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易混易错练
易错点1　对向量的相关概念理解不清致错
1.(多选题)下列说法错误的是(　　)
A.若a=b,则3a>2b
B.若a∥b,则a与b的方向相同或相反
C.若a∥b,b∥c,则a∥c
D.对任一非零向量a,是一个单位向量
2.下列说法正确的是(　　)
A.若是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上
B.任一向量与它的平行向量均不相等
C.若四边形ABCD是平行四边形,则
D.共线的向量,若始点不同,则终点一定不同
易错点2　混淆点与向量的坐标表示致错
3.已知点A(1,0),B(3,2),向量=(2,1),则向量=(　　)
A.(0,-1)　　　　B.(1,-1)
C.(1,0)　　　　D.(-1,0)
4.(2024陕西西安期中)已知两点A(3,-4),B(-9,2),点P在直线AB上,且,则点P的坐标为　　　　.
5.如图,在4×4的方格纸中,若起点和终点均在格点上的向量m,n,p满足p=xm+yn(x,y∈R),则4x+y=　　　　.
6.如图,在平面四边形ABCD中,∠CBA=∠CAD=90°,
∠ACD=30°,AB=BC,点E为线段BC的中点.若(λ,μ∈R),则λμ的值为　　　　.
易错点3　对平面向量基本定理应用不当致错
7.如图,在△ABC中,(λ≠0),E是BD上一点,若,则实数λ的值为(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
8.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,,BE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=(　　)
A.a-b　　　　B.-a+b
C.a+b　　　　D.a+b
9.在△ABC中,E是BC边上一点,且BE=3EC,点F为AE延长线上的一点,则使得(λ,μ∈R)成立的一组数据(λ,μ)为　　　　.
思想方法练
一、数形结合思想在平面向量中的应用
1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,2,则=(　　)
A.-
C.-
2.在矩形ABCD中,点E是AC的中点,点F在边CD上.
(1)若点F是CD上靠近C的三等分点,试用;
(2)若,点F是CD上靠近C的四等分点,且,求λ的值.
二、方程思想在平面向量中的应用
3.已知向量a,b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则λ的值为(　　)
A.1　　　　B.0　　　　C.-1　　　　D.±1
4.如图所示,在△ABC中,D,E分别是BC,AC上的点,且BD=DC,,则=(　　)
A.　　　　D.3
5.已知向量=(3,-1),若A,B,D三点共线,则m=　　　　.
6.在△ABC中,M,N分别是边AB,AC上的点,且,点O是线段MN上异于端点的一点,且满足λ=0(λ≠0),则λ=　　　　.
三、转化与化归思想在平面向量中的应用
7.已知△ABC内一点P满足,若△PAB的面积与△ABC的面积之比为1∶3,△PAC的面积与△ABC的面积之比为1∶4,求实数λ,μ的值.
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
1.ABC 2.C 3.A 7.B 8.B
1.ABC　向量不能比较大小,故A中说法错误;零向量与任一向量共线,且零向量的方向是不确定的,故B中说法错误;若b为零向量,则a与c可能不是平行向量,故C中说法错误;显然D中说法正确.
易错警示　解决与向量有关的问题时,要注意题目中的向量能不能为零向量,零向量是特殊向量,其方向是不确定的.
2.C　因为是共线向量,但它们所在的直线不一定重合,所以A,B,C,D四点不一定在一条直线上,所以A错误;因为平行向量的方向可以相同,大小也可以相等,所以任一向量与它的平行向量可能相等,所以B错误;因为四边形ABCD是平行四边形,所以由平行四边形的性质可得,所以C正确;由向量共线的定义可知,共线的向量始点不同,终点可能相同,所以D错误.
易错警示　涉及平行(共线)向量时的注意点:①平行向量与共线向量是同一概念的不同名称;②平行(共线)向量所在的直线可能平行,也可能重合,与平面几何中的共线、平行不同.
3.A　由题意得=(-2,-2)+(2,1)=(0,-1).
4.答案　(-3,-1)
解析　易得=(-12,6),
设P(x,y),则=(x-3,y+4),
由,得(x-3,y+4)=(-6,3),即∴P(-3,-1).
5.答案　7
解析　建立如图所示的平面直角坐标系,设小方格的边长为1,则m=(1,3),n=(3,-2),p=(4,3),
∵p=xm+yn,即(4,3)=(x+3y,3x-2y),
∴∴4x+y=7.
6.答案　
解析　以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
不妨设AB=BC=2,则有A(0,0),C(2,2),E(2,1),AC=2×tan 30°=.过点D作DF⊥x轴于点F,则∠DAF=180°-90°-45°=45°,DF=×sin 45°=,所以D,所以=(2,1).因为,所以(2,2)=λ,所以所以λμ=.
易错警示　由原点出发的向量的终点坐标才是此向量的坐标;任意向量的坐标等于其终点坐标减去其始点坐标;点与坐标之间无“=”,向量与坐标之间有“=”.
7.B　因为,所以,因为,所以,
因为E,B,D三点共线,所以=1,解得λ=4.
8.B　由.
由DC∥AB得△EFC∽△EBA,∴,
又∵DC=AB,∴,
∴a+b.
9.答案　(答案不唯一)
解析　由题意知,又BE=3EC,故),
则,
又点F为AE的延长线上一点,故(t∈R,且t>1),
不妨取t=2,则,
故使得(λ,μ∈R)成立的一组数据(λ,μ)为.(答案不唯一)
易错警示　应用平面向量基本定理的注意事项
(1)选定基底后,通过向量的加、减、数乘运算以及向量平行(共线)的相关结论,把相关向量用这一组基底表示出来.
(2)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量时,常借助图形的几何性质进行转化.
思想方法练
1.A 3.C 4.C
1.A　根据题意作出图形,结合图形的几何性质,以及向量加减法、数乘运算的几何意义解决问题.
因为2,所以.
由已知得,),所以),
所以.
2.解析　(1).
(2)结合图形特点建立平面直角坐标系,利用数形结合,将几何问题通过向量的坐标运算进行求解.
以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
设AB=a,AD=b,则A(0,0),B(a,0),C(a,b),
E.
易得,
∴=(a,0)+λ(0,b)=(a,λb),
∵·λb=a·,解得λ=2.
思想方法　数形结合思想在平面向量中的应用十分常见,向量具有数与形的双重特性,是代数和几何的桥梁,在解题时画出简图能使向量问题更加形象、直观.
3.C　∵向量a+λb与b+λa的方向相反,
∴(a+λb)∥(b+λa).
利用共线向量基本定理列方程求解.
由共线向量基本定理可知,存在一个实数m,使得a+λb=m(b+λa),即(1-mλ)a=(m-λ)b,
∵a与b不共线,∴1-mλ=m-λ=0,可得m=λ=±1.当λ=1时,向量a+b与b+a是相等向量,其方向相同,不符合题意,舍去.∴λ=-1.
4.C　设=a,=b,.
∵BD=DC,∴b.
∵.
∴a+b,
∴λa+λb.
∵A,M,D三点共线,∴存在μ∈R,使得=μa+b.
将用基底{a,b}表示出来,利用平面向量基本定理中的唯一性建立方程组求解参数的值.
∴
∴.故选C.
5.答案　0
解析　=(m+3,6),因为A,B,D三点共线,
所以存在λ∈R使得,则
解得
根据三点共线得到向量共线,再利用向量相等的坐标表示构建方程组并求解.
6.答案　8
解析　因为),
所以,
因为λ=0,
所以λ=0,
即(λ+7),即,
因为M,O,N三点共线,所以=1,解得λ=8.
利用平面向量基本定理及方程思想列出关于λ的方程并求解.
思想方法　方程思想在平面向量中的应用主要体现在利用平面向量基本定理的唯一性以及向量的坐标构建方程(组).
7.解析　如图,过点P作PM∥AC,PN∥AB,分别交AB,AC于点M,N,则,所以.
作PG⊥AC交AC于点G,BH⊥AC交AC于点H.
因为,所以.
将面积比转化为线段的长度之比.
又因为△PNG∽△BAH,
所以,即,
所以λ=.
同理,可得μ=.
思想方法　转化与化归思想在平面向量中的应用主要体现在将某一向量用已知向量线性表示以及将题中的面积关系转化为向量的模的关系等.
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