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考 前 必 背
一、根式与分数指数幂
1.根式的性质
(1)()n=a(n>1,且n∈N*).
(2)
2.分数指数幂
(1)正分数指数幂:a>0,m,n∈N*,且是既约分数.
(2)负分数指数幂:a>0,m,n∈N*,且是既约分数.
规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
3.有理数指数幂的运算法则
(1)asat=as+t(a>0,s,t∈Q).
(2)(as)t=ast(a>0,s,t∈Q).
(3)(ab)s=asbs(a>0,b>0,s∈Q).
二、指数函数
1.指数函数的概念
一般地,函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
2.指数函数的性质与图象
函数 y=ax(a>0且a≠1)
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0,+∞)
奇偶性 非奇非偶函数
定点 过定点(0,1),即x=0时,y=1
函数值 的变化 当x<0时,00时,y>1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0单调性 增函数 减函数
注:指数函数y=ax与y=a-x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称.
三、对数
1.对数的概念与运算
(1)对数的概念
在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作b=logaN,其中a称为对数的底数,N称为对数的真数.
(2)对数式与指数式的互化:ab=N b=logaN(a>0且a≠1).
特别地,loga1=0,logaa=1,=N,logaab=b(a>0且a≠1).
(3)运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R,那么loga(MN)=logaM+logaN;
logaMα=αlogaM;loga=logaM-logaN.
(4)换底公式
logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1).
(5)相关结论
lologab(a>0且a≠1,b>0,s∈R,t∈R且t≠0);
logab=(a>0且a≠1,b>0且b≠1).
2.两种特殊的对数
(1)以10为底的对数称为常用对数,log10N简写为lg N.
(2)以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,logeN简写为ln N.
四、对数函数
1.对数函数的概念
一般地,函数y=logax称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
2.对数函数的性质与图象
函数 y=logax(a>0且a≠1)
a>1 0图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
奇偶性 非奇非偶函数
定点 过定点(1,0),即x=1时,y=0
函数值 的变化 当x>1时,y>0; 当01时,y<0; 当00
单调性 增函数 减函数
注:对数函数y=logax与y=logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称.
五、反函数
一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数.此时,称y=f(x)存在反函数.函数y=f(x)的反函数记作y=f -1(x).
值得注意的是,y=f(x)的定义域与y=f -1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f -1(x)的定义域相同,y=f(x)与y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称.
六、幂函数
定义 一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数
常见幂函数 的图象
幂函数的 共同特征 1.所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图象,并且图象都通过点(1,1). 2.如果α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数. 3.如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图象在x轴上方且无限地逼近x轴
七、增长速度的比较
1.函数y=f(x)在[x1,x2]上的平均变化率
定义式
实质 函数值的改变量与自变量的改变量之比
作用 比较函数值变化的快慢
2.三种函数模型的比较
y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0)
在(0,+∞) 上的增减性 增 增 增
图象的 变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐变“缓” 直线上升
增长速度 y=ax(a>1)的增长速度远远快于y=kx(k>0)的增长速度,y=kx(k>0)的增长速度快于y=logax(a>1)的增长速度
结果 存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax
八、随机抽样
抽样 方法 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单随 机抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 从总体中逐个抽取 分层抽样在 各层抽样时 采用简单随 机抽样 总体中的 个体数目较少
分层 抽样 将总体分成互不交叉的 层,然后分层抽取 总体由差异 明显的几部 分组成
九、数据的数字特征
1.最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值.
2.平均数
(1)数据x1,x2,…,xn的平均数为(x1+x2+…+xn)=xi.
(2)若x1,x2,…,xn的平均数为,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a+b.
3.中位数
将一组数从小到大排序后,中间的数或者中间两数的平均数为这组数的中位数.
4.百分位数
一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有p%的数据不大于该值,且至少有(100-p)%的数据不小于该值.
5.众数
一组数据中,出现次数最多的数据.
6.极差
一组数的最大值减去最小值所得的差.
7.方差与标准差
(1)如果x1,x2,…,xn的平均数为,则方差为s2=)2.方差的算术平方根称为标准差.
(2)若x1,x2,…,xn的方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2,x1+a,x2+a,…,xn+a的方差为s2.
十、频率分布直方图的特征
1.纵坐标是,小矩形的面积=组距×=频率.
2.所有矩形的面积之和为1.
3.(1)众数:最高小矩形底边中点的横坐标;
(2)中位数:把频率分布直方图划分为左、右两个面积相等的部分,分界线与横轴交点的横坐标;
(3)平均数:每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.
十一、分层抽样中的平均数与方差
假设样本是用分层抽样的方法得到的,且是分两层抽样.第一层有m个数,分别为x1,x2,…,xm,平均数为,方差为s2;第二层有n个数,分别为y1,y2,…,yn,平均数为,方差为t2,则样本均值,样本方差b2=.
十二、事件之间的关系与运算
定义 符号表示
包含关系 如果事件A发生时,事件B一定发生,则称“A包含于B”(或“B包含A”) A B(或 B A)
相等关系 如果事件A发生时,事件B一定发生;而且事件B发生时,事件A也一定发生,则称“A与B相等” A=B
事件的 和(或并) 给定事件A,B,由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并) A+B(或A∪B)
事件的 积(或交) 给定事件A,B,由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交) AB(或A∩B)
互斥事件 给定事件A,B,若事件A与B不能同时发生,则称A与B互斥 AB= (或A∩B= )
对立事件 给定样本空间Ω与事件A,则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件
十三、概率
概率加法公式 概率乘法公式 古典概型
当A与B互斥(即AB= )时,有P(A+B)=P(A)+P(B) 如果A,B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B) P(C)=
十四、向量的运算
向量运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
减法 求两个向量差的运算 　　　
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λ||a|,而且λa的方向如下: 当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反. (2)当λ=0或a=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; λa+μa=(λ+μ)a; λ(a+b)=λa+λb, 其中λ,μ∈R
十五、向量基本定理
1.共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.
2.平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb.
十六、平面向量的坐标运算
1.平面向量的坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2),λa=(λx1,λy1),|a|=,
a∥b x2y1=x1y2.
2.两点间的距离公式与中点坐标公式
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=||=
.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x,y),则x=.
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