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辽宁省丹东市东港市2024-2025学年七年级下学期数学期末考试卷
一、单选题
1．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知，则的值为（　　）
A． B．4 C．3 D．
3．已知有4条线段，它们的长分别是2，4，6，8，从这4条线段中任取三条，求能够构成三角形的概率（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在的正方形网格中，已知两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
5．如图，在中、分别垂直平分、．若，则的周长是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件，这个条件不能是（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝BD D．AB＝DC
7．下列计算中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
8．小明将一根长为20cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长（）与宽（）之间的数量关系为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　）
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为 ．
12．若是完全平方式，那么的值是 ．
13．如图，丹东东港某镇要修建一条灌溉水渠，水渠从村沿北偏东方向到村，从村沿北偏西方向到村，然后从村到村．已知的方向与的方向一致，则水渠从村到村的修建方向是 ．
14．如图，，平分，平分，若，则 ．
15．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ．
三、解答题
16．（1）计算：
（2）化简：
17．先化简，再求值：，其中．
18．在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的AB，AC交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，不要证明．
19．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球．
(1)小颖同学摸出红球是____，摸出黑球是_____（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）
(2)你认为小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是______色
(3)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红色乒乓球，小颖同学从盒子中任意摸出一个乒乓球，摸到黄色乒乓球的概率为，则______．
(4)在（3）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明）
20．如图，直线，交于点，点在的左侧，且满足，．
(1)求证：；
(2)若平分，于点，，求的度数．
21．一条笔直的公路上有两地，相距2400米，甲从地匀速步行到地；乙从地匀速骑车到地后，休息5分钟，再沿原路原速返回地．如果他们同时出发，运动的时间为（分钟），与地的距离为（米），如图所示，图中线段，折线分别表示两人与地的距离和运动时间之间的关系，结合图象请解答下列问题：
(1)甲步行的速度为___________米/分钟，乙骑车的速度为___________米/分钟．
(2)甲步行到地比乙骑车返回地，晚到几分钟？
(3)求甲与乙途中相遇（不包括在地相遇）时的值．
22．【新型定义】若，则称与是关于7的“奇妙数”．
例如：如果，那么与是关于7的“奇妙数”．
(1)【初步探究】求①5与___________是关于7的“奇妙数”；
②___________与是关于7的“奇妙数”；
③与___________是关于7的“奇妙数”；
(2)【拓展提升】若与是关于7的“奇妙数”，求的值．
23．在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点．
(1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系．
(2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．
(3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系．
参考答案
1．B
解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选：B．
2．A
解：，
，
故选：A．
3．C
解：从4条线段任取3条的情况，具体为：
{2, 4, 6}、{2, 4, 8}、{2, 6, 8}、{4, 6, 8}；
{2, 4, 6}中，，等于第三边，不满足条件，不能构成三角形；
{2, 4, 8}中，，不满足条件，不能构成三角形；
{2, 6, 8}中，，等于第三边，不满足条件，不能构成三角形；
{4, 6, 8}中，，满足条件，能构成三角形；
综上所述，满足构成三角形条件的情况仅1种，故概率为，
故选：C．
4．D
解：如图所示：
共5种，
故选：D．
5．A
解：、分别垂直平分、，
，
，
故选：A
6．C
已知两角一边，符合AAS三角形全等的判定条件，故A可以使△ABC≌△DCB；
已知两角一边，符合ASA三角形全等的判定条件，故B可以使△ABC≌△DCB；
已知一角两边，其中一角不是夹角，ASS不构成三角形全等的判定条件，故C不可以使△ABC≌△DCB；
已知一角两边，其中一角是夹角，符合SAS三角形全等的判定条件，故D可以使△ABC≌△DCB；
故选C．
7．A
解：A、，计算错误，符合题意；
B、，计算准确，不符合题意；
C、，计算准确，不符合题意；
D、，计算准确，不符合题意；
故选：A．
8．D
解：由题意，铁丝长度为长方形的周长，即，
将方程整理为关于的表达式，得，
故选：D．
9．C
解：作点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接，交于于，连接，如图所示：
则当点共线时，的周长为，此时周长最小，
∵点与点关于对称，
∴垂直平分，
∴，
∵点与点关于对称，
∴垂直平分，
∴，
，
，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：C．
10．A
解：①∵和均是等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，故①正确，符合题意；
②∵和均是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴，故②正确，符合题意；
③由①得，
∴，
由②得，
又，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
④由③得，
∴，故④正确，符合题意；
⑤由③得，由②得，
∴为等边三角形，
∴，故⑤正确，符合题意；
故选：A．
11．或
解：等腰三角形的两条腰相等，
①当腰为时，三角形的三边为：、、，能构成三角形，其三角形的周长为：；
②当腰为时，三角形的三边为：、、，能构成三角形，三角形的周长为：；
故答案为：或．
12．
解：∵是完全平方式，
∴，即，
故答案为：.
13．北偏东
解：如图，
由题意得：，，
∵的方向与的方向一致，
∴，
∴，
∴，
∴，
即水渠从村到村的修建方向是北偏东．
故答案为：北偏东
14．
如图，过点作于，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理：，
∵
设，，
∴，
∴．
故答案为：．
15．1
解：如图，过点E作于点P，于点Q，
则，
∵点E是正方形的中心，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
16．（1）；（2）
解：（1）
；
（2）
．
17．，1
解：
，
把代入原式中，原式．
18．见解析
解：∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点P即为所求，如图，
19．(1)随机事件，不可能事件
(2)白
(3)4
(4)公平；理由见解析
（1）解：小颖同学摸出红球是随机事件，摸出黑球是不可能事件；
（2）解：∵
∴摸到白色小球的可能性最大；
∴小颖同学摸出的球，最有可能摸到的颜色是白色；
（3）解：∵摸到黄色乒乓球的概率为，
∴，
解得：，经检验符合题意；
（4）解：∵一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球，
∴摸到红球，小颖获胜的概率为，小英获胜的概率为；
∴这个游戏对双方公平；
20．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
21．(1)80，240
(2)5
(3)或
（1）解：甲步行的速度为（米/分钟），
乙骑车的速度为（米/分钟）．
故答案为：80；240．
（2）解：（分钟）．
故答案为：5．
（3）解：分两种情况：
①乙从地出发前往地途中与甲相遇时，有，
解得：，
②乙从地返回地途中与甲相遇时，有，
解得：，
答：甲与乙途中相遇时的值为或．
22．(1)①，②，③
(2)
（1）解：（1）①∵，
∴5与是关于7的“奇妙数”
②∵
∴，
∴与是关于7的“奇妙数”
③∵
∴，
∴与是关于7的“奇妙数”；
∴答案为；；．
（2）∵与是关于7的“奇妙数”，
∴，
∴．
23．(1)
(2)，理由见详解
(3)图见详解，当点在线段的延长线上运动时：，当点在线段的延长线上运动时：
（1）解：，理由如下：
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴．
（2）解：当点在线段上（不与重合）时，线段，，之间的数量关系为，理由如下：
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（3）解：①如图，当点在线段的延长线上运动时，
同（1）得，
∴
∵，，
∴；
②如图，当点在线段的延长线上运动时，
同（1）得，
∴，
∵，，
∴．

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