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4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动:生长规律的描述
基础过关练
题组一　用已知函数模型解决实际问题
1.通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育,某濒危野生动物的数量不断增长,根据调查研究,该野生动物的数量N(t)=(t的单位:年),其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当N(t*)=0.8K时,该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别,此时t*约为(ln 2≈0.7)(　　)
A.7　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.4
2.星等是衡量天体亮度的量.为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(又名依巴谷)在公元前2世纪首先提出了星等这个概念,例如,1等星的星等值为1,-0.58等星的星等值为-0.58.已知两个天体的星等值m1,m2和它们对应的亮度E1,E2满足关系式m1-m2=-2.5lg(E1>0,E2>0),则1等星的亮度是6等星亮度的(　　)
A.倍　　　　B.10倍　　　　C.倍　　　　D.100倍
3.在某种流行疾病的防控中,特定的检测是确诊的有效手段,在某医院开展检测工作的第n(n∈N*)天,设每个检测对象从接受检测到检测报告生成的平均耗时为t小时,已知t与n之间的函数关系为t(n)=(t0,N0为常数),已知第4天检测过程平均耗时为12小时,第9天和第10天检测过程平均耗时均为8小时,那么第7天检测过程平均耗时约为(参考数据:≈2.646)(　　)
A.8小时　　　　B.9小时　　　　C.10小时　　　　D.11小时
题组二　构建函数模型解决实际问题
4.某种溶液含有杂质,为达到实验要求,杂质含量不能超过0.1%,而这种溶液最初杂质含量为2%,若每过滤一次杂质含量减少,则为使溶液达到实验要求,最少需要过滤的次数为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　)
A.7　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10
5.某创业团队拟生产A,B两种产品,根据市场预测,A产品的利润与投资额成正比(如图1),B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).(注:利润与投资额的单位均为万元)
图1　　图2
(1)设A,B两种产品的利润分别为f(x)万元,g(x)万元,试写出f(x),g(x)关于投资额x(单位:万元)的函数关系式;
(2)该团队已筹集到10万元资金,并打算全部投入A,B两种产品的生产,问:当B产品的投资额为多少万元时,生产A,B两种产品能获得最大利润 最大利润为多少
题组三　建立拟合函数模型解决实际问题
6.某体育用品商店展开促销活动,据统计,该店每天的销售收入不低于2万元时,其纯利润y(单位:万元)随销售收入x(单位:万元)的变化情况如下表所示:
x/万元 2 3 5
y/万元
(1)根据表中数据,分别用模型y=loga(x+m)+b(a>0且a≠1)与y=c+d建立y关于x的函数解析式;
(2)当x=9时,y=3.3,你认为(1)中哪个函数模型更合理 请说明理由.(参考数据:≈7.55)
7.环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车在一段平坦的国道上进行测试,国道限速80 km/h(不含80 km/h).经多次测试,得到该汽车每小时耗电量M(单位:W·h)与速度v(单位:km/h)的下列数据:
v 0 10 40 60
M 0 1 325 4 400 7 200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=1 000+a,M(v)=300logav+b(a>0且a≠1,b∈R).
(1)当0≤v<80时,请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)现有一辆同型号汽车从A地驶到B地,前一段是200 km的国道,后一段是50 km的高速路,已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位:W·h)与速度v(单位:km/h)的关系是N(v)=2v2-10v+200(80≤v≤120),如何行驶才能使得总耗电量最少,最少为多少
答案与分层梯度式解析
4.6　函数的应用(二)
4.7　数学建模活动:生长规律的描述
基础过关练
1.C 2.D 3.B 4.B
1.C　根据题意得=0.8K,所以,所以t*==5.
2.D　当m1=1,m2=6时,m1-m2=-5=-2.5lg,即lg=2,解得=102=100,故选D.
3.B　由已知可得,当n≥N0时,t(n)为定值,当n4,
所以t(4)==12,解得t0=24,所以t(9)==8,解得N0=9,故t(7)=≈9.
故选B.
4.B　若有100单位的溶液,则初始的杂质含量为2单位.开始过滤后,溶液中杂质的含量为:1次后,2×;2次后,2×;……;n次后,2×.
根据题意,得2×≤0.1,可得n≥≈7.4,因为n∈N+,所以为使溶液达到实验要求,最少需要过滤8次.
故选B.
5.解析　(1)因为A产品的利润与投资额成正比,所以可设f(x)=kx(k>0,x≥0),
将(1,0.25)代入,得0.25=1×k,解得k=,故f(x)=x(x≥0).
因为B产品的利润与投资额的算术平方根成正比,所以可设g(x)=m(m>0,x≥0),
将(4,2.5)代入,得2.5=m,解得m=,故g(x)=(x≥0).
(2)设B产品的投资额为x万元,生产A,B两种产品获得的利润为y万元,则A产品的投资额为(10-x)万元,
则y=g(x)+f(10-x)=(10-x)(0≤x≤10).
令=t(0≤t≤),可得h(t)=-.
当t=,即x=6.25时,h(t)取得最大值,为4.062 5.
故当B产品的投资额为6.25万元时,生产A,B两种产品能获得最大利润,最大利润为4.062 5万元.
6.解析　(1)若选用y=loga(x+m)+b(a>0且a≠1),
则依题意可得
则y=log2(x-1)+(x≥2).
若选用y=c+d,
则依题意可得
则y=(x≥2).
(2)对于函数y=log2(x-1)+(x≥2),当x=9时,y=log2(9-1)+=3.25.
对于函数y=(x≥2),当x=9时,y==3.525.
因为|3.525-3.3|>|3.25-3.3|,
所以选用模型y=log2(x-1)+(x≥2)更合理.
7.解析　(1)对于M(v)=300logav+b(a>0且a≠1,b∈R),当v=0时,无意义,不符合题意;
对于M(v)=1 000+a,其为减函数,与M(40)故应选择M(v)=v3+bv2+cv.
由题表中数据得
解得
所以当0≤v<80时,M(v)=v3-2v2+150v.
(2)设该汽车在国道上行驶所耗电量为f(v) W·h,
则f(v)=
=5(v2-80v+6 000)=5(v-40)2+22 000,
因为0≤v<80,所以当v=40时, f(v)min=22 000.
设该汽车在高速路上行驶所耗电量为g(v) W·h,
则g(v)=×(2v2-10v+200)
=100-500,
易知g(v)在[80,120]上单调递增,
所以g(v)min=g(80)=100×-500=7 625.
又22 000+7 625=29 625(W·h),
所以当这辆汽车在国道上的行驶速度为40 km/h,在高速路上的行驶速度为80 km/h时,从A地到B地的总耗电量最少,最少为29 625 W·h.
8(共11张PPT)
4.6 函数的应用(二) 　　4.7 数学建模活动：生长规律的描述
知识 清单破
知识点 常见函数模型
一次函数模型 y=kx+b(k,b为常数,k≠0)
二次函数模型 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数型函数模型 y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数型函数模型 y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0且a≠1)
幂函数型模型 y=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)
知识辨析　判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.解决某一实际问题的函数模型是唯一的. (　 )
2.用来拟合散点的函数图象一定要经过所有点. (　 )
3.根据收集到的数据作出散点图,结合已知的函数选择适当的函数模型,这样得到的函数模型
的拟合效果较好. (　 )
4.函数模型中,要求定义域只需使函数式有意义. (　 )
5.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就没有存在的意义了. (　 )

√


在函数模型中,所求的定义域除了要使函数式有意义,还要使实际问题有意义.
提示

讲解分析
1.利用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题——弄清题意,分清条件和要求的结论,理顺数量关系;
(2)建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相
应的函数模型;
(3)求模——推理并求解函数模型;
(4)还原——用得到的函数模型描述实际问题的变化规律.
2.函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格,绘出散点图;
疑难 情境破
疑难 利用函数模型解决实际问题
(2)通过观察散点图,画出拟合直线或拟合曲线;
(3)求出拟合直线或拟合曲线对应的函数关系式;
(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
典例1　某科研团队在某水域中放入一定量的水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过
2个月其覆盖面积为18 m2,经过3个月其覆盖面积为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经
过时间x(x∈N)(单位:月)的关系有函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p +q(p>0)可供选择.(参考数
据: ≈1.414, ≈1.732,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)求最初投放的水葫芦的面积,并求约经过几个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放
量的1 000倍.
解析 (1)∵y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=p +q(p>0)的增长速度越来越慢,
∴由题意可知应选y=kax(k>0,a>1).
由题意得 解得
∴y=8· (x∈N).
(2)当x=0时,y=8.
设经过n(n∈N+)个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量的1 000倍,
则8· =8×1 000,
解得n=lo 1 000= = ≈17.
∴最初投放的水葫芦的面积为8 m2,约经过17个月,该水域中水葫芦的覆盖面积是当初投放量
的1 000倍.
典例2　某企业常年生产一种出口产品,自2020年以来,每年在正常情况下,该产品的产量平稳
增长.已知2020年为第1年,前4年的年产量f(x)(万件)如下表所示:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2020~2023年该产品年产量的散点图;
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该产品年产量变化的函数模型,并求出函数
解析式;
(3)2024年(即x=5)因受到某种影响,该产品的年产量减少30%,试根据所建立的函数模型,估计
2024年的年产量.
解析 (1)画出散点图,如图所示.
(2)由散点图知,可选用一次函数模型.
设f(x)=ax+b(a≠0),
将(1,4),(3,7)代入,得
解得 所以f(x)=1.5x+2.5.
检验: f(2)=5.5,且|5.58-5.5|=0.08<0.1,
f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06<0.1.
所以一次函数模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映该产品年产量的变化.
(3)根据所建立的函数模型,估计2024年的年产量为f(5)=1.5×5+2.5=10(万件),
又年产量减少30%,
所以估计2024年的年产量为10×70%=7(万件).

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