资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 线段垂直平分线的性质
【知识点01】线段的垂直平分线
1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
示例：若直线l经过线段AB的中点O，且l⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线.
2.尺规作图：作线段的垂直平分线
（1）已知与求作
已知：线段AB（如图）。
求作：线段AB的垂直平分线CD。
（2）作图步骤：
①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
②作直线CD，则直线CD即为线段AB的垂直平分线（如图）。
（3）关键说明
①半径必须大于AB：若半径等于或小于AB，两弧无交点或仅交于一点，无法确定直线；
②交点C、D的位置：分别在AB的两侧，确保直线CD垂直平分AB.
（4）作图原理
由作图可知AC=BC、AD=BD，根据“到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上”，可知C、D两点均在AB的垂直平分线上，因此直线CD即为所求（两点确定一条直线）.
【知识点02】线段的垂直平分线定理
1.定理内容：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
2.符号表示：若直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l上，则PA=PB（如图）。
3.证明过程
已知：如图，直线l垂直平分AB，垂足为O，点P在l上.
求证：PA=PB.
证明：∵l垂直平分AB（已知），
∴AO=BO，∠POA=∠POB=90 （垂直平分线定义）.
在△POA和△POB中：，∴△POA≌△POB（SAS）.
∴PA=PB（全等三角形对应边相等）.
4.应用要点
（1）线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一（无需通过全等三角形，直接利用定理推导）．
（2）同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
总述：【知识体系与学习要点】
1.逻辑关系：
正定理：垂直平分线→距离相等（P在l上→PA=PB）；
逆定理：距离相等→在垂直平分线上（PA=PB→P在l上）.
两者互为逆定理，共同刻画了“垂直平分线”与“到两端点距离相等”的等价关系.
2.易错点：
混淆“垂直平分线”与“垂线”：垂直平分线必须经过线段中点，而垂线只需垂直于线段（不一定过中点）；
尺规作图时半径不足：若半径等于或小于AB，会导致两弧无交点，无法完成作图.
3.学习建议：通过画图对比（如正定理与逆定理的图形差异）、多解例题（如利用定理证明三角形周长关系），加深对定理的理解和应用能力.
考点1 垂直平分线的性质
【典例1】到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三边上高所在直线的交点
【典例2】如图，在四边形中，连接、，，，则有（ ）
A．与互相垂直平分 B．垂直平分
C．垂直平分 D．平分
【变式1】如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为 ．
【变式2】如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3】如图，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
考点2 作图——垂直平分线
【典例1】电信部门要在高速公路n上修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【典例2】如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，已知．
(1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，连接．若的周长为16，，求的周长．
考点3 垂直平分线的应用
【典例1】直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】银川市是著名的“中国葡萄酒之都”，得益于贺兰山东麓的优越气候和土壤条件，形成了世界级的葡萄种植与酿酒产业带．如图，三条公路将闽宁镇、玉泉营、黄羊滩三个核心葡萄种植区连接成三角形区域．当地计划在此区域内建设一个国际葡萄交易中心，要求交易中心到三个种植区的距离相等．这个交易中心应建在（ ）
A．三角形的三条中线的交点处
B．三角形的三条角平分线的交点处
C．三角形的三条垂直平分线的交点处
D．三角形的三条高线的交点处
考点4 垂直平分线中的最值问题
【典例1】如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是
【变式1】如图，在中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为 ．
【变式2】如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
1．通过如下尺规作图，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中、分别垂直平分、．若，则的周长是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤：
（1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M；
（2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线；
（3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接；
（4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接．
根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．的周长等于线段的长
5．如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　）
A．平分 B．
C． D．
6．如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（　　）
A．105° B．100°
C．110° D．140°
7．如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线交于点O．在直线上任取一点P（不与O重合），连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（ ）．
A．①② B．①②③
C．①②④ D．②④
8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长 　 　．
9．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　 　°．
10．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为
11．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ．
12．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接，交于点E．若的周长为21，，则的长为 ．
13．如图，是的中线，于点C，，且，则的长为 ．
14．如图，在中，请用尺规作图法求作一点M，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
15．如图，中，．
(1)尺规作图：过点作，垂足为；作出点关于直线的对称点，并连结（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，求当时，的度数．
16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．
（1）若BC＝9，求△AEG的周长．
（2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数．
17．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求的长．
18．如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧，交于点，连接．
(1)请用尺规作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)若交于点，连接，且，，求的周长．
19．如图，在中，垂直平分，连接，，延长交的延长线于点F，，过点D作于点E，．
(1)请判定与是否相等？为什么？
(2)与互补吗？请说明理由．
20．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与，分别相交于点E和D，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，的周长为，求的周长．
21．如图，在中，D为的中点，，．动点P从点B出发，沿方向以每秒的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是．
(1)在运动过程中，当点C位于线段的垂直平分线上时，求出t的值；
(2)在运动过程中，当时，求出t的值；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
专题05 线段垂直平分线的性质
【知识点01】线段的垂直平分线
1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
示例：若直线l经过线段AB的中点O，且l⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线.
2.尺规作图：作线段的垂直平分线
（1）已知与求作
已知：线段AB（如图）。
求作：线段AB的垂直平分线CD。
（2）作图步骤：
①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
②作直线CD，则直线CD即为线段AB的垂直平分线（如图）。
（3）关键说明
①半径必须大于AB：若半径等于或小于AB，两弧无交点或仅交于一点，无法确定直线；
②交点C、D的位置：分别在AB的两侧，确保直线CD垂直平分AB.
（4）作图原理
由作图可知AC=BC、AD=BD，根据“到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上”，可知C、D两点均在AB的垂直平分线上，因此直线CD即为所求（两点确定一条直线）.
【知识点02】线段的垂直平分线定理
1.定理内容：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
2.符号表示：若直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l上，则PA=PB（如图）。
3.证明过程
已知：如图，直线l垂直平分AB，垂足为O，点P在l上.
求证：PA=PB.
证明：∵l垂直平分AB（已知），
∴AO=BO，∠POA=∠POB=90 （垂直平分线定义）.
在△POA和△POB中：，∴△POA≌△POB（SAS）.
∴PA=PB（全等三角形对应边相等）.
4.应用要点
（1）线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一（无需通过全等三角形，直接利用定理推导）．
（2）同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
总述：【知识体系与学习要点】
1.逻辑关系：
正定理：垂直平分线→距离相等（P在l上→PA=PB）；
逆定理：距离相等→在垂直平分线上（PA=PB→P在l上）.
两者互为逆定理，共同刻画了“垂直平分线”与“到两端点距离相等”的等价关系.
2.易错点：
混淆“垂直平分线”与“垂线”：垂直平分线必须经过线段中点，而垂线只需垂直于线段（不一定过中点）；
尺规作图时半径不足：若半径等于或小于AB，会导致两弧无交点，无法完成作图.
3.学习建议：通过画图对比（如正定理与逆定理的图形差异）、多解例题（如利用定理证明三角形周长关系），加深对定理的理解和应用能力.
考点1 垂直平分线的性质
【典例1】到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三边上高所在直线的交点
【答案】C
【详解】解：∵到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，
∴到三角形各顶点距离相等的点是三条边垂直平分线交点．
故选：C．
【典例2】如图，在四边形中，连接、，，，则有（ ）
A．与互相垂直平分 B．垂直平分
C．垂直平分 D．平分
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴A与C在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴垂直平分，
故B选项符合题意；
由已知条件无法证明平分，平分，
故A、C、D选项不符合题意；
故选：B．
【变式1】如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，进而解答即可．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
故答案为：1．
【变式2】如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周长为，
故选：C．
【变式3】如图，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵为的角平分线，于，于，
∴，故选项A成立，不符合题意；
∴点在的垂直平分线上，，
∵，
∴，
∴，（由全等的性质可得）
∴点在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴，故选项B，C成立，不符合题意；
∵不一定相等，
∴不能确定是否相等，
∴不一定成立，故选项D不一定成立，符合题意；
故选：D．
考点2 作图——垂直平分线
【典例1】电信部门要在高速公路n上修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，作线段垂直平分线交n于点P即可．
【详解】解：如图，点P即为所求，
【典例2】如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由作图可知直线是线段的垂直平分线，进而由线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线，
∴，
故选：．
【变式1】如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由作图可知：平分，由线段垂直平分线的性质得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：由作图可知：平分，
∴，
∴，
∴，
故选：B
【变式2】如图，已知．
(1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，连接．若的周长为16，，求的周长．
【答案】(1)见详解(2)
【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质．
（1）利用基本作图作出的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到，然后计算的周长．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：垂直平分，
，，
∴
的周长为，
即，
，
即，
的周长为．
考点3 垂直平分线的应用
【典例1】直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用．这类问题的解答依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”．利用线段垂直平分线的性质可求解．
【详解】解：连接，作的垂直平分线交直线l于点M，
故选：C．
【变式1】银川市是著名的“中国葡萄酒之都”，得益于贺兰山东麓的优越气候和土壤条件，形成了世界级的葡萄种植与酿酒产业带．如图，三条公路将闽宁镇、玉泉营、黄羊滩三个核心葡萄种植区连接成三角形区域．当地计划在此区域内建设一个国际葡萄交易中心，要求交易中心到三个种植区的距离相等．这个交易中心应建在（ ）
A．三角形的三条中线的交点处
B．三角形的三条角平分线的交点处
C．三角形的三条垂直平分线的交点处
D．三角形的三条高线的交点处
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，根据线段垂直平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且交易中心到到三个种植区的距离相等，
∴这个交易中心应建在三角形的三条垂直平分线的交点处．
故选：C．
考点4 垂直平分线中的最值问题
【典例1】如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是
【答案】6
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵是的垂直平分线，
∴，
根据两点之间线段最短知，，其值最小，
所以的最小值即为的长，
所以的最小值为6．
故答案为：6．
【变式1】如图，在中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点间线段最短原理，熟练掌握线段最短原理是解题的关键．根据直线m是中边的垂直平分线，得到点B与点C关于直线m对称，故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值，此时的周长的最小值为，代入计算即可．
【详解】解∶ 因为直线m是中边的垂直平分线，
所以点B与点C关于直线m对称，
故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值，
所以的周长的最小值为，
因为，
所以的周长的最小值为．
故答案为：4．
【变式2】如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可．
【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，如图：
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当点E在点处时，最小，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即当的值最小时，的度数为．
故选：C．
1．通过如下尺规作图，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质，尺规作图：作线段的垂直平分线．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可判断．
【详解】解：当点D在线段的垂直平分线上时，，尺规作图是作线段垂直平分线的是C中的图形．
故选：C．
2．如图，在中、分别垂直平分、．若，则的周长是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂直平分线的性质，熟记垂直平分线性质是解决问题的关键．由、分别垂直平分、，得到，再由的周长表示出来即可得到答案．
【详解】解：、分别垂直平分、，
，
，
故选：A
3．如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式可得，然后根据等量代换即可得．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
4．如图，点D是线段上一点，阅读以下作图步骤：
（1）以点D为圆心，长为半径作弧，交于点M；
（2）分别以B，M为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点N，作射线；
（3）以D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连接；
（4）连接，分别以E，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于F，连接．
根据以上作图步骤，判断下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．的周长等于线段的长
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图、垂直平分线的性质，熟练掌握尺规作垂线的步骤是解题的关键．根据作图步骤可得，，点F在的垂直平分线上，得到，的周长，再结合选项分析即可得出答案．
【详解】解：由步骤（1）（2）可得，
由步骤（3）可得，
由步骤（4）可得点F在的垂直平分线上，则，
∴的周长，
由作图步骤无法判断，
结合选项可得，A、B、D选项的结论正确，不符合题意；C选项的结论不一定正确，符合题意；
故选：C．
5．如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　）
A．平分 B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的任一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．
由题中折叠可知，为线段的垂直平分线，可得到，即可求解．
【详解】解：由题中折叠可知，为线段的垂直平分线，
，故C正确，符合题意，
其余选项均不能证明，不符合题意，
故选：C．
6．如图所示，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE＝40°，则∠BAC＝（　　）
A．105° B．100°
C．110° D．140°
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DB，AE＝EC，从而可得∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，然后利用三角形内角和定理可得2∠BAD+2∠EAC＝180°﹣∠DAE，进行计算即可解答．
【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD＝DB，AE＝EC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠B+∠BAD+∠DAE+∠EAC+∠C＝180°，
∵∠DAE＝40°，
∴2∠BAD+2∠EAC＝180°﹣∠DAE，
∴∠BAD+∠EAC＝70°，
∴∠BAC＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
7．如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线交于点O．在直线上任取一点P（不与O重合），连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（ ）．
A．①② B．①②③
C．①②④ D．②④
【答案】C
【分析】根据基本作图，得到直线是线段的垂直平分线，解答即可．
本题考查了线段垂直平分线的基本作图和性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键．
【详解】解：根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线，
故①成立；②成立；③不成立；④成立．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长 　 　．
【答案】6．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝AE＝4，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB＝AE＝4，
∴BC＝BE+EC＝4+2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线DE交BC于点E，交AC于点D，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　 　°．
【答案】24．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠C，根据三角形内角和定理列式计算即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠FAE＝19°，
∴∠FAC＝∠C+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠FAC＝∠C+19°，
则∠C+19°+∠C+19°+∠C+70°＝180°，
解得：∠C＝24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
10．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若， ，则的周长为
【答案】32
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．连结，设，根据线段垂直平分线的性质可逐步求得，，，再计算，即可求得答案．
【详解】解：连结，
设，则，，
垂直平分，
，，
，，
，
，
的周长为．
故答案为：32．
11．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，则可得到周长，当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4，据此可得答案．
【详解】解；如图所示，连接，
∵垂直平分线段，是直线上的任意一点，
∴，
∵，
∴周长，
∵，
∴当A、P、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为4，
∴周长的最小值为，
故答案为：6．
12．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接，交于点E．若的周长为21，，则的长为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可
【详解】解：根据尺规作图可知，垂直平分线段
∵的周长为21，
故答案为：12．
13．如图，是的中线，于点C，，且，则的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
延长交的延长线于点F，证明，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，
∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：8
14．如图，在中，请用尺规作图法求作一点M，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】本题考查作图一应用与设计作图，作线段的垂直平分线和过一点作已知直线的垂线，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
过点A作，作垂直平分，交于点M即可．
【详解】解：如图，点M即为所求，
15．如图，中，．
(1)尺规作图：过点作，垂足为；作出点关于直线的对称点，并连结（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，求当时，的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查作垂线、三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据垂线的作图方法作出即可；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连结即可．
（2）结合题意可得，根据，可得．再根据，可得，即，则，进而可得．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连结，
则点即为所求．
（2）点与点关于直线对称，
垂直平分线段，
，
．
，
．
，
，
，
，
．
16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．
（1）若BC＝9，求△AEG的周长．
（2）若∠BAC＝130°，求∠EAG的度数．
【答案】（1）9；（2）80°．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝50°，根据等腰三角形的性质得到∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝50°，计算即可．
【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∴△AEG的周长＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝9；
（2）∵∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝50°，
∴∠EAG＝130°﹣50°＝80°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．
（1）由垂直平分线的性质可得，，即可得到结论；
（2）由题意可得，再结合，求解即可．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴
．
18．如图，在中，，以点为圆心，以为半径作弧，交于点，连接．
(1)请用尺规作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)若交于点，连接，且，，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了画垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键；
（1）根据题意作线段的垂直平分线，即可求解；
（2）根据作图可得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据三角形的周长公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求．
（2）解：因为以点为圆心，以为半径作弧，交于点，所以．
因为垂直平分，所以．
所以的周长为．
19．如图，在中，垂直平分，连接，，延长交的延长线于点F，，过点D作于点E，．
(1)请判定与是否相等？为什么？
(2)与互补吗？请说明理由．
【答案】(1)，见解析(2)与互补，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，证明是解题的关键。
（1）由线段垂直平分线的性质得到，再证明，则可证明．
（2）由全等三角形的性质可得，由平角的定义可得，则，即与互补．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：与互补，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，即与互补．
20．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与，分别相交于点E和D，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，的周长为，求的周长．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了尺规作图作垂直平分线，线段的加减计算．
（1）由作法可知垂直平分，即，进而计算即可；
（2）由题意可知，，进而可知．
【详解】（1）解：由作法可知垂直平分，
所以，
所以，
因为，
所以；
（2）由作法可知垂直平分，
所以，
因为的周长为，
即，
所以
即
所以的周长为．
21．如图，在中，D为的中点，，．动点P从点B出发，沿方向以每秒的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是．
(1)在运动过程中，当点C位于线段的垂直平分线上时，求出t的值；
(2)在运动过程中，当时，求出t的值；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)不存在，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，据此列出方程求解即可；
（2）根据时，，建立方程求解即可；
（3）根据时，，，建立方程求解即可说明．
【详解】（1）解：由题意得，则，
当点C位于线段的垂直平分线上时，，
∴，解得，
则当时，点C位于线段的垂直平分线上；
（2）解：∵D为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴当时，；
（3）解：不存在，理由如下：
∵，
∴，，
则，，
解得，，，
∵，
∴不存在某一时刻t，使．

展开更多......

收起↑