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1.2矩形的性质与判定（第3课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2025九上·大埔期末）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·湘西）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）
A．24 B．22 C．20 D．18
3．（2024八下·西安期末）如图， 在矩形中， E、F分别是边的中点， G为边上的一点， 将矩形沿翻折使得点A落在上， 点A对应点为点． 若， 则四边形的面积为（ ）
A．9 B． C．15 D．
4．（2025八下·金平期中）如图，在四边形ABCD中，相交于点，且，动点E从点开始，沿折线运动至点停止，CE与BD相交于点，点是线段CE的中点，连接OF，有下列结论：①四边形ABCD是矩形；②当点在边AB上，且时，点E是AB的中点；③当时，线段OF长度的最大值为2；④当点E在边AB上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025八下·深圳期中）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO.若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论中正确结论的个数是（　　）
①DE=EF；②四边形DFBE是菱形；③BM=3FM；④=1：14.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（2024八下·苍南月考）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为　 　．
7．（2025八下·柳州期中）如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动，若CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离为　 　.
8．如图， 已知平行四边形 的对角线 相交于点 是等边三角形， ， 则平行四边形 的面积为　 　．
9．（2024九上·福田月考）如图，已知，，，E是边的中点，F为边上一点，，若，，则的值为　 　．
10．（2024八下·盐田期末）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是　 　．
三、解答题
11．（2025·云南）如图，在中，是AC的中点.延长BO至点D，使（连接AD，CD.记.的周长为的周长为，四边形ABCD的周长为l3.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若求AC的长.
12．（2023·大庆）如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
13．如图所示，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
（1）求证：四边形OEFG是矩形.
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长.
14．（2023九上·兰州期中） 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
15．（2016·兰州）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：中，，，，
，
连接，如图所示：
∵于点，于点，，
∴，
四边形是矩形，
，
当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，
∴此时．
故选：B．
【分析】由垂直的概念得，，则四边形PDCE是矩形，所以PC=DE，显然当时，CP最小，利用勾股定理先求出斜边AB的长，再利用面积即可求出CP的最小值，即DE的最小值．
2．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵CG∥AB，∠A=90°，
∴∠B=∠MCG，∠ACG=90°
∵点M为BC的中点，
∴BM=CM；
在△BMH和△CMG中
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM=MG，BH=CG；
∵四边形ACGH的周长为AH+AC+GH=AB+GH+AC=6+8+GH=14+GH；
∴当GH最小时，即GH⊥AB时，四边形ACGH的周长最小，
∴∠AHG=∠A=∠ACG=90°，
∴四边形ACGH是矩形，
∴AC=GH=8，
∴四边形ACGH的周长的最小值为14+8=22.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质和垂直的定义可证得∠B=∠MCG，∠ACG=90° ，利用线段中点的定义可证得BM=CM；再利用ASA证明△BMH≌△CMG，利用全等三角形的性质可得到HM=MG，BH=CG；再利用垂线段最短可知即GH⊥AB时，四边形ACGH的周长最小值就是14+GH；然后证明四边形ACGH是矩形，利用矩形的性质可求出GH的长，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵分别是边的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵折叠的性质，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，根据矩形的性质与判定推出四边形是矩形，从而得垂直平分，进而根据线段垂直平分线的性质得，然后根据折叠的性质，得，于是可得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，由含30°的直角三角形的性质得，接下来利用勾股定理得出的值，则求出的值，最后利用三角形面积公式进行求解即可.
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，故①正确；
②由①可知，四边形是矩形，
∴，
∵O，F分别是，的中点，点在上，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴点E是的中点，故②正确；
③∵是的中位线，
∴，
∴当的值最大时，的值最大，
当点E与点D重合时，的值最大，此时，
∴线段长度的最大值是2，故③正确；
④当点E在边上，且时，，
∴不是等边三角形，故④错误．
综上所述，正确的结论有3个，
故答案为：C
【分析】先根据平行四边形的判定与性质得到，再根据矩形的判定即可判断①；根据矩形的性质结合三角形中位线定理得到，进而进行线段的运算即可判断②；根据三角形中位线定理得到，进而得到当的值最大时，的值最大，当点E与点D重合时，的值最大，此时，从而判断③；根据等边三角形的判定结合题意即可判断④.
5．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC.
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC.
∴FO=FC，
∴FB垂直平分OC；
∵△BOC为等边三角形，FO=FC，
∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB=∠EOB=90°，
易知△ADE△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，
∴ ∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，
∴∠CDE=∠DFE，
∴DE=EF=DF，故①正确；
∴BE=DF
又∵BE//DF
∴四边形DEBF是平行四边形
又∵DE=DF
∴四边形DEBF是菱形，故②正确；
易知△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF.
∴S△COF=2S△CMF，
∴S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=
∵∠FCO=30°，
∴，
∴FM=3BM，故③正确；
∴S△FOM：S△BOM=1：3
∴S△FOM：S△BCM=1：6
∴△FOM：S△ABC=1：12
∴△FOM：S矩形ABCDM=1：24，故④错误。
故答案为：C.
【分析】根据矩形性质可得 OB=OC，再根据等边三角形判定定理可得△OBC是等边三角形，则OB=BC，根据垂直平分线判定定理可得FB垂直平分OC，再根据等边三角形性质可得BO⊥EF，BF⊥OC，根据全等三角形判定定理可得△ADE△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，则∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，再根据角之间的关系可得∠CDE=∠DFE，再根据等腰三角形性质可判断①；再根据菱形判定定理可判断②；根据全等三角形性质可得S△AOE=S△COF，再根据三角形面积之间的关系可得S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，则FM=3BM，可判断③；再根据三角形面积之间的关系可判断④.
6．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，且，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
如图，连接AD，则，
∴当时，的值最小，此时，的面积，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：．
【分析】由勾股定理求出BC的长，根据有三个内角是直角的四边形是矩形，可得四边形DMAN是矩形，由矩形的对角线相等可得AD=MN，根据垂线段最短得当AD⊥BC时，AD最小，进而根据等面积法建立方程可求出AD的值，从而得出答案.
7．【答案】25
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：取BC的中点E，连接OD、OE、DE，如图所示：
∵
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大
∵CD＝5，BC＝24，∠MON＝90°
∴
∴OD的最大值为：
∴点D到点O的最大距离为
故答案为：.
【分析】取BC的中点E，连接OD、OE、DE，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 平行四边形 ，对角线 相交于点O，
∴AC=2AO，BC=2BO.
∵△AOB是等边三角形，
∴AB=BO=AO=4 cm，
∴AC=BD=8 cm，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴
∴ 矩形ABCD的面积为：.
故答案为：.
【分析】利用平行四边形对角的性质和等边三角形的性质证得AC=BD，可得四边形ABCD是矩形，于是可求出BC的长，利用AB×BC即可得到结论.
9．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
如图，延长交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵E是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，
根据勾股定理得：，
即，
解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1.8．
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据直线平行性质可得，由矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，延长交于点G，根据矩形性质可得，，则，，再根据全等三角形判定定理可得，则，．根据直线平行性质可得，则，即，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设的交点为，的中点分别是，连接，
互相垂直，
和为直角三角形，且分别为斜边，
，
，
当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，
当点在线段上时，最小，最小值为线段的长，
分别为的中点，
是的中位线，
，
同理，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
在中，，
，
的最小值为，
的最小值为．
故答案为：．
【分析】设的交点为，的中点分别是，连接，根据直角三角形判定定理可得和为直角三角形，且分别为斜边，根据斜边上的中线可得，则，当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，当点在线段上时，最小，最小值为线段的长，根据三角形中位线定理可得，，，，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，再根据勾股定理即可求出答案.
11．【答案】（1）证明：∵O是AC的中点，
又
∴四边形ABCD为平行四边形
为矩形
（2）解：∵l2-l1=BO+OC+BC-(BO+AB+AO)，AO=OC
∴l2-l1=BC-AB=b-a=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=a，AD=BC=b，
∴a+a+b+b=28，
∴a+b=14，
∴
解得：
∵∠ABC=90°，
∴，
∴AC的长为10.
【知识点】解二元一次方程组；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先证明对角线互相平分，继而得到四边形ABCD是平行四边形，再由∠ABC=90°，即可证明为矩形；
(2)由矩形的性质得到l2-l1=b-a=2，a+b=14，得到二元一次方程组，求出a，b，再
由勾股定理即可求解.
12．【答案】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积等于，
∵，，
∵点是对角线的中心，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCE的面积为：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，利用平行线的性质可得到∠DAF=∠AFC，∠ADC=∠DCF，利用线段的中点可知DE=CE，利用AAS证明△ADE≌△FCE，利用全等三角形的对应边相等可得到AE=EF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形ACFD是平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
（2）过点E作EG⊥AC于点G，利用平行四边形的性质可证得AD=BC，利用矩形的性质可推出AD=BC=CF，利用勾股定理求出DF的长；观察图形可知S四边形ABCE=S△ABC+S△AEC，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，利用三角形的中位线定理求出GE的长，可得到△ACE的面积，然后代入计算求出四边形ABCE的面积.
13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴O为BD中点.
∵E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG. ∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形.
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG为矩形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=AD=10，
∴∠AOD=90°，
∵E是AD的中点，
∴
由(1)知，四边形OEFG是矩形，
∴FG=OE=5，
∵AE=5，EF=4，
在Rt△AEF中，
∴
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据E是AD的中点，O是DB的中点，得到OE是三角形ADB的中位线，得到OE//AB，再根据OG//EF，可以求证出四边形OEFG是平行四边形，再由已知条件EF⊥AB得到四边形OEEG是矩形；
(2)根据菱形的性质，得到BD⊥AC，AB=AD=10，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得到OE=AE=5，然后根据矩形的性质得到FG=OE=5，在Rt△AEF中，再根据勾股定理，即可求出AF的长度，最后根据线段的和差关系即可求出BG的长.
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
（2）解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC.
又∵DG⊥AC，
∴CD＝OD
∵F是BO中点，OF＝2cm，
∴BO＝4cm.
∴DO＝BO＝4cm，
∴DC＝4cm，DB＝8cm，
∴CB＝＝4 (cm)，
∴矩形ABCD的面积为4×4＝16 (cm2)．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据矩形的性质得出 OA＝OB＝OC＝OD ，然后再根据等式的性质得出 OE＝OF＝OG＝OH， 进一步根据矩形的判定即可得出 四边形EFGH是矩形 ；
（2）首先根据垂直平分线的性质得出CD=OD，在根据矩形的性质得出OD=OB，即可得出CD=2OF=4cm，DB=8cm。进一步根据勾股定理可求得BC=4，根据矩形的面积计算公式，即可得出矩形ABCD的面积为16（ cm2)
15．【答案】（1）解：是平行四边形，
证明：如图2，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF= AC，
同理HG∥AC，HG= AC，
综上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形
（2）解：①AC=BD．
理由如下：
由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG= BD，HG= AC，
∴当AC=BD时，FG=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形
②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
理由如下：
同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四边形EFGH为矩形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF= AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG= BD，HG= AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
1 / 11.2矩形的性质与判定（第3课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2025九上·大埔期末）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：中，，，，
，
连接，如图所示：
∵于点，于点，，
∴，
四边形是矩形，
，
当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，
∴此时．
故选：B．
【分析】由垂直的概念得，，则四边形PDCE是矩形，所以PC=DE，显然当时，CP最小，利用勾股定理先求出斜边AB的长，再利用面积即可求出CP的最小值，即DE的最小值．
2．（2022·湘西）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）
A．24 B．22 C．20 D．18
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵CG∥AB，∠A=90°，
∴∠B=∠MCG，∠ACG=90°
∵点M为BC的中点，
∴BM=CM；
在△BMH和△CMG中
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM=MG，BH=CG；
∵四边形ACGH的周长为AH+AC+GH=AB+GH+AC=6+8+GH=14+GH；
∴当GH最小时，即GH⊥AB时，四边形ACGH的周长最小，
∴∠AHG=∠A=∠ACG=90°，
∴四边形ACGH是矩形，
∴AC=GH=8，
∴四边形ACGH的周长的最小值为14+8=22.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的性质和垂直的定义可证得∠B=∠MCG，∠ACG=90° ，利用线段中点的定义可证得BM=CM；再利用ASA证明△BMH≌△CMG，利用全等三角形的性质可得到HM=MG，BH=CG；再利用垂线段最短可知即GH⊥AB时，四边形ACGH的周长最小值就是14+GH；然后证明四边形ACGH是矩形，利用矩形的性质可求出GH的长，即可求解.
3．（2024八下·西安期末）如图， 在矩形中， E、F分别是边的中点， G为边上的一点， 将矩形沿翻折使得点A落在上， 点A对应点为点． 若， 则四边形的面积为（ ）
A．9 B． C．15 D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵分别是边的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵折叠的性质，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，根据矩形的性质与判定推出四边形是矩形，从而得垂直平分，进而根据线段垂直平分线的性质得，然后根据折叠的性质，得，于是可得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，由含30°的直角三角形的性质得，接下来利用勾股定理得出的值，则求出的值，最后利用三角形面积公式进行求解即可.
4．（2025八下·金平期中）如图，在四边形ABCD中，相交于点，且，动点E从点开始，沿折线运动至点停止，CE与BD相交于点，点是线段CE的中点，连接OF，有下列结论：①四边形ABCD是矩形；②当点在边AB上，且时，点E是AB的中点；③当时，线段OF长度的最大值为2；④当点E在边AB上，且时，是等边三角形．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，故①正确；
②由①可知，四边形是矩形，
∴，
∵O，F分别是，的中点，点在上，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴点E是的中点，故②正确；
③∵是的中位线，
∴，
∴当的值最大时，的值最大，
当点E与点D重合时，的值最大，此时，
∴线段长度的最大值是2，故③正确；
④当点E在边上，且时，，
∴不是等边三角形，故④错误．
综上所述，正确的结论有3个，
故答案为：C
【分析】先根据平行四边形的判定与性质得到，再根据矩形的判定即可判断①；根据矩形的性质结合三角形中位线定理得到，进而进行线段的运算即可判断②；根据三角形中位线定理得到，进而得到当的值最大时，的值最大，当点E与点D重合时，的值最大，此时，从而判断③；根据等边三角形的判定结合题意即可判断④.
5．（2025八下·深圳期中）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO.若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论中正确结论的个数是（　　）
①DE=EF；②四边形DFBE是菱形；③BM=3FM；④=1：14.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC.
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC.
∴FO=FC，
∴FB垂直平分OC；
∵△BOC为等边三角形，FO=FC，
∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB=∠EOB=90°，
易知△ADE△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，
∴ ∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，
∴∠CDE=∠DFE，
∴DE=EF=DF，故①正确；
∴BE=DF
又∵BE//DF
∴四边形DEBF是平行四边形
又∵DE=DF
∴四边形DEBF是菱形，故②正确；
易知△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF.
∴S△COF=2S△CMF，
∴S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=
∵∠FCO=30°，
∴，
∴FM=3BM，故③正确；
∴S△FOM：S△BOM=1：3
∴S△FOM：S△BCM=1：6
∴△FOM：S△ABC=1：12
∴△FOM：S矩形ABCDM=1：24，故④错误。
故答案为：C.
【分析】根据矩形性质可得 OB=OC，再根据等边三角形判定定理可得△OBC是等边三角形，则OB=BC，根据垂直平分线判定定理可得FB垂直平分OC，再根据等边三角形性质可得BO⊥EF，BF⊥OC，根据全等三角形判定定理可得△ADE△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，则∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，再根据角之间的关系可得∠CDE=∠DFE，再根据等腰三角形性质可判断①；再根据菱形判定定理可判断②；根据全等三角形性质可得S△AOE=S△COF，再根据三角形面积之间的关系可得S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，则FM=3BM，可判断③；再根据三角形面积之间的关系可判断④.
二、填空题
6．（2024八下·苍南月考）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，且，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
如图，连接AD，则，
∴当时，的值最小，此时，的面积，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：．
【分析】由勾股定理求出BC的长，根据有三个内角是直角的四边形是矩形，可得四边形DMAN是矩形，由矩形的对角线相等可得AD=MN，根据垂线段最短得当AD⊥BC时，AD最小，进而根据等面积法建立方程可求出AD的值，从而得出答案.
7．（2025八下·柳州期中）如图，∠MON＝90°，长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动，若CD＝5，BC＝24，运动过程中，点D到点O的最大距离为　 　.
【答案】25
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：取BC的中点E，连接OD、OE、DE，如图所示：
∵
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大
∵CD＝5，BC＝24，∠MON＝90°
∴
∴OD的最大值为：
∴点D到点O的最大距离为
故答案为：.
【分析】取BC的中点E，连接OD、OE、DE，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．如图， 已知平行四边形 的对角线 相交于点 是等边三角形， ， 则平行四边形 的面积为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 平行四边形 ，对角线 相交于点O，
∴AC=2AO，BC=2BO.
∵△AOB是等边三角形，
∴AB=BO=AO=4 cm，
∴AC=BD=8 cm，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴
∴ 矩形ABCD的面积为：.
故答案为：.
【分析】利用平行四边形对角的性质和等边三角形的性质证得AC=BD，可得四边形ABCD是矩形，于是可求出BC的长，利用AB×BC即可得到结论.
9．（2024九上·福田月考）如图，已知，，，E是边的中点，F为边上一点，，若，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，；
如图，延长交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵E是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，
根据勾股定理得：，
即，
解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1.8．
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据直线平行性质可得，由矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，延长交于点G，根据矩形性质可得，，则，，再根据全等三角形判定定理可得，则，．根据直线平行性质可得，则，即，设，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．（2024八下·盐田期末）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设的交点为，的中点分别是，连接，
互相垂直，
和为直角三角形，且分别为斜边，
，
，
当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，
当点在线段上时，最小，最小值为线段的长，
分别为的中点，
是的中位线，
，
同理，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
在中，，
，
的最小值为，
的最小值为．
故答案为：．
【分析】设的交点为，的中点分别是，连接，根据直角三角形判定定理可得和为直角三角形，且分别为斜边，根据斜边上的中线可得，则，当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，当点在线段上时，最小，最小值为线段的长，根据三角形中位线定理可得，，，，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题
11．（2025·云南）如图，在中，是AC的中点.延长BO至点D，使（连接AD，CD.记.的周长为的周长为，四边形ABCD的周长为l3.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若求AC的长.
【答案】（1）证明：∵O是AC的中点，
又
∴四边形ABCD为平行四边形
为矩形
（2）解：∵l2-l1=BO+OC+BC-(BO+AB+AO)，AO=OC
∴l2-l1=BC-AB=b-a=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=a，AD=BC=b，
∴a+a+b+b=28，
∴a+b=14，
∴
解得：
∵∠ABC=90°，
∴，
∴AC的长为10.
【知识点】解二元一次方程组；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先证明对角线互相平分，继而得到四边形ABCD是平行四边形，再由∠ABC=90°，即可证明为矩形；
(2)由矩形的性质得到l2-l1=b-a=2，a+b=14，得到二元一次方程组，求出a，b，再
由勾股定理即可求解.
12．（2023·大庆）如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积等于，
∵，，
∵点是对角线的中心，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCE的面积为：．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，利用平行线的性质可得到∠DAF=∠AFC，∠ADC=∠DCF，利用线段的中点可知DE=CE，利用AAS证明△ADE≌△FCE，利用全等三角形的对应边相等可得到AE=EF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形ACFD是平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
（2）过点E作EG⊥AC于点G，利用平行四边形的性质可证得AD=BC，利用矩形的性质可推出AD=BC=CF，利用勾股定理求出DF的长；观察图形可知S四边形ABCE=S△ABC+S△AEC，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，利用三角形的中位线定理求出GE的长，可得到△ACE的面积，然后代入计算求出四边形ABCE的面积.
13．如图所示，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
（1）求证：四边形OEFG是矩形.
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴O为BD中点.
∵E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG. ∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形.
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG为矩形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB=AD=10，
∴∠AOD=90°，
∵E是AD的中点，
∴
由(1)知，四边形OEFG是矩形，
∴FG=OE=5，
∵AE=5，EF=4，
在Rt△AEF中，
∴
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据E是AD的中点，O是DB的中点，得到OE是三角形ADB的中位线，得到OE//AB，再根据OG//EF，可以求证出四边形OEFG是平行四边形，再由已知条件EF⊥AB得到四边形OEEG是矩形；
(2)根据菱形的性质，得到BD⊥AC，AB=AD=10，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得到OE=AE=5，然后根据矩形的性质得到FG=OE=5，在Rt△AEF中，再根据勾股定理，即可求出AF的长度，最后根据线段的和差关系即可求出BG的长.
14．（2023九上·兰州期中） 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
（2）解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC.
又∵DG⊥AC，
∴CD＝OD
∵F是BO中点，OF＝2cm，
∴BO＝4cm.
∴DO＝BO＝4cm，
∴DC＝4cm，DB＝8cm，
∴CB＝＝4 (cm)，
∴矩形ABCD的面积为4×4＝16 (cm2)．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据矩形的性质得出 OA＝OB＝OC＝OD ，然后再根据等式的性质得出 OE＝OF＝OG＝OH， 进一步根据矩形的判定即可得出 四边形EFGH是矩形 ；
（2）首先根据垂直平分线的性质得出CD=OD，在根据矩形的性质得出OD=OB，即可得出CD=2OF=4cm，DB=8cm。进一步根据勾股定理可求得BC=4，根据矩形的面积计算公式，即可得出矩形ABCD的面积为16（ cm2)
15．（2016·兰州）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
【答案】（1）解：是平行四边形，
证明：如图2，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF= AC，
同理HG∥AC，HG= AC，
综上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形
（2）解：①AC=BD．
理由如下：
由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG= BD，HG= AC，
∴当AC=BD时，FG=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形
②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
理由如下：
同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四边形EFGH为矩形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF= AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG= BD，HG= AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
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