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2.1认识一元二次方程（第1课时）—北师大版数学九年级上册课时训练
一、选择题
1．（2020九上·商河月考）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2020九上·福州月考）若方程 是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A．-1 B．±1 C．1 D．0
3．（2023九上·黄岛期中）方程的一次项系数是（　　）
A．－5 B．1 C．0 D．－1
4．若（m﹣2）x|m|+2x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．无法确定
5．（2019九上·平定月考）若关于 的一元二次方程 有一个根为0，则 的值（　　）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
二、填空题
6．（2020九上·中月考）把一元二次方程： 化成一般形式是　 　．
7．（2019九上·东明月考）一元二次方程2x2＋6x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项和为　 　．
8．（2024九下·河口模拟）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是　 　．
9．（2023九上·商河月考）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人共握了次手，设这次到会的有人，则可列方程为　 　．
10．（2022九上·青岛开学考）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每下降1元，销售量增加10个．商店若准备获利2000元，求定价为多少元？若设定价为元，可列方程为 　 　．
三、解答题
11．已知方程：（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0，求：
（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．
（2）当m为何值时原为一元一次方程．
12．已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0．求：
（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程；
（2）当k为何值时，原方程是一元一次方程；并求出此时方程的解．
13．已知x=2是关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣2=0的一个根．
（1）求m的值及方程的另一个根；
（2）若7﹣y≥1+m（y﹣3），求y的取值范围．
14．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
15．已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0
（1）当k取何值时，它是一元一次方程？
（2）当k取何值时，它是一元二次方程？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A.化简后不含二次项.不是一元二次方程.
B. 是一元二次方程.
C.含有分式.不是一元二次方程.
D.含有两个未知数. 不是一元二次方程.
故答案为：B.
【分析】含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得： ， ，
解得 ，
故答案为：A．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】
解：
∴ -5x2-1=0
∴方程的一次项系数是0
故答案为C
【分析】本题考查一元二次方程的相关的量，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），二次项系数是a，一次项系数是b，c为常数项，据此可得答案。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵（m﹣2）x|m|+2x﹣1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=2，即m=2或﹣2，
当m=2时，方程为2x﹣1=0，不合题意，舍去；
则m的值为﹣2，
故选C
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可确定出m的值．
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，
解得：m=1或m=2，
又m-1≠0，即m≠1，
∴m=2，
故答案为：D．
【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．
6．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
两边同时乘以-1得：
故答案为：
【分析】先去括号，再移项、合并同类项，即可求解。
7．【答案】－1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2+6x=9化成一般形式是2x2+6x-9=0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是：2，6，-9，其和为2+6-9=-1．
【分析】先把一元二次方程化成一般式，根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可求解.
8．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0，
将代入原方程中得
当时，
故答案为：．
【分析】把代入方程中，得到关于m的方程，然后利用二次项系数不为0，求出的值即可．
9．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设这次到会的有人，
∵一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人共握了次手，
∴由题意可列方程：，
故答案为：.
【分析】根据题意找出等量关系列方程求解即可。
10．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设定价为元，可列方程为
故答案为：.
【分析】设定价为元，根据销售利润 = 售价 - 进价，根据题意，即可列出方程
11．【答案】解：（1）当m2﹣1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程，
解得m≠±1，
所以当m≠±1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程；
（2）当m2﹣1=0，且m+1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程，
解得m=±1，且m≠﹣1，
m=﹣1（不符合题意的要舍去），m=1．
所以当m=1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是二次的方程，且一元二次方程的二次项的系数不能为零，可得答案；
（2）根据整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是一次的方程，可得二次项系数为零，一次项系数不能为零，可得答案．
12．【答案】解：（1）依题意得：（k﹣1）（k﹣2）≠0，
解得k≠1且k≠2；
（2）依题意得：（k﹣1）（k﹣2）=0，且k﹣1≠0，
所以k﹣2=0，
解得k=2，
所以该方程为x+5=0，
解得x=﹣5．
【知识点】一元一次方程的概念；一元一次方程的解；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到（k﹣1）（k﹣2）≠0，由此求得k的值；
（2）根一元一次方程的定义得到k﹣2=0，由此得到该方程为x+5=0，解方程即可
13．【答案】解：∵2是方程的一个根，
∴22+3×2+m﹣2=0，
∴m=﹣8，
将m=1代入方程得x2+3x﹣10=0，
解之得：x=﹣5或x2=2．
∴方程的另一根为x=﹣5，m=﹣8；
（2）∵m=﹣8，
∴不等式变为7﹣y≥1﹣8（y﹣3），
解得y≥．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）由于2是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后解方程可以求出方程的另一根；
（2）将得到的m的值代入一元一次不等式，求得y的取值范围即可．
14．【答案】解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2=0，
解得：m1=1，m2=2，
∴m的值为1或2；
（2）当m=2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：
x2+5x=0
x（x+5）=0，
解得：x1=0，x2=﹣5．
当m=1时，5x=0，
解得x=0．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）首先利用关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0得出m2﹣3m+2=0，进而得出即可；
（2）分别将m的值代入原式求出即可．
15．【答案】解：（1）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0一元一次方程，得
或，
解得k=﹣1或k=0，
当k=﹣1或k=0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0一元一次方程；
（2）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0一元二次方程，得
，
解得k=1，
当k=1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0一元二次方程．
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程，可得答案；
（2）根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
1 / 12.1认识一元二次方程（第1课时）—北师大版数学九年级上册课时训练
一、选择题
1．（2020九上·商河月考）下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A.化简后不含二次项.不是一元二次方程.
B. 是一元二次方程.
C.含有分式.不是一元二次方程.
D.含有两个未知数. 不是一元二次方程.
故答案为：B.
【分析】含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2．（2020九上·福州月考）若方程 是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A．-1 B．±1 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得： ， ，
解得 ，
故答案为：A．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
3．（2023九上·黄岛期中）方程的一次项系数是（　　）
A．－5 B．1 C．0 D．－1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】
解：
∴ -5x2-1=0
∴方程的一次项系数是0
故答案为C
【分析】本题考查一元二次方程的相关的量，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），二次项系数是a，一次项系数是b，c为常数项，据此可得答案。
4．若（m﹣2）x|m|+2x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵（m﹣2）x|m|+2x﹣1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=2，即m=2或﹣2，
当m=2时，方程为2x﹣1=0，不合题意，舍去；
则m的值为﹣2，
故选C
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可确定出m的值．
5．（2019九上·平定月考）若关于 的一元二次方程 有一个根为0，则 的值（　　）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，
解得：m=1或m=2，
又m-1≠0，即m≠1，
∴m=2，
故答案为：D．
【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．
二、填空题
6．（2020九上·中月考）把一元二次方程： 化成一般形式是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
两边同时乘以-1得：
故答案为：
【分析】先去括号，再移项、合并同类项，即可求解。
7．（2019九上·东明月考）一元二次方程2x2＋6x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项和为　 　．
【答案】－1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2+6x=9化成一般形式是2x2+6x-9=0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是：2，6，-9，其和为2+6-9=-1．
【分析】先把一元二次方程化成一般式，根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可求解.
8．（2024九下·河口模拟）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0，
将代入原方程中得
当时，
故答案为：．
【分析】把代入方程中，得到关于m的方程，然后利用二次项系数不为0，求出的值即可．
9．（2023九上·商河月考）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人共握了次手，设这次到会的有人，则可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设这次到会的有人，
∵一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人共握了次手，
∴由题意可列方程：，
故答案为：.
【分析】根据题意找出等量关系列方程求解即可。
10．（2022九上·青岛开学考）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每下降1元，销售量增加10个．商店若准备获利2000元，求定价为多少元？若设定价为元，可列方程为 　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设定价为元，可列方程为
故答案为：.
【分析】设定价为元，根据销售利润 = 售价 - 进价，根据题意，即可列出方程
三、解答题
11．已知方程：（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0，求：
（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．
（2）当m为何值时原为一元一次方程．
【答案】解：（1）当m2﹣1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程，
解得m≠±1，
所以当m≠±1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程；
（2）当m2﹣1=0，且m+1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程，
解得m=±1，且m≠﹣1，
m=﹣1（不符合题意的要舍去），m=1．
所以当m=1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是二次的方程，且一元二次方程的二次项的系数不能为零，可得答案；
（2）根据整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是一次的方程，可得二次项系数为零，一次项系数不能为零，可得答案．
12．已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0．求：
（1）当k为何值时，原方程是一元二次方程；
（2）当k为何值时，原方程是一元一次方程；并求出此时方程的解．
【答案】解：（1）依题意得：（k﹣1）（k﹣2）≠0，
解得k≠1且k≠2；
（2）依题意得：（k﹣1）（k﹣2）=0，且k﹣1≠0，
所以k﹣2=0，
解得k=2，
所以该方程为x+5=0，
解得x=﹣5．
【知识点】一元一次方程的概念；一元一次方程的解；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到（k﹣1）（k﹣2）≠0，由此求得k的值；
（2）根一元一次方程的定义得到k﹣2=0，由此得到该方程为x+5=0，解方程即可
13．已知x=2是关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣2=0的一个根．
（1）求m的值及方程的另一个根；
（2）若7﹣y≥1+m（y﹣3），求y的取值范围．
【答案】解：∵2是方程的一个根，
∴22+3×2+m﹣2=0，
∴m=﹣8，
将m=1代入方程得x2+3x﹣10=0，
解之得：x=﹣5或x2=2．
∴方程的另一根为x=﹣5，m=﹣8；
（2）∵m=﹣8，
∴不等式变为7﹣y≥1﹣8（y﹣3），
解得y≥．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）由于2是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后解方程可以求出方程的另一根；
（2）将得到的m的值代入一元一次不等式，求得y的取值范围即可．
14．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
【答案】解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2=0，
解得：m1=1，m2=2，
∴m的值为1或2；
（2）当m=2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：
x2+5x=0
x（x+5）=0，
解得：x1=0，x2=﹣5．
当m=1时，5x=0，
解得x=0．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【分析】（1）首先利用关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0得出m2﹣3m+2=0，进而得出即可；
（2）分别将m的值代入原式求出即可．
15．已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0
（1）当k取何值时，它是一元一次方程？
（2）当k取何值时，它是一元二次方程？
【答案】解：（1）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0一元一次方程，得
或，
解得k=﹣1或k=0，
当k=﹣1或k=0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0一元一次方程；
（2）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0一元二次方程，得
，
解得k=1，
当k=1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1=0一元二次方程．
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（1）根据二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程，可得答案；
（2）根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
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