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1.1菱形的性质与判定（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2022·赤峰）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（　　）
A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD，，点，
∴，，
∴
∴△CDB是等边三角形
∴
∵点是的中点，
∴，且BE⊥CD，
∴
故答案为：A．
【分析】连接BE，根据题意可得，B、D关于直线AC对称，直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小，根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值，根据菱形的性质求出BE的长即可。
2．（2019·呼和浩特）已知菱形的边长为 ，较短的一条对角线的长为 ，则该菱形较长的一条对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】
解：如图，
四边形 是菱形，
， ，
，
；
故答案为： ．
【分析】根据菱形的性质，对角线互相垂直平分，故可知直角三角形的斜边和一直角边，勾股定理即可求出另一个直角边，既而求出较长的对角线。
3．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（　　）
A．（﹣1，6） B．（﹣2，6） C．（﹣3，6） D．（﹣4，6）
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点B作轴，垂足为点D，如图所示：
∵顶点在直线上，点的横坐标是8，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
由勾股定理得，
∵四边形是菱形，
∴轴，
∴将点B向左平移10个单位得到点C，
∴点，
故答案为：B
【分析】过点B作轴，垂足为点D，先根据一次函数图象上的点得到点B的坐标，进而根据勾股定理求出BO，从而根据菱形的性质得到轴，再根据平移-点的坐标的变化结合题意即可求解。
二、填空题
4．（2025·云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.若.则菱形ABCD的面积是　 　.
【答案】15
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=5，
∴菱形ABCD的面积是，
故答案为：15.
【分析】根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可.
5．（2022·广东）菱形的边长为5，则它的周长为　 　．
【答案】20
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形的四条边相等．
∴周长： ，
故答案为：20．
【分析】根据菱形的四边相等求解即可。
6．（2023·陕西）点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为　 　．
【答案】62°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形是菱形，，
，，
，
故答案为：.
【分析】本题主要考查了菱形的性质，先求出和的度数，再通过三角形内角和得到 的度数.
7．（2024九上·永修月考）如图，在菱形中，，则菱形的周长为　 　．
【答案】8
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB=2，
∴AB=BC=CD=DA，
∴菱形的周长为，
故答案为：8．
【分析】根据“菱形的四条边相等”可得菱形的周长等于边长的4倍，直接求解即可.
8．（2024·甘孜州）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形ABCD的周长为　 　．
【答案】8
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CB=CD=AD=2，
∴菱形ABCD的周长为8，
故答案为：8.
【分析】根据菱形的性质结合AB的长即可求解.
9．（2021·凉山）菱形 中，对角线 ，则菱形的高等于　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB= BD=12，OA= AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC= =13，
∵S菱形ABCD= ，
∴ ，
解得：AE= ，
故答案为： .
【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，由菱形的性质得OB=BD，OA=AC，在Rt△ABO中，用勾股用定理可求得AB=BC的值，然后根据菱形的面积S=AC×BD=BC×AE可得关于AE的方程，解方程可求解.
10．（2024·上海）在菱形中，，则　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵ 菱形ABCD
∴ ∠ABC+∠BAD=180°
∴ ∠BAD=180°-∠ABC=114°
∴ ∠BAC=∠BAD=57°
故答案为：
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的邻角互补，对角线平分对角，根据其性质可得答案。
三、解答题
11．（2025·泸州）如图，在菱形中，分别是边上的点，且．
求证：．
【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据菱形的四边相等得到AB=BC，再由线段的和差关系及等量减去等量差相等得出BE=BF，进而利用SAS判断出△ABF≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得AF=CE.
12．（2024·济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：AF＝CE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵AE⊥CD，CF⊥AD，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣DE，
∴AF＝CE．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的四边相等得AD=CD，由垂直的定义得∠AED＝∠CFD＝90°，从而用AAS判断出△AED≌△CFD，由全等三角形的对应边相等得DE＝DF，最后根据线段的和差及等式的性质可得结论.
13．（2021·菏泽）如图，在菱形 中，点 、 分别在 、 上，且 ，求证： ．
【答案】 四边形 是菱形
在 和 中
(ASA)
即 ．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】菱形的四条边相等，对角相等。全等三角形证明方法之一：ASA
解题关键：熟记菱形的性质及掌握全等三角形的判定与性质。
14．（2024·广安）如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC近上的点，，求证：．
【答案】证明：四边形ABCD是菱形
又
在和中
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据菱形的性质和已知条件BE=BF即可推出AE=CF，利用边角边证明两三角形全等，从而推出DE=DF，根据等腰三角形的性质即可证明．
15．（2024·福建）如图，在菱形中，点分别在边和上，且．
求证：．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
在和中，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据菱形的四条边都相等，对角相等可得AB=AD，∠B=∠D，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的对应边相等即可证明.
16．（2024·兴安盟、呼伦贝尔）如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，点O为的中点，的延长线交边于点E，连接
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若平行四边形的周长为22，，，求的长.
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
即，
，，
O为的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2），，
，
平行四边形的周长为22，
菱形的周长为：
，
四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
.
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AF∥BE，利用平行线的性质可证得∠AFB=∠EBF，∠FAE=∠BEA，利用线段中点的定义可证得OB=OF，利用AAS可证得△AOF≌△EOB，利用全等三角形的性质可证得BE=FA；然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用已知求出DF、CE的长，利用平行四边形的周长可求出菱形ABEF的周长，据此可求出菱形的边长，利用菱形的性质可求出∠BAE=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ABE是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AE的长.
1 / 11.1菱形的性质与判定（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2022·赤峰）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（　　）
A．3 B．5 C． D．
2．（2019·呼和浩特）已知菱形的边长为 ，较短的一条对角线的长为 ，则该菱形较长的一条对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（　　）
A．（﹣1，6） B．（﹣2，6） C．（﹣3，6） D．（﹣4，6）
二、填空题
4．（2025·云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.若.则菱形ABCD的面积是　 　.
5．（2022·广东）菱形的边长为5，则它的周长为　 　．
6．（2023·陕西）点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为　 　．
7．（2024九上·永修月考）如图，在菱形中，，则菱形的周长为　 　．
8．（2024·甘孜州）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形ABCD的周长为　 　．
9．（2021·凉山）菱形 中，对角线 ，则菱形的高等于　 　.
10．（2024·上海）在菱形中，，则　 　．
三、解答题
11．（2025·泸州）如图，在菱形中，分别是边上的点，且．
求证：．
12．（2024·济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：AF＝CE．
13．（2021·菏泽）如图，在菱形 中，点 、 分别在 、 上，且 ，求证： ．
14．（2024·广安）如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC近上的点，，求证：．
15．（2024·福建）如图，在菱形中，点分别在边和上，且．
求证：．
16．（2024·兴安盟、呼伦贝尔）如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，点O为的中点，的延长线交边于点E，连接
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若平行四边形的周长为22，，，求的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD，，点，
∴，，
∴
∴△CDB是等边三角形
∴
∵点是的中点，
∴，且BE⊥CD，
∴
故答案为：A．
【分析】连接BE，根据题意可得，B、D关于直线AC对称，直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小，根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值，根据菱形的性质求出BE的长即可。
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】
解：如图，
四边形 是菱形，
， ，
，
；
故答案为： ．
【分析】根据菱形的性质，对角线互相垂直平分，故可知直角三角形的斜边和一直角边，勾股定理即可求出另一个直角边，既而求出较长的对角线。
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点B作轴，垂足为点D，如图所示：
∵顶点在直线上，点的横坐标是8，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
由勾股定理得，
∵四边形是菱形，
∴轴，
∴将点B向左平移10个单位得到点C，
∴点，
故答案为：B
【分析】过点B作轴，垂足为点D，先根据一次函数图象上的点得到点B的坐标，进而根据勾股定理求出BO，从而根据菱形的性质得到轴，再根据平移-点的坐标的变化结合题意即可求解。
4．【答案】15
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=5，
∴菱形ABCD的面积是，
故答案为：15.
【分析】根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可.
5．【答案】20
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形的四条边相等．
∴周长： ，
故答案为：20．
【分析】根据菱形的四边相等求解即可。
6．【答案】62°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形是菱形，，
，，
，
故答案为：.
【分析】本题主要考查了菱形的性质，先求出和的度数，再通过三角形内角和得到 的度数.
7．【答案】8
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB=2，
∴AB=BC=CD=DA，
∴菱形的周长为，
故答案为：8．
【分析】根据“菱形的四条边相等”可得菱形的周长等于边长的4倍，直接求解即可.
8．【答案】8
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CB=CD=AD=2，
∴菱形ABCD的周长为8，
故答案为：8.
【分析】根据菱形的性质结合AB的长即可求解.
9．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB= BD=12，OA= AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC= =13，
∵S菱形ABCD= ，
∴ ，
解得：AE= ，
故答案为： .
【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，由菱形的性质得OB=BD，OA=AC，在Rt△ABO中，用勾股用定理可求得AB=BC的值，然后根据菱形的面积S=AC×BD=BC×AE可得关于AE的方程，解方程可求解.
10．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵ 菱形ABCD
∴ ∠ABC+∠BAD=180°
∴ ∠BAD=180°-∠ABC=114°
∴ ∠BAC=∠BAD=57°
故答案为：
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的邻角互补，对角线平分对角，根据其性质可得答案。
11．【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据菱形的四边相等得到AB=BC，再由线段的和差关系及等量减去等量差相等得出BE=BF，进而利用SAS判断出△ABF≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得AF=CE.
12．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵AE⊥CD，CF⊥AD，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣DE，
∴AF＝CE．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的四边相等得AD=CD，由垂直的定义得∠AED＝∠CFD＝90°，从而用AAS判断出△AED≌△CFD，由全等三角形的对应边相等得DE＝DF，最后根据线段的和差及等式的性质可得结论.
13．【答案】 四边形 是菱形
在 和 中
(ASA)
即 ．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】菱形的四条边相等，对角相等。全等三角形证明方法之一：ASA
解题关键：熟记菱形的性质及掌握全等三角形的判定与性质。
14．【答案】证明：四边形ABCD是菱形
又
在和中
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】根据菱形的性质和已知条件BE=BF即可推出AE=CF，利用边角边证明两三角形全等，从而推出DE=DF，根据等腰三角形的性质即可证明．
15．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
在和中，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据菱形的四条边都相等，对角相等可得AB=AD，∠B=∠D，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的对应边相等即可证明.
16．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
即，
，，
O为的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2），，
，
平行四边形的周长为22，
菱形的周长为：
，
四边形是菱形，
，
又，
是等边三角形，
.
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AF∥BE，利用平行线的性质可证得∠AFB=∠EBF，∠FAE=∠BEA，利用线段中点的定义可证得OB=OF，利用AAS可证得△AOF≌△EOB，利用全等三角形的性质可证得BE=FA；然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
（2）利用已知求出DF、CE的长，利用平行四边形的周长可求出菱形ABEF的周长，据此可求出菱形的边长，利用菱形的性质可求出∠BAE=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△ABE是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AE的长.
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