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第十章　复 数
【考试内容】
1.复平面内复数的几何意义,复数的模,复数的实部、虚部,共轭复数,两个复数相等的条件.
2.复数代数形式的加法、减法和乘法运算,复数加法和减法运算的几何意义.
3.在复数范围内求解实系数一元二次方程.
【考纲要求】
1.理解虚数单位和复数的概念;了解复数的代数形式与复数的几何意义;理解共轭复数,初步掌握两个复数相等的条件.
2.理解复数代数形式的加法、减法和乘法运算;了解复数加法和减法运算的几何意义.
3.在复数范围内,了解实系数一元二次方程的解法.
【知识结构】
【五年分析】
　2025年考查了复数的加法、减法及乘法运算,是以往没有考查过的.备考过程中要注意覆盖课程标准的要求,未来很大可能会继续考查复数的相关知识.
考点 年份
2021 2022 2023 2024 2025
复数的概念及几何意义
复数的加法、减法及乘法运算 T5
实系数一元二次方程的解法
总分值 0 0 0 0 5
§10.1　复数的概念和意义
【复习目标】
1.理解虚数单位和复数的有关概念.
2.知道复平面内复数的几何意义,会求复数的模,会求复数的实部、虚部.
3.理解共轭复数.
4.初步掌握两个复数相等的条件.
【知识回顾】
1.虚数单位i
i称为虚数单位,满足i2=-1.
2.复数的定义
形如a+bi(a,b∈R)的数称为复数,其中a称为复数的实部,b称为复数的虚部.复数通常用小写英文字母z、w…来表示,如z=a+bi.全体复数构成的集合称为复数集,用C表示,即C={z|z=a+bi,a,b∈R}.
3.复数的分类
(1)当b=0时,复数a+bi就是实数;
(2)当b≠0时,复数a+bi称为虚数;
(3)当a=0且b≠0时,复数bi称为纯虚数.
4.相等复数
如果两个复数a+bi与c+di的实部与虚部分别相等,那么称这两个复数相等.
记作a+bi=c+di.
即:如果a、b、c、d都是实数,那么a+bi=c+di a=c且b=d.
特别地,a+bi=0 a=0且b=0.
【例题精解】
【例1】　指出下列复数的实部与虚部.
(1)2; (2)3+i; (3)-2i; (4)0.
【解】　　(1)复数2的实部是2,虚部是0;
(2)复数3+i的实部是3,虚部是1;
(3)复数-2i的实部是0,虚部是-2;
(4)复数0的实部是0,虚部是0.
【点评】　根据复数的有关概念即可求解.
【对点练习1】　复数-2+i的实部与虚部分别是 (　　)
A.-2,1 B.1,-2 C.-2,-1 D.-1,-2
【答案】　A
【例2】　已知复数z=(x2-2x)+(x+1)i,求满足下列条件的实数x的值.
(1)z是实数;
(2)z是虚数;
(3)z是纯虚数;
【点评】　把握复数分类的要点是解题的关键.对于复数z=a+bi,(1)z是实数 b=0;(2)z是虚数 b≠0;(3)z是纯虚数 a=0,b≠0.
【对点练习2】　已知复数z=(x2-4x+3)+(x-3)i是纯虚数,求实数x的值.
【例3】　求满足下列条件的实数a和b.
(1)(a+2b)+3i=1+(a-2b)i;
(2)(a+b-3)+(a-b+1)i=0.
【点评】　复数相等的充要条件是实部对应相等,虚部也对应相等.
【对点练习3】　求满足下列条件的实数a和b.
(1)(3a-2b)-(a+2b)i=3-6i;
(2)(2a+1)+(b-1)i=0.
【例4】　已知复数z=(x-1)+(x+2)i在复平面内对应的点位于第二象限,求实数x的取值范围.
【点评】　将点的位置转化为实部和虚部应该满足的条件即可求解.
【对点练习4】　已知复数z=-1-3i,则复数z在复平面内对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】 C
【解析】　z=-1-3i在复平面内对应的点为(-1,-3).
【例5】　　求下列各复数的模.
(1)4+3i; (2)3-i; (3)-i; (4)3.
【仿真训练】
一、选择题
1.复数1+i的实部与虚部分别是 (　　)
A.0,0 B.0,1 C.1,1 D.1,0
【答案】　C
2.下列复数是纯虚数的是 (　　)
A.2+3i B.0 C.-5i D.1-i
【答案】 C
【答案】　B
4.若复数z=(m+1)+(2-m)i为纯虚数,则实数m的值为 (　　)
A.-1 B.2 C.-1或2 D.0
【答案】　A
5.若复数3+mi与复数-n+2i相等,则m+n= (　　)
A.1 B.-1 C.3 D.5
【答案】　B
【答案】　D
7.在复平面内,复数z=3+i对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.复数z=-3+2i在复平面对应的点的坐标为 (　　)
A.(2,-3) B.(2,3) C.(-3,2) D.(3,2)
11.已知复数z=(m+1)+(m-1)i(i为虚数单位,m∈R)在复平面内对应的点在第四象限,则m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,+ ∞)
C.(-1,1) D.[-1,1]
二、填空题
12.复数1-2i的虚部是　　　　　.
14.若复数z=(a2-a)+ai是纯虚数,则a=　　　　　.
15.若z=(x+1)+(x2+3x+2)i是实数,则x=　　　　　.
17.若复数z的模为5,虚部为4,则z=　　　　　.

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