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复合函数问题重点考点 专题练
2026年高考数学一轮复习备考
一、单选题
1．若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
5．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数，关于的方程的根的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．若函数，则的零点个数为（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知函数记函数的个零点为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（多选题）已知函数是定义在上的增函数，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的定义域为，且在定义域内连续．则下列说法正确的是（ ）
A．设的定义域为D，则D
B．设的定义域为D，则D
C．若单调，则单调
D．一定存在定义域为的偶函数与奇函数，使
11．已知函数是奇函数，且，则（ ）
A．
B．
C．在R上单调递增
D．若对任意实数，不等式恒成立，则
12．已知函数是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上都单调递增，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在上单调递增 D．在上单调递增
三、填空题
13．已知方程（且），且，则的解为 ．
14．记表示不大于x的最大整数，例如，，则方程所有解的和为 ．
15．设函数，，若函数有六个不同的零点，则实数的取值范围为 .
16．已知函数为上的奇函数，在上单调递增，都有且，则的值域为 .
17．设，已知函数，，若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
18．已知函数.
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围.
19．已知函数满足，其中，且.
(1)求的解析式；
(2)若，求函数的定义域；
(3)讨论的值域.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D C D D D A BC BCD
题号 11 12
答案 ACD AB
1．D
【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可.
【详解】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增，
可得在区间上单调递增，所以.
故选:D.
2．C
【分析】令，，利用基本初等函数的单调性及复合函数的单调性，求出的单调区间，即可求解.
【详解】令，，易知是减函数，
因为，又在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又当时，，当时，，
则函数的最大值是，
故选：C.
3．D
【详解】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域.
【分析】因为，且，
所以．
故选：D.
4．C
【分析】令，求出，代入解出.
【详解】， 且，
令，，解得，
，即,
.
故选：C.
5．D
【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】由，可得或，
即函数的定义域为，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，
.
故选：D.
6．D
【分析】首先解得或，再根据函数的图象，利用数形结合，即可求解.
【详解】由得，解得或，
画出的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．（图中只显示了6个交点，当或时，和与图象还有4个交点，）
故选：D.
7．D
【分析】令，可得或，分，求导判断的单调性及极值，进而可得，的解的个数，进而可得的零点个数.
【详解】令，则，所以，
解得，解得或，
当时，，求导得，
令，则，解得，
若时，，若，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，
当时，在上单调递增，且，
所以有3个解，有2个解，
所以的零点个数为5个.
故选：D.
8．A
【分析】令，则，时，求出的零点；时，利用零点存在定理得存在零点；时，利用导数研究其单调性，进而得在上无零点，则有两个零点，从而求出函数的零点，即可得解．
【详解】由题可知，
令，则，
当时，，此时有唯一的零点；
当时，，
当时，单调递减，且，
所以存在，使得；
当时，，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
所以在上无零点，
所以在其定义域上有两个零点．
当时，因为，所以由，得，解得；
当时，由，得，或，
所以函数共有3个零点，分别为，
所以．
故选：A．
9．BC
【分析】根据函数的对称性及单调性结合平移得出函数性质判断各个选项即可.
【详解】因为是上的偶函数，又因为函数是定义在上的增函数，则是上的增函数，
所以图象是关于对称的，且在单调递增，
故选:BC．
10．BCD
【分析】举反例可判断A；利用复合函数的定义域可判断B；利用复合函数的单调性可判断C；应用奇偶函数分解定理，结合题目条件验证可判断D.
【详解】对于A，设，且，在定义域内连续，
则由得，解得，的定义域为，
因为，故A错误；
对于B，对于复合函数，设，那么，，
由于是使得才能使有意义，而是取自的定义域中
的，所以的定义域一定是的子集，故B正确；
对于C，若的单调递增，设，则，
那么，单调递增；
若的单调递减，设，则，
那么，单调递增，故C正确；
对于D，对称区间上的任意函数均可分解为
，且，为偶函数，
，且，为奇函数，
时，，满足题意，故D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【分析】根据奇函数的性质得出.然后分别将以及代入，计算即可得出答案；求出函数的定义域，分以及，结合复合函数的单调性，即可判断C项；根据函数的性质结合已知转化推得，即有在R上恒成立，进而判断D项.
【详解】对于A、B，由已知可得，，
又函数为奇函数，
所以有，
即，
所以有，
所以有，解得.
当时，有，
此时有，不满足题意；
当时，有，
此时有，满足题意.
故.故A正确，B错误；
对于C项，，定义域为R.
当时，易知函数，在上单调递增，在上单调递增，
根据复合函数的单调性可知，在上单调递增；
而为奇函数，故在R上单调递增.故C正确；
对于D项，由已知结合C项可知，在R上单调递增，且为奇函数，
所以由可得，
，
所以有，
所以有在R上恒成立.
易知，当时，取得最小值为.
要使在R上恒成立，
所以.故D正确.
故选：ACD.
12．AB
【分析】根据奇偶性定义可判断AB；根据复合函数单调性可判断CD.
【详解】，所以A正确；
，所以B正确；
取，则在上单调递减，所以C错误；
取，，则在上单调递减，所以D错误．
故选：AB
13．
【分析】利用构造方程组的方法求得，从而得，即可得解.
【详解】∵（且）………①，
易知①中的x与取值范围相同，
于是将①中的x代得，
整理得：
（且）………②，
再将①中的x代替得
,
整理得（且）………③
可消去项得到：
则（且），
由此，解得.
故答案为：．
14．
【分析】由题意得到，和，求解一元二次不等式即可求解.
【详解】由已知有，即，
则由，可得，
即，解得．
同理，有，
解得，或，
故，或，
因此．
当时，有，解得，满足题意；
当时，有，解得，满足题意；
当时，有，不符合题意；
当时，有，不符合题意．
综上，方程所有解的和为．
故答案为：
15．
【分析】根据给定的函数解析式，分析新函数的对称性与单调性，可得其图象，结合函数的图象变换，可得答案.
【详解】令，即，解得或，易知，可得，
可得，
当时，设，且，
点关于直线的对称点为，
；
当时，设，且，
点关于直线的对称点为，
；
综上所述，函数的图象关于直线对称.
当时，由单调递增，单调递增，
则函数在上单调递增；
当时，由单调递增，单调递减，
则函数在上单调递减；
当时，由单调递增，单调递增，
则函数在上单调递增.
当时，由，，则；
当时，由，则.
可得下图：
由函数的图象可由函数的图象平移个单位，
则.
故答案为：.
16．
【分析】设，得到，不妨设函数且，求得，代入化简得到，求得，得出，且，则，结合正弦函数的值域，即可求解.
【详解】设，因为，可得，
由函数为上的奇函数，在上单调递增，
因为题目为客观题，不妨设函数且，
则，
又因为，可得，
整理得，解得或（舍去），
所以，且，则，
因为，则，则，且，
所以的值域为.
故答案为：.
17．
【分析】将方程转化为关于的二次方程，通过两个函数图象的交点个数即可求解.
【详解】因为,
所以，即，
整理得．
因为方程有两个实数解，所以方程有两个实数解.
令，
则函数与的图象有两个交点.
①当时，，由图象可知，两函数有4个交点，故不合题意；
②当时，易知，且，
令,得,
，令,
得,
若与的图象有两个交点，需满足，解得．
③当时，易知．
由②的分析可得，若与的图象有两交点，需满足解得．
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
18．(1)
(2)
【分析】（1）令，利用换元法求解析式；
（2）先判断函数的单调性，从而把恒成立问题转化为，然后利用一次函数性质得不等式组，即可得解.
【详解】（1）令，则，
则，
所以.
（2）因为在上单调递增，
所以.
，即，
则
解得.
故的取值范围是.
19．(1)，且
(2)
(3)答案见详解
【分析】（1）利用配凑法即可求解；
（2）根据指数函数的单调性即可求解不等式得解；
（3）对分类讨论，即可结合二次函数以及指数函数的性质求解.
【详解】（1）由，
，（且）.
（2）当时，，则，
，则，即，
解得，
所以函数的定义域为.
（3），又，
当时，在R上单调递增，所以，故值域为；
当时，在R上单调递减，所以，故值域为.
综上，当时，的值域为；当时，的值域为.
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