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广东省深圳实验学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题(本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．（2025七下·深圳期末） 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式.”下面的图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·深圳期末） 下列各组数分别是三条线段的长度，其中能围成直角三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．1，2，3 C．3，4，5 D．2，3，4
3．（2025七下·深圳期末） 如图，是一个缺角的残片，量得，，则此三角形残缺的部分为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·深圳期末） 下列成语所描述事件是必然事件的是（　　）
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．一箭双雕
5．（2025七下·深圳期末） 下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·深圳期末） 如图，已知，添加下列条件仍无法证明的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·深圳期末） 如图2，三角板ABC（其中，）和三角板DEF（其中， ) 按照如图所示的位置摆放，点 D 在边 AC 上，若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·深圳期末） 如图，Rt与Rt有公共斜边BC(顶点A、D在BC同侧)，，连接AD，已知，BD = 8，CD = 6，则的面积为（　　）
A．32 B．16 C．12 D．8
二、填空题(本题共有5小题，每小题3分，共15分)
9．（2025七下·深圳期末）计算　 　.
10．（2025七下·深圳期末） 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《孙子算经》的概率是　 　.
11．（2025七下·深圳期末） 国家卫健委发布《中国青少年健康教育核心信息及释义(2018)版》称，青少年应控制电子产品使用，非学习目的的单次使用时间不宜超过15分钟，每天累计不宜超过1小时，我市调研了部分青少年电子产品使用时间，调研结果整理如下表：
调研总人数 500 1000 1500 2000 2500 3000
使用时长超过1小 时的人数 380 759 1137 1522 1900 2280
使用时长超出规定 时长人数的频率 0.760 0.759 0.758 0.761 0.760 0.760
从这3000名学生中任意选取一名学生，其每天使用电子产品时长超过1小时的概率为　 　.
12．（2025七下·深圳期末） 小亮在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠进小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的O、A、B、C、D均在同一平面上），过点C作于点E.现已知，测得，则DE的长为　 　cm.
13．（2025七下·深圳期末） 如图，在中，，过B作于点M，点N为AC边上一点，点P为BC边中点，连接BN，PN，若，，则　 　.
三、解答题(本题共7小题，共61分)
14．（2025七下·深圳期末） 计算：
（1） ；
（2） .
15．（2025七下·深圳期末）、先化简，再求值：，其中，.
16．（2025七下·深圳期末） 已知，如图，AD，CE相交于点，且.
（1）尺规作图：作线段AD的垂直平分线，垂足为点，交AE的延长线于点，交CD于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑）
（2）若，求证：
17．（2025七下·深圳期末） 小深同学趁假期与朋友去登山.早上8：00，他们从山脚出发，经过40分钟到达山腰休息平台，休息了10分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留了半小时后原路下山.如图是他们出发后的时长x（分钟）与他们离山脚的相对高度y（米）之间的关系示意图.请根据图示信息，解答以下问题：
（1） 该问题情境中，自变量是　 　，因变量是　 　；
（2） 在山腰休息平台休息qù他们的相对高度平均变化速度是　 　米/分；他们下山的相对高度平均变化速度是　 　米/分；
（3） 将下表信息补充完整：
出发后时长x(分钟) 20 45 90 110
高山脚的相对高度y(米) ▲ 600 800 ▲
（4） 他们出发后　 　分钟，高山脚的相对高度是700米.
18．（2025七下·深圳期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化.
（1） 观察图 1，它所对应的公式为　 　.（填写对应公式的序号）
①；
②；
③.
（2） 如图 2，边长为 a， b 的长方形，它的周长为 12，面积为 5，求 的值；
（3） 将正方形 ABCD 与正方形 AEFG 如图 3 摆放，当正方形 ABCD 与正方形 AEFG 面积和为 74，，求图中阴影部分面积和.
19．（2025七下·深圳期末）综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课.
【活动一】 情境再现，明晰原理
示例 1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题.如图 1①. 用直线l 表示河岸，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C 饮马后回到点B 宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？
作法是：如图 1②，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，则点C 即为饮马的地方，此时将军从点A走到点C，再回到点B所走的总路程最短.
（1）示例 2，如图 1③，要在河岸l上建一座水泵房Q，修建引水渠PQ，使得Q到村庄P的距离最短.施工人员的做法是：过点P作于点Q，将水泵房建在Q处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力.示例 1 中所蕴含的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
（2）【活动二】 感悟方法，尝试应用
如图 2，在等边三角形ABC中，AD是的中线.
① 直接写出BD与AB的数量关系▲；
② 若，点E为AB边的中点，点F为AD上一点，当的值最小时，在图2上标注点F的位置，并求出的最小值；
（3）【活动三】 迁移拓展，综合应用
如图 3，在中，，点D在斜边BC上，且，AE是的角平分线，点F，点G分别为AC，AE上一点，求的最小值.
20．（2025七下·深圳期末）几何探究：
已知： 和 都是等边三角形，连接 CD，BE 交于点 P.
（1） 如图 1，①判断 BE 与 DC 的数量关系：　 　，= 　 　；
② 连接 AP， 与 的数量关系是：　 　；
（2） 如图 2，H，G 分别是 DC，BE 的中点，
① 当 时， ▲ ；
② 当 发生变化时，请探究 的度数是否发生变化，并说明理由；
（3） 连接 AP，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为： B
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：1+1=2，不能组成三角形，所以A不能围成直角三角形；
B：1+2=3，不能组成三角形，所以B不能围成直角三角形；
C：32+42=55，所以C能围成直角三角形；
D：22+32≠42，所以D不能围成直角三角形；
故答案为：C。
【分析】根据三角形三边的关系，及勾股定理的逆定理，可以判定各个选项，从而得出答案。
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
此三角形残缺的部分的度数为：180°-∠A-∠B=65°
故答案为： B
【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A是必然事件，符合题意；
B是随机事件，不符合题意；
C是不可能事件，不符合题意；
D是随机事件，不符合题意
故答案为： A
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A：=-(a+b)2，不是平方差公式
B：，不是平方差公式
C：=2a2-3ab-2b2，不是平方差公式
D：=(a+b)2-32，是平方差公式
故答案为： D
【分析】根据平方差公式的定义逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A：在△ABE和△ACD中
∵两边和其中一边的对应角相等不等判定两个三角形全等，符合题意
B：在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(ASA)，不符合题意
C：在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(ASA)，不符合题意
D：在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(ASA)，不符合题意
故答案为： A
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】平行线的性质；补角；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过点D作DK∥AB
∵AB∥EF
∴DK∥EF
∴∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°
∴∠ADE=∠ADK+∠EDK=75°
∵∠EDF=90°
∴∠CDF=180°-90°-75°=15°
故答案为： D
【分析】过点D作DK∥AB，根据直线平行性质可得∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°，再根据角之间的关系可得∠ADE，再根据补角即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；面积及等积变换
【解析】【解答】解：如图，设AC交BD于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点A作AM⊥BD于点M
∵Rt与Rt有公共斜边BC，，∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DEC
∴∠ABE=∠DCE
∵
∴∠BCA=∠DCA
∵ED⊥DC，EF⊥BC
∴EF=ED，FC=DC
∵BD = 8，CD = 6
∴
∴BF=BC-FC=4
设ED=x，则EF=x，BE=BD-ED=8-x
在Rt△BEF中，
即，解得：x=3
∴EF=3，BE=5
∴
∵∠BAC=∠EFC=90°，∠BCA=∠ECF
∴△ABC∽△FEC
∴，即
解得：
∴
在Rt△ABE中
，即
∴
故答案为： 8
【分析】设AC交BD于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点A作AM⊥BD于点M，根据相似三角形判定定理可得△ABE∽△DEC，则∠ABE=∠DCE，根据角之间的关系可得∠BCA=∠DCA，再根据角平分线性质可得EF=ED，FC=DC，根据勾股定理可得BC，则BF=BC-FC=4，设ED=x，则EF=x，BE=BD-ED=8-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得EF=3，BE=5，再根据勾股定理可得EC，再根据相似三角形判定定理可得△ABC∽△FEC，则，代值计算可得，则，再根据三角形面积可得AM，再根据三角形面积即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】同底数幂的除法；用字母表示数
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】同底数幂相除，底数不变指数相减
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选中《孙子算经》的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．【答案】0.76
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知
从这3000名学生中任意选取一名学生，其每天使用电子产品时长超过1小时的概率为0.76
故答案为： 0.76
【分析】根据表格即可求出答案.
12．【答案】35
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵OB⊥OC
∴∠BOD+∠COE=90°
∵CE⊥OA，BD⊥OA
∴∠CEO=∠ODB=90°
∴∠BOD+∠B=90°
∴∠COE=∠B
在△COE和△OBD中
∴△COE≌△OBD
∴OE=BD=25
∵
∴DE=OD-OE=35
故答案为： 35
【分析】根据角之间的关系可得∠COE=∠B，再根据全等三角形判定定理可得△COE≌△OBD，则OE=BD=25，根据勾股定理可得OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC于点D，
∵∠CNP=45°，
∴是等腰直角三角形，
设PD=PN=x，CD=y，
∵点P是BC的中点，
∴CD=MD=y，BM=2PD=2x，
∴CN=x+y，MN=y-x，
∵于点M ，
∴∠BMN=∠BMA=90°，
又 BM=BM，，
∴≌，
∴AM=MN=y-x，
∵∠C+∠A=90°，∠ABM+∠A=90°，
∴∠C=∠ABM，
∵∠CDP=∠BMA=90°，
∴，
∴，
∴，
∴2x2=y2-xy，
∴2x2-y2+xy =0，
左边因式分解，得：（x+y)(2x-y)=0，
∵x+y≠0，
∴2x-y=0，
∴y=2x，
∴
故答案为： .
【分析】过点P作PD⊥AC于点D，可得出等腰直角三角形PDN，PD=PN=x，CD=y，再根据点P是BC的中点，可得出BM=2PD=2x，CD=DM=y，进而可得出CN=x+y，MN=y-x，再根据ASA证明≌，得出AM=MN=y-x，进而根据相AA证得，可得出，转化为，通过整理可得出2x2-y2+xy =0，再通过因式分解，可得出y=2x，代入到中，即可求得它们的比值。
14．【答案】（1）解：原式=4-1+0+2
=5
（2）解：原式=a6+2a6-8a6
=-5a6
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂，有理数的乘方，0指数幂，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方化简，再合并同类项即可求出答案.
15．【答案】解：原式=(x2y2-4-2x2y2+4)÷xy
=(-x2y2)÷xy
=-xy
当，时，原式=
【知识点】平方差公式及应用；多项式除以单项式；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】根据平方差公式去小括号，再合并同类项，再根据同底数幂的除法化简，再将x，y值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）解：如图所示
（2）证明：由（1）可得，BF垂直平分AD
∴∠AHB=∠DHF=90°，AH=DH
∵AD⊥CE
∴CE∥BF
∴∠C=∠BFD
∵∠C=∠ABF
∴∠BFD=∠ABF
∴△ABH≌△DFH(AAS)
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可求出答案.
（2）由（1）可得，BF垂直平分AD，根据垂直平分线性质可得∠AHB=∠DHF=90°，AH=DH，再根据角之间的关系可得∠BFD=∠ABF，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
17．【答案】（1）x；y
（2）15；20
（3）300；600
（4）60或105
【知识点】函数自变量的取值范围；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
该问题情境中，自变量是出发后的时长x，因变量是离山脚的相对高度y
故答案为：x；y
（2） 在山腰休息平台休息时他们的相对高度平均变化速度是米/分
他们下山的相对高度平均变化速度是米/分
故答案为：15；20
（3）出发20分钟时，离山脚的相对高度为20×15=300米
出发110分钟时，离山脚的相对高度为800-20×(110-100)=600米
故答案为：300；600
（4）再山腰休息平台休息后，他们的相对高度平均变化速度为米/分
50+(700-600)÷10=60分钟
即他们出发后60分钟，离山脚的相对高度为700米
100+(800-700)÷20=105分钟
即他们出发后105分钟，离山脚的相对高度为700米
综上所述，他们出发后60分钟或105分钟，离山脚的相对高度为700米
故答案为：60或105
【分析】（1）根据图象信息即可求出答案.
（2）根据速度=路程÷时间，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据他们的速度和运动时间，求出他们所处的高度即可求出答案.
（4）根据图象分情况讨论：他们登山或下山时，离山脚的相对高度是700米时的出发时间即可求出答案.
18．【答案】（1）①
（2）解：∵边长为 a， b 的长方形，它的周长为 12，面积为 5
∴2(a+b)=12，ab=5
∴a+b=6
∴(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=12
（3）解：延长GF交BC于点M
设AE=a，则正方形AEFG的面积为a2，正方形ABCD的面积为为(a+2)2
∵正方形ABCD与正方形AEFG面积和为74
∴(a+2)2+a2=74
∴a2+2a+1=36
∴(a+1)2=36
∴a+1=6（负号舍去）
∴a=5
∵
=2a+2
=12
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）由图1可得：S大正方形=4S矩形+S小正方形
∴
故答案为：①
【分析】（1）根据S大正方形=4S矩形+S小正方形即可求出答案.
（2）根据题意a+b=6，ab=5，代数式去括号，再整体代入即可求出答案.
（3）延长GF交BC于点M，设AE=a，则正方形AEFG的面积为a2，正方形ABCD的面积为为(a+2)2，根据题意建立方程，解方程可得a=5，再根据割补法求阴影部分面积即可求出答案.
19．【答案】（1）B
（2）①AB=2BD
解：如图所示，点F即为所求
∵点F是AD上一点
∴BF+EF=CF+EF≥EC
∴当点E，F，C三点共线时，BF+EF的值最小，即EC的长
∵ 在等边三角形ABC中，AD是的中线，点E是AB的中点
∴CE=AD=4
∴的最小值为4
（3）解：作点F关于AE的对称点F'
∵AE是的角平分线，则点F'落在AB上
连接DF'交AE于点G
当DF⊥AB时，DG+FG=DG+F'G=DF'最小
在Rt△BDF'中，BD=4-1=3，∠B=30°
∴
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解答：（1）由题意可得：
示例 1 中所蕴含的数学原理垂线段最短
故答案为：B
（2）①∵在等边三角形ABC中，AD是的中线
∴
∴AB=2BD
故答案为：AB=2BD
【分析】（1）根据点到直线的距离为垂线段最短即可求出答案.
（2）①根据等边三角形性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
②根据边之间的关系可得BF+EF=CF+EF≥EC，当点E，F，C三点共线时，BF+EF的值最小，即EC的长，再根据等边三角形性质即可求出答案.
（3）作点F关于AE的对称点F'，根据角平分线性质可得点F'落在AB上，连接DF'交AE于点G，当DF⊥AB时，DG+FG=DG+F'G=DF'最小，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
20．【答案】（1）BE=DC；60°； =
（2）解：①60°
②不发生变化，理由如下
连接AH
∵△ABE≌△ADC
∴BE=DC，∠AEB=∠ACD
∵H，G 分别是 DC，BE 的中点
∴CH=EG
在△AEG和△ACH中
∴△AEG≌△ACH
∴AG=AH，∠EAG=∠CAH
∵∠EAG=∠EAC+∠CAG，∠CAH=∠CAG+∠GAH
∴∠GAH=∠EAC=60°
∴△AGH为等边三角形
∴∠AGH=60°
（3）解：在DC上截取DG=BP，连接AG
在△ADG和△ABP中
∴△ADG≌△ABP
∴∠DAG=∠BAP，AG=AP
∵∠DAG+∠BAG=60°
∴∠BAG+∠BAP=60°，即∠PAG=60°
∴△PAG为等边三角形，∠PAG+∠CAP=∠CAP+∠CAE，即∠CAG=∠EAP
∴PA=PG
在△CAG和△EAP中
∴△CAG≌△EAP
∴CG=EP
∴PD+PE=DG+PG+PC+PG=PB+PC+2PA
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵△ABD和△AEC都是等边三角形
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°
∴∠BAE=∠DAC
在△ABE和△ADC中
∴△ABE≌△ADC
∴BE=DC
设AB与DC的交点为F
∵△ABE≌△ADC
∴∠ADE=∠ABE
∵∠DFA=∠BFP
∴△DFA∽△BFP
∴∠BPF=∠BAD=60°
故答案为：BE=DC；60°
②作点A作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N
∵△ABE≌△ADC
∴DC=BE
∴AM=AN
∴AP平分∠DPE
∴ =
故答案为： =
（2）①连接AH
∵△ABE≌△ADC
∴BE=DC，∠AEB=∠ACD
∵H，G 分别是 DC，BE 的中点
∴CH=EG
在△AEG和△ACH中
∴△AEG≌△ACH
∴AG=AH，∠EAG=∠CAH
∵∠EAG=∠EAC+∠CAG，∠CAH=∠CAG+∠GAH
∴∠GAH=∠EAC=60°
∴△AGH为等边三角形
∴∠AGH=60°
【分析】（1）①根据等边三角形性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，则∠BAE=∠DAC，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ADC，则BE=DC，设AB与DC的交点为F，根据全等三角形性质可得∠ADE=∠ABE，再根据相似三角形判定定理可得△DFA∽△BFP，则∠BPF=∠BAD=60°，即可求出答案.
②作点A作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N，根据全等三角形性质可得DC=BE，则AM=AN，再根据角平分线判定定理可得AP平分∠DPE，再根据角平分线定义即可求出答案.
（2）①连接AH，根据全等三角形性质可得BE=DC，∠AEB=∠ACD，根据线段中点可得CH=EG，再根据全等三角形判定定理可得△AEG≌△ACH，则AG=AH，∠EAG=∠CAH，根据角之间的关系可得∠GAH=∠EAC=60°，再根据等边三角形判定定理可得△AGH为等边三角形，则∠AGH=60°，即可求出答案.
②连接AH，根据全等三角形性质可得BE=DC，∠AEB=∠ACD，根据线段中点可得CH=EG，再根据全等三角形判定定理可得△AEG≌△ACH，则AG=AH，∠EAG=∠CAH，根据角之间的关系可得∠GAH=∠EAC=60°，再根据等边三角形判定定理可得△AGH为等边三角形，则∠AGH=60°，即可求出答案.
（3）在DC上截取DG=BP，连接AG，根据全等三角形判定定理可得△ADG≌△ABP，则∠DAG=∠BAP，AG=AP，再根据角之间的关系可得∠PAG=60°，再根据等边三角形性质可得△PAG为等边三角形，∠PAG+∠CAP=∠CAP+∠CAE，即∠CAG=∠EAP，根据等角对等边可得PA=PG，再根据全等三角形判定定理可得△CAG≌△EAP，则CG=EP，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省深圳实验学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题(本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．（2025七下·深圳期末） 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说：“美的线型和其他一切美的形体，都必须有对称形式.”下面的图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为： B
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
2．（2025七下·深圳期末） 下列各组数分别是三条线段的长度，其中能围成直角三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．1，2，3 C．3，4，5 D．2，3，4
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A：1+1=2，不能组成三角形，所以A不能围成直角三角形；
B：1+2=3，不能组成三角形，所以B不能围成直角三角形；
C：32+42=55，所以C能围成直角三角形；
D：22+32≠42，所以D不能围成直角三角形；
故答案为：C。
【分析】根据三角形三边的关系，及勾股定理的逆定理，可以判定各个选项，从而得出答案。
3．（2025七下·深圳期末） 如图，是一个缺角的残片，量得，，则此三角形残缺的部分为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
此三角形残缺的部分的度数为：180°-∠A-∠B=65°
故答案为： B
【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案.
4．（2025七下·深圳期末） 下列成语所描述事件是必然事件的是（　　）
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．一箭双雕
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A是必然事件，符合题意；
B是随机事件，不符合题意；
C是不可能事件，不符合题意；
D是随机事件，不符合题意
故答案为： A
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025七下·深圳期末） 下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A：=-(a+b)2，不是平方差公式
B：，不是平方差公式
C：=2a2-3ab-2b2，不是平方差公式
D：=(a+b)2-32，是平方差公式
故答案为： D
【分析】根据平方差公式的定义逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025七下·深圳期末） 如图，已知，添加下列条件仍无法证明的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A：在△ABE和△ACD中
∵两边和其中一边的对应角相等不等判定两个三角形全等，符合题意
B：在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(ASA)，不符合题意
C：在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(ASA)，不符合题意
D：在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(ASA)，不符合题意
故答案为： A
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025七下·深圳期末） 如图2，三角板ABC（其中，）和三角板DEF（其中， ) 按照如图所示的位置摆放，点 D 在边 AC 上，若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；补角；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过点D作DK∥AB
∵AB∥EF
∴DK∥EF
∴∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°
∴∠ADE=∠ADK+∠EDK=75°
∵∠EDF=90°
∴∠CDF=180°-90°-75°=15°
故答案为： D
【分析】过点D作DK∥AB，根据直线平行性质可得∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°，再根据角之间的关系可得∠ADE，再根据补角即可求出答案.
8．（2025七下·深圳期末） 如图，Rt与Rt有公共斜边BC(顶点A、D在BC同侧)，，连接AD，已知，BD = 8，CD = 6，则的面积为（　　）
A．32 B．16 C．12 D．8
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；面积及等积变换
【解析】【解答】解：如图，设AC交BD于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点A作AM⊥BD于点M
∵Rt与Rt有公共斜边BC，，∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DEC
∴∠ABE=∠DCE
∵
∴∠BCA=∠DCA
∵ED⊥DC，EF⊥BC
∴EF=ED，FC=DC
∵BD = 8，CD = 6
∴
∴BF=BC-FC=4
设ED=x，则EF=x，BE=BD-ED=8-x
在Rt△BEF中，
即，解得：x=3
∴EF=3，BE=5
∴
∵∠BAC=∠EFC=90°，∠BCA=∠ECF
∴△ABC∽△FEC
∴，即
解得：
∴
在Rt△ABE中
，即
∴
故答案为： 8
【分析】设AC交BD于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点A作AM⊥BD于点M，根据相似三角形判定定理可得△ABE∽△DEC，则∠ABE=∠DCE，根据角之间的关系可得∠BCA=∠DCA，再根据角平分线性质可得EF=ED，FC=DC，根据勾股定理可得BC，则BF=BC-FC=4，设ED=x，则EF=x，BE=BD-ED=8-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得EF=3，BE=5，再根据勾股定理可得EC，再根据相似三角形判定定理可得△ABC∽△FEC，则，代值计算可得，则，再根据三角形面积可得AM，再根据三角形面积即可求出答案.
二、填空题(本题共有5小题，每小题3分，共15分)
9．（2025七下·深圳期末）计算　 　.
【答案】
【知识点】同底数幂的除法；用字母表示数
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】同底数幂相除，底数不变指数相减
10．（2025七下·深圳期末） 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《孙子算经》的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选中《孙子算经》的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
11．（2025七下·深圳期末） 国家卫健委发布《中国青少年健康教育核心信息及释义(2018)版》称，青少年应控制电子产品使用，非学习目的的单次使用时间不宜超过15分钟，每天累计不宜超过1小时，我市调研了部分青少年电子产品使用时间，调研结果整理如下表：
调研总人数 500 1000 1500 2000 2500 3000
使用时长超过1小 时的人数 380 759 1137 1522 1900 2280
使用时长超出规定 时长人数的频率 0.760 0.759 0.758 0.761 0.760 0.760
从这3000名学生中任意选取一名学生，其每天使用电子产品时长超过1小时的概率为　 　.
【答案】0.76
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知
从这3000名学生中任意选取一名学生，其每天使用电子产品时长超过1小时的概率为0.76
故答案为： 0.76
【分析】根据表格即可求出答案.
12．（2025七下·深圳期末） 小亮在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠进小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的O、A、B、C、D均在同一平面上），过点C作于点E.现已知，测得，则DE的长为　 　cm.
【答案】35
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵OB⊥OC
∴∠BOD+∠COE=90°
∵CE⊥OA，BD⊥OA
∴∠CEO=∠ODB=90°
∴∠BOD+∠B=90°
∴∠COE=∠B
在△COE和△OBD中
∴△COE≌△OBD
∴OE=BD=25
∵
∴DE=OD-OE=35
故答案为： 35
【分析】根据角之间的关系可得∠COE=∠B，再根据全等三角形判定定理可得△COE≌△OBD，则OE=BD=25，根据勾股定理可得OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2025七下·深圳期末） 如图，在中，，过B作于点M，点N为AC边上一点，点P为BC边中点，连接BN，PN，若，，则　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC于点D，
∵∠CNP=45°，
∴是等腰直角三角形，
设PD=PN=x，CD=y，
∵点P是BC的中点，
∴CD=MD=y，BM=2PD=2x，
∴CN=x+y，MN=y-x，
∵于点M ，
∴∠BMN=∠BMA=90°，
又 BM=BM，，
∴≌，
∴AM=MN=y-x，
∵∠C+∠A=90°，∠ABM+∠A=90°，
∴∠C=∠ABM，
∵∠CDP=∠BMA=90°，
∴，
∴，
∴，
∴2x2=y2-xy，
∴2x2-y2+xy =0，
左边因式分解，得：（x+y)(2x-y)=0，
∵x+y≠0，
∴2x-y=0，
∴y=2x，
∴
故答案为： .
【分析】过点P作PD⊥AC于点D，可得出等腰直角三角形PDN，PD=PN=x，CD=y，再根据点P是BC的中点，可得出BM=2PD=2x，CD=DM=y，进而可得出CN=x+y，MN=y-x，再根据ASA证明≌，得出AM=MN=y-x，进而根据相AA证得，可得出，转化为，通过整理可得出2x2-y2+xy =0，再通过因式分解，可得出y=2x，代入到中，即可求得它们的比值。
三、解答题(本题共7小题，共61分)
14．（2025七下·深圳期末） 计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式=4-1+0+2
=5
（2）解：原式=a6+2a6-8a6
=-5a6
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂，有理数的乘方，0指数幂，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方化简，再合并同类项即可求出答案.
15．（2025七下·深圳期末）、先化简，再求值：，其中，.
【答案】解：原式=(x2y2-4-2x2y2+4)÷xy
=(-x2y2)÷xy
=-xy
当，时，原式=
【知识点】平方差公式及应用；多项式除以单项式；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】根据平方差公式去小括号，再合并同类项，再根据同底数幂的除法化简，再将x，y值代入即可求出答案.
16．（2025七下·深圳期末） 已知，如图，AD，CE相交于点，且.
（1）尺规作图：作线段AD的垂直平分线，垂足为点，交AE的延长线于点，交CD于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑）
（2）若，求证：
【答案】（1）解：如图所示
（2）证明：由（1）可得，BF垂直平分AD
∴∠AHB=∠DHF=90°，AH=DH
∵AD⊥CE
∴CE∥BF
∴∠C=∠BFD
∵∠C=∠ABF
∴∠BFD=∠ABF
∴△ABH≌△DFH(AAS)
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可求出答案.
（2）由（1）可得，BF垂直平分AD，根据垂直平分线性质可得∠AHB=∠DHF=90°，AH=DH，再根据角之间的关系可得∠BFD=∠ABF，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
17．（2025七下·深圳期末） 小深同学趁假期与朋友去登山.早上8：00，他们从山脚出发，经过40分钟到达山腰休息平台，休息了10分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留了半小时后原路下山.如图是他们出发后的时长x（分钟）与他们离山脚的相对高度y（米）之间的关系示意图.请根据图示信息，解答以下问题：
（1） 该问题情境中，自变量是　 　，因变量是　 　；
（2） 在山腰休息平台休息qù他们的相对高度平均变化速度是　 　米/分；他们下山的相对高度平均变化速度是　 　米/分；
（3） 将下表信息补充完整：
出发后时长x(分钟) 20 45 90 110
高山脚的相对高度y(米) ▲ 600 800 ▲
（4） 他们出发后　 　分钟，高山脚的相对高度是700米.
【答案】（1）x；y
（2）15；20
（3）300；600
（4）60或105
【知识点】函数自变量的取值范围；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
该问题情境中，自变量是出发后的时长x，因变量是离山脚的相对高度y
故答案为：x；y
（2） 在山腰休息平台休息时他们的相对高度平均变化速度是米/分
他们下山的相对高度平均变化速度是米/分
故答案为：15；20
（3）出发20分钟时，离山脚的相对高度为20×15=300米
出发110分钟时，离山脚的相对高度为800-20×(110-100)=600米
故答案为：300；600
（4）再山腰休息平台休息后，他们的相对高度平均变化速度为米/分
50+(700-600)÷10=60分钟
即他们出发后60分钟，离山脚的相对高度为700米
100+(800-700)÷20=105分钟
即他们出发后105分钟，离山脚的相对高度为700米
综上所述，他们出发后60分钟或105分钟，离山脚的相对高度为700米
故答案为：60或105
【分析】（1）根据图象信息即可求出答案.
（2）根据速度=路程÷时间，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据他们的速度和运动时间，求出他们所处的高度即可求出答案.
（4）根据图象分情况讨论：他们登山或下山时，离山脚的相对高度是700米时的出发时间即可求出答案.
18．（2025七下·深圳期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化.
（1） 观察图 1，它所对应的公式为　 　.（填写对应公式的序号）
①；
②；
③.
（2） 如图 2，边长为 a， b 的长方形，它的周长为 12，面积为 5，求 的值；
（3） 将正方形 ABCD 与正方形 AEFG 如图 3 摆放，当正方形 ABCD 与正方形 AEFG 面积和为 74，，求图中阴影部分面积和.
【答案】（1）①
（2）解：∵边长为 a， b 的长方形，它的周长为 12，面积为 5
∴2(a+b)=12，ab=5
∴a+b=6
∴(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=12
（3）解：延长GF交BC于点M
设AE=a，则正方形AEFG的面积为a2，正方形ABCD的面积为为(a+2)2
∵正方形ABCD与正方形AEFG面积和为74
∴(a+2)2+a2=74
∴a2+2a+1=36
∴(a+1)2=36
∴a+1=6（负号舍去）
∴a=5
∵
=2a+2
=12
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1）由图1可得：S大正方形=4S矩形+S小正方形
∴
故答案为：①
【分析】（1）根据S大正方形=4S矩形+S小正方形即可求出答案.
（2）根据题意a+b=6，ab=5，代数式去括号，再整体代入即可求出答案.
（3）延长GF交BC于点M，设AE=a，则正方形AEFG的面积为a2，正方形ABCD的面积为为(a+2)2，根据题意建立方程，解方程可得a=5，再根据割补法求阴影部分面积即可求出答案.
19．（2025七下·深圳期末）综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课.
【活动一】 情境再现，明晰原理
示例 1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题.如图 1①. 用直线l 表示河岸，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C 饮马后回到点B 宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？
作法是：如图 1②，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，则点C 即为饮马的地方，此时将军从点A走到点C，再回到点B所走的总路程最短.
（1）示例 2，如图 1③，要在河岸l上建一座水泵房Q，修建引水渠PQ，使得Q到村庄P的距离最短.施工人员的做法是：过点P作于点Q，将水泵房建在Q处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力.示例 1 中所蕴含的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
（2）【活动二】 感悟方法，尝试应用
如图 2，在等边三角形ABC中，AD是的中线.
① 直接写出BD与AB的数量关系▲；
② 若，点E为AB边的中点，点F为AD上一点，当的值最小时，在图2上标注点F的位置，并求出的最小值；
（3）【活动三】 迁移拓展，综合应用
如图 3，在中，，点D在斜边BC上，且，AE是的角平分线，点F，点G分别为AC，AE上一点，求的最小值.
【答案】（1）B
（2）①AB=2BD
解：如图所示，点F即为所求
∵点F是AD上一点
∴BF+EF=CF+EF≥EC
∴当点E，F，C三点共线时，BF+EF的值最小，即EC的长
∵ 在等边三角形ABC中，AD是的中线，点E是AB的中点
∴CE=AD=4
∴的最小值为4
（3）解：作点F关于AE的对称点F'
∵AE是的角平分线，则点F'落在AB上
连接DF'交AE于点G
当DF⊥AB时，DG+FG=DG+F'G=DF'最小
在Rt△BDF'中，BD=4-1=3，∠B=30°
∴
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解答：（1）由题意可得：
示例 1 中所蕴含的数学原理垂线段最短
故答案为：B
（2）①∵在等边三角形ABC中，AD是的中线
∴
∴AB=2BD
故答案为：AB=2BD
【分析】（1）根据点到直线的距离为垂线段最短即可求出答案.
（2）①根据等边三角形性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
②根据边之间的关系可得BF+EF=CF+EF≥EC，当点E，F，C三点共线时，BF+EF的值最小，即EC的长，再根据等边三角形性质即可求出答案.
（3）作点F关于AE的对称点F'，根据角平分线性质可得点F'落在AB上，连接DF'交AE于点G，当DF⊥AB时，DG+FG=DG+F'G=DF'最小，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
20．（2025七下·深圳期末）几何探究：
已知： 和 都是等边三角形，连接 CD，BE 交于点 P.
（1） 如图 1，①判断 BE 与 DC 的数量关系：　 　，= 　 　；
② 连接 AP， 与 的数量关系是：　 　；
（2） 如图 2，H，G 分别是 DC，BE 的中点，
① 当 时， ▲ ；
② 当 发生变化时，请探究 的度数是否发生变化，并说明理由；
（3） 连接 AP，求 的值.
【答案】（1）BE=DC；60°； =
（2）解：①60°
②不发生变化，理由如下
连接AH
∵△ABE≌△ADC
∴BE=DC，∠AEB=∠ACD
∵H，G 分别是 DC，BE 的中点
∴CH=EG
在△AEG和△ACH中
∴△AEG≌△ACH
∴AG=AH，∠EAG=∠CAH
∵∠EAG=∠EAC+∠CAG，∠CAH=∠CAG+∠GAH
∴∠GAH=∠EAC=60°
∴△AGH为等边三角形
∴∠AGH=60°
（3）解：在DC上截取DG=BP，连接AG
在△ADG和△ABP中
∴△ADG≌△ABP
∴∠DAG=∠BAP，AG=AP
∵∠DAG+∠BAG=60°
∴∠BAG+∠BAP=60°，即∠PAG=60°
∴△PAG为等边三角形，∠PAG+∠CAP=∠CAP+∠CAE，即∠CAG=∠EAP
∴PA=PG
在△CAG和△EAP中
∴△CAG≌△EAP
∴CG=EP
∴PD+PE=DG+PG+PC+PG=PB+PC+2PA
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵△ABD和△AEC都是等边三角形
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°
∴∠BAE=∠DAC
在△ABE和△ADC中
∴△ABE≌△ADC
∴BE=DC
设AB与DC的交点为F
∵△ABE≌△ADC
∴∠ADE=∠ABE
∵∠DFA=∠BFP
∴△DFA∽△BFP
∴∠BPF=∠BAD=60°
故答案为：BE=DC；60°
②作点A作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N
∵△ABE≌△ADC
∴DC=BE
∴AM=AN
∴AP平分∠DPE
∴ =
故答案为： =
（2）①连接AH
∵△ABE≌△ADC
∴BE=DC，∠AEB=∠ACD
∵H，G 分别是 DC，BE 的中点
∴CH=EG
在△AEG和△ACH中
∴△AEG≌△ACH
∴AG=AH，∠EAG=∠CAH
∵∠EAG=∠EAC+∠CAG，∠CAH=∠CAG+∠GAH
∴∠GAH=∠EAC=60°
∴△AGH为等边三角形
∴∠AGH=60°
【分析】（1）①根据等边三角形性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，则∠BAE=∠DAC，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ADC，则BE=DC，设AB与DC的交点为F，根据全等三角形性质可得∠ADE=∠ABE，再根据相似三角形判定定理可得△DFA∽△BFP，则∠BPF=∠BAD=60°，即可求出答案.
②作点A作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N，根据全等三角形性质可得DC=BE，则AM=AN，再根据角平分线判定定理可得AP平分∠DPE，再根据角平分线定义即可求出答案.
（2）①连接AH，根据全等三角形性质可得BE=DC，∠AEB=∠ACD，根据线段中点可得CH=EG，再根据全等三角形判定定理可得△AEG≌△ACH，则AG=AH，∠EAG=∠CAH，根据角之间的关系可得∠GAH=∠EAC=60°，再根据等边三角形判定定理可得△AGH为等边三角形，则∠AGH=60°，即可求出答案.
②连接AH，根据全等三角形性质可得BE=DC，∠AEB=∠ACD，根据线段中点可得CH=EG，再根据全等三角形判定定理可得△AEG≌△ACH，则AG=AH，∠EAG=∠CAH，根据角之间的关系可得∠GAH=∠EAC=60°，再根据等边三角形判定定理可得△AGH为等边三角形，则∠AGH=60°，即可求出答案.
（3）在DC上截取DG=BP，连接AG，根据全等三角形判定定理可得△ADG≌△ABP，则∠DAG=∠BAP，AG=AP，再根据角之间的关系可得∠PAG=60°，再根据等边三角形性质可得△PAG为等边三角形，∠PAG+∠CAP=∠CAP+∠CAE，即∠CAG=∠EAP，根据等角对等边可得PA=PG，再根据全等三角形判定定理可得△CAG≌△EAP，则CG=EP，再根据边之间的关系即可求出答案.
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