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第四章《图形的相似》B卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·贵州）如图，已知，若，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：因为，相似三角形对应边成比例，所以 ，已知，则.
故答案为：C .
【分析】利用相似三角形“对应边成比例”的性质，结合已知的边的比例关系和的长度，求出.
2．（2025·河北）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AE∥BC
∴∠AEM=∠CND，∠MAE=∠B
A：当时
∵∠DCN+∠4=180°
∴∠DCN=∠B
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
B：当时
∴∠DCN=∠B
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
C：时
∵∠MAE+∠1=180°，∠DCN+∠4=180°
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
D：当时
∵∠AEM+∠2=180°，∠CDN+∠3=180°
∴∠AEM=∠CDN=∠CND
∴不能判断△MAE∽△DCN，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据直线平行性质可得∠AEM=∠CND，∠MAE=∠B，再根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025·宜宾）如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】
解：如图所示，过点D作DF// BC交AC于点F，
∵AD= 2DB
∴
∴
∵ DF// ВC ，
∴AFD~ACB ，
∴
∴
设S AFD=4x，S ACB=9x，
∵沿DE将ABC剪成面积相等的两部分，
∴S ADE=，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】过点D作DF// BC交AC于点F，根据比列的性质得到，由DF// ВC 得到AFD~ACB ，根据相似三角形的性质得到，设S AFD=4x，S ACB=9x，根据折叠的性质得到S ADE=，计算可得，最后进行计算即可解答.
4．（2024·重庆）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】
解：∵ 两个相似三角形的相似比是，
∴ 这两个相似三角形的面积比是1：9
故答案为：D
【分析】本题考查相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方，熟悉性质是关键。
5．（2024·湖南）如图，在中，点，分别为边，的中点．下列结论中，错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点分别为边的中点，
∴，，故正确；
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，故错误；
故答案为：D.
【分析】根据三角形中位线的性质可判断正确，相似三角形的判定和性质可判断，即可得出结果.
6．（2024·浙江）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为， 点
∴点B的对应点B'的坐标为（-2×2，4×2）即（-4，8）.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件，可知将点B的横纵坐标都乘以2，可得到点B'的坐标.
7．（2024·连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：由图象可知，甲与丁形状形似，检验各边的比例均为1：2.
故答案为：D.
【分析】根据形状大致分析，再检验边比例即可.
8．（2023·雅安）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=BA，DC∥BA，
∴，，
设FG=a，则GE=1+a，GB=DC+GA，
∴，
解得a=8，
∴GF=8，
故答案为：C
【分析】先根据平行四边形的性质即可得到DC=BA，DC∥BA，进而根据平行线分线段成比例即可得到，，设FG=a，则GE=1+a，GB=DC+GA，根据题意即可列出方程，进而即可求解。
9．（2022·东营）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
10． 如图，△BCD 中，BD=CD=5，延长CD至点A，使AD=3，连结AB，此时△ABC∽△ADB，则BC的长为(　　)
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
故选： A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例解答.
二、填空题（每题3分，共18分）
11． 已知 ， 那么 的值为　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴.
故答案为： .
【分析】将 先变形，再将的值代入即可.
12． 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在边BC上(不与点B，C重合)，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在点F处.若则 　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接BF交AE于点O，如图，
∵△AFE由△ABE折叠得到，
∴△AFE≌△ABE，BF⊥AE
∴∠AOB=90°，BE=FE，
∴∠BAE+∠ABO=90°，∠FBE=∠BFE，∠BAE+∠BEA=90°
∴∠ABO =∠BEA，
∴△ABO∽△BEO，
∴∠OBE=∠BAE
∵∠BAE=∠ECF
∴∠OBE=∠ECF
∴∠BFE=∠BCF，
又∵∠EBF=∠FBC
∴△EBF∽△FBC，
∴
∴
∵
∴可设EC=5a，BE=3a，
∴CB=8a，
∴，
∴，
∴，
∵∠BAE=∠OBE，∠ABE=∠BOE，
∴△ABE∽△BOE，
∴，
故答案为：.
【分析】连接BF交AE于点O，证明出∠FBE=∠BFE，进而证明出∠FBE=∠BFE，可得BF=VBE·CB，由，可设EC=5a，BE=3a，用a表示出OE，BE=BE，利用△ABE∽△BOE，进而即可求出答案.
13．（2024·宜宾）如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别是边CD、AD上的动点，且．当的值最小时，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长BC到点H，使CH=CD，连接EH，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC=4，AB=CD=2，
∴∠D=∠ECH，
又∵CD=CH=2， DF=CE.
∴△CDF≌△HCE(SAS)，
∴CF=EH.
∴AE+CF=AE十EH，
当点A，E，H三点共线时，AE+CF有最小值，此时CD//AB，
∴△CEH∽△BAH.
∴，
∴
∴
故答案为：.
【分析】延长BC到点H，使CH=CD，连接EH，由“SAS”可证△CDF≌△HCE，可得CF=EH，则AE+CF=AE+EH，即当点A，E，H三点共线时，AE+CF有最小值，通过证明△CEH∽△BAH，即可求解.
14．（2024·扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛竖直放置经小孔在屏幕竖直放置上成像设，小孔到的距离为，则小孔到的距离为　 　．
【答案】20
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设 小孔到的距离为 xcm
由题意知：
∴△ABC∽△A'B'C'
x=20
故答案为：20.
【分析】先根据题意得出△ABC∽△A'B'C'，再根据相似三角形对应高之比等于相似比，列出方程即可.
15．（2025·苏州）如图，在 中， ，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD 的右侧作等边三角形ADE，线段 DE 与线段AC交于点F，则线段CF 长度的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当取得最小值时，取得最大值，
∴当取得最小值时，取得最小值，
∴当时，取得最小值，此时点与点重合，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
∴的最大值为，
故答案为：.
【分析】过点作于，求出，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，然后根据等边三角形的性质得，于是推出，根据相似三角形对应边成比例的性质得，接下来推出当取得最小值时，取得最大值，当取得最小值时，取得最小值，当时，取得最小值，此时点与点重合，从而依次求出，的最小值，进而求出的最大值.
16．（2024·呼伦贝尔）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过作轴于点，则，
由平移性质可知：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
设，则，，
∴，解得：，
∴，，
∴，
∵点在第四象限，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，由平移性质可知AB=CD，AB∥CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形ABCD是平行四边形，进而根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”得四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得∠BAD=90°，BC=AD=2AB，根据同角的余角相等可得∠OBA=∠EAD，从而由“有两组角对应相等的两个三角形相似”得△OAB∽△EDA，由相似三角形对应边成比例得，设，则，，根据DA的长建立方程求得a的值，可得EA、ED及OE的长，从而可得点D的坐标.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025·广东） 如图， CD是 斜边AB上的中线，过点A，C分别作 CE∥AB， AE与CE相交于点E.现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则.
命题2：若连接ED，则ED ⊥AC
命题3：若连接ED，则.
任选两个命题，先判断真假，再证明成举反例.
【答案】解：命题1：真命题
证明：∵CD 为Rt△ABC斜边上的中线
∵AE∥CD， CE∥AD
∴四边形ADCE 是平行四边形
∵CE∥AB
∴△ABF∽△CEF
即
命题2：真命题
同命题1，可证得四边形 ADCE是平行四边形，且AD=CD
∴四边形ADCE 是菱形
∴DE⊥AC
命题3：真命题
同命题1可证得CE∥BD 且CE = BD
∴四边形BCED 是平行四边形
∴ED=BC
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】命题1：因为CD是 斜边AB上的中线，可得AD=BD=CD=AB；由AE∥CD， CE∥AD可得四边形ADCE为平行四边形，即有CE=AD=AB；
进一步得到△ABF∽△CEF；可得， 。
命题2：由四边形AECD是菱形（已证AE∥DC，CE∥AB且CD = AD ），菱形的对角线互相垂直，所以ED⊥AC。
命题3：因为四边形AECD是平行四边形，所以AE = CD，又CD = BD（直角三角形斜边中线等于斜边一半 ），且CE平行AB，AE∥CD，所以四边形EBCD是平行四边形（两组对边分别平行 ）。 根据平行四边形对边相等，可得ED=BC。
18．（2022·长春）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中的形状是　 　；
（2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等：
（3）在图②中的边上确定一点E，连结，使：
（4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2．
【答案】（1）直角三角形
（2）解：如图，点D即为所求作，使与全等：
（3）解：如图所示，点E即为所作，且使：
（4）解：如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．
【知识点】勾股定理的逆定理；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）∵
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；
（3）根据相似三角形的判定，作出图形即可；
（4）作出AB、BC的中点P、Q即可。
19．（2020·苏州）如图，在矩形 中，E是 的中点， ，垂足为F.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， .
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ .
∵ ， 是 的中点，
∴ .
∴在 中， .
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得， ， .再根据“两直线平行，内错角相等”可得 ，再由垂直的定义可得 .从而得出 ，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
（2）根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
20．（2025·扬州）如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴EA＝FC，
∴EA＝EC＝FA＝FC，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：过点B作BP⊥AC于点P，在AP上截取PQ＝PA，连接BQ，如图所示：
设PA＝x，∠ACB＝α，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，BC＝5，
∴AD＝BC＝5，AB∥CD，OA＝OCAC
∵四边形AFCE是菱形，
∴∠ACB＝∠ACE＝α，AE＝CF，EF⊥AC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝2α，
∵BP⊥AC，PQ＝PA＝x，
∴BP是AQ的垂直平分线，
∴BQ＝AB＝3，
∴∠BQA＝∠BAC＝2α，
∵∠BQA是△QBC的外角，
∴∠BQA＝∠QBC+∠ACB，
∴2α＝∠QBC+α，
∴∠QBC＝α，
∴∠QBC＝∠ACB＝α，
∴BQ＝CQ＝3，
∴CP＝CQ+PQ＝3+x，
在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理得：BP2＝AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2，
∴32﹣x2＝52﹣（3+x）2，
解得：x，
∴AP＝x，CP＝3+x，
∴AC＝AP+PC，
∴OCAC，
∴BP，
∵EF⊥AC，BP⊥AC，
∴EF∥BP，
∴△OCF∽△PCB，
∴，
∴CP OF＝OC BP，
∴，
∴OF，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF，
∴AE＝CF，
∴DE＝AD﹣AE．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到EA＝EC，FA＝FC，然后利用AS证明△OAE≌△OCF，即可得到EA＝FC，证明结论；
（2）过点B作BP⊥AC于点P，在AP上截取PQ＝PA，连接BQ，设PA＝x，∠ACB＝α，即可得到∠ACD＝2α，根据垂直平分线得到BQ＝AB＝3，即可得到∠BQA＝∠BAC＝2α，进而利用外角得到2α＝∠QBC+α，进而求出∠QBC＝α，然后在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理BP2＝AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2求出x值，然后证明△OCF∽△PCB，根据对应边成比例求出OF长，再根据勾股定理解答即可.
21．（2025·上海市）如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．
（1）若E是BC中点；
①若AE=EF，求证：∠BAE=∠EFC；
②若CF=DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；
（2）如图2，若AB=3，AD=5，CF=1，∠AEB=∠AFE=∠EFC，求AF的长．
【答案】（1）解：①证明：如图所示，延长FE，AB交于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠EBH=∠ECF，∠EHB=∠EFC，
∵E是边BC中点，
∴BE=CE，
∴△BEH≌△CEF(AAS)
∴EH=EF，∠H=∠CFE，
∵AE=EF，
∴AE=EH，
∴∠H=∠BAE，
∴∠BAE=∠CFE；
②解：如图所示，延长BF，AD交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF
，
∴BF=MF，BC=DM，
∵E是边BC中点，
∴BC=2CE=2BE，
设CE=BE=m，则BC=DM=2m，
∴AM=AD+DM=4m
，
，
设，则，，
；
（2）解：如图所示，延长AD，EF交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD=AB=3，
∴∠AEB=∠EAD，
∵∠AEB=∠AFE=∠EFC，
∴∠EFA=∠EAD，
又∵∠AEF=∠MEA，
∴△AEF∽△MEA，
∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+∠FEC=180。∠AEB=∠EFC，
∴∠AEF=∠FCE，
∴△AEF∽△ECF，
∵AD//BC，
∴△ECF∽△MDF，
∴
∵CF=1，
∴DF=CD-CF=2，
设CE=s，FE=t，
∵△AEF∽△ECF，
即
.
即
，
，
，
即
解得或，
∴.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)①延长FE，AB交于H，可证明△BEH≌△CEF(AAS)，得到EH=EF，∠H=∠CFE，则可证明AE=EH，得到∠H=∠BAE，即可得出结论；
②如图所示，延长BF，AD交于M，由平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC，证明△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，得到 则BF=MF，BC=DM；设CE=BE=m，则BC=DM=2m，AM=AD+DM=4m，进而即可得到结论；
(2)延长AD，EF交于M，由平行四边形的性质可得AD//BC，CD=AB=3，证明△AEF∽△MEA，再证明△ECF∽△MDF，得到，求出DF=CD-CF=2，设CE=s，FE=t，则由相似三角形的性质可得AE=st，AF=t2，DM=2s，FM=2t，进而可得AM=AD+DM=5+2s；再由△AEF∽△MEA，列出方程，解之即可得出结论.
22．如图，在矩形ABCD 中，E为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连接CF 并延长交AB 于点M，MN⊥CM 交射线AD 于点 N.
（1）当 F 为BE 中点时，求证：AM=CE.
（2）若 求 的值.
（3）若 当n为何值时，MN∥BE
【答案】（1）证明：当F为BE中点时， 如图1，则有BF = EF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠MBF=∠CEF，
∠BMF=∠ECF.
在△BMF和△ECF中，
∴△BMF≌△ECF(AAS)，
∴BM = EC.
∵E为CD的中点，
∴AM=BM=EC
（2）解：如图2所示： 设MB=a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC， AB=DC，∠A =∠ABC =∠BCD = 90°， AB∥DC，
∴△ECF∽△BMF，
∴EC=2a，
∴AB=CD=2CE = 4a，AM=AB-MB=3a.
∴BC = AD=2a.
∵MN⊥MC，
∴∠CMN = 90°，
∴∠AMN+∠BMC =90°.
∵∠A=90°，
∴∠ANM+∠AMN = 90°，
∴∠BMC=∠ANM，
∴△AMN∽△BCM，
（3）解：
当 时，如图3：设
即 解得
又
∴BC=2a.
∵MN∥BE， MN⊥MC，
∴∠EFC =∠HMC=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°.
∵∠MBC = 90°，
∴∠BMC+∠FCB=90°，
∴∠BMC=∠FBC.
∵∠MBC =∠BCE=90°，
∴△MBC∽△BCE，
∴n=4
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)如图1， 易证△BMF≌△ECF， 则有BM = EC， 然后根据E为CD的中点及AB= DC就可得到AM = EC；
(2)如图2， 设MB=α， 易证△ECF-△BMF，根据相似三角形的性质可得EC =2a，由此可得AB=4a， AM =3a， BC=AD=2a.易证△AMN∽△BCM，根据相似三角形的性质即可得到 从而可得 ，就可求出 的值；
(3)如图3，设MB=a，依据相似三角形的性质可得BC=2a， CE= na.由MN∥BE，MN⊥MC可得∠EFC =∠HMC =90°， 从而可证到△MBC∽△BCE，然后根据相似三角形的性质即可求出n的值.
23．（2025·成都）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点．
（1）【特例感知】
如图1，当时，点在延长线上，求证：；
（2）【问题探究】
在（1）的条件下，若，，求的长；
（3）【拓展延伸】
如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示）
【答案】（1）解：由折叠的性质得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴
（3）解：如图，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴
∵，即
∴
∴即
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
又∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
∴
又∵
∴
∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由折叠可得，根据平行四边形的性质推出，然后根据AAS得到三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，即可得到，进而得到，然后证明，根据对应边成比例解答即可；
（3）延长交于点，设，，即可得到，，求出AD和AB长，然后证明，根据对应边成比例得到DM长，进而得到，，，根据对应边成比例解答即可.
24．（2025·福田模拟）如图1，点P是对角线上的一点，且使得，连接并延长，交于点E．
（1）若，求的值．
（2）如图2，将沿方向平移到，求证：．
（3）如图3，连接，取的中点M，连接交于点F，若，求的值．
【答案】（1）解：，
，
中，，
，，
，
，
中，，
，
，
．
（2）解：如图2，连接，交于点O，
平移，
，，
，
，
，，
又，，
，
，，即垂直平分，
．
，
．
（3）解：如图所示，取的中点G，连接，延长至点Q，使得，连接，
设，则，
∴，
∴，，
∵M、G分别是的中点，
∴是的中位线，
，
∴，
．
分别为，的中点，
四边形CDPQ是平行四边形，
，
中，，
，
，
，
∵，
．
又中，，
，
中，，
，
，
，
又，，
，
，
∴，
．

【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）连接，交于点O，根据平行性质可得，，则，再根据等角对等边可得，，根据边之间的关系可得，则，，即垂直平分，根据垂直平分线性质可得，则，即可求出答案.
（3）取的中点G，连接，延长至点Q，使得，连接，设，则，根据边之间的关系可得，，再根据三角形中位线定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则．再根据平行四边形判定定理可得四边形CDPQ是平行四边形，则，根据平行四边形性质可得，则，再根据平行四边形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：，
，
中，，
，，
，
，
中，，
，
，
．
（2）解：如图2，连接，交于点O，
平移，
，，
，
，
，，
又，，
，
，，即垂直平分，
．
，
．
（3）解：如图所示，取的中点G，连接，延长至点Q，使得，连接，
设，则，
∴，
∴，，
∵M、G分别是的中点，
∴是的中位线，
，
∴，
．
分别为，的中点，
四边形CDPQ是平行四边形，
，
中，，
，
，
，
∵，
．
又中，，
，
中，，
，
，
，
又，，
，
，
∴，
．
1 / 1第四章《图形的相似》B卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·贵州）如图，已知，若，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2025·河北）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·宜宾）如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024·重庆）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是(　　)
A． B． C． D．
5．（2024·湖南）如图，在中，点，分别为边，的中点．下列结论中，错误的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024·浙江）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
8．（2023·雅安）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（2022·东营）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（　　）
A． B． C． D．
10． 如图，△BCD 中，BD=CD=5，延长CD至点A，使AD=3，连结AB，此时△ABC∽△ADB，则BC的长为(　　)
A． B． C． D．4
二、填空题（每题3分，共18分）
11． 已知 ， 那么 的值为　 　.
12． 如图，在矩形纸片ABCD中，点E在边BC上(不与点B，C重合)，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在点F处.若则 　 　.
13．（2024·宜宾）如图，在平行四边形ABCD中，，E、F分别是边CD、AD上的动点，且．当的值最小时，则　 　．
14．（2024·扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛竖直放置经小孔在屏幕竖直放置上成像设，小孔到的距离为，则小孔到的距离为　 　．
15．（2025·苏州）如图，在 中， ，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD 的右侧作等边三角形ADE，线段 DE 与线段AC交于点F，则线段CF 长度的最大值为　 　.
16．（2024·呼伦贝尔）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025·广东） 如图， CD是 斜边AB上的中线，过点A，C分别作 CE∥AB， AE与CE相交于点E.现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则.
命题2：若连接ED，则ED ⊥AC
命题3：若连接ED，则.
任选两个命题，先判断真假，再证明成举反例.
18．（2022·长春）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中的形状是　 　；
（2）在图①中确定一点D，连结、，使与全等：
（3）在图②中的边上确定一点E，连结，使：
（4）在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2．
19．（2020·苏州）如图，在矩形 中，E是 的中点， ，垂足为F.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
20．（2025·扬州）如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长．
21．（2025·上海市）如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．
（1）若E是BC中点；
①若AE=EF，求证：∠BAE=∠EFC；
②若CF=DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；
（2）如图2，若AB=3，AD=5，CF=1，∠AEB=∠AFE=∠EFC，求AF的长．
22．如图，在矩形ABCD 中，E为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连接CF 并延长交AB 于点M，MN⊥CM 交射线AD 于点 N.
（1）当 F 为BE 中点时，求证：AM=CE.
（2）若 求 的值.
（3）若 当n为何值时，MN∥BE
23．（2025·成都）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点．
（1）【特例感知】
如图1，当时，点在延长线上，求证：；
（2）【问题探究】
在（1）的条件下，若，，求的长；
（3）【拓展延伸】
如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示）
24．（2025·福田模拟）如图1，点P是对角线上的一点，且使得，连接并延长，交于点E．
（1）若，求的值．
（2）如图2，将沿方向平移到，求证：．
（3）如图3，连接，取的中点M，连接交于点F，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：因为，相似三角形对应边成比例，所以 ，已知，则.
故答案为：C .
【分析】利用相似三角形“对应边成比例”的性质，结合已知的边的比例关系和的长度，求出.
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AE∥BC
∴∠AEM=∠CND，∠MAE=∠B
A：当时
∵∠DCN+∠4=180°
∴∠DCN=∠B
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
B：当时
∴∠DCN=∠B
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
C：时
∵∠MAE+∠1=180°，∠DCN+∠4=180°
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
D：当时
∵∠AEM+∠2=180°，∠CDN+∠3=180°
∴∠AEM=∠CDN=∠CND
∴不能判断△MAE∽△DCN，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据直线平行性质可得∠AEM=∠CND，∠MAE=∠B，再根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】
解：如图所示，过点D作DF// BC交AC于点F，
∵AD= 2DB
∴
∴
∵ DF// ВC ，
∴AFD~ACB ，
∴
∴
设S AFD=4x，S ACB=9x，
∵沿DE将ABC剪成面积相等的两部分，
∴S ADE=，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】过点D作DF// BC交AC于点F，根据比列的性质得到，由DF// ВC 得到AFD~ACB ，根据相似三角形的性质得到，设S AFD=4x，S ACB=9x，根据折叠的性质得到S ADE=，计算可得，最后进行计算即可解答.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】
解：∵ 两个相似三角形的相似比是，
∴ 这两个相似三角形的面积比是1：9
故答案为：D
【分析】本题考查相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方，熟悉性质是关键。
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点分别为边的中点，
∴，，故正确；
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，故错误；
故答案为：D.
【分析】根据三角形中位线的性质可判断正确，相似三角形的判定和性质可判断，即可得出结果.
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为， 点
∴点B的对应点B'的坐标为（-2×2，4×2）即（-4，8）.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件，可知将点B的横纵坐标都乘以2，可得到点B'的坐标.
7．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：由图象可知，甲与丁形状形似，检验各边的比例均为1：2.
故答案为：D.
【分析】根据形状大致分析，再检验边比例即可.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=BA，DC∥BA，
∴，，
设FG=a，则GE=1+a，GB=DC+GA，
∴，
解得a=8，
∴GF=8，
故答案为：C
【分析】先根据平行四边形的性质即可得到DC=BA，DC∥BA，进而根据平行线分线段成比例即可得到，，设FG=a，则GE=1+a，GB=DC+GA，根据题意即可列出方程，进而即可求解。
9．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
故选： A.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例解答.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴.
故答案为： .
【分析】将 先变形，再将的值代入即可.
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接BF交AE于点O，如图，
∵△AFE由△ABE折叠得到，
∴△AFE≌△ABE，BF⊥AE
∴∠AOB=90°，BE=FE，
∴∠BAE+∠ABO=90°，∠FBE=∠BFE，∠BAE+∠BEA=90°
∴∠ABO =∠BEA，
∴△ABO∽△BEO，
∴∠OBE=∠BAE
∵∠BAE=∠ECF
∴∠OBE=∠ECF
∴∠BFE=∠BCF，
又∵∠EBF=∠FBC
∴△EBF∽△FBC，
∴
∴
∵
∴可设EC=5a，BE=3a，
∴CB=8a，
∴，
∴，
∴，
∵∠BAE=∠OBE，∠ABE=∠BOE，
∴△ABE∽△BOE，
∴，
故答案为：.
【分析】连接BF交AE于点O，证明出∠FBE=∠BFE，进而证明出∠FBE=∠BFE，可得BF=VBE·CB，由，可设EC=5a，BE=3a，用a表示出OE，BE=BE，利用△ABE∽△BOE，进而即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长BC到点H，使CH=CD，连接EH，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC=4，AB=CD=2，
∴∠D=∠ECH，
又∵CD=CH=2， DF=CE.
∴△CDF≌△HCE(SAS)，
∴CF=EH.
∴AE+CF=AE十EH，
当点A，E，H三点共线时，AE+CF有最小值，此时CD//AB，
∴△CEH∽△BAH.
∴，
∴
∴
故答案为：.
【分析】延长BC到点H，使CH=CD，连接EH，由“SAS”可证△CDF≌△HCE，可得CF=EH，则AE+CF=AE+EH，即当点A，E，H三点共线时，AE+CF有最小值，通过证明△CEH∽△BAH，即可求解.
14．【答案】20
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设 小孔到的距离为 xcm
由题意知：
∴△ABC∽△A'B'C'
x=20
故答案为：20.
【分析】先根据题意得出△ABC∽△A'B'C'，再根据相似三角形对应高之比等于相似比，列出方程即可.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当取得最小值时，取得最大值，
∴当取得最小值时，取得最小值，
∴当时，取得最小值，此时点与点重合，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
∴的最大值为，
故答案为：.
【分析】过点作于，求出，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理得，然后根据等边三角形的性质得，于是推出，根据相似三角形对应边成比例的性质得，接下来推出当取得最小值时，取得最大值，当取得最小值时，取得最小值，当时，取得最小值，此时点与点重合，从而依次求出，的最小值，进而求出的最大值.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过作轴于点，则，
由平移性质可知：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
设，则，，
∴，解得：，
∴，，
∴，
∵点在第四象限，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，由平移性质可知AB=CD，AB∥CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形ABCD是平行四边形，进而根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”得四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得∠BAD=90°，BC=AD=2AB，根据同角的余角相等可得∠OBA=∠EAD，从而由“有两组角对应相等的两个三角形相似”得△OAB∽△EDA，由相似三角形对应边成比例得，设，则，，根据DA的长建立方程求得a的值，可得EA、ED及OE的长，从而可得点D的坐标.
17．【答案】解：命题1：真命题
证明：∵CD 为Rt△ABC斜边上的中线
∵AE∥CD， CE∥AD
∴四边形ADCE 是平行四边形
∵CE∥AB
∴△ABF∽△CEF
即
命题2：真命题
同命题1，可证得四边形 ADCE是平行四边形，且AD=CD
∴四边形ADCE 是菱形
∴DE⊥AC
命题3：真命题
同命题1可证得CE∥BD 且CE = BD
∴四边形BCED 是平行四边形
∴ED=BC
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】命题1：因为CD是 斜边AB上的中线，可得AD=BD=CD=AB；由AE∥CD， CE∥AD可得四边形ADCE为平行四边形，即有CE=AD=AB；
进一步得到△ABF∽△CEF；可得， 。
命题2：由四边形AECD是菱形（已证AE∥DC，CE∥AB且CD = AD ），菱形的对角线互相垂直，所以ED⊥AC。
命题3：因为四边形AECD是平行四边形，所以AE = CD，又CD = BD（直角三角形斜边中线等于斜边一半 ），且CE平行AB，AE∥CD，所以四边形EBCD是平行四边形（两组对边分别平行 ）。 根据平行四边形对边相等，可得ED=BC。
18．【答案】（1）直角三角形
（2）解：如图，点D即为所求作，使与全等：
（3）解：如图所示，点E即为所作，且使：
（4）解：如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．
【知识点】勾股定理的逆定理；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：（1）∵
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；
（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；
（3）根据相似三角形的判定，作出图形即可；
（4）作出AB、BC的中点P、Q即可。
19．【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， .
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ .
∵ ， 是 的中点，
∴ .
∴在 中， .
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得， ， .再根据“两直线平行，内错角相等”可得 ，再由垂直的定义可得 .从而得出 ，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
（2）根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
20．【答案】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴EA＝FC，
∴EA＝EC＝FA＝FC，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：过点B作BP⊥AC于点P，在AP上截取PQ＝PA，连接BQ，如图所示：
设PA＝x，∠ACB＝α，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，BC＝5，
∴AD＝BC＝5，AB∥CD，OA＝OCAC
∵四边形AFCE是菱形，
∴∠ACB＝∠ACE＝α，AE＝CF，EF⊥AC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝2α，
∵BP⊥AC，PQ＝PA＝x，
∴BP是AQ的垂直平分线，
∴BQ＝AB＝3，
∴∠BQA＝∠BAC＝2α，
∵∠BQA是△QBC的外角，
∴∠BQA＝∠QBC+∠ACB，
∴2α＝∠QBC+α，
∴∠QBC＝α，
∴∠QBC＝∠ACB＝α，
∴BQ＝CQ＝3，
∴CP＝CQ+PQ＝3+x，
在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理得：BP2＝AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2，
∴32﹣x2＝52﹣（3+x）2，
解得：x，
∴AP＝x，CP＝3+x，
∴AC＝AP+PC，
∴OCAC，
∴BP，
∵EF⊥AC，BP⊥AC，
∴EF∥BP，
∴△OCF∽△PCB，
∴，
∴CP OF＝OC BP，
∴，
∴OF，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF，
∴AE＝CF，
∴DE＝AD﹣AE．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到EA＝EC，FA＝FC，然后利用AS证明△OAE≌△OCF，即可得到EA＝FC，证明结论；
（2）过点B作BP⊥AC于点P，在AP上截取PQ＝PA，连接BQ，设PA＝x，∠ACB＝α，即可得到∠ACD＝2α，根据垂直平分线得到BQ＝AB＝3，即可得到∠BQA＝∠BAC＝2α，进而利用外角得到2α＝∠QBC+α，进而求出∠QBC＝α，然后在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理BP2＝AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2求出x值，然后证明△OCF∽△PCB，根据对应边成比例求出OF长，再根据勾股定理解答即可.
21．【答案】（1）解：①证明：如图所示，延长FE，AB交于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠EBH=∠ECF，∠EHB=∠EFC，
∵E是边BC中点，
∴BE=CE，
∴△BEH≌△CEF(AAS)
∴EH=EF，∠H=∠CFE，
∵AE=EF，
∴AE=EH，
∴∠H=∠BAE，
∴∠BAE=∠CFE；
②解：如图所示，延长BF，AD交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF
，
∴BF=MF，BC=DM，
∵E是边BC中点，
∴BC=2CE=2BE，
设CE=BE=m，则BC=DM=2m，
∴AM=AD+DM=4m
，
，
设，则，，
；
（2）解：如图所示，延长AD，EF交于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，CD=AB=3，
∴∠AEB=∠EAD，
∵∠AEB=∠AFE=∠EFC，
∴∠EFA=∠EAD，
又∵∠AEF=∠MEA，
∴△AEF∽△MEA，
∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+∠FEC=180。∠AEB=∠EFC，
∴∠AEF=∠FCE，
∴△AEF∽△ECF，
∵AD//BC，
∴△ECF∽△MDF，
∴
∵CF=1，
∴DF=CD-CF=2，
设CE=s，FE=t，
∵△AEF∽△ECF，
即
.
即
，
，
，
即
解得或，
∴.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)①延长FE，AB交于H，可证明△BEH≌△CEF(AAS)，得到EH=EF，∠H=∠CFE，则可证明AE=EH，得到∠H=∠BAE，即可得出结论；
②如图所示，延长BF，AD交于M，由平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC，证明△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，得到 则BF=MF，BC=DM；设CE=BE=m，则BC=DM=2m，AM=AD+DM=4m，进而即可得到结论；
(2)延长AD，EF交于M，由平行四边形的性质可得AD//BC，CD=AB=3，证明△AEF∽△MEA，再证明△ECF∽△MDF，得到，求出DF=CD-CF=2，设CE=s，FE=t，则由相似三角形的性质可得AE=st，AF=t2，DM=2s，FM=2t，进而可得AM=AD+DM=5+2s；再由△AEF∽△MEA，列出方程，解之即可得出结论.
22．【答案】（1）证明：当F为BE中点时， 如图1，则有BF = EF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴∠MBF=∠CEF，
∠BMF=∠ECF.
在△BMF和△ECF中，
∴△BMF≌△ECF(AAS)，
∴BM = EC.
∵E为CD的中点，
∴AM=BM=EC
（2）解：如图2所示： 设MB=a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC， AB=DC，∠A =∠ABC =∠BCD = 90°， AB∥DC，
∴△ECF∽△BMF，
∴EC=2a，
∴AB=CD=2CE = 4a，AM=AB-MB=3a.
∴BC = AD=2a.
∵MN⊥MC，
∴∠CMN = 90°，
∴∠AMN+∠BMC =90°.
∵∠A=90°，
∴∠ANM+∠AMN = 90°，
∴∠BMC=∠ANM，
∴△AMN∽△BCM，
（3）解：
当 时，如图3：设
即 解得
又
∴BC=2a.
∵MN∥BE， MN⊥MC，
∴∠EFC =∠HMC=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°.
∵∠MBC = 90°，
∴∠BMC+∠FCB=90°，
∴∠BMC=∠FBC.
∵∠MBC =∠BCE=90°，
∴△MBC∽△BCE，
∴n=4
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)如图1， 易证△BMF≌△ECF， 则有BM = EC， 然后根据E为CD的中点及AB= DC就可得到AM = EC；
(2)如图2， 设MB=α， 易证△ECF-△BMF，根据相似三角形的性质可得EC =2a，由此可得AB=4a， AM =3a， BC=AD=2a.易证△AMN∽△BCM，根据相似三角形的性质即可得到 从而可得 ，就可求出 的值；
(3)如图3，设MB=a，依据相似三角形的性质可得BC=2a， CE= na.由MN∥BE，MN⊥MC可得∠EFC =∠HMC =90°， 从而可证到△MBC∽△BCE，然后根据相似三角形的性质即可求出n的值.
23．【答案】（1）解：由折叠的性质得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴
（3）解：如图，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴
∵，即
∴
∴即
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
又∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
∴
又∵
∴
∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由折叠可得，根据平行四边形的性质推出，然后根据AAS得到三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，即可得到，进而得到，然后证明，根据对应边成比例解答即可；
（3）延长交于点，设，，即可得到，，求出AD和AB长，然后证明，根据对应边成比例得到DM长，进而得到，，，根据对应边成比例解答即可.
24．【答案】（1）解：，
，
中，，
，，
，
，
中，，
，
，
．
（2）解：如图2，连接，交于点O，
平移，
，，
，
，
，，
又，，
，
，，即垂直平分，
．
，
．
（3）解：如图所示，取的中点G，连接，延长至点Q，使得，连接，
设，则，
∴，
∴，，
∵M、G分别是的中点，
∴是的中位线，
，
∴，
．
分别为，的中点，
四边形CDPQ是平行四边形，
，
中，，
，
，
，
∵，
．
又中，，
，
中，，
，
，
，
又，，
，
，
∴，
．

【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）连接，交于点O，根据平行性质可得，，则，再根据等角对等边可得，，根据边之间的关系可得，则，，即垂直平分，根据垂直平分线性质可得，则，即可求出答案.
（3）取的中点G，连接，延长至点Q，使得，连接，设，则，根据边之间的关系可得，，再根据三角形中位线定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则．再根据平行四边形判定定理可得四边形CDPQ是平行四边形，则，根据平行四边形性质可得，则，再根据平行四边形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：，
，
中，，
，，
，
，
中，，
，
，
．
（2）解：如图2，连接，交于点O，
平移，
，，
，
，
，，
又，，
，
，，即垂直平分，
．
，
．
（3）解：如图所示，取的中点G，连接，延长至点Q，使得，连接，
设，则，
∴，
∴，，
∵M、G分别是的中点，
∴是的中位线，
，
∴，
．
分别为，的中点，
四边形CDPQ是平行四边形，
，
中，，
，
，
，
∵，
．
又中，，
，
中，，
，
，
，
又，，
，
，
∴，
．
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