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第四章《图形的相似》A卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八下·深圳期末） 已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A：三角形的三个角都是60°，与中的50°角没有对应相等的，所以A与不相似；
B：50°角是等腰三角形的底角，而中的50°角是等腰三角形的顶角，不是对应相等，所以B与不相似；
C：50°角是等腰三角形的顶角，中的50°角也是等腰三角形的顶角，且两条腰对应成比例，所以C与相似；
D：三角形也是等腰三角形，但是顶角是65°，而等腰的顶角是50°，对应角不相等，所以D与不相似；
故答案为：C .
【分析】根据相似三角形的判定定理分别进行判断，即可得出答案。
2． 如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边的三等分点(AEA．144 B．120 C．60 D．48
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵点D为BC边上的中点，
∴S△ABC=2S△ACD，
∵DG//EF，BD=CD
∴CG=EG，
∵E为AC边上的三等分点(AE∴CE=2AE，
∴AE=EG=CG，
∵EF//DG
∴AF=FD，
∴EF是△ADG的中位线，
∴，
∵FE//DG，
∴△AFE∽△ADG，
∴
∵△AEF的面积为4，
∴S△ADG=4S△AFE=16，
∵
∴
∴△ACD的面积=24，
∴S△ABC=2S△ACD=48.
故答案为：D.
【分析】由点D为BC边上的中点，得到S△ABC=2S△ACD，由平行线等分线段定理推出AF=FD，得到EF是△ADG的中位线，因此，由△AFE∽△ADG，推出，求出S△ADG=4S△AFE，由，得到△ACD的面积=24，进而即可求解.
3．（2025·长春）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC，
故A正确，不符合题意；
∴△ADE∽△ACB∽△AMN，
∴BC=2DE， DE=2MN，
∴BC =4MN，
∴BC=2DE=4MN， 故B正确， 不符合题意；
∵MN∥PQ∥BC，
故C正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，
故D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC， 则MN∥DE∥PQ∥BC，那么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ， 继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可.
4．（2025·钱塘模拟）如图，已知是等边三角形，为边上一点，且，作点关于的对称点，连结、与交于点，则的值为（　　）
A． B．9 C． D．10
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴设，则，
∴
∵是等边三角形，
∴，，
∵点关于的对称点为，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】设，则，得到，然后根据等边三角形的性质以及轴对称的性质得到，，，于是证明出，根据相似三角形对应边成比例的性质得到，从而设，则，进而表示出，，据此可求出与之间的数量关系，于是得，最后求比即可.
5．（2025八下·义乌月考） 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ ，
∴△AEP∽△ABC，，
设EP=a，EB=b，则，变形得到ab=16，即S△EPB=
∵AE=DF=2，
∴S△DFP=，
∴S阴影部分的面积=8+8=16。
故答案为：C.
【分析】本题主要考查相似三角形的判断和性质、三角形的面积等相关知识。
首先根据 ，推出△AEP∽△ABC，进而得出，变形即可得出S△EPB的面积；然后再计算出S△DFP的面积，最后求和即可。
6．（2025·杭州模拟） 如图在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点E，交延长线于点.若，，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由作图可知，BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，故A正确；
∵∠AEB=∠CBE，∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=3，
∵DE=2，
∴BC=AD=AE+DE=5，
故B正确；
∵AB//DF，
∴△ABE∽△DFE，
∴
故C正确；
∵AE=3，DE=2，
∴DE≠AE，
故D错误，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABE=∠CBE，故A正确；根据等腰三角形的性质得到AE=AB=3，求得BC=AD=AE+DE=5，故B正确；根据相似三角形的性质得到，故C正确；由AE=3，DE=2，得到DE≠AE，故D错误.
7．如图，△ABC与△DEF是位似图形，BC，EF都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上.若点B的坐标是（2，3），点F的横坐 标为-1，则点P的坐标为（　　）
A．（-2，0） B．（0，-2） C．（-1.5，0） D．（0，-1.5）
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-AA；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥x轴于点H，
则OE//BH，
∴△PEF∽△PBC，
∴
∵点B的坐标是(2，3)，点F的横坐标为-1，
∴CB=2，EF=1，
∵BC，EF都与x轴平行
∴BC//EF.
∴
∴
∵OH=2，
∴OP=2，
∴点P的坐标为(-2，0)，
故答案为：A.
【分析】过点B作BH⊥x轴于点H，根据△PEF∽△PBC，得到，根据题意求出OP，得到答案.
8．如图所示，在中，，BD，AC相交于点D，，，，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，
则∠E=90°
∵BD⊥AB，CE⊥BD，
∴AB//CE，∠ABD=90°，
∴△ABD∽△CED，
∴
∵，
∴
∴，则，
∵∠ABC=150°，∠ABD=90°，
∴∠CBE=60°，
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，可得△ABD∽△CED，可得，由，AB=2，可求出CE的长，又∠ABC=150°，∠ABD=90°，则∠CBD=60°，解直角△BCE，可分别求出BE和BD的长，进而可求出△BCD的面积.
9．（2025·益阳模拟）如图，在中，．下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项B不符合题意；
∴，故选项D不符合题意；
无法推出，故选项C符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质可得 ，根据平行线的性质可得，根据相似三角形的判定与性质可得，，即可求得.
10．（2025·西湖二模）如图，在中，点D在BC边上，，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵EF∥BD
∴△AEF∽△ABD
∴，A，C错误
∵FG∥DC
∴△AFG∽△ADC
∴
∴，B正确
∵FG∥DC
∴，D错误
故答案为：B
【分析】根据相似三角形判定定理及性质，平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，P为线段AB的黄金分割点(AP>PB).如果AB 的长为8 cm，那么叶片部分 AP的长为　 　 cm.
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】由黄金分割的定义，即可计算.
12．（2025·山西） 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8，BC=4，点E在边AB上，AE=3，连接CE，且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上，连接DF.若DF=DC，则线段CF的长为　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；矩形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图， 延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90，
∵DF =DC，
∴CH=FH=CF，
∵AD//BC，B= 90，
∴∠B=∠GAE=90，∠B+ ∠BAD= 180° ，
∴∠B=∠BAD=∠BHD = 90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB=DH=8，AD= BH，
∵∠AEG= ∠BEC，
∴AEG△BEC ，
∴，
∴AB=8，AE=3，
∴BE=5，
∴，
∴AG=，
∵AD//BC，
∴∠G= ∠BCE，
∵∠DCE= ∠BEC，
∴∠G= ∠DCE，
∴CD=CG
设CH=FH=x，则AD=BH=4+x
∴CD=GD=4+x+=x+，
由勾股定理得CD2=CH2+DH2
∴
解得x=
∴CF=2CH=
故答案为：.
【分析】 延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90°，由三线合一的性质可得
CH=FH=CF，结合角度的和差运算可证明四边形ABHD是矩形，所以AB= DH=8，AD= BH，又∠AEG=∠BEC ，则可证AEG△BEC ，利用相似三角形的性质计算可得AG=，然后通过平行线的性质和等角对等边可得CD=GD，设CH=FH=x，则AD=BH=4+x，CD=GD=x+，最后通过勾股定理求出x的值即可解答.
13．（2025·宜宾）如图，在矩形中，点、分别在BC、CD上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上，M处．若A、、三点共线，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段的比
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD= BC，AB=CD，АВC=90 ，
∵EF//BD，
∴CEF=CBA，FEM= ЕМВ ，
由翻折的性质可得：CEF=FEM ，MF=CF ，
∴EMB=EBM ，
∴CE= BE= ME，
∵ AD// BC，
∴ADM= AMD ，
∴AD=AM，
设BE=ME=x，则AD= AM=2x， AE=AM + EM = 3x，
AB= ，
∴，
AD=，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质及平行线的性质再结合折叠的性质得到CE= BE= ME，再根据等角对等边推出AD= AM，设BE=ME=x，则AD=AM=2x，利用勾股定理求出AB=2 ，计算即可解答.
14．（2025·宝安模拟）若，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】比例的性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：2.
【分析】直接把代入进行化简，即可解答．
15．（2025·河南）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，点为边BC上一点，若为“反直角三角形”，则BP的长为　 　．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
，解得：
当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
、
，解得：
故答案为：或.
【分析】由于是“反三角形”，则应分两种情况进行讨论，即当时，过点P作于点D，则，即DP=CD，此时设CD为x，则AD=5-x，由等边对等角知，则可证DP//AB，即，此时再边点A作BC的高AE，由等腰三角形三线合一知BE等于CE等于AB的一半即4，由勾股定理可得AE=3；又且是公共角，则可证，由相似比可得，则，再应用勾股定理可得关于x的一元二次方程，解方程求出x，则CP可得，再利用BP=BC-PC即可；当时，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则，此时则，即，再证，由相似比可分别求出Cd、CP，则BP可求.
16．（2025·柯桥模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，点D在BC上，BD＝2，CD＝3，且AB＝AD，E为AC上一点，过点B作BF∥DE交AC于点F，交AD于点G，若AF＝CE，则GF的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】作，利用等腰三角形的性质得到CH的长度，进而求得AC的长度，再利用平行线的性质得到，即可求得CE的长度，然后通过勾股定理计算出CE的长度，由得到GF的长度.
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2025·温州模拟）如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点．
（1）求证：≌；
（2）连结，当，，时，求的长．
【答案】（1）证明：，
，，
点为的中点，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：≌，
，，
，
，
，
的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由“AAS”可证△DAE≌△CFE；
(2)由全等三角形的性质可得BE=EF，BC=DF，由中垂线的性质可得AB=AF，可得结论.
18．（2025九下·武威开学考）如图，在平行四边形中，，点G在的延长线上，连接，分别交、于点E、F，且．
（1）求的长；
（2）如果，求四边形的面积．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形的面积．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的性质可得，，由平行线截得的两个三角形相似可得，利用相似的性质可得，进而可得，然后利用线段之间的和差关系，由此即可求出的长；
（2）由（1）得，，由平行四边形的性质可得，由平行线截得的两个三角形相似得，于是利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，进而可得，然后利用各部分面积之间和差关系可得，四边形的面积，由此即可求出四边形的面积．
（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形的面积．
19．（2025·兴宁模拟）如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）点是线段上一点，满足交于点．
①求证：；
②若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）①证明：
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
②解：由①得，
，即，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行线成比例定理可得，即，即可求出答案.
（2）①根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，根据角之间的关系可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
②根据相似三角形判定定理可得，代值计算即可求出答案.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）①证明：
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
②解：由①得，
，即，
．
20．（2025·内蒙古自治区）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．
（1）如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点．
①试猜想与的数量关系，并说明理由；
②求的面积；
（2）如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长．
【答案】（1）解：①由翻折得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
②由，
∴，
如图，过点作于点，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点，
由翻折的性质得，
同（2）可得，
∴，
∴，
即，
得，
∴，
∵平行四边形中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）①首先根据AAS可证得，进而得出；
②如图，过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得出，，再根据余弦定义，求得，进而得出，再根据勾股定理求得，然后根据三角形的面积计算公式即可求得的面积 ；
（2）过点作于点，连接交于点，过点作于点，首先根据勾股定理求得，再根据面积法求得，再由勾股定理得出，再根据AAS证得，进而，，再根据，可得出，即可得出。
21．（2025·武威）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在CD的延长线上．
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：．理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，
．
，点E与点A重合，
，
，
．
（2）解：．理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，
．
是直角三角形，
，
，
，
即．
∵EP=EF，EF=EG
∴EP=EG
∴
∴AE=DG
（3）解：BF =DG，理由如下：
由(2)可知：
∴AE= DG，AP= DE，
作FH⊥AB于点H，则：∠FHB= ∠FHA=∠PAE= 90°，
∴AE//FH
∴
∴PA=AH，
∵PE=EF，
∴ AE为PHF的中位线，
∴HF =2AE，
∵AP=DE，PA= AH，
∴DE= AH，
又∵AD=AB，
∴AE= BH ，
在RtBHF中，由勾股定理，得： BF=，
∵AE=DG，
∴BF =DG.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
(1)根据正方形的性质利用HL可证明ADG≌ABF，再利用全等三角形的性质，即可得出结论；
(2)根据正方形的性质利用同角的余角相等得到，即可利用AAS证明PAE≌EDG，证明即可得出结论：
(3)作FH⊥AB，得到AE//FH，利用平行线分线段成比例得到；即可得出AP= AH，结合已知条件得到AE为PHF的中位线，从而得到FH=2AE，根据AP=DE，得到AH=DE，进而得到AE=BH，再利用勾股定理得到BF=AE，再根据AE = DG，即可得出结论.
22．（2023·菏泽）
（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
（2）【问题解决】
如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
（3）【类比迁移】
如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质即可得到，进而得到，再结合题意即可得到，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）先根据正方形的性质即可得到，，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而得到，再结合题意证明即可得到，从而运用平行线的性质即可求解；
（3）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质即可得到，，进而根据平行线的性质得到，再证明即可得到，，进而得到，然后根据等边三角形的判定与性质结合题意求出FG，进而即可求解。
23．（2025·福田模拟）如图1，点是对角线BD上的一点，且使得，连接AP并延长，交CD于点。
（1）若，求的值。
（2）如图2，将沿AB方向平移到，求证：。
（3）如图3，连接PC，取PC的中点，连接DM交AE于点，若，求的值。
【答案】（1）解：
中
中
（2）解：如图1
平移
，
又
（SAS）
（3）解：如图5所示，延长DM至点，使得，连接PQ，CQ，设
为PC的中点
四边形CDPQ是平行四边形
中，
又，
中，
又
又
又
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平移的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得AB∥CD，则，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据平移性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得AB=MB，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）延长DM至点，使得，连接PQ，CQ，设，根据线段中点可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形CDPQ是平行四边形，则，再根据平行四边形性质可得，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，则，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1第四章《图形的相似》A卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025八下·深圳期末） 已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（　　）
A． B．
C． D．
2． 如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AC边的三等分点(AEA．144 B．120 C．60 D．48
3．（2025·长春）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·钱塘模拟）如图，已知是等边三角形，为边上一点，且，作点关于的对称点，连结、与交于点，则的值为（　　）
A． B．9 C． D．10
5．（2025八下·义乌月考） 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·杭州模拟） 如图在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点E，交延长线于点.若，，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC与△DEF是位似图形，BC，EF都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上.若点B的坐标是（2，3），点F的横坐 标为-1，则点P的坐标为（　　）
A．（-2，0） B．（0，-2） C．（-1.5，0） D．（0，-1.5）
8．如图所示，在中，，BD，AC相交于点D，，，，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·益阳模拟）如图，在中，．下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·西湖二模）如图，在中，点D在BC边上，，分别交AB，AD，AC于点E，F，G，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，P为线段AB的黄金分割点(AP>PB).如果AB 的长为8 cm，那么叶片部分 AP的长为　 　 cm.
12．（2025·山西） 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8，BC=4，点E在边AB上，AE=3，连接CE，且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上，连接DF.若DF=DC，则线段CF的长为　 　.
13．（2025·宜宾）如图，在矩形中，点、分别在BC、CD上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上，M处．若A、、三点共线，则的值为　 　．
14．（2025·宝安模拟）若，则的值为　 　．
15．（2025·河南）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，点为边BC上一点，若为“反直角三角形”，则BP的长为　 　．
16．（2025·柯桥模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，点D在BC上，BD＝2，CD＝3，且AB＝AD，E为AC上一点，过点B作BF∥DE交AC于点F，交AD于点G，若AF＝CE，则GF的长为　 　．
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2025·温州模拟）如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点．
（1）求证：≌；
（2）连结，当，，时，求的长．
18．（2025九下·武威开学考）如图，在平行四边形中，，点G在的延长线上，连接，分别交、于点E、F，且．
（1）求的长；
（2）如果，求四边形的面积．
19．（2025·兴宁模拟）如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）点是线段上一点，满足交于点．
①求证：；
②若，求的长．
20．（2025·内蒙古自治区）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．
（1）如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点．
①试猜想与的数量关系，并说明理由；
②求的面积；
（2）如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长．
21．（2025·武威）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在CD的延长线上．
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由．
22．（2023·菏泽）
（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
（2）【问题解决】
如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
（3）【类比迁移】
如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
23．（2025·福田模拟）如图1，点是对角线BD上的一点，且使得，连接AP并延长，交CD于点。
（1）若，求的值。
（2）如图2，将沿AB方向平移到，求证：。
（3）如图3，连接PC，取PC的中点，连接DM交AE于点，若，求的值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A：三角形的三个角都是60°，与中的50°角没有对应相等的，所以A与不相似；
B：50°角是等腰三角形的底角，而中的50°角是等腰三角形的顶角，不是对应相等，所以B与不相似；
C：50°角是等腰三角形的顶角，中的50°角也是等腰三角形的顶角，且两条腰对应成比例，所以C与相似；
D：三角形也是等腰三角形，但是顶角是65°，而等腰的顶角是50°，对应角不相等，所以D与不相似；
故答案为：C .
【分析】根据相似三角形的判定定理分别进行判断，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵点D为BC边上的中点，
∴S△ABC=2S△ACD，
∵DG//EF，BD=CD
∴CG=EG，
∵E为AC边上的三等分点(AE∴CE=2AE，
∴AE=EG=CG，
∵EF//DG
∴AF=FD，
∴EF是△ADG的中位线，
∴，
∵FE//DG，
∴△AFE∽△ADG，
∴
∵△AEF的面积为4，
∴S△ADG=4S△AFE=16，
∵
∴
∴△ACD的面积=24，
∴S△ABC=2S△ACD=48.
故答案为：D.
【分析】由点D为BC边上的中点，得到S△ABC=2S△ACD，由平行线等分线段定理推出AF=FD，得到EF是△ADG的中位线，因此，由△AFE∽△ADG，推出，求出S△ADG=4S△AFE，由，得到△ACD的面积=24，进而即可求解.
3．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC，
故A正确，不符合题意；
∴△ADE∽△ACB∽△AMN，
∴BC=2DE， DE=2MN，
∴BC =4MN，
∴BC=2DE=4MN， 故B正确， 不符合题意；
∵MN∥PQ∥BC，
故C正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，
故D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC， 则MN∥DE∥PQ∥BC，那么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ， 继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可.
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴设，则，
∴
∵是等边三角形，
∴，，
∵点关于的对称点为，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】设，则，得到，然后根据等边三角形的性质以及轴对称的性质得到，，，于是证明出，根据相似三角形对应边成比例的性质得到，从而设，则，进而表示出，，据此可求出与之间的数量关系，于是得，最后求比即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ ，
∴△AEP∽△ABC，，
设EP=a，EB=b，则，变形得到ab=16，即S△EPB=
∵AE=DF=2，
∴S△DFP=，
∴S阴影部分的面积=8+8=16。
故答案为：C.
【分析】本题主要考查相似三角形的判断和性质、三角形的面积等相关知识。
首先根据 ，推出△AEP∽△ABC，进而得出，变形即可得出S△EPB的面积；然后再计算出S△DFP的面积，最后求和即可。
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由作图可知，BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，故A正确；
∵∠AEB=∠CBE，∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=3，
∵DE=2，
∴BC=AD=AE+DE=5，
故B正确；
∵AB//DF，
∴△ABE∽△DFE，
∴
故C正确；
∵AE=3，DE=2，
∴DE≠AE，
故D错误，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABE=∠CBE，故A正确；根据等腰三角形的性质得到AE=AB=3，求得BC=AD=AE+DE=5，故B正确；根据相似三角形的性质得到，故C正确；由AE=3，DE=2，得到DE≠AE，故D错误.
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-AA；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥x轴于点H，
则OE//BH，
∴△PEF∽△PBC，
∴
∵点B的坐标是(2，3)，点F的横坐标为-1，
∴CB=2，EF=1，
∵BC，EF都与x轴平行
∴BC//EF.
∴
∴
∵OH=2，
∴OP=2，
∴点P的坐标为(-2，0)，
故答案为：A.
【分析】过点B作BH⊥x轴于点H，根据△PEF∽△PBC，得到，根据题意求出OP，得到答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，
则∠E=90°
∵BD⊥AB，CE⊥BD，
∴AB//CE，∠ABD=90°，
∴△ABD∽△CED，
∴
∵，
∴
∴，则，
∵∠ABC=150°，∠ABD=90°，
∴∠CBE=60°，
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，可得△ABD∽△CED，可得，由，AB=2，可求出CE的长，又∠ABC=150°，∠ABD=90°，则∠CBD=60°，解直角△BCE，可分别求出BE和BD的长，进而可求出△BCD的面积.
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，故选项A不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项B不符合题意；
∴，故选项D不符合题意；
无法推出，故选项C符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质可得 ，根据平行线的性质可得，根据相似三角形的判定与性质可得，，即可求得.
10．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵EF∥BD
∴△AEF∽△ABD
∴，A，C错误
∵FG∥DC
∴△AFG∽△ADC
∴
∴，B正确
∵FG∥DC
∴，D错误
故答案为：B
【分析】根据相似三角形判定定理及性质，平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】由黄金分割的定义，即可计算.
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；矩形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图， 延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90，
∵DF =DC，
∴CH=FH=CF，
∵AD//BC，B= 90，
∴∠B=∠GAE=90，∠B+ ∠BAD= 180° ，
∴∠B=∠BAD=∠BHD = 90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB=DH=8，AD= BH，
∵∠AEG= ∠BEC，
∴AEG△BEC ，
∴，
∴AB=8，AE=3，
∴BE=5，
∴，
∴AG=，
∵AD//BC，
∴∠G= ∠BCE，
∵∠DCE= ∠BEC，
∴∠G= ∠DCE，
∴CD=CG
设CH=FH=x，则AD=BH=4+x
∴CD=GD=4+x+=x+，
由勾股定理得CD2=CH2+DH2
∴
解得x=
∴CF=2CH=
故答案为：.
【分析】 延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90°，由三线合一的性质可得
CH=FH=CF，结合角度的和差运算可证明四边形ABHD是矩形，所以AB= DH=8，AD= BH，又∠AEG=∠BEC ，则可证AEG△BEC ，利用相似三角形的性质计算可得AG=，然后通过平行线的性质和等角对等边可得CD=GD，设CH=FH=x，则AD=BH=4+x，CD=GD=x+，最后通过勾股定理求出x的值即可解答.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段的比
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD= BC，AB=CD，АВC=90 ，
∵EF//BD，
∴CEF=CBA，FEM= ЕМВ ，
由翻折的性质可得：CEF=FEM ，MF=CF ，
∴EMB=EBM ，
∴CE= BE= ME，
∵ AD// BC，
∴ADM= AMD ，
∴AD=AM，
设BE=ME=x，则AD= AM=2x， AE=AM + EM = 3x，
AB= ，
∴，
AD=，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质及平行线的性质再结合折叠的性质得到CE= BE= ME，再根据等角对等边推出AD= AM，设BE=ME=x，则AD=AM=2x，利用勾股定理求出AB=2 ，计算即可解答.
14．【答案】2
【知识点】比例的性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：2.
【分析】直接把代入进行化简，即可解答．
15．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
，解得：
当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
、
，解得：
故答案为：或.
【分析】由于是“反三角形”，则应分两种情况进行讨论，即当时，过点P作于点D，则，即DP=CD，此时设CD为x，则AD=5-x，由等边对等角知，则可证DP//AB，即，此时再边点A作BC的高AE，由等腰三角形三线合一知BE等于CE等于AB的一半即4，由勾股定理可得AE=3；又且是公共角，则可证，由相似比可得，则，再应用勾股定理可得关于x的一元二次方程，解方程求出x，则CP可得，再利用BP=BC-PC即可；当时，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则，此时则，即，再证，由相似比可分别求出Cd、CP，则BP可求.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】作，利用等腰三角形的性质得到CH的长度，进而求得AC的长度，再利用平行线的性质得到，即可求得CE的长度，然后通过勾股定理计算出CE的长度，由得到GF的长度.
17．【答案】（1）证明：，
，，
点为的中点，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：≌，
，，
，
，
，
的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由“AAS”可证△DAE≌△CFE；
(2)由全等三角形的性质可得BE=EF，BC=DF，由中垂线的性质可得AB=AF，可得结论.
18．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形的面积．
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】
（1）由平行四边形的性质可得，，由平行线截得的两个三角形相似可得，利用相似的性质可得，进而可得，然后利用线段之间的和差关系，由此即可求出的长；
（2）由（1）得，，由平行四边形的性质可得，由平行线截得的两个三角形相似得，于是利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，进而可得，然后利用各部分面积之间和差关系可得，四边形的面积，由此即可求出四边形的面积．
（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形的面积．
19．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）①证明：
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
②解：由①得，
，即，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行线成比例定理可得，即，即可求出答案.
（2）①根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，根据角之间的关系可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
②根据相似三角形判定定理可得，代值计算即可求出答案.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
（2）①证明：
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
②解：由①得，
，即，
．
20．【答案】（1）解：①由翻折得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
②由，
∴，
如图，过点作于点，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点，
由翻折的性质得，
同（2）可得，
∴，
∴，
即，
得，
∴，
∵平行四边形中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）①首先根据AAS可证得，进而得出；
②如图，过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得出，，再根据余弦定义，求得，进而得出，再根据勾股定理求得，然后根据三角形的面积计算公式即可求得的面积 ；
（2）过点作于点，连接交于点，过点作于点，首先根据勾股定理求得，再根据面积法求得，再由勾股定理得出，再根据AAS证得，进而，，再根据，可得出，即可得出。
21．【答案】（1）解：．理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，
．
，点E与点A重合，
，
，
．
（2）解：．理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，
．
是直角三角形，
，
，
，
即．
∵EP=EF，EF=EG
∴EP=EG
∴
∴AE=DG
（3）解：BF =DG，理由如下：
由(2)可知：
∴AE= DG，AP= DE，
作FH⊥AB于点H，则：∠FHB= ∠FHA=∠PAE= 90°，
∴AE//FH
∴
∴PA=AH，
∵PE=EF，
∴ AE为PHF的中位线，
∴HF =2AE，
∵AP=DE，PA= AH，
∴DE= AH，
又∵AD=AB，
∴AE= BH ，
在RtBHF中，由勾股定理，得： BF=，
∵AE=DG，
∴BF =DG.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
(1)根据正方形的性质利用HL可证明ADG≌ABF，再利用全等三角形的性质，即可得出结论；
(2)根据正方形的性质利用同角的余角相等得到，即可利用AAS证明PAE≌EDG，证明即可得出结论：
(3)作FH⊥AB，得到AE//FH，利用平行线分线段成比例得到；即可得出AP= AH，结合已知条件得到AE为PHF的中位线，从而得到FH=2AE，根据AP=DE，得到AH=DE，进而得到AE=BH，再利用勾股定理得到BF=AE，再根据AE = DG，即可得出结论.
22．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质即可得到，进而得到，再结合题意即可得到，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）先根据正方形的性质即可得到，，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而得到，再结合题意证明即可得到，从而运用平行线的性质即可求解；
（3）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质即可得到，，进而根据平行线的性质得到，再证明即可得到，，进而得到，然后根据等边三角形的判定与性质结合题意求出FG，进而即可求解。
23．【答案】（1）解：
中
中
（2）解：如图1
平移
，
又
（SAS）
（3）解：如图5所示，延长DM至点，使得，连接PQ，CQ，设
为PC的中点
四边形CDPQ是平行四边形
中，
又，
中，
又
又
又
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平移的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得AB∥CD，则，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据平移性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得AB=MB，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）延长DM至点，使得，连接PQ，CQ，设，根据线段中点可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形CDPQ是平行四边形，则，再根据平行四边形性质可得，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，则，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
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