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4.8图形的位似（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2025·兰州） 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O．已知BC：B'C'＝1：2，则B（2，0）的对应点B'的坐标是（　　）
A．（3，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0）
2．（2025·浙江模拟）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心是（　　）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
3．（2025·温州三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于点O位似，且.若四边形ABCD的面积为3，则四边形EFGH的面积为（　　）
A． B．6 C．12 D．18
4．（2025八下·深圳期末） 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
5．（2025·浙江）如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为 3 ，则的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
二、填空题
6．（2025·潮阳模拟）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的周长之比为　 　．
7．（2025·衡阳模拟）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为，则与的面积比是　 　．
8．如图，O为△ABC内一点，A'，B'，C'分别是OA，OB，OC上的点，且OA'：AA'=OB'：BB’=OC'：CC'=1：2．若AB=6，则A'B'=　 　
9．（2022九上·襄汾期中）已知与是位似图形，位似比是，则与的面积比 　 　．
10．（2024·三台二模）四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O.点A与点E对应，若，四边形ABCD的面积为8，则四边形EFGH的面积为　 　.
三、解答题
11．（2025九上·江北期末）图 1，图 2 均为由边长为 1 的正六边形构成的网格，每个正六边形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上，称为格点三角形．请用无刻度直尺按要求画出图形．
（1）在图 1 中画出将 绕点 逆时针旋转 后的 （保留作图痕迹并请标注字母）．
（2）在图 2 中画出两个大小不一的格点三角形，要求与 相似但不全等（请涂填阴影）．
12．（2023九上·贵阳期中）视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．

用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，，O在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
（1）探究图中与之间的关系，请说明理由；
（2）若，①号“E”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离．
13．（2024九上·昌平期中）网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1；
（2）在图2中画一个格点，使，且相似比为．
14．（2023九上·鄞州期中）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．
（1）在图1中以线段AB为边画一个，使其与相似，但不全等．
（2）在图2中画一个，使其与相似，且面积为8．
15．（2023九下·丹徒月考）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上.
（1）在图①中，　 　.
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.
①如图②，在上找一点P，使.
②如图③，在上找一点P，使.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点的坐标；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O ， BC：B'C'＝1：2，
∴BO：B'O＝1：2，
∵B（2，0），
∴ B'（4，0）
故答案为：B .
【分析】根据位似图形的性质：以原点为位似中心时，若原图形上某点坐标为(x，y)，位似比为k，则对应点坐标同向缩放为(kx，ky)（适用于k>0）；由此计算即可解答.
2．【答案】D
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】解：连接 CC'交于点O，
∴点O是位似中心，
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD与四边形EFGH关于点O位似 ，
∴，
∵，
∴；
故答案为：C.
【分析】
根据图形为位似图形，面积比等于相似比是平方即可求得.
4．【答案】C
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC∥DF，
∴，
∴，
∵的周长为8，
∴
故答案为：C .
【分析】首先根据比例性质，求出，再根据相似三角形的性质，求出，最后根据的周长为8，即可得出的周长 。
5．【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形
故选：C.
【分析】位似图形是相似图形，位似比等于相似比，对应线段的比等于相似比.
6．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，，
∴与的位似比是．
∴与的相似比为，
∴与的周长比为，
故答案为：
【分析】根据位似比与相似比的关系，求出与的相似比，然后结合相似三角形周长比等于相似比进行求解。
7．【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为，
∴，，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先根据位似图形的概念得到，，再得出，然后根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．
8．【答案】2
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：OA'：AA'=OB'：BB’=OC'：CC'=1：2
∴
∴
AB=6，
∴ A'B'= 2
故答案为：2.
【分析】根据位似图形的概念可得，得到，即可得到答案.
9．【答案】1：9
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：与是位似图形，位似比是，
，且相似比为，
与的面积比为：；
故答案为：．
【分析】根据，且相似比为1：3，利用相似三角形的性质可得与的面积比为1：9。
10．【答案】72
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD与四边形EFGH位似 ，且
∵ 四边形ABCD的面积为8 ，
∴ 四边形EFGH的面积=8×9=72.
故答案为：72.
【分析】本题利用面积比等于位似比的平方，可以先求出四边形ABCD与四边形EFGH的面积比，然后代入计算即可。
11．【答案】（1）如图所示．（作图痕迹不唯一，合理即可）
（2）如图所示．（答案不唯一，合理即可）
【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点. 即可；
(2)根据相似三角形的判定画出三角形即可.
12．【答案】（1）解：．
①号“E”与②号“E”相似，且点在一条直线上，
①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点，
是相似比，
．
（2）解：，
．
．
答：②号“E”的测量距离是．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）根据题意，可得①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点， 利用位似的性质列出比例式，即可求解；
（2）将已知数据代入比例式进行计算即可求解.
13．【答案】（1）解：如图所示，由相似三角形的性质，可得
（2）解：如图所示，，，，
∴，，
∴
【知识点】作图﹣相似变换；位似变换
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长相应地扩大2倍，即可求解；
（2）由，结合网格线和相似三角形的性质，把的边长扩大倍，即可得到答案.
（1）如图所示，
（2）如图所示，，，，
∴，，
∴
14．【答案】（1）解：解：如图，△ABD即为所求；
（2）解：如图，△EFG即为所求．
【知识点】勾股定理；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）由图可知，AC=2，根据网格特点画AD⊥AB，使AD=即可；
（2）由AC=2，BC=4，画出直角边分别为2，4的直角三角形EFG即可．
（1）解：如图，△ABD即为所求；
（2）如图，△EFG即为所求．
15．【答案】（1）
（2）解：①在网格图②中，，
如图2所示，连接CD，交AB于点P，
∵，
∴△PBC∽△PAD，
∴，
解得：，
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A'，
连接A'C，交BD于点P，
∵，
∴△A'PB∽△CPD，
∵△ABP≌△A'BP，
∴△APB∽△CPD，
∴点P即为所要找的点.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）解：图1中，
∵，
∴△PCD∽△PBA，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PCD∽△PBA，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）①连接点A右边三个单位长度处的格点D与B点左边两个单位长度处的格点C，CD与AB的交点就是所求的点P，理由如下：首先利用网格纸的特点及勾股定理算出AB的长，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PBC∽△PAD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AP=3；
②作点A的对称点A'，连接A'C，交BD于点P，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△A'PB∽△CPD，格努轴对称的性质得△ABP≌△A'BP，从而得出△APB∽△CPD，故点P即为所要找的点.
1 / 14.8图形的位似（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2025·兰州） 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O．已知BC：B'C'＝1：2，则B（2，0）的对应点B'的坐标是（　　）
A．（3，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0）
【答案】B
【知识点】点的坐标；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O ， BC：B'C'＝1：2，
∴BO：B'O＝1：2，
∵B（2，0），
∴ B'（4，0）
故答案为：B .
【分析】根据位似图形的性质：以原点为位似中心时，若原图形上某点坐标为(x，y)，位似比为k，则对应点坐标同向缩放为(kx，ky)（适用于k>0）；由此计算即可解答.
2．（2025·浙江模拟）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心是（　　）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
【答案】D
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】解：连接 CC'交于点O，
∴点O是位似中心，
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心.
3．（2025·温州三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于点O位似，且.若四边形ABCD的面积为3，则四边形EFGH的面积为（　　）
A． B．6 C．12 D．18
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD与四边形EFGH关于点O位似 ，
∴，
∵，
∴；
故答案为：C.
【分析】
根据图形为位似图形，面积比等于相似比是平方即可求得.
4．（2025八下·深圳期末） 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】C
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC∥DF，
∴，
∴，
∵的周长为8，
∴
故答案为：C .
【分析】首先根据比例性质，求出，再根据相似三角形的性质，求出，最后根据的周长为8，即可得出的周长 。
5．（2025·浙江）如图，五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为 3 ，则的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
五边形是以坐标原点为位似中心的位似图形
故选：C.
【分析】位似图形是相似图形，位似比等于相似比，对应线段的比等于相似比.
二、填空题
6．（2025·潮阳模拟）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的周长之比为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，，
∴与的位似比是．
∴与的相似比为，
∴与的周长比为，
故答案为：
【分析】根据位似比与相似比的关系，求出与的相似比，然后结合相似三角形周长比等于相似比进行求解。
7．（2025·衡阳模拟）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为，则与的面积比是　 　．
【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为，
∴，，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先根据位似图形的概念得到，，再得出，然后根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算．
8．如图，O为△ABC内一点，A'，B'，C'分别是OA，OB，OC上的点，且OA'：AA'=OB'：BB’=OC'：CC'=1：2．若AB=6，则A'B'=　 　
【答案】2
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：OA'：AA'=OB'：BB’=OC'：CC'=1：2
∴
∴
AB=6，
∴ A'B'= 2
故答案为：2.
【分析】根据位似图形的概念可得，得到，即可得到答案.
9．（2022九上·襄汾期中）已知与是位似图形，位似比是，则与的面积比 　 　．
【答案】1：9
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：与是位似图形，位似比是，
，且相似比为，
与的面积比为：；
故答案为：．
【分析】根据，且相似比为1：3，利用相似三角形的性质可得与的面积比为1：9。
10．（2024·三台二模）四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O.点A与点E对应，若，四边形ABCD的面积为8，则四边形EFGH的面积为　 　.
【答案】72
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD与四边形EFGH位似 ，且
∵ 四边形ABCD的面积为8 ，
∴ 四边形EFGH的面积=8×9=72.
故答案为：72.
【分析】本题利用面积比等于位似比的平方，可以先求出四边形ABCD与四边形EFGH的面积比，然后代入计算即可。
三、解答题
11．（2025九上·江北期末）图 1，图 2 均为由边长为 1 的正六边形构成的网格，每个正六边形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上，称为格点三角形．请用无刻度直尺按要求画出图形．
（1）在图 1 中画出将 绕点 逆时针旋转 后的 （保留作图痕迹并请标注字母）．
（2）在图 2 中画出两个大小不一的格点三角形，要求与 相似但不全等（请涂填阴影）．
【答案】（1）如图所示．（作图痕迹不唯一，合理即可）
（2）如图所示．（答案不唯一，合理即可）
【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点. 即可；
(2)根据相似三角形的判定画出三角形即可.
12．（2023九上·贵阳期中）视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．

用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，，O在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
（1）探究图中与之间的关系，请说明理由；
（2）若，①号“E”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离．
【答案】（1）解：．
①号“E”与②号“E”相似，且点在一条直线上，
①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点，
是相似比，
．
（2）解：，
．
．
答：②号“E”的测量距离是．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）根据题意，可得①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点， 利用位似的性质列出比例式，即可求解；
（2）将已知数据代入比例式进行计算即可求解.
13．（2024九上·昌平期中）网格中每个小正方形的边长都是1．
（1）在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1；
（2）在图2中画一个格点，使，且相似比为．
【答案】（1）解：如图所示，由相似三角形的性质，可得
（2）解：如图所示，，，，
∴，，
∴
【知识点】作图﹣相似变换；位似变换
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长相应地扩大2倍，即可求解；
（2）由，结合网格线和相似三角形的性质，把的边长扩大倍，即可得到答案.
（1）如图所示，
（2）如图所示，，，，
∴，，
∴
14．（2023九上·鄞州期中）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．
（1）在图1中以线段AB为边画一个，使其与相似，但不全等．
（2）在图2中画一个，使其与相似，且面积为8．
【答案】（1）解：解：如图，△ABD即为所求；
（2）解：如图，△EFG即为所求．
【知识点】勾股定理；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）由图可知，AC=2，根据网格特点画AD⊥AB，使AD=即可；
（2）由AC=2，BC=4，画出直角边分别为2，4的直角三角形EFG即可．
（1）解：如图，△ABD即为所求；
（2）如图，△EFG即为所求．
15．（2023九下·丹徒月考）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上.
（1）在图①中，　 　.
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.
①如图②，在上找一点P，使.
②如图③，在上找一点P，使.
【答案】（1）
（2）解：①在网格图②中，，
如图2所示，连接CD，交AB于点P，
∵，
∴△PBC∽△PAD，
∴，
解得：，
∴点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A'，
连接A'C，交BD于点P，
∵，
∴△A'PB∽△CPD，
∵△ABP≌△A'BP，
∴△APB∽△CPD，
∴点P即为所要找的点.
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）解：图1中，
∵，
∴△PCD∽△PBA，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PCD∽△PBA，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）①连接点A右边三个单位长度处的格点D与B点左边两个单位长度处的格点C，CD与AB的交点就是所求的点P，理由如下：首先利用网格纸的特点及勾股定理算出AB的长，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△PBC∽△PAD，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AP=3；
②作点A的对称点A'，连接A'C，交BD于点P，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△A'PB∽△CPD，格努轴对称的性质得△ABP≌△A'BP，从而得出△APB∽△CPD，故点P即为所要找的点.
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