90°＋isin 90°）÷
＝4（cos 60°＋isin 60°）＝2＋2i.
【例4】　解：因为3－i＝2
＝2.
所以2×
（cos＋isin）＝2［cos（π＋）＋isin］
＝2
＝2＝3＋i，
2÷（cos＋isin）＝2［cos＋isin（π－）］
＝2＝－2i.
故把复数3－i对应的向量按逆时针方向旋转得到的复数为3＋i，按顺时针方向旋转得到的复数为－2i.
跟踪训练
　解：＋i＝，
由题意得（cos＋isin）×2（cos＋isin）＝×2［cos（＋）＋isin］
＝3＝3i，
即与所得向量对应的复数为3i.
随堂检测
1.B　依题意得r＝＝，复数z＝1＋i对应的点在第一象限，且cos θ＝，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确.故选B.
2.D　∵z2＝2（sin 30°－icos 30°）＝2·（cos 300°＋isin 300°），∴z1·z2＝（cos 60°＋isin 60°）×2（cos 300°＋isin 300°）＝4（cos 360°＋isin 360°）.故选D.
3.1＋i　解析：由题意知，z＝2＝1＋i.
4.1＋i　
解析：＝＝＝＝2（cos＋isin）＝1＋i.
3 / 3(共55张PPT)
7.3*复数的三角表示
新课程标准解读 核心素养
1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 数学抽象
2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
设复数z＝1＋ i在复平面内对应的点为Z.
【问题】　（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量 ；
（2）记r为向量 的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终
边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z
＝1＋ i的实部、虚部之间的关系.
知识点一　复数的三角形式
1. 定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成
的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始
边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a＋
bi的 . 叫做复数z＝a＋bi的三角
表示式，简称三角形式.
2. 辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通
常记作arg z，即0≤arg z＜2π.
r（ cos θ＋i sin
θ）　
辐角　
r（ cos θ＋i sin θ）　
提醒　辐角和辐角主值的区别与联系：区别：辐角θ是指以x轴的
非负半轴为始边，以复数z所对应的向量 所在射线（射线OZ）
为终边的角，显然辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围
内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个；联系：θ＝2kπ＋
arg z，k∈Z.
知识点二　复数三角形式的乘、除运算
1. 乘法运算法则
设z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2），则z1z2
＝ .
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的 ，积的辐角等
于各复数的辐角的 .
r1r2[ cos （θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]　
积　
和　
2. 除法运算法则
设z1＝r1（ cos θ1＋i sin θ1），z2＝r2（ cos θ2＋i sin θ2），且
z2≠0，则 ＝ 　 [ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]　.
即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得
的 ，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得
的 .
[ cos （θ1－θ2）＋i sin （θ1－θ2）]
商　
差　
1. 复数1＋i的辐角主值为（　　）
解析：因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg（1＋i）＝ .
2. 将复数i对应的向量 绕原点按逆时针方向旋转 ，得到向量
，则 对应的复数是（　　）
解析：　i＝ cos ＋i sin ，将 绕原点按逆时针方向旋转 得
到 对应的复数为 cos ＋i sin ＝－ ＋ i.
3. 计算（ cos π＋i sin π）÷（ cos ＋i sin ）＝ 　－ ＋ i　.
解析：（ cos π＋i sin π）÷（ cos ＋i sin ）＝ cos ＋i sin ＝
－ ＋ i.
－ ＋ i
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数的代数形式化为三角形式
【例1】　将下列复数的代数形式化成三角形式：
（1） ＋i；
解：r＝ ＝2，所以 cos θ＝ ，
因为对应的点在第一象限，所以arg（ ＋i）＝ ，
故 ＋i＝2 .
（2）1－i.
解：r＝ ＝ ，所以 cos θ＝ ，
因为对应的点在第四象限，所以arg（1－i）＝ ，
故1－i＝ .
通性通法
将复数的代数形式转化为三角形式的步骤
（1）求复数的模；
（2）确定辐角所在的象限；
（3）根据象限求出辐角；
（4）求出复数的三角形式.
【跟踪训练】
下列复数是复数三角形式表示的是（　　）
解析：　选项A， cos 与i sin 之间用“－”连接，不是用“＋”连
接；选项B，－ ＜0不符合r≥0的要求；选项C，是i cos π与 sin π用
“＋”连接而不是 cos π＋i sin π的形式.故A、B、C均不是复数的三
角形式.故选D.
题型二 复数的三角形式化为代数形式
【例2】　复数z＝ （ cos ＋i sin ）化为代数形式为（　　）
解析：　z＝ ＝ cos ＋（ sin ）i＝
×（－ ）＋ × i＝－ ＋ i.
通性通法
　　将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数三角形式为z＝r
（ cos A＋i sin A），代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚
部等于虚部，即x＝r cos A，y＝r sin A.
【跟踪训练】
复数 的代数形式为 .
解析： （ cos π＋i sin π）＝ ［ cos （π＋ π）＋i sin （π＋
π）］＝ ＝ （ － i）＝1－i.
1－i
题型三 复数三角形式的乘、除法运算
【例3】　计算：
（1）2 × ；
解：原式＝＝2 ＝－2 i.
（2）6（ cos 160°＋i sin 160°）÷[（ cos 25°＋i sin 25°）].
解：原式＝3 [ cos （160°－25°）＋i sin （160°－25°）]
＝3 （ cos 135°＋i sin 135°）＝3
＝－3＋3i.
通性通法
　　在进行复数三角形式的乘、除法运算时，注意先将复数化为三角
形式，再按法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也
可以用三角形式表示.
【跟踪训练】
计算：2i÷ .
解：2i÷
＝2（ cos 90°＋i sin 90°）÷
＝4（ cos 60°＋i sin 60°）＝2＋2 i.
题型四 复数三角形式乘、除运算的几何意义
【例4】　在复平面内，把复数3－ i对应的向量分别按逆时针和顺
时针方向旋转 ，求所得向量对应的复数.
解：因为3－ i＝2
＝2 .
所以2 ×
＝2
＝2
＝2 ＝3＋ i，
2 ÷
＝2
＝2 ＝－2 i.
故把复数3－ i对应的向量按逆时针方向旋转 得到的复数为3＋
i，按顺时针方向旋转 得到的复数为－2 i.
通性通法
　　两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量 ，
，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就
要把 绕点O按顺时针方向旋转角｜θ2｜），再把它的模变为原来
的r2倍，得到向量 ， 表示的复数就是积z1z2.即z1z2＝r1r2·[ cos
（θ1＋θ2）＋i sin （θ1＋θ2）]，当z1，z2相除时， ＝ ·[ cos （θ1－
θ2）＋i sin （θ1－θ2）].
【跟踪训练】
在复平面内，把与复数 ＋ i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋
转 ，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数.
解： ＋ i＝ ，
由题意得 （ cos ＋i sin ）×2（ cos ＋i sin ）
＝ ×2
＝3 ＝3i，
即与所得向量对应的复数为3i.
1. 复数z＝1＋i（i为虚数单位）的三角形式为（　　）
解析：　依题意得r＝ ＝ ，复数z＝1＋i对应的点在
第一象限，且 cos θ＝ ，因此，arg z＝45°，结合选项知B正确.
故选B.
2. 已知i为虚数单位，z1＝ （ cos 60°＋i sin 60°），z2＝2
（ sin 30°－i cos 30°），则z1·z2＝（　　）
A. 4（ cos 90°＋i sin 90°）
B. 4（ cos 30°＋i sin 30°）
C. 4（ cos 30°－i sin 30°）
D. 4（ cos 0°＋i sin 0°）
解析：　∵z2＝2 （ sin 30°－i cos 30°）＝2 ·（ cos 300°
＋i sin 300°），∴z1·z2＝ （ cos 60°＋i sin 60°）×2
（ cos 300°＋i sin 300°）＝4（ cos 360°＋i sin 360°）.故选D.
3. 若｜z｜＝2，arg z＝ ，则复数z＝ 　1＋ i　.
解析：由题意知，z＝2 ＝1＋ i.
1＋ i
4. 计算 ＝ 　1＋ i　.
解析：
＝
＝ ＝
＝2 ＝1＋ i.
1＋ i
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若a＜0，则a的三角形式为（　　）
A. a（ cos 0＋i sin 0） B. a（ cos π＋i sin π）
C. －a（ cos π＋i sin π） D. －a（ cos π－i sin π）
解析：　因为a＜0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a
（ cos π＋i sin π）.故选C.
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16
2. 复数z＝ －i的三角形式为（　　）
解析：　因为r＝2，所以 cos θ＝ ，因为z＝ －i对应的点在
第四象限，所以arg（ －i）＝ ，故z＝ －i＝2 .
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3. 复数（ sin 10°＋i cos 10°）（ sin 10°＋i cos 10°）的三角形式
是（　　）
A. sin 30°＋i cos 30° B. cos 160°＋i sin 160°
C. cos 30°＋i sin 30° D. sin 160°＋i cos 160°
解析：　（ sin 10°＋i cos 10°）（ sin 10°＋i cos 10°）＝
（ cos 80°＋i sin 80°）（ cos 80°＋i sin 80°）＝ cos 160°＋i
sin 160°.故选B.
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4. 将复数i对应的向量 绕原点按顺时针方向旋转 ，得到向量
，则 对应的复数是（　　）
解析：　i＝ cos ＋i sin ，将 绕原点按顺时针方向旋转 得
到 对应的复数为 cos ＋i sin ＝ ＋ i.
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5. 2÷2（ cos 60°＋i sin 60°）＝（　　）
解析：　2÷2（ cos 60°＋i sin 60°）＝2（ cos 0°＋i sin 0°）
÷[2（ cos 60°＋i sin 60°）]＝ cos （0°－60°）＋i sin （0°－
60°）＝ cos （－60°）＋i sin （－60°）＝ － i.故选B.
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6. （多选）设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2，
则（　　）
A. p q B. p / q
C. q p D. q / p
解析：　当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成
立；当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故
p q，q /p.故选A、D.
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7. 复数 cos ＋i sin 的辐角主值是 　 　.
解析：原式＝ cos ＋i sin ＝ cos ＋i sin ，故其
辐角主值为 .

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8. 计算（ cos 40°＋i sin 40°）÷（ cos 10°＋i sin 10°）＝
.
解析：（ cos 40°＋i sin 40°）÷（ cos 10°＋i sin 10°）＝ cos
（40°－10°）＋i sin （40°－10°）＝ cos 30°＋i sin 30°＝
＋ i.
＋
i
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9. 设z＝1＋i，则复数 的代数形式为 ，三角形式
是 .
解析：将z＝1＋i代入 ，得原式＝ ＝
＝1－i＝ （ cos ＋i sin ）.
1－i

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10. 下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.
（1）－2 ；
解：不是.
－2 ＝2
＝2
＝2 .
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（2） sin ＋i cos .
解：不是.
sin ＋i cos ＝ cos ＋i sin
＝ cos ＋i sin ＝ cos ＋i sin .
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11. 如果θ∈ ，那么复数（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）的辐角主值
是（　　）
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解析：　（1＋i）（ cos θ＋i sin θ）＝ ·（ cos ＋i sin ）
（ cos θ＋i sin θ）＝ ［ cos （θ＋ ）＋i sin （θ＋ ）］，
∵θ∈ ，∴θ＋ ∈ ，∴该复数的辐角主值是θ＋
.故选B.
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12. 复数 cos ＋i sin 经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复
数，则n＝（　　）
A. 3 B. 12
C. 6k－1（k∈Z） D. 6k＋1（k∈Z）
解析：　由题意，得（ cos ＋i sin ）n＝ cos ＋i sin ＝ cos
－i sin ，由复数相等的定义，得解得
＝2kπ－ （k∈Z），∴n＝6k－1（k∈Z）.
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13. 如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别
是 ＋ i和2，则点C所表示的复数为 　2＋ i　.
2＋ i
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解析：∵A，B所表示的复数分别是 ＋ i和2，∴ 所表示的
复数为 － i，把 逆时针旋转60°得到 ， 对应的复数
为（ － i）·（ cos 60°＋i sin 60°）＝ ＋ i，又 ＝
＋ ，∴ 对应的复数为 ＋ i＋ ＋ i＝2＋ i，即点C对
应的复数是2＋ i.
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14. 计算：
（1）2 × ；
解：原式＝2× ［ cos （ ＋ π）＋i sin （ ＋ π）］＝ ＝－ ＋ i.
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（2）2 （ cos －i sin ）÷［ （ cos ＋i sin ）］.
解：原式＝2 ÷
＝2
＝2
＝－2i.
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15. 棣莫弗公式（ cos x＋i sin x）n＝ cos nx＋i sin nx（其中i为虚数单
位）是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）发现的，根据棣莫
弗公式可知，复数（ cos ＋i sin ）2 024在复平面内所对应的点位
于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
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解析：　由棣莫弗公式知，（ cos ＋i sin ）2 024＝ cos ＋i
sin ＝ cos （337π＋ ）＋i sin （337π＋ ）＝ cos （π＋ ）
＋i sin （π＋ ）＝－ － i，∴复数（ cos ＋i sin ）2 024在复平
面内所对应的点的坐标为（－ ，－ ），位于第三象限.故选C.
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16. 设复数z1＝ ＋i，复数z2满足｜z2｜＝2，且z1· 在复平面内对
应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈（0，π），求z2的代数形式.
解：因为z1＝ ＋i＝2 ，
设z2＝2（ cos α＋i sin α），α∈（0，π），
所以z1· ＝2 ×4（ cos 2α＋i sin 2α）＝
8 .
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由题设知2α＋ ＝2kπ＋ （k∈Z），
所以α＝kπ＋ （k∈Z）.
又α∈（0，π），所以α＝ ，
所以z2＝2 ＝－1＋ i.
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