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有理数 绝对值重点题型 强化练
2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）七年级上册
一、单选题
1．如果，那么化简的结果是（ ）
A．0 B． C．2 D．3
2．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．或
3．如果 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．不确定
4．下列说法正确的有（ ）
①已知是有理数，，，则的值为；
②若为非零有理数，且，则的值为或；
③已知，则的最大值是，最小值是；
④若且，则式子．
A．个 B．个 C．个 D．个
5．数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法：
①对，进行“运算”的结果是，则的值是或；
②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是；
③对进行“运算”，化简后的结果可能存在种不同的表达式．
其中正确的个数是（ ）．
A． B． C． D．
6．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：
①对进行“差绝对值运算”的结果是8；
②x，2，5的“差绝对值运算”的最小值是3；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
7．若，则 ．
8．已知，则的值是 ．
9．的最小值是 ．
10．已知，则 ．
11．1．已知，有理数在数轴上的位置如图所示，
（1）化简： ；
（2）若两数的倒数是他们自身，当的范围是 时，有最小值，最小值为 ．
（3）在（2）的条件下，若未知数满足，则代数式的最大值是 ．
12．已知，，，则代数式的值为
三、解答题
13．有理数、、在数轴上的位置如图：
(1)判断正负，用“”或“”填空：________，________，________；
(2)化简：．
14．先阅读，再探究相关的问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m．
(1)若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________；
(2)借助数轴思考，当________时，与的值相等；
(3)借助数轴思考，当________时，有最小值，最小值为________；
(4)若点P位于表示的点左侧，化简：．
15．通过研究数轴，我们发现许多重要规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题：
【实践操作】
（1）若点P与表示的点的距离是5个单位长度，则a的值为________；若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则________；若数轴上比a小3的数用m表示，比a大9的数用n表示，则的最小值为________．
【灵活运用】
（2）解方程
【迁移拓展】
（3）已知，，，……，，
求式子的最小值．
16．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于．
(2)若数轴上的点表示的数，求的最小值；
(3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值．
17．综合与实践：【问题情境】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．数学活动课上，王老师出示了一个问题：点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为．如：表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和7两点之间的距离是______；数轴上表示2和的两点之间的距离是______；
【解决问题】：
（2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为______．
（3）试用数轴探究：当时的值为______．
【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：
（4）利用数轴求出的最小值为______，并写出此时可取的整数值为______．
18．阅读材料：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离可表示为．例如：的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示6的点之间的距离．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和2，数轴上另有一个点P对应的数为有理数x．
(1)点A、B之间的距离为 ．
(2)点P、A之间的距离 （用含x的式子表示）；若，则 ．
(3)若点P在点A、B之间，则 ．
(4)若，则点P表示的有理数 ．
19．我们知道，是在数轴上表示数的点到原点的距离．进一步地，若点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离就可以表示为．反过来，也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．
例，若，求x的值．
解：①，即．
文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于2的点表示的数．
②图形语言：
③答案：x的值为或 -3 ．
通过以上学习，完成以下问题：
(1)若，求x的值；
解：①文字语言：x的值为数轴上到表示的点的距离等于到表示3的点的距离相等的点表示的数．
②请补全图形语言：
③答案：___________．
(2)若，则x的值为_________．
(3)代数式的最小值为______，此时x的取值范围是_________．
20．先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】：
(1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________．
(2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________；
(3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________．
(4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________．
(5)拓展：的最小值是：________．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B C C B B
1．A
【分析】此题主要考查绝对值的化简和分式的运算，先根据绝对值的性质去掉绝对值，再约分化简即可．
【详解】解：∵，
，
．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了偶次方的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的性质，解题关键是熟悉上述知识并能熟练运用求解．
先根据偶次方的非负性，绝对值的非负性，求出，的值，再根据等腰三角形的腰的不同，分两种情况求解．
【详解】解：∵，
∴，，解得：，，
当腰长为时，，不能构成三角形；
当腰长为时，，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为．
故选：C ．
3．C
【分析】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解．．
【详解】解：∵，
∴中有1个正数，2个负数．
不妨设，，，则 ．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了绝对值的性质，由可得同时为正数或两负一正，进而由，，代入计算即可判断①；由得同时为负数或两正一负，分别计算即可判断②；分和化简代数式，进而求出最大值和最小值即可判断③；由得或，再分别计算可判断④，综上即可求解，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子．
【详解】解：①∵，
∴，，，
又∵，
∴同时为正数或两负一正，
当同时为正数时，
；
当两负一正时，
；
∴的值为或，故①错误；
②∵，
∴同时为负数或两正一负，
当同时为负数时，
；
当两正一负时，
，
∴的值为或，故②正确；
③当时，
，
此时最大值为，最小值为；
当时，
；
∴时，的最大值是，最小值是，故③正确；
④当时，则或，
当时，，与矛盾，不合题意；
当时，，，
∴，或，，
∴，，
∴，故④正确；
综上，说法正确的有个，
故选：．
5．B
【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，根据“运算”的运算方法进行运算可判断①和②；先根据“运算”的运算方法进行运算，再分类化简绝对值符号，即可判断③，综上即可求解，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】解：①由题意得，，
解得或，故①正确；
②由题意得，，
即，
∴，故②正确；
③对进行“运算”得，，
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，；
∴的“运算”化简后的结果可能存在种不同的表达式， 故③错误；
∴正确的个数是个，
故选：．
6．B
【分析】本题考查绝对值计算，定义新运算问题，实数计算等．根据题意将代入题中式子计算即可判断①的结论正确；对x，2，5进行“差绝对值运算”得到，再由绝对值几何意义得到的最小值为6，即可判断②的结论不正确；对a，b，c进行“差绝对值运算”得到，再根据绝对值几何意义即可得到本题答案．
【详解】解：对进行“差绝对值运算”的结果是，
①的结论正确；
对x，2，5进行“差绝对值运算”得到，
由绝对值的几何意义知，当时，取得最小值为3，
的最小值为6，
②的结论不正确；
对a，b，c进行“差绝对值运算”得到，
而利用绝对值的意义去绝对值后，的不同表达式一共有7种，
，，，，，，0，
③的结论不正确，
以上说法中正确的个数为1个．
故选：B．
7．4
【分析】根据得，解得，求代数式的值即可．
本题考查了绝对值的非负性，求代数式的值，熟练掌握非负性是解题的关键．
【详解】解：根据得，解得，
故．
故答案为：4．
8．
【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负性的性质得到，据此求出x、y的值即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．4
【分析】本题考查了绝对值与数轴，解题的关键是理解绝对值的几何意义．
根据绝对值的几何意义解答即可．
【详解】解：
如图所示：由绝对值的几何意义可知，就是要在数轴上求一点x，使它到、2、3这三个点的距离和最小，
所以当时，，故此时有最小值，最小值是4．
故答案为：4．
10．
【分析】此题主要考查了非负数的性质，负整数幂，直接利用绝对值的非负性，偶次幂的非负性得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】解：，
，，
解得：，，
故．
故答案为：．
11． 2 7
【分析】本题考查化简绝对值，两点间的距离，整式的加减运算，根据数轴判断数的大小，式子的符号，掌握绝对值的意义，是解题的关键．
【详解】解：（1）由图可知：，，
∴，
∴原式；
故答案为：；
（2）∵两数的倒数是他们自身，
∴，
∵表示数轴上表示的数到表示和的数的距离和，
∴当时，有最小值为：；
故答案为：；2；
（3）由（2）知：当时，有最小值为，
当时，有最小值为，
∵，
∴，，
∴的最大值为3，的最大值为，
∴的最大值为：；
故答案为：7．
12．或
【分析】本题考查了绝对值的应用，熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键．
由已知条件得出，，，再化简式子，再分四种情况讨论：当，，时，当、、中有一正两负时，当、、中有两正一负时，当，，时，分别化简即可．
【详解】解：，，
，，，
当，，时，原式
当、、中有一正两负时，不妨设，，，
原式
当、、中有两正一负时，不妨设，，，
原式
当，，时，
原式
综上，原式的值是或，
故答案为：或．
13．(1)，，
(2)
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减运算，掌握相关知识的应用是解题的关键．
（）根据数轴可得，，然后根据有理数的加减法法则即可解答；
（）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：∵从数轴可知：，，
∴，，，
故答案为：，，；
（2）解：∵，，，
∴
．
14．(1)或
(2)
(3)，
(4)
【分析】（1）由两点间的距离可得，再解方程求解；
（2）根据到两点距离相等的点是线段的中点，结合数轴可得答案；
（3）根据两点之间，线段最短，结合数轴可得答案；
（4）根据m的取值范围，画图，再去掉绝对值，合并同类项即可求解．
【详解】（1）解：数轴上点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，
；
或，
解得：m为或，
（2）解：如图，记表示，表示，对应的数为，
∴与的值相等，
即，
此时对应的数为：；
（3）解：如图，记表示，表示，表示，对应的数为，
∴，
∴当重合时，即，有最小值，
最小值为；
（4）解：点P位于表示的点左侧，如图，
∴
；
【点睛】本题考查了绝对值，数轴上两点的距离，以及绝对值方程，整式的加减运算，线段的中点的含义，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点．
15．（1）或4；5；19（2）或（3）
【分析】本题考查化简绝对值，解绝对值方程，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键：
（1）根据两点间的距离求出的值，根据的范围，化简绝对值求值，根据，得到，根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小，进行求解即可；
（2）分和两种情况解方程即可；
（3）将转化为，根据绝对值的几何意义，相当于找到表示数a的点，使得这个点到表示数的点的距离和最小，进而得到当时，有最小值，取代入求值即可．
【详解】解：（1）或；
当数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间时，；
，
∴，
∴当时，的值最小为：；
（2）
当时：，解得：；
当时：，解得：；
综上：或
（3）∵，，，……，，
∴
；
根据绝对值的几何意义，相当于找到表示数a的点，使得这个点到表示数的点的距离和最小，
∴当时，有最小值，
把代入，得：；
∴的最小值为．
16．(1)，
(2)6
(3)或
【分析】本题考查了绝对值在数轴上的应用，关键判断正负去掉绝对值符号．
（1）直接用两数相减的绝对值求出两点的距离；
（2）根据a的大小判断出绝对值符号里面结果的正负，再去掉绝对值符号求值；
（3）根据a的取值范围结合数轴解答即可．
【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是，
数轴上表示和2两点之间的距离是；
（2）解：当数轴上表示数的点位于表示数与2两点之间时（包括这两点），的值为6；
当数轴上表示数的点在表示数2的点的右边时，的值大于6；
当数轴上表示数的点在表示数的点的左边时，的值大于6；
所以的最小值为6；
（3）解：当时，的最小值为6，不合题意，舍去；
当时，要使的最小值为10，结合数轴可得；
当时，要使的最小值为10，结合数轴可得；
综上所述或．
17．（1），（2）（3）或（4），
【分析】（）用大数减小数便可求得两点的距离；
（）根据定义用代数式表示即可；
（）根据绝对值的意义解答便可；
（）由式子表示到与到的距离之和，可知当时，两距离之和最小，据此即可求解；
本题考查了数轴，绝对值的意义，化简绝对值，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
【详解】解：（），，
∴数轴上表示2和7两点之间的距离是5；数轴上表示2和的两点之间的距离是3；
故答案为：，；
（）依题意，数轴上表示和的两点之间的距离表示为，
故答案为：；
（）依题意，：数轴上表示和的两点之间的距离为，
当数在数的左边时，则，故；
当数在数的右边时，则，故；
故答案为：或；
（）依题意，由式子表示到与到的距离之和，
当时，则，
当时，则，
当时，则，
∴最小值为，
∴可取的整数有．
故答案为：，
18．(1)3
(2)，3或
(3)3
(4)或3
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义．绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键．
（1）根据题意直接求点A、B之间的距离即可；
（2）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可；
（3）由点在线段上，可得，计算求解即可；
（4）由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：点A、B之间的距离为，
故答案为：3；
（2）解：由题意知，点、之间的距离，
当时，
解得：或，
故答案为：或3；
（3）解：∵点在线段上，
，
故答案为：3．
（4）解：由题意知，当时，，
解得，；
当时，，舍去；
当时，，
解得，；
综上所述，点表示的有理数为或3，
故答案为：或3．
19．(1)②见解析；③
(2)或5
(3)5，
【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的几何意义是解题的关键．
（1）在数轴上表示出来，根据题中的例题写出答案即可；
（2）分两种情况讨论：当在的左侧时，，当在3的右侧时，；
（3）根据绝对值的几何意义可知，当时，的最小值为5．
【详解】（1）解：②补全图形语言如下：
③；
故答案为：；
（2）解：当在的左侧时，，
当在3的右侧时，，
或；
故答案为：或5；
（3）解：由题意得：
表示轴上到表示的点和表示3的点的距离和，
当时，则，此时无最小值；
当时，，
当时，，此时无最小值；
综上所述：当时，有最小值为5，
故答案为：5，．
20．(1)，或；
(2)，；
(3)；
(4)；
(5)．
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论．
（1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出；
（2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离；
（3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可；
（4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值；
（5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可．
【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是；
表示数和的两点之间的距离是，
，
整理得：，
解得：或；
故答案为：；或；
（2）解：，
，
解得：或，
，
，
解得：或，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
、两点间的最大距离是，最小距离是；
（3）解：如下图所示，
，
表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离，
表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离，
表示到点和的距离之和等于的点，
从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间，
这些点表示的数有、、、、、、、，
这些点表示的数的和是，
故答案为：；
（4）解：当时，
，
，
，
；
当时，
，
当时，
，
，
，
，
距离和的最小值是：；
（5）解：由可知当时，有最小值，
，
故答案为：．
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