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6.3　平面向量线性运算的应用
基础过关练
题组一　向量在平面几何中的应用
1.已知△ABC中,点G为△ABC所在平面内一点,则“=0”是“点G为△ABC的重心”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.在△ABC中,若 (其中k是非零常数),则△ABC的形状一定是(　　)
A.正三角形　　　　B.钝角三角形
C.等腰三角形　　　　D.直角三角形
3.如图,在正八边形ABCDEFGH中,若(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　　.
4.已知P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点,如图所示.
(1)试用向量法证明PQ∥AB;
(2)若AB=3CD,求PQ∶AB.
题组二　向量在物理中的应用
5.若向量=(-3,-2)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|=(　　)
A.
6.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分.某学生做引体向上运动,当他处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为200 N,则该学生的体重(单位:kg)为(参考数据:取g=10 N/kg)(　　)
A.60　　　　B.61　　　　C.75　　　　D.60
7.有一条宽为 km的河,水流速度v1的大小为|v1|=2 km/h,在河两岸分别有码头A,B,已知AB= km,一艘船在水中的航行速度v2的大小为|v2|=4 km/h,问怎样安排行船速度,可使该船从码头A最快到达码头B 此时用时多少
答案与分层梯度式解析
6.3　平面向量线性运算的应用
基础过关练
1.C 2.C 5.C 6.D
1.C　=0,则G是△ABC的重心,即充分性成立;
若G是△ABC的重心,则=0,
而,所以=0,必要性成立,故选C.
2.C　在△ABC中,∵(其中k是非零常数),
∴),
∴,
∴,
又不共线,∴=0,
∴||,∴△ABC是等腰三角形.无法判断其是不是正三角形、钝角三角形、直角三角形.故选C.
3.答案　
解析　设正八边形ABCDEFGH的中心为O,以O为坐标原点,HD,BF所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图,
连接OC,设AC交y轴于M点,易得∠AOB=∠COB=∠AOH=
∠EOD==45°,且AC⊥y轴,
则△AOM,△MOC均为等腰直角三角形.
设OD=2,则OC=OF=OE=OA=OD=2,
所以AM=OM=MC=,所以F(0,2),A(-),易知C与E关于x轴对称,所以E(),
所以,0),
由得(2),
即所以λ+μ=2-.
4.解析　(1)证明:连接CQ.
∵Q为BD的中点,∴.
∵P为AC的中点,∴.
∴2.
∵,∴设,λ∈R,
∴2,即2,
∴.又||≠||,∴λ≠-1,
∴,∴PQ∥AB.
(2)∵向量反向,且AB=3CD,
∴,
结合(1)可知,∴PQ∶AB=1∶3.
5.C　F1+F2==(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),所以|F1+F2|=.
6.D　如图,|,∠AOB=60°,
作平行四边形OACB,则四边形OACB是菱形,,且||sin 60°=600,所以|G|=||=600,
因此该学生的体重为=60(kg).
7.解析　如图所示,设=v1,=v2,以AC,AD为邻边作平行四边形ACED.当AE与AB所在直线重合时可使船最快到达码头B.
由题意知AC⊥AE,||=2 km/h,||=4 km/h,∠AED=90°,
∴| km/h,sin∠EAD=,
∴∠EAD=30°.
此时到达码头B用时为=0.5(h).
故当船头与水流成120°角时,可使该船从码头A最快到达码头B,此时用时0.5 h.
6(共11张PPT)
6.3　平面向量线性运算的应用
疑难 情境破
讲解分析
1.用向量法解决平面几何问题的步骤
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为
向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
疑难 1 利用向量法解决平面几何问题
2.利用向量解决平面几何问题的方法
(1)基底法:选取适当的基底,将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算律等
计算;
(2)坐标法:建立平面直角坐标系,把几何图形放在坐标系中,赋予相关点与相关向量具体的坐
标,进行相应的代数运算和向量运算,从而解决问题.
典例1　如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是边AD,DC的中点,连接BE,BF,分别交AC于
点R,T.求证:AR=RT=TC.

证明 设 =a, =b, =r, =t,
则 =a+b.
由于 与 共线,
所以可设 =n (n∈R),即r=n(a+b).
因为 = - =a- b, 与 共线,
所以可设 =m =m (m∈R).
因为 = + ,
所以r= b+m ,
所以n(a+b)= b+m ,
即(n-m)a+ b=0.
由于向量a,b不共线,
所以 解得
所以 = .
同理, = .
所以AR=RT=TC.
典例2　如图,已知直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的
中点,用平面向量证明:

(1)DE∥BC;
(2)D,M,B三点共线.
证明 以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图.

设| |=1,则| |=1,| |=2.
易知四边形AECD为正方形,
∴E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1).
(1)易得 =(-1,1), =(-1,1),
∴ = ,∴ ∥ ,即DE∥BC.
(2)连接MB,MD.
∵M为EC的中点,∴M .
∴ = , = .
∴ =- ,
∴ ∥ .
又∵MD与MB有公共点M,
∴D,M,B三点共线.
讲解分析
　　物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成也遵循向量加法与减法的运算
法则,因此可以用向量知识来解决物理问题.
用向量法解决物理问题的步骤:
(1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题;
(2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;
(3)求解参数,即进行向量运算;
(4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.
疑难 2 利用向量法解决物理问题
典例　在风速为75( - )km/h的西风中,飞机以150 km/h的速度向西北方向飞行,求无风时飞
机的航速和航向.
解析 设w为风速,va为飞机的实际航行速度,vb为无风时飞机的航行速度,则vb=va-w,如图.

∴vb,va,w对应的有向线段构成三角形.
设| |=|va|,| |=|w|,| |=|vb|,
作AD∥BC,CD⊥AD于点D,BE⊥AD于点E,则∠BAD=45°.
由题意知| |=150,| |=75( - ),
∴| |=| |=| |=75 ,| |=75 .
∴| |=150 ,∠CAD=30°.
∴无风时飞机的航速为150 km/h,方向为北偏西60°.

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