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2025年新八年级数学人教版暑假大讲堂
第九讲 全等三角形的判定一
知识点梳理
知识点1 全等三角形的判定1：边角边（SAS）
三角形全等的判定1：边角边（SAS）
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，．
要点诠释：
条件要求
两个三角形中， 两边及其夹角对应相等 时，这两个三角形全等。需注意：
两边：任意两条边对应相等
夹角：这两条边的公共角（即两边的夹角）必须对应相等
知识点2 利用SAS进行推理证明
①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
要点诠释：
与SSA的区别
两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能判定三角形全等，即不存在反例。
证明步骤
首先确认已知条件中哪两条边及夹角对应相等
通过构造辅助线或利用已知条件推导出第三边或角相等，完成证明
知识点3 利用SAS解决实际问题
实际应用要点
1.条件识别与隐含条件利用
识别题目中明确给出的两边及夹角条件，同时注意公共边、公共角等隐含条件。
2.证明步骤规范
先列出已知条件，明确对应边和夹角；
通过作辅助线（如中线、角平分线）构造全等三角形；
最后得出结论时，需完整书写全等符号及依据。
要点诠释：
常见错误辨析
（1）混淆非夹角条件 ：如SSA（两边及其中一边的对角相等）不能判定全等。
（2）忽略隐含条件 ：公共边、公共角可能简化证明过程，需主动挖掘
题型1 添加条件使两个三角形能利用SAS判定全等
例1．如图AC、BD相交于点O，，用“”证还需( )

A. B. C. D.
识别题目中明确给出的两边及夹角条件，同时注意公共边、公共角等隐含条件。
针对训练1
1．如图，E、B、F、C四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是( )
A. B. C. D.
2．如图,在和中,点B、D、C在同一直线上,已知,,添加以下条件后,仍不能判定的是( )
A. B.
C. D.
3．如图，与相交于点O，，，不添加辅助线，判定的依据是( )
A. B. C. D.
4．如图,已知：,要说明,需添加的条件不能是( )
A. B. C. D.
5．如图，已知，，添加条件( )能使.
A. B. C. D.
题型2 利用SAS判定三角形全等
例2．如图,在的正方形网格中,( )
A. B. C. D.
①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
针对训练2
1．如图,,,.求证：.
2．如图，在和中，，，.
求证：.
3．如图，点E，F在上，.
求证：.
4．如图,点A,F,C,D在一条直线上,,,.求证：.
5．如图,,,.求证：.
题型3 构造图形利用SAS证明线段相等角相等
例3．如图，，，，，点M为BC的中点.试说明：.
首先确认已知条件中哪两条边及夹角对应相等
通过构造辅助线或利用已知条件推导出第三边或角相等，完成证明
针对训练3
1.如图，四边形ABDC中，AB//CD，AB=CD，求证AC//BD，AC=BD
2．如图，在中，两边AB，AC上有两点M，N，D为外一点，且，，，.
（1）猜想线段MN，BM，CN之间的数量关系并说明理由.
（2）若，，求的周长.
3．如图，在正方形ABCD中，若点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且，请写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明.
4．如图,在中,,,是边上的高,点E,F分别在,上,且,当的值最小时,的度数是______°.
题型4 利用SAS解决实际问题
例4．如图，工人师傅要在墙壁上的点处用电钻打孔，要使钻头从墙壁对面的点处打出.已知墙壁厚，点与点的铅直距离长在点处作一直线平行于地面，在直线上截取，过作的垂线，在垂线上截取，连接，然后沿着的方向打孔，就能使钻头正好从点处打出，为什么？
（1）正确区分非夹角条件 ：如SSA（两边及其中一边的对角相等）不能判定全等。
（2）寻找隐含条件 ：公共边、公共角可能简化证明过程，需主动挖掘
针对训练4
1．如图,小聪利用最近学习的全等三角形识,在测量妹妹保温杯的壁厚时,用“x型转动钳”工具按如图方法进行测量,其中,,测得,,则保温杯的壁厚为______.
2．如图，海岸上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A正北方.海岛C，D在观测点A，B所在海岸的同一侧. 如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C，D分别到观测点B，A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗 请说明理由：______.
3．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度.此方案依据的数学定理或基本事实是( )
A.边角边 B.角边角
C.边边边 D.全等三角形的对应角相等
4．某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是( )
A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS
5．综合实践
某学校综合实践活动小组要测池塘两端A,B的距离,小华同学设计出如下方案：
由如图,先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D,使,连接并延长到点E,使,连接,量出的长即为A,B的距离.你认为小华同学设计的方案是否可行？请说明理由.
6．如图，公园有一条“Z”字形道路，其中，在E，M，F处各有一个小石凳，且，M为BC的中点，连接EM，MF.
（1）请问石凳M到石凳E，F的距离ME，MF是否相等.说出理由.
（2）E，F，M三点是否共线？请说明理由.
易错易混诠释
1.混淆“夹角”概念
1．如图,的边AB与的边ED相交于点F,连接CF.已知,,.
(1)求证：；
(2)求证：FC平分.
2．如图，点D在上，，，.求证：.
2.误用“边边角”（SSA）
1．如图，在和中，延长交于F，与互补，，.求证：.
2．如图,在和中,点B,F,C,E在同一直线上,,,,求证：.
3.书写格式不规范
正确格式：需明确写出对应边和角的关系，常见错误：未标明“夹角”或对应关系混乱。
1．如图,点E,F在上,,,,求证：.
2．如图,点D是的边延长线上一点,,,.求证：.
创新拓展能力提升
1．（1）如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，请猜想图中线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想.
（2）如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达经测量得到，米，米，试求两凉亭之间的距离.
2．如图中，，D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE.
(1)如图1，若点D在线段BC上，且，的度数为_________；
(2)设，.
①如图2当点D在线段BC上移动时，求证：；
②当点D在BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？说明理由；
③当点D在CB的延长线上时，直接写出，之间的数量关系：_________.
3．如图，四边形ABCD中，，，，M、N分别为AB、AD上的动点，且.求证：.
2025年新八年级数学人教版暑假大讲堂
第九讲 全等三角形的判定一（解析版）
知识点梳理
知识点1 全等三角形的判定1：边角边（SAS）
三角形全等的判定1：边角边（SAS）
文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，．
要点诠释：
条件要求
两个三角形中， 两边及其夹角对应相等 时，这两个三角形全等。需注意：
两边：任意两条边对应相等
夹角：这两条边的公共角（即两边的夹角）必须对应相等
知识点2 利用SAS进行推理证明
①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
要点诠释：
与SSA的区别
两边及其中一边的对角对应相等（SSA）不能判定三角形全等，即不存在反例。
证明步骤
首先确认已知条件中哪两条边及夹角对应相等
通过构造辅助线或利用已知条件推导出第三边或角相等，完成证明
知识点3 利用SAS解决实际问题
实际应用要点
1.条件识别与隐含条件利用
识别题目中明确给出的两边及夹角条件，同时注意公共边、公共角等隐含条件。
2.证明步骤规范
先列出已知条件，明确对应边和夹角；
通过作辅助线（如中线、角平分线）构造全等三角形；
最后得出结论时，需完整书写全等符号及依据。
要点诠释：
常见错误辨析
（1）混淆非夹角条件 ：如SSA（两边及其中一边的对角相等）不能判定全等。
（2）忽略隐含条件 ：公共边、公共角可能简化证明过程，需主动挖掘
题型1 添加条件使两个三角形能利用SAS判定全等
例1．如图AC、BD相交于点O，，用“”证还需( )

A. B. C. D.
识别题目中明确给出的两边及夹角条件，同时注意公共边、公共角等隐含条件。
答案：C
解析：，，
∴当时，可利用“”判断.
故选：C.
针对训练1
1．如图，E、B、F、C四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A.添加，可得，能证明，故A选项不符合题意；
B.添加，能证明，故B选项不符合题意.
C.添加与原条件，不能证明，故C选项符合题意.
D.添加，能证明，故D选项不符合题意.
故选：C.
2．如图,在和中,点B、D、C在同一直线上,已知,,添加以下条件后,仍不能判定的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：A、,,,由“”能判定,不符合题意；
B、,则,再结合,,由“”能判定,不符合题意；
C、,,,由“”能判定,不符合题意；
D、,,,由“”不能判定,符合题意；
故选：D.
3．如图，与相交于点O，，，不添加辅助线，判定的依据是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：在和中，
，
，
故B正确.
故选：B.
4．如图,已知：,要说明,需添加的条件不能是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵,,
∴补充,可利用得到：,故A不符合题意；
补充,可利用得到：,故B不符合题意；
补充,可利用得到：,故C不符合题意；
补充,不能判定,故D符合题意；
故选D.
5．如图，已知，，添加条件( )能使.
A. B. C. D.
答案：D
解析：添加条件：，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴.
故选：D.
题型2 利用SAS判定三角形全等
例2．如图,在的正方形网格中,( )
A. B. C. D.
①用“SAS”判定两个三角形全等时,必须满足“两边及它们的夹角”这一条件,在书写时,一般按“边角边”的顺序.
②有两边和其中一角对应相等的两个三角形不一定全等
答案：D
解析：如图,
由题意知,在和中,
,
,
,
,
,
故选：D.
针对训练2
1．如图,,,.求证：.
答案：见解析
解析：证明：,
,
即.
在和中,
.
2．如图，在和中，，，.
求证：.
答案：见解析
解析：证明：，
，即，
在和中，
，
.
3．如图，点E，F在上，.
求证：.
答案：详见解析
解析：因为，
所以，，
即，
在和中，
所以，.
4．如图,点A,F,C,D在一条直线上,,,.求证：.
答案：见解析
解析：证明：,
,
即,
在和中,
,
；
5．如图,,,.求证：.
答案：见解析
解析：∵,
∴,
∴,
在与中
∴.
题型3 构造图形利用SAS证明线段相等角相等
例3．如图，，，，，点M为BC的中点.试说明：.
首先确认已知条件中哪两条边及夹角对应相等
通过构造辅助线或利用已知条件推导出第三边或角相等，完成证明
答案：见解析
解析：如图，延长AM至点N，使，连接BN.
因为点M为BC的中点，所以.
在和中，
所以，
所以，，
所以.
因为，所以.
在和中，
所以，所以，
所以.
针对训练3
1.如图，四边形ABDC中，AB//CD，AB=CD，求证AC//BD，AC=BD
答案：见解析
解析：连接AD，∵AB//CD，∴∠BAD=∠CDA
在△ABD和△DCA中， ∴△ABD≌△DCA（SAS）
∴AC=BD
∠ADB =∠DAC ∴AC//BD
2．如图，在中，两边AB，AC上有两点M，N，D为外一点，且，，，.
（1）猜想线段MN，BM，CN之间的数量关系并说明理由.
（2）若，，求的周长.
答案：（1）.理由见解析
（2）15
解析：（1）.理由如下：
延长AB，在AB的延长线上取，连接DE，如图.
因为，，
所以.
又因为，所以.
因为，，，
所以，
所以，.
因为，
所以，
所以.
因为，，，
所以，所以.
因为，
所以.
（2）因为，，，
所以的周长为
.
3．如图，在正方形ABCD中，若点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且，请写出EF，BE，DF之间的数量关系，并证明.
答案：
解析：.
证明：如图，将绕点A顺时针旋转得到.
由旋转可知，，，.
，
，
，
.
，，
，
.
4．如图,在中,,,是边上的高,点E,F分别在,上,且,当的值最小时,的度数是______°.
答案：70
解析：如图所示,过A作,使得,连接GE,
,,
,
又,,
,
,
,
当G,E,C三点共线时,的最小值等于CG的长,
此时,,,即是等腰直角三角形,
,
又中,
故答案为:70°.
题型4 利用SAS解决实际问题
例4．如图，工人师傅要在墙壁上的点处用电钻打孔，要使钻头从墙壁对面的点处打出.已知墙壁厚，点与点的铅直距离长在点处作一直线平行于地面，在直线上截取，过作的垂线，在垂线上截取，连接，然后沿着的方向打孔，就能使钻头正好从点处打出，为什么？
（1）正确区分非夹角条件 ：如SSA（两边及其中一边的对角相等）不能判定全等。
（2）寻找隐含条件 ：公共边、公共角可能简化证明过程，需主动挖掘
答案：见解析
解析：在和中，
，
，
，，
即三点共线，则钻头正好从点处打出.
针对训练4
1．如图,小聪利用最近学习的全等三角形识,在测量妹妹保温杯的壁厚时,用“x型转动钳”工具按如图方法进行测量,其中,,测得,,则保温杯的壁厚为______.
答案：1
解析：在和中,
∴.
∴,
∵,
∴保温杯的壁厚.
故答案为：1.
2．如图，海岸上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A正北方.海岛C，D在观测点A，B所在海岸的同一侧. 如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C，D分别到观测点B，A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗 请说明理由：______.
答案：证明得出，即海岛D在观测点B的正北方
解析：由题意得：，，
海岛C，D分别到观测点B，A的距离相等，
，
在和中，
，
，
，
海岛D在观测点B的正北方，
故答案为：证明得出，即海岛D在观测点B的正北方.
3．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度.此方案依据的数学定理或基本事实是( )
A.边角边 B.角边角
C.边边边 D.全等三角形的对应角相等
答案：A
解析：∵，的中点都是，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：A.
4．某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是( )
A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS
答案：A
解析：O是AB、CD的中点，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
所以，依据是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形对应边相等
故选：A.
5．综合实践
某学校综合实践活动小组要测池塘两端A,B的距离,小华同学设计出如下方案：
由如图,先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D,使,连接并延长到点E,使,连接,量出的长即为A,B的距离.你认为小华同学设计的方案是否可行？请说明理由.
答案：小华同学的方案可行,理由见解析
解析：小华同学的方案可行.
证明：在和中,
小华同学的方案可行.
6．如图，公园有一条“Z”字形道路，其中，在E，M，F处各有一个小石凳，且，M为BC的中点，连接EM，MF.
（1）请问石凳M到石凳E，F的距离ME，MF是否相等.说出理由.
（2）E，F，M三点是否共线？请说明理由.
答案：（1）相等.理由见解析
（2）三点共线.理由见解析
解析：（1）石凳M到石凳E，F的距离ME，MF相等.理由如下：
，.
又M为BC的中点，.
在和中，
，.
即石凳M到石凳E，F的距离ME，MF相等.
（2）E，F，M三点共线.理由如下：
，.
又，
，E，M，F在一条直线上.
易错易混诠释
1.混淆“夹角”概念
1．如图,的边AB与的边ED相交于点F,连接CF.已知,,.
(1)求证：；
(2)求证：FC平分.
答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)∵,
∴,
即,
在与中
,
∴,
∴；
(2)过点C作,,垂足分别为G,H,
∵,
∴,
∵,,
∴,
在与中
,
∴,
∴,
∴FC平分.
2．如图，点D在上，，，.求证：.
答案：见解析
解析：，
，
，
在和中
，
，
.
2.误用“边边角”（SSA）
1．如图，在和中，延长交于F，与互补，，.求证：.
答案：见解析
解析：与互补，
∴由四边形内和，得与互补.
与互补，
.
在和中
，
.
.
2．如图,在和中,点B,F,C,E在同一直线上,,,,求证：.
答案：证明见解析
解析：证明：∵,
∴,
即,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴.
3.书写格式不规范
正确格式：需明确写出对应边和角的关系，常见错误：未标明“夹角”或对应关系混乱。
1．如图,点E,F在上,,,,求证：.
答案：见解析；
解析：证明：∵,
∴,即,
在和中,
,
∴
∴.
2．如图,点D是的边延长线上一点,,,.求证：.
答案：见解析
解析：证明：∵,
∴,
∵,,
∴,
∴.
创新拓展能力提升
1．（1）如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，请猜想图中线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想.
（2）如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达经测量得到，米，米，试求两凉亭之间的距离.
答案：（1）见解析
（2）25米
解析：（1）猜想：，
证明：如图1，延长到点G，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
.
（2）如图2，延长至H，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
米，米，
（米）.
2．如图中，，D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE.
(1)如图1，若点D在线段BC上，且，的度数为_________；
(2)设，.
①如图2当点D在线段BC上移动时，求证：；
②当点D在BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？说明理由；
③当点D在CB的延长线上时，直接写出，之间的数量关系：_________.
答案：(1)；
(2)①见解析；
②成立，理由见解析；
③；
解析：(1)，
，
在与中，
，
，
，
故答案为：；
(2)①证明：，
，
在和中
，
，
，.，
；
②结论仍然成立，如图，
，
，
在和中
，
，
，，
；
③如图，由①同理得，
，
，
，
故答案为：.
3．如图，四边形ABCD中，，，，M、N分别为AB、AD上的动点，且.求证：.
答案：见解析
解析：证明：延长AB至点E，使得，连接CE，
四边形ABCD中，，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
.
典例精讲
名师支招
名师支招
名师支招
C
A
B
D
A
B
C
D
名师支招
典例精讲
名师支招
名师支招
名师支招
C
A
B
D
A
B
C
D
名师支招
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