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§１ 集 合
知识点 1 Venn图
知识 清单破
2 集合的基本关系
为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.一些常用
数集间的关系用Venn图表示如下:

知识点 2 子集、真子集、集合相等
概念 图示 性质
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集,记作A B(或B A),读作“A包含于B”(或“B包含A”) 或 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即A A;
(2)对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C;
(3)空集是任何集合的子集
对于两个集合A与B, 如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等,记作A=B 如果A=B,且B=C,那
么A=C
对于两个集合A与B,如果A B,且A≠B,那么称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 如果A B,且B C,那
么A C
　　注:集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A),记作A B(或B A).
知识拓展 设有限集A有n(n∈N+)个元素,则其子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空子
集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1.任何一个非空集合至少有两个子集.(　 )
2.1 {0,1,2}. (　 )
√
1是集合{0,1,2}中的元素,应表示为1∈{0,1,2},而集合与集合之间才能用 .

提示
3.{1,2} {0,1,2}. (　 )
√
4.已知集合B A,若元素a不属于A,则必不属于B. (　 )
√
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 集合间基本关系的判断
判断集合的基本关系的三种方法
1.列举法,首先将集合中的元素一一列举出来,然后观察两个集合中的元素的异同,进而得出
两个集合之间的关系.
2.定义法,判断集合A中的元素是不是都是集合B中的元素.若集合A中的元素都是集合B中的
元素,则A B,在此前提下,若集合B中至少存在一个元素不属于集合A,则A B.
3.数形结合法,利用数轴或者Venn图判断集合间的关系.
典例 判断下列集合的基本关系:
(1)A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0};
(2)A={x|0<2x-1<1},B={x|1<3x+1<4};
(3)M= x x=m+ ,m∈Z ,N= x x= - ,n∈Z ,P= x x= + ,k∈Z .
思路点拨 (1)先确定集合B中的元素,再与集合A相比较即可得结果.
(2)先确定集合A,B,再用数轴表示,即可得结果.
(3)先分析集合M,N,P中元素的性质特征(也可用列举法),再判断集合M,N,P的关系.
解析 (1)B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}={1,2,3}=A.
(2)A={x|0<2x-1<1}= ,B={x|1<3x+1<4}={x|0所示,由图可知A B.

(3)解法一(元素特征法):
M= =
= ,
N= =
= ,
P= = ,
∴M N=P.
解法二(列举法):
M= ,
N= ,
P= ,
∴M N=P.
疑难 2 由集合间的基本关系求参数
由集合间的基本关系求参数的常用方法及注意点
1.常用方法:若集合中的元素可一一列举,则依据集合间的关系,列方程(组)求解;若集合表示
的是不等式的解集,则常依据数轴列不等式(组)求解.
2.注意点
(1)不能忽视集合为 的情形;
(2)当集合中含有参数时,一般需要分类讨论.
典例 已知集合A={x|0(1)若A B,求实数a的取值范围;
(2)若B A,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使得A=B 若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
思路点拨 先分a=0,a<0,a>0三种情况得出集合A,再根据集合A,B之间的关系分别求参数a
的值或取值范围.
解析　对于集合A,当a=0时,A=R;
当a<0时,A= ;
当a>0时,A= .
(1)当a=0时,A B;
当a<0时,由A B得
解得
∴a<-8;
当a>0时,由A B得
解得
∴a≥2.
综上所述,实数a的取值范围是{a|a<-8或a≥2}.
(2)当a=0时,B A;
当a<0时,由B A得
解得
∴- 当a>0时,由B A得 且不等式组中的两等号不能同时成立,∴0综上所述,实数a的取值范围是 .
(3)当a=0时不满足题意;
当a<0时,显然A≠B;
当a>0时,若A=B,则- =- ,且 =2,解得a=2.
故存在a=2,使得A=B.第一章　预备知识
§1　集合
1.2　集合的基本关系
基础过关练
题组一　集合的基本关系
1.(多选题)下列关系中,正确的有(　　)
A. {0}　　　B.Q Z
C.{a,b} {b,a}　　　D.{a} {a,b}
2.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是(　　)
3.(多选题)下列命题中正确的有(　　)
A.集合{a,b}的真子集是{a},{b}
B.{x|x是菱形} {x|x是平行四边形}
C.设a,b∈R,A={1,a},B={-1,b},若A=B,则a-b=-2
D. ∈{x|x2+1=0,x∈R}
4.已知M={x|x=3m-1,m∈Z},N={x|x=3n+2,n∈Z},P={x|x=6p-1,p∈Z},则下列结论正确的是(　　)
A.M=P N　　　B.P M=N
C.M N P　　　D.N M P
5.集合A={y|y=x2+3x+1},B={y|y=x2-3x+1},则集合A与集合B之间的关系是　　　　(用“ ”“ ”或“=”来表示).
题组二　子集(真子集)的个数
6.满足M {1,2,3}的集合M共有(　　)
A.6个　　　　B.7个　　　　C.8个　　　　D.15个
7.集合{x|-18.集合{(x,y)|x+y=2,x∈N,y∈N}的真子集的个数为　　　　.
题组三　已知集合间的关系求参数的值(取值范围)
9.已知A={1,x,y},B={1,x2,2y},若A=B,则x-y=(　　)
A.2　　　　B.1　　　　C.
10.(多选题)集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B A,则实数a的可能取值为(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
11.若 {(x,y)|y=3x+c},则c=　　　　.
12.(2022安徽池州一中期中)已知集合A={a,a2},B={1,-2,2,4},若A B,则a=　　　　.
13.已知集合A={x|-2≤x≤4},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B A,则实数m的取值范围为　　　　.
14.已知集合C={x|ax2-4x+1=0}.
(1)若C是空集,求实数a的取值范围;
(2)若C中至多有一个元素,求实数a的取值范围.
能力提升练
题组一　集合的基本关系
1.(多选题)已知集合A={y|y=x+1,x∈Z},B={y|y=2x+1,x∈Z},则(　　)
A.-+1∈A　　　B.B A
C.A B　　　D.B A
2.已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5},则所有满足条件的集合M的个数是(　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
3.已知集合M=,则集合M,N,P的关系为(　　)
A.M=N=P　　　B.M N=P
C.M N P　　　D.M N,N∩P=
4.定义集合A☉B={x|x=,a∈A,b∈B},若A={n,-1},B={,1},且集合A☉B中有3个元素,则由实数n的所有取值组成的集合的非空真子集的个数为(　　)
A.2　　　B.6　　　　
C.14　　　D.15
题组二　已知集合间的关系求参数的值(取值范围)
5.(多选题)已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值为(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.1
6.已知集合{x∈R|(x-1)(x2+x+1-a)=0}的子集不超过4个,则实数a的取值范围为　　　　.
7.已知a,x∈R,集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1}.
(1)求使A={2,3,4}的x的值;
(2)求使2∈B,B A的a,x的值;
(3)求使B=C的a,x的值.
8.设集合A={x|-1≤x≤6},B={x|m-1≤x≤2m+1},且B A.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当x∈N时,求集合A的子集的个数.
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
§1　集合
1.2　集合的基本关系
基础过关练
1.ACD　因为空集是任何集合的子集,任何一个集合都是它本身的子集,故A,C正确;
对于B,Z Q,故B错误;
对于D,集合{a}中的唯一元素a在集合{a,b}中,
则{a} {a,b},故D正确.故选ACD.
2.B　由x2-x=0得x=1或x=0,故N={0,1},易得N M,其对应的Venn图如选项B所示.
3.BC　对于A,集合{a,b}的真子集是{a},{b}, ,故A不正确;
对于B,菱形一定是平行四边形,故B正确;
对于C,由题意得a=-1,b=1,故a-b=-2,故C正确;
对于D,因为x∈R,所以x2+1=0无解,所以{x|x2+1=0,x∈R}= ,故D不正确.故选BC.
4.B　因为M={x|x=3m-1,m∈Z},N={x|x=3n+2,n∈Z}={x|x=3(n+1)-1,n∈Z},所以M=N;
P={x|x=6p-1,p∈Z}={x|x=3·2p-1,p∈Z},
所以P M=N.故选B.
5.答案　A=B
解析　因为y=x2+3x+1=≥-,
且y=x2-3x+1=≥-,
所以A=B=.
6.C　集合{1,2,3}的子集有23=8个,所以满足M {1,2,3}的集合M共有8个,故选C.
7.答案　14
解析　因为{x|-1所以该集合的所有非空真子集的个数为24-2=14.
8.答案　7
解析　由题意可知,{(x,y)|x+y=2,x∈N,y∈N}={(0,2),(1,1),(2,0)},其中共3个元素,
所以其真子集的个数为23-1=7.
9.C　若A=B,则或解得或或由集合中元素的互异性,得x=,则x-y=,故选C.
10.ABC　当a=0时,B= ,符合题意;
当a≠0时,B={x|ax+1=0}=,若B A,则-=1或-=-1,解得a=-1或a=1,
所以实数a的可能取值为-1,0,1.故选ABC.
11.答案　2
解析　由解得
故={(0,2)},
将x=0,y=2代入y=3x+c,得c=2.
12.答案　±2
解析　若a=1,则与集合中元素的互异性矛盾,舍去;
若a=-2,则A={-2,4},满足条件;
若a=2,则A={2,4},满足条件;
若a=4,则A={4,16},不满足条件,舍去.
故a=±2.
13.答案　
解析　若B= ,则m+1>2m-1,即m<2;
若B≠ ,则m≥2,且∴2≤m≤.
综上所述,m的取值范围为.
易错警示　在由B A求参数的取值范围时,注意不要忽视B= 这一种特殊情况.
14.解析　(1)由题意得,当a=0时,-4x+1=0,解得x=,此时C不为空集,舍去;
当a≠0时,Δ=16-4a<0,解得a>4.
所以a的取值范围是(4,+∞).
(2)由(1)知,当a=0时,C=,满足题意;
当a≠0时,Δ=16-4a≤0,解得a≥4.
综上,a的取值范围是{a|a≥4或a=0}.
易错警示　在考虑方程的实数根的情况时,不要忽略对二次项系数是不是0的讨论.
能力提升练
1.AD　当x=-1时,有-+1∈A,所以A正确;
因为B={y|y=×2x+1,x∈Z},所以B A,所以B,C错误,D正确.故选AD.
2.B　由题意知1,2都是集合M的元素,且M中至少有3个元素,所以满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个,故选B.
3.B　m-,
故M=xx=,m∈Z,
,
故N=,
,故P=,
因为3(n-1)+1(n∈Z)与3p+1(p∈Z)表示的数都是3的倍数加1,6(m-1)+1(m∈Z)表示的数是6的倍数加1,所以M N=P.故选B.
4.B　因为A☉B={x|x=,a∈A,b∈B},A={n,-1},B={,1},
所以x=,
又集合A☉B中有3个元素,
所以当时,n=0,此时A☉B={,1},满足题意;
当时,n=1(负值舍去),此时A☉B={},不符合题意;
当时,n=±,此时A☉B={,2},满足题意;
当时,n=1(负值舍去),此时A☉B={},不符合题意.
综上,n∈{0,},故由实数n的所有取值组成的集合的非空真子集的个数为23-2=6.
故选B.
5.BCD　∵集合A有且仅有2个子集,
∴集合A中仅有1个元素,
当a=0时,集合A={0},符合题意;
当a≠0时,Δ=4-4a2=0,解得a=±1,
当a=1时,A={-1},符合题意,当a=-1时,A={1},符合题意.故选BCD.
6.答案　
解析　令A={x∈R|(x-1)(x2+x+1-a)=0},
因为集合A的子集不超过4个,所以集合A中的元素不超过2个,
显然1∈A,则方程x2+x+1-a=0有两个不相等的实数根且其中一个实数根为1或无实数根或有两个相等的实数根(可不为1).
当方程有一个实数根为1时,12+1+1-a=0,解得a=3,
此时x2+x-2=0,解得x=1或x=-2,则A={1,-2},符合题意;
当方程无实数根时,Δ=12-4(1-a)<0,解得a<,此时A={1},符合题意;
当方程有两个相等的实数根(可不为1)时,Δ=12-4(1-a)=0,解得a=,
此时x2+x+=0,解得x1=x2=-,
则A=,符合题意.
综上可得,a≤或a=3.
7.解析　(1)∵A={2,4,x2-5x+9}={2,3,4},
∴x2-5x+9=3,解得x=2或x=3.
(2)∵2∈B,B A,∴
解得或经检验,均符合题意.
(3)∵B=C,∴
解方程②得x=-1或x=1-a.
把x=-1代入①,解得a=-6;
把x=1-a代入①,解得a=-2,则x=3.
经检验,和都符合题意.
8.解析　(1)当m-1>2m+1,即m<-2时,B= ,符合题意;
当B≠ 时,有解得0≤m≤.
故实数m的取值范围是mm<-2或0≤m≤.
(2)当x∈N时,A={0,1,2,3,4,5,6},所以集合A的子集的个数为27=128.
易错警示　含有参数的集合B满足B A,解题时要考虑B= 的情况.
4

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