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吉林省长春市二道区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、单选题
1．下列式子中是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．“白日不到处，青春恰自来；苔花如米小，也学牡丹开．”是清代袁枚的诗．“苔花”很可能是苔类孢子体的孢蒴，其直径约为米，将数据用科学记数法表示为，则n的值是（　　）
A．6 B．5 C． D．
3．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，的对角线，相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
5．点在函数的图象上，则代数式的值等于（ ）
A． B． C．3 D．5
6．一组数据：0，1，2，2，5，若添加一个数据2，则下列刻画数据的指标发生变化的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．如图，延长正方形边至点E，使，则为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C．若菱形的面积为30，则k的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
二、填空题
9．计算： ．
10．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
11．已知函数（m是常数），当y随x的增大而增大时，m的取值范围是 ．
12．如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的方程的解为 ．
13．E、F为边上的点，与相交于点P，、相交于点Q，若，则阴影部分的面积为 ．
14．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点H，连结并延长，交于点F，连结给出下列结论：
①；
②；
③的面积是矩形面积的；
④；
⑤
其中正确的有 ．
三、解答题
15．解方程：；
16．先化简，再求值：，其中
17．某公司现要装配30台机器,在装配好6台以后，采用了新的技术,每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务，问原来每天装配机器有多少台？
18． 已知：在四边形中，是边的中点，、互相平分并交于点O，求证：四边形是平行四边形．
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
(1)在图①中以为对角线作一个面积为4的平行四边形；
(2)在图②中以为对角线作一个面积为6的矩形；
(3)在图③中以为对角线作正方形．
20．某校为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从七、八两个年级各随机抽取名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．七年级名学生成绩的频数分布统计表如下．
成绩
学生人数
．七年级成绩在这一组的是：
．七、八两个年级成绩的平均分、中位数、众数和方差如下．
年级 平均分 中位数 众数 方差
七
八
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属年级排在前名，由表中数据可知该学生是
年级的学生．（填“七”或“八”）
（3）根据以上信息，你认为七、八两个年级中，哪个年级学生了解垃圾分类知识的情况较好，请说明理由．
21．某电动汽车搭载了一个由两块不同容量的电池组成的电池包，其中A型号电池容量小，充电速度快，每小时充电20千瓦时；B型号电池容量大，充电速度慢．该电动汽车在充电过程中始终先充A型号电池，当A型号电池充满后再充B型号电池．该电动汽车电池包的电量千瓦时与充电的时间小时之间的函数图象如图所示．
(1)型号电池的容量为___________千瓦时；
(2)当时，求y与x之间的函数关系式；
(3)求该电动汽车充电过程中，电池包整体容量从5千瓦时到45千瓦时所需时间．
22．【问题原型】如图①，在菱形中，点E是边上一点，点F是对角线上一点，，试探究的最小值．
【问题探究】如图②，小明首先过点C作，使，，利用平行线的性质可得到，进而可利用，将转化为，这样就将问题转化为寻找点E位置的问题．
以下是小明证明的部分过程：
证明：过点C作CM，使，，连结
四边形是菱形，
证明过程缺失
请你补全缺失的证明过程．
【解决问题】结合上述探究过程，用无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点E的位置，使的值最小，此时的最小值是___________保留作图痕迹
23．如图，在矩形中，，点M为边中点，动点P从点A开始，在折线上以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为直角边，在右侧作等腰直角，使，设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P在边上运动不与点D重合时，则的长度为___________；用含t的代数式表示
(2)当点P在边上运动时，求证：点Q到直线的距离始终不变；
(3)当点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍时，求t的值；
(4)连接，当时，直接写出t的值．
24．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点,直线经过点，点P在直线上,横坐标为m；点M的坐标为,当点P和点M的横坐标不相同时，以PM为对角线构造矩形，其中轴．
(1)求该直线的函数表达式；
(2)证明：矩形的边的长恒为3；
(3)当矩形为正方形时，求点P的坐标；
(4)当直线将矩形的面积分成两部分时，直接写出m的值．
参考答案
1．C
解：A、中分母不含有字母，故不是分式，不符合题意；
B、中分母不含有字母，故不是分式，不符合题意；
C、是分式，符合题意；
D、中分母不含有字母，故不是分式，不符合题意；
故选：C．
2．D
解：，
等于．
故选：D．
3．A
解：手盖住的点在第二象限，所以点的坐标可能为，
故选：A
4．B
平行四边形对边平行且相等，错误，不符合题意；
平行四边形对角线互相平分，正确，符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，错误，不符合题意．
故选：．
5．D
解：∵点在函数的图象上，
∴，即，
则，
故选：D．
6．D
解：原数据：0，1，2，2，5
新数据：0，1，2，2，2，5
平均数：原数据：
新数据：
结论：平均数未变，选项A错误．
中位数：原数据排序后中间数为第3个：2
新数据排序后中间数为第3、4个的平均值：
结论：中位数未变，选项B错误．
众数：原数据中2出现次数最多（2次）
新数据中2出现次数最多（3次）
结论：众数仍为2，选项C错误．
方差：原数据方差：
新数据方差：
结论：方差变小，选项D正确．
故选：D．
7．A
解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，且，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
8．B
解：设点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为，
∵点D是的中，
∴点D的坐标为，
∵菱形的面积为30，
∴， 即
∵点D在抛物线上，
∴，即，
∴将代入可得：，解得：．
故选B．
9．1
解：，
故答案为：．
10．
解：若分式有意义，
则，
即．
故答案为：．
11．
解：函数（m是常数），y随x的增大而增大，
，
，
故答案为：
12．
解：一次函数与的图象交于点，
即时，，
关于x的方程的解为
故答案为：
13．
解：如图：连接，
与同底等高，
，
即，
即，
同理可得，
阴影部分的面积为
故答案为：
14．①②⑤
解：①四边形是矩形，
∴，
的平分线交于点E，
，
∵，
是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
故结论①正确；
②在中，，
∴，
∴，
故结论②正确；
③，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故结论③不正确；
④∵于点H，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故结论④不正确，
⑤∵于点H，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
，
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
15．
解：
原方程去分母，得，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
经检验，是原方程的解；
16．，
解：
，
当时，原式．
17．6台
解：设原来每天装配机器x台，依题意得：
解这个方程得：
经检验：是原方程的解
答：原来每天装配机器6台．
18．证明详见解析．
连接，
∵、互相平分并交于点O，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵是边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
19．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
（1）如图所示：平行四边形即为所求；
（2）如图所示：矩形即为所求；
（3）如图所示：正方形即为所求；
20．（1）73.5；（2）七；（3）八年级，理由见详解.
解：（1）因为七年级共有40名学生，处于中间位置的成绩为第20和21个数，由频数分布图及这一组的成绩可知第20和21个成绩分别为73和74，所以中位数；
（2）因为七年级的中位数为73.5分，八年级的中位数为75分，且该学生的成绩是分，所属年级排在前名，即该学生的成绩大于中位数，所以该学生是七年级的学生；
（3）从平均分来看，七、八年级的平均分相同；从中位数来看，八年级的中位数大于七年级的中位数，八年级成绩高的人数多于七年级；从方差来看，八年级的方差小于七年级的方差，八年级的成绩比七年级稳定，综上可知，八年级学生了解垃圾分类知识的情况较好.
21．(1)20
(2)
(3)小时
（1）解：由题意，结合图象，在充电过程中始终先充A型号电池，且每小时充电20千瓦时，
，
故答案为：；
（2）解：由题意，当时，设y与x之间的函数关系式为，
又图象过，，
，
解得，
当时， y与x之间的函数关系式为；
（3）解：由题意，结合（2）得，当时， y与x之间的函数关系式为，
令，则，
，
又当时，每小时充电20千瓦时，
充电5千瓦时的时间，
，
该电动汽车充电过程中，电池包整体容量从5千瓦时到45千瓦时所需时间为小时．
22．【问题探究】见解析，【解决问题】图见解析，最小值
问题探究:
证明过程补全如下：，
，
，
，
解决问题:
连接交于点O，由作图知即为的最小值．
，四边形是菱形，
是等边三角形，，
，
，
，
，
故答案为：
作图如下：
23．(1)
(2)见解析
(3)
(4)或
（1）解：，由题意，点的运动的路程为，
，
故答案为：；
（2）如图1，
是的中点，，
，
作于E，
，
，
四边形是矩形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
当点P在边上运动时，点Q到直线的距离始终不变；
（3）解：如图2，
由知，
当点P在时，Q到的距离是3，到的距离是1，不符合题意，
∴点P在上，
作于F，作于E，
点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍，
，
由知，
，
，
，
点运动的路程是，
；
（4）如图3，
当点P在上时，作，交于F，
由知，
，
，
，
，
，
如图4，
当点P在上，作于W，作于V，作于G，
由知，
，
，
，
，
，
点P运动的路程是，
，
综上所述：或
24．(1)
(2)见解析
(3)或
(4)4或
（1）解：将点代入，
，
解得，
；
（2）证明：四边形是矩形，轴，
∴轴，轴，
∵，
，
；
（3）解：矩形为正方形，
，
，
解得或，
或；
（4）解：设直线与矩形的另一交点为点，
当点在上时，
∵直线将矩形的面积分成两部分，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴点为中点，
∴，即，
代入，得，
解得；
当点在上时，
同理得点为中点，
∴，即，
代入，得，
解得；
综上所述：或时，直线将矩形的面积分成两部分．

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