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(共9张PPT)
　
1.向量加法的三角形法则
　　一般地,平面上任意给定两个向量a,b,在该平面内任取一点A,作 =a, =b,作出向量
,则向量 称为向量a与b的和(也称 为向量a与b的和向量),记作a+b,因此 + = .
　　简记:首尾接,首尾连.
　　当a与b不共线时,求它们的和可用图(1)表示,此种求两向量和的作图方法称为向量加法
的三角形法则;当a与b共线时,求它们的和可用图(2)和图(3)表示,其中 =a, =b, =a+b.
知识点 1 向量的加法
知识 清单破
6.1.2　向量的加法　6.1.3　向量的减法

　　由上可看出,向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
2.向量加法的平行四边形法则
　　平面上任意给定两个不共线的向量a,b,在该平面内任取一点A,作 =a, =b,以AB,AC
为邻边作一个平行四边形ABDC,作出向量 ,则 = + .此种求两向量和的作图方法称
为向量加法的平行四边形法则.
　　简记:共起点,对角线.

3.向量加法的运算律
(1)交换律:a+b=b+a.
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
4.多个向量相加
　　已知n个向量,把这n个向量依次首尾相接,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点
为终点的向量就是这n个向量的和.
　
1.向量的差
一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,则称x为向量a与b的差,并记
作x=a-b.
2.向量减法的三角形法则
　　已知向量a,b,在平面内任取一点O,作 =a, =b,作出向量 ,则向量 就是向量a与b
的差(也称 为向量a与b的差向量),即 - = .
　　简记:共起点,连终点,指被减.
当a与b不共线时,求a-b的差可用下图表示,此种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角
形法则.
知识点 2 向量的减法

与向量加法的三角形法则类似,向量a,b的模与a-b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
3.相反向量
　　给定一个向量,我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量,向量a
的相反向量记作-a.
　　一个向量减去另一个向量,等于第一个向量加上第二个向量的相反向量.
知识辨析　判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.两个向量的和可能是数量. (　 )
2.两个向量相加就是它们的模相加. (　 )
3.求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则. (　 )
4.两个同向向量的差一定小于这两个向量的和. (　 )


提示
提示

因为向量既有大小又有方向,所以两个向量相加不是模相加.

向量加法的平行四边形法则适用于不共线的向量.
1.涉及平面向量的加法,我们要掌握三角形法则和平行四边形法则,三角形法则是“首尾相
接”,平行四边形法则是“不共线,共起点”;涉及平面向量的减法,我们要掌握三角形法则,该
法则强调了“共起点,连终点,指向被减”,减法运算可通过相反向量转化为加法运算.
2.用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法:①画图:结合图形的特征,把待求向量放在三角形或平行四边形中;
②表示:结合向量的三角形法则或平行四边形法则,用已知向量表示待求向量.
(2)方程法:当直接表示比较困难时,可以先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于待求
向量和已知向量之间的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
疑难 情境破
疑难 平面向量的加、减法及应用
典例　(1)(多选)化简以下各式,结果为0的有 (　 )
A. + + 　　　 B. - + -
C. - + 　　　 D. + + -
(2)在平行四边形ABCD中, =a, =b,M是BC的中点,则 =　　 　 .(用a,b表示)
ABC
a+ b
解析 (1)对于A, + + = - =0,故A正确;
对于B, - + - =( + )-( + )= - =0,故B正确;
对于C, - + =( + )- = - =0,故C正确;
对于D, + + - = + + = + =2 ,故D不正确.
(2)因为四边形ABCD为平行四边形,所以 = + , = + = - ,所以 = ( +
), = ( - ),因为M为BC的中点,所以 = ,
故 = + = + = ( + )+ ( - )= + .
所以 = a+ b.6.1.2　向量的加法　　　　　6.1.3　向量的减法
基础过关练
题组一　向量的加法运算
1.如图,四边形ABCD是菱形,下列结论正确的是(　　)
A.
C.
2.=(　　)
A.
3.在四边形ABCD中,若,则(　　)
A.四边形ABCD是矩形
B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是正方形
D.四边形ABCD是平行四边形
4.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是(　　)
A.正三角形　　　　B.锐角三角形
C.钝角三角形　　　　D.等腰直角三角形
5.如图所示,在中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,ai=(i=1,2,…,7),bj=(j=1,2,…,8),则a2+a5+b2+b5+b7=　　　.(结果用ai或bj表示)
6.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且=0.求证:.
7.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地,然后向C地飞行,已知C地在A地北偏东60°的方向处,且A,C两地相距300 km,求飞机从B地到C地飞行的方向及B,C两地间的距离.
题组二　向量的减法运算
8.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则=(　　)
A.
9.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则a-b的方向　　(　　)
A.与向量a的方向相同
B.与向量a的方向相反
C.与向量b的方向相同
D.无法确定
10.如图,在△ABC中,D是BC上一点,则=(　　)
A.
11.若△ABC是边长为1的等边三角形,则||=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.
题组三　向量加、减法的综合运算
12.=(　　)
A.
13.(多选题)下列能化简为的是(　　)
A.)
C.(
14.已知正方形ABCD的边长为1,则||=(　　)
A.0　　　　B.　　　　D.4
15.(多选题)已知A,B,C,D四点不共线,下列等式能判断四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A.
B.(O为平面内任意一点)
C.
D.(O为平面内任意一点)
16.在△ABC中,||,则△ABC是(　　)
A.等边三角形　　　　B.直角三角形
C.钝角三角形　　　　D.等腰直角三角形
17.已知四边形ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=120°,O为平面上一点,且满足,则四边形ABCD的面积为(　　)
A.　　　　D.4
18.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,且||,则||=　　　　.
19.向量a,b,c,d,e如图所示,根据图解答下列问题:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
题组四　向量的三角不等式
20.已知下列式子:
①|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|;
②|a|-|b|=|a+b|=|a|+|b|;
③|a|-|b|=|a+b|<|a|+|b|;
④|a|-|b|<|a+b|=|a|+|b|.
其中,一定不成立的式子的个数是(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
21.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,则|a+b|的取值范围是(　　)
A.[2,3]　　　　B.[2,8]　　　　C.[3,5]　　　　D.[2,5]
答案与分层梯度式解析
6.1.2　向量的加法
6.1.3　向量的减法
基础过关练
1.C 2.B 3.D 4.D 8.D 9.A 10.C 11.D
12.C 13.ABC 14.C 15.ABC 16.A 17.B 20.A 21.B
1.C　因为向量的方向不同,所以,故A,B错误;
因为四边形ABCD是菱形,所以根据向量加法的三角形法则及平行四边形法则知,,故C正确,D错误.
2.B　)=0+0=0.
3.D　∵,
∴,∴AB∥DC且AB=DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.无法判断该四边形其他的边角关系,故四边形ABCD是平行四边形.
4.D　因为||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,
所以|a|2+|b|2=|a+b|2,即||2,所以△ABC为等腰直角三角形.
5.答案　b6(或-b2)
解析　由题可知,a2+a5+b2+b5+b7==b6=-b2.
6.证明　因为,
所以.
又因为=0,所以.
7.解析　如图所示,,∠BAC=90°,||=300 km,所以∠ABC=45°,| km,设C地在B地东偏南θ方向,则θ=15°,故飞机从B地到C地飞行的方向是东偏南15°,B,C两地间的距离为300 km.
8.D　,故选D.
9.A　当a,b反向时,a-b的方向与a的方向相同;
当a,b同向时,∵|a|>|b|,∴a-b的方向仍与a的方向相同.
10.C　由题图知.
11.D　如图所示,延长CB到点D,使BD=1,连接AD,则.在△ABD中,AB=BD=1,∠ABD=120°,作BE⊥AD于点E,则∠ABE=60°,所以AE=AB·sin∠ABE=,所以AD=,所以|.故选D.
12.C　由题意可得.
13.ABC　对于A,;对于B,;对于C,(;对于D,,故D不合题意.故选ABC.
14.C　||,
因为正方形ABCD的边长为1,所以AC=,故|.
15.ABC　对于A,因为,所以AB∥DC且AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形,故A正确;
对于B,因为,所以,所以AB∥DC且AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形,故B正确;
对于C,因为,即,
所以,所以AD∥BC且AD=BC,
所以四边形ABCD为平行四边形,故C正确;
对于D,因为,所以,所以,所以四边形ABDC为平行四边形,故D错误.
16.A　因为|,所以||,所以△ABC是等边三角形.
17.B　∵,
∴,即,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又||=2,∴四边形ABCD为菱形.
连接AC,BD,易得AC=2,BD=2,
∴四边形ABCD的面积为AC·BD=,故选B.
18.答案　2
解析　以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,则.
∵||,
又||=4,M是线段BC的中点,
∴||=2.
19.解析　由题图知=a,=b,=c,=d,=e.
(1)=d+e+a.
(2)=-b-c.
(3)=e+a+b.
(4))=-c-d.
20.A　①当a与b不共线时成立;②当b=0时成立;③当a与b共线,方向相反,且|a|≥|b|时成立;④当a与b共线,且方向相同时成立.故一定不成立的式子的个数是0.
21.B　向量a,b满足|a|=3,|b|=5,则|a+b|≤|a|+|b|=8,当且仅当a,b同向时取等号;
|a+b|≥||b|-|a||=2,当且仅当a,b反向时取等号,所以|a+b|的取值范围是[2,8].
10

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