资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
苏科版八年级数学上册第3章《勾股定理》单元达标测试卷（解析版）
一、选择题：
1．如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
那么这棵树折断之前的高度是（ ）

A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【答案】D
【分析】由题意得：在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】∵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为5，
∴折断前高度为5+3=8（米）．
故选：D．
若的三边长为，，，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C．：：：： D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和解答即可．
【详解】解：A、因为，所以不为直角三角形，说法符合题意；
B、因为，,所以，为直角三角形，说法不符合题意；
C、因为：：：：，,所以，为直角三角形，说法不符合题意；
D、因为，所以，为直角三角形，说法不符合题意；
故选：A．
3 . 如图，，且，，，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求得的长，再依次利用勾股定理求得、的长即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
如图，一圆柱高8cm，底面周长是12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，
要爬行的最短路程是（ ）
A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm
【答案】D
【分析】将圆柱展开，然后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，将圆柱展开：
∵圆柱高8cm，底面周长为12cm，
∴BC＝8cm，AC＝6cm，
根据勾股定理得：AB＝＝10（cm），
即爬行的最短路程是10cm，
故选：D．
如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，
顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，
则小巷的宽度为（ ）
A．米 B．米 C．2米 D．米
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度.
【详解】
由题意可得：，
在中，
，米，，
，
，
，
，
小巷的宽度为（米）.
故选
6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14，c＝10，则△ABC的面积为（ ）
A．48 B．24 C．96 D．20
【答案】B
【详解】因为在Rt△ABC中,∠C＝90°,
根据勾股定理可得:,
因为c＝10,
所以,
又因为a＋b＝14,
所以,即,
所以:,即,
根据直角三角形面积公式可得,即.
故选B.
7 .如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是1和2，
则正方形的面积是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、余角的性质、勾股定理、正方形的性质，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的性质与判定．
首先根据题意，利用判定出，然后再利用全等三角形的性质，得出，，然后再根据勾股定理得出，即可得出正方形的面积．
【详解】解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴，，
根据勾股定理，可得：，
∴，
∴正方形的面积．
故选：B．
如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，
则的面积为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了折叠问题，三角形的面积，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
首先根据折叠的性质得到，设，则，然后在中利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴的面积为．
故选：C．
二、填空题：
9． 如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，
其实他们仅仅少走了 步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）．
【答案】
【分析】根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意得，“路”的长度，即步，
是步，是步，共步，
∴少走了步，
故答案为：步．
10．如图，在中，．，则正方形和正方形的面积差为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理的知识，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．由勾股定理可求出的值，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴正方形和正方形的面积差为．
故答案为：．
11．如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD= .
【答案】13
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理求出AD的长．
【详解】在直角三角形ABC中，AC=4，BC=3
根据勾股定理，得AB==5
在Rt△ABD中，BD=12
根据勾股定理，得AD==13.故答案为13
12 .一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，则木板的面积为_________
【答案】24
【详解】解：连接AC．
在△ABC中，∵AB=4，BC=3，∠B=90°，
∴AC=5．在△ACD中，∵AC=5，DC=12，AD=13，
∴DC2+AC2=122+52=169，AD2=132=169，
∴DC2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，AD为斜边，
∴木板的面积为：S△ACD﹣S△ABC=×5×12﹣×3×4=24．
故答案为：24
如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=12km，AC=5km，BC=13km，
要从A修一条公路AD直达BC，已知公路的造价为26000元/km，
求这条公路的最低造价是多少万元？
【答案】最低造价为120000元．
【分析】首先得出AB2+AC2=122+52=169，BC2=132=169，然后利用其逆定理得到∠A=90°确定最短距离，然后利用面积相等求得AD的长，最终求得最低造价．
【详解】解：∵AB2+AC2=122+52=169，
BC2=132=169，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠A=90°，
当AD⊥BC时AD最短，造价最低,
故过A点作AD⊥BC，垂足为D，如图，
∵S△ABC=AB AC=BC AD，
∴AD=km
∴×26000=120000元．
故最低造价为120000元．
14 . 如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面周长为30，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，
沿圆柱表面爬到与相对的上底面点，则蚂蚁爬的最短路线长约为 ．
【答案】25
【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点A，B的最短距离为线段AB的长，
由上图可知：，，
∴为最短路径．
则蚂蚁爬的最短路线长约为25．
故答案为：25．
荡秋千(图1)是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 有一天，赵彬在公园里游玩，
如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推送
(水平距离 )时，秋千的踏板离地的垂直高度，
秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长度是_______．

【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．由勾股定理得出方程是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
设绳索的长度为，则，
∴，
解得：，
答：绳索的长度是．
被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①示的大正方形，
中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，，斜边长为c．
将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．
若该图形的周长为48，，则该图形的面积 ．

【答案】96
【分析】设，则，根据勾股定理得，代入数值得，求出x即可解决问题．
【详解】解：由题意得，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴
∴该图形的面积为，
故答案为：96．
三、解答题：
17．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，
当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高.
【答案】12m
【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【详解】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中，
∴
解得x＝12
∴AB＝12
∴旗杆的高12m.
18．如图，在中，，垂足为D，，，，求AC的长.
【答案】10
【分析】由△ABC的面积求出BC，得出CD，由勾股定理求出AC即可．
【详解】解：∵,
∴,
即，∴，
∵，
∴，
.
19 .如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．
【答案】AD=．
【分析】连接AC．在Rt△ABC中，由勾股定理求出．在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD的长即可．
【详解】解：连接AC．
∵∠B=90°，
∴．
∵AB=BC=2，
∴
∵∠D=90°，
∴．
∵CD=1，
∴，
∴．
20.如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知AB=8cm，BC=10cm，求的长
【答案】
【分析】根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8-x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42=(8-x)2，然后解方程即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF=(cm)，
∴FC=BC-BF=4(cm)，
设EC=，则DE=，EF=，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，
∴EC的长为．
21.一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】（1）AC=25米，BC=7米，根据勾股定理即可求得的长；
（2）由题意得： =20米，根据勾股定理求得，根据即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°，
（米）
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得： =20米，
（米）
则：=15-7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，
他们进行了如下操作：
①测得的长为15米（注：）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
求风筝的高度．
过点D作，垂足为H，求的长度．
【答案】(1)风筝的高度为21.7米
(2)的长度为9米
【分析】（1）在中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可；
（2）利用等积法求出DH的长，再在中由勾股定理即可求得BH的长．
【详解】（1）在中，由勾股定理，得：
（米），
所以（米），
答：风筝的高度为21.7米．
（2）由等积法知：，
解得：（米）．
在中，（米），
答：的长度为9米．
23.如图，在中，，，，D为上的一点，
将沿折叠，使点C恰好落在上的点E处．
(1)求的长．
(2)求的长．
【答案】(1)AC的长为；
(2)的长为2.5cm
【分析】（1）直接根据勾股定理求出的长即可；
（2）根据折叠的性质和勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，．
由勾股定理得AC=4，
∴AC的长为；
（2）解：∵，，
由折叠可知，，，
∵，
∴．
设，
∵，
∴．
在中，，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的长为．
如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，
思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，
另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋（b－a）2，
从而得到等式c2＝ab×4＋（b－a）2，化简便得结论a2＋b2＝c2．
这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
现在，请你用“双求法”解决下面两个问题：
(1)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．
(2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
【答案】(1)CD＝
(2)
【分析】（1）根据勾股定理先求出AB，再根据“双求法”求出CD的长度；
（2）在Rt△ABD和Rt△ADC中，分别利用勾股定理表示出，然后得到关于x的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，AB＝，
由面积的两种算法可得：，
解得：CD＝；
（2）在Rt△ABD中，，
在Rt△ADC中，，
所以，
解得：．
25．课本再现
如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，
它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

方法探究
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，
依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，
点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______．
方法应用
如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，
绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．
如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．
在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，
蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）
【答案】（1）15；（2）（3）
【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图．
（1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可．
（2）根据绕两圈到B，则展开后相当于求出的斜边长，并且，根据勾股定理求出即可．
（3）将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
由题意得：.
在中，由勾股定理得：，
所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是
故答案为：15．
（2）如图所示，
∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，
∴展开后
由勾股定理得：，
所以彩条的最短长度是．
（3）展开玻璃杯的侧面，如图，
作点A关于的对称点，连接，作于点C，则
，，，．
在中，，
所以蚂蚁爬行的最短路径长为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
苏科版八年级数学上册第3章《勾股定理》单元达标测试卷
一、选择题：
1． 如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
那么这棵树折断之前的高度是（ ）

A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
若的三边长为，，，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C．：：：： D．
3 . 如图，，且，，，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
如图，一圆柱高8cm，底面周长是12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，
要爬行的最短路程是（ ）
A．20cm B．24cm C．14cm D．10cm
如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，
顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，
则小巷的宽度为（ ）
A．米 B．米 C．2米 D．米
6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14，c＝10，则△ABC的面积为（ ）
A．48 B．24 C．96 D．20
7 .如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是1和2，
则正方形的面积是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，
则的面积为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．12
二、填空题：
9． 如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，
其实他们仅仅少走了 步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）．
10．如图，在中，．，则正方形和正方形的面积差为 ．
11．如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD= .
12 .一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，则木板的面积为_________
如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=12km，AC=5km，BC=13km，
要从A修一条公路AD直达BC，已知公路的造价为26000元/km，
求这条公路的最低造价是多少万元？
14 . 如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面周长为30，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，
沿圆柱表面爬到与相对的上底面点，则蚂蚁爬的最短路线长约为 ．
荡秋千(图1)是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 有一天，赵彬在公园里游玩，
如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推送
(水平距离 )时，秋千的踏板离地的垂直高度，
秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长度是_______．

被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①示的大正方形，
中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，，斜边长为c．
将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．
若该图形的周长为48，，则该图形的面积 ．

三、解答题：
17．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，
当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高.
18．如图，在中，，垂足为D，，，，求AC的长.
19 . 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．
20.如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知AB=8cm，BC=10cm，求的长
一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
这个梯子的顶端距地面有多高？
如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，
他们进行了如下操作：
①测得的长为15米（注：）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
求风筝的高度．
过点D作，垂足为H，求的长度．
如图，在中，，，，D为上的一点，
将沿折叠，使点C恰好落在上的点E处．
(1)求的长．
(2)求的长．
如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，
思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，
另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4＋（b－a）2，
从而得到等式c2＝ab×4＋（b－a）2，化简便得结论a2＋b2＝c2．
这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
现在，请你用“双求法”解决下面两个问题：
如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．
如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
25．课本再现
如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，
它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

方法探究
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，
依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，
点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______．
方法应用
如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，
绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．
如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．
在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，
蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑