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(共15张PPT)
§１ 集合
知识点 集合的基本运算
知识 清单破
1.3 集合的基本运算
1.交集与并集
文字语言 符号语言 图形语言 运算性质
交集 一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集,记作A∩B,读作“A交B” A∩B={x|x∈A, 且x∈B} A∩B=B∩A,A∩A=A,
A∩ = ∩A= ,
A∩B A,A∩B B,
A B A∩B=A
并集 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫作集合A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B” A∪B={x|x∈A, 或x∈B} A∪B=B∪A,A∪A=A,
A∪ = ∪A=A,
A A∪B,B A∪B,
A B A∪B=B
2.全集与补集
(1)全集:在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,
常用符号U表示.
(2)补集
文字语言 设U是全集,A是U的一个子集(即A U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集,记作 UA
符号语言 UA={x|x∈U,且x A}
图形语言
运算 性质 UA U, UU= , U =U, U( UA)=A,A∪
( UA)=U,A∩( UA)=
知识拓展
1.德·摩根定律:
(1) U(A∩B)=( UA)∪( UB).
(2) U(A∪B)=( UA)∩( UB).
2.容斥定理——有限集中元素个数问题:
常用card(A)表示有限集A中元素的个数,一般地,对任意有限集A,B,C,有如下结论:
(1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);
(2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩
C).
这一结论被称为容斥定理.
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
1.集合A∪B中元素个数与A,B中元素个数的和相等. (　 )
　只有A∩B= 时,A∪B中元素个数与A,B中元素个数的和才相等.
2.若A={1,2},B={1,3,4},则A∪B={1,2,1,3,4}. (　 )


3.若x∈A∩B,则x∈A∪B. (　 )
√
4.若x∈A∪B,则x∈A∩B. (　 )

5.全集包含任何一个元素. (　 )

6. AC和 BC相等. (　 )

提示
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 集合的基本运算
1.根据集合中元素的特征选择适当的方法进行集合的基本运算
(1)有限集(或可以列举的无限集)的运算,运用列举法,按照运算的定义进行运算;
(2)与不等式有关的无限集的运算,常借助数轴,按照运算的定义进行运算;
(3)与函数相关的点集的运算,借助直观图形,按照运算的定义进行运算;
(4)抽象集的运算,利用Venn图,借助直观图形,按照运算的定义进行运算.
2.集合并集、交集、补集的混合运算,根据题中运算次序依次进行运算求解,也可运用运算律
求解.
3.集合运算的注意事项
(1)与集合的交、并、补集运算有关的参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要
漏掉空集的情形.
(2)注意不等式中的等号在补集中能否取到,还要注意补集是全集的子集.
典例 (1)设全集U=R,M={x|-3A.{x|-1≤x<0}　 B.{x|x≥-1}
C.{x|-3(2)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为( )

A.{1} B.{0,1} C.{1,2} D.{0,1,2}
A
A
解析 (1)∵U=R,N={x|x<-1},
∴ UN={x|x≥-1},∴M∩( UN)={x|-1≤x<0},故选A.
(2)题图中阴影部分表示的集合中的元素在A中,不在B中,故该集合为A∩( RB).
∵B={x∈R|x≥2},∴ RB={x∈R|x<2}.
又A={1,2,3,4,5},∴题图中阴影部分所表示的集合为A∩( RB)={1}.故选A.
疑难 2 由集合的基本运算求参数的值(取值范围)
1.当集合中的元素连续时,常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴
列出关于参数的不等式(组),求解即可,要特别注意对端点值的取舍.
2.当集合中的元素离散时,常借助集合间的关系列出关于参数的方程(组),求解即可,但求解后
要检验是否符合题意,避免违背集合中元素的互异性,同时还要注意对空集的讨论,以免漏解.
典例 已知集合A={x|2(1)若A∩B= ,求实数a的取值范围;
(2)若A∩B={x|3思路点拨 (1)分B= 和B≠ 两种情况讨论,列出关于a的不等式(组)求解.
(2)借助数轴,在数轴上表示出集合A与B,再结合已知就可以得出a的值.
解析 (1)分两种情况讨论.
当B= 时,满足A∩B= ,此时a≥3a,解得a≤0;
当B≠ 时,a>0,在数轴上表示出集合A与B,如图所示,

由图可知,要满足A∩B= ,只需 或 解得0综上所述,a的取值范围是 ∪[4,+∞).
(2)在数轴上表示出集合A与B,如图所示,

因为A={x|2所以a=3,此时B={x|3经检验,符合题意,所以a=3.
疑难 3 “补集思想”的应用
1.运用补集思想解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、较复杂,或含有至多、至少、
存在唯一、不存在等的问题中.
2.用补集思想解含参问题的步骤
(1)否定已知条件,考虑问题的反面;
(2)求问题的反面对应的参数的集合;
(3)取问题的反面对应的参数的集合的补集,注意全集的范围.
典例 已知集合A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2=0}.若三个集合中至少有一
个集合不是空集,求实数a的取值范围.
思路点拨 先分析“至少有一个”的反面“一个也没有”的情况,再取“补集”.
解析　假设三个集合都是空集,即三个方程均无实根,则 即
∴- 有一个集合不是空集.
∴a的取值范围为{a|a≤- 或a≥-1}.第一章　预备知识
§1　集合
1.3　集合的基本运算
基础过关练
题组一　集合的交集运算
1.已知集合A={x∈N|0≤x<4},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=(　　)
A.{0,1,2}　　　B.{1,2,3}
C.{0,1,2,3}　　　D.{-1,0,1,2}
2.集合A={x|-1≤x≤2},B={x∈N|x<2},则A∩B=(　　)
A.{x|x<2}　　　B.{x|x≥1}
C.{0,1}　　　D.{x|-1≤x<2}
3.集合M={(x,y)|2x+y=0},N={(x,y)|x+y-3=0},则M∩N=(　　)
A.{-3,6}　　　B.(-3,6)
C.{(-3,6)}　　　D.{(3,-6)}
4.已知集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N+}的关系如图所示,则阴影部分所表示的集合中的元素共有(　　)
A.2个　　　B.3个　　　　
C.1个　　　D.无穷多个
题组二　集合的并集运算
5.已知集合A={x∈N|(x+1)(x-2)=0},B={2,4,5},则A∪B=(　　)
A.{-1,2,5}　　　B.{2,4,5}
C.{2}　　　D.{-1,2,4,5}
6.已知集合A={2,3,4},集合A∪B={1,2,3,4,5},则集合B不可能为(　　)
A.{1,2,5}　　　B.{1,3,5}
C.{0,1,5}　　　D.{1,2,3,4,5}
7.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈(A∪B)且x (A∩B)},已知M={x|0≤x≤3},N={x|x≤1},则M*N=(　　)
A.{x|1B.{x|x≤0或1≤x≤3}
C.{x|x≤3}　　　
D.{x|x<0或18.满足M∪{a,b}={a,b,c,d}的集合M有　　　　个.
9.已知集合A={x2,x-1},B={x-5,1-x,9}.
(1)若x=-3,求A∩B;
(2)若9∈A,求A∪B.
题组三　集合的全集与补集运算
10.已知全集U={x|x>0},集合A={x|2≤x≤3},则 UA=(　　)
A.(0,2]∪[3,+∞)　　　
B.(0,2)∪(3,+∞)
C.(-∞,2]∪[3,+∞)　　　
D.(-∞,2)∪(3,+∞)
11.已知全集U=R,集合A={-1,0,1,2},B={x|2x-1>0},则A∩( RB)=(　　)
A.{-1,0}　　　B.{1,2}　　　　
C.{-1,0,1}　　　D.{0,1,2}
12.设全集U=R,集合A={x∈Z|-2≤x≤0},B={x∈N|x≤3},则图中阴影部分表示的集合是(　　)
A.{-2,-1}　　　B.{x|-2≤x≤0}
C.{x|0≤x≤2}　　　D.{0,1}
13.设全集U=R,A={x|x<-4,或x≥3},B={x|-1A.( UA)∪( UB)　　　B. U(A∪B)
C.( UA)∩B　　　D.A∩B
14.已知集合A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=4k+1,k∈Z},则(　　)
A.A∩B=A　　　B.A∪B=B
C.B∩( RA)= 　　　D.A∩( RB)=
题组四　集合运算中的参数问题
15.已知集合A={x|x>2},B={x|x<2m},且 RB A,则实数m的取值范围是(　　)
A.(1,+∞)　　　B.[1,+∞)　　　　
C.(-∞,1)　　　D.(-∞,1]
16.设集合A={2,a},B={-1,a2-2},若A∩B≠ ,则实数a=(　　)
A.-2　　　B.-1　　　　
C.-1或-2　　　D.-1或±2
17.若U={1,2,3,4},A={x|x2+mx+n=0}, UA={1,4},则m+n=　　　　.
18.已知集合A={-2,1},B={x|ax=2},若A∪B=A,则实数a的取值集合为　　　　.
19.设集合U=R,A={x|0≤x≤3},B={x|m-1≤x≤2m}.
(1)若m=3,求A∩( UB);
(2)若B A,求实数m的取值范围.
20.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}为非空集合,B={x|(x-3)·(x-22)≤0}.
(1)当a=8时,求A∩B,A∪B;
(2)求能使A (A∩B)成立的实数a的取值范围.
能力提升练
题组一　集合的基本运算
1.已知全集U={x∈N+|x<9},( UA)∩B={1,6},A∩( UB)={2,3}, U(A∪B)={5,7,8},则B=(　　)
A.{2,3,4}　　　B.{1,4,6}
C.{4,5,7,8}　　　D.{1,2,3,6}
2.设集合M={x|3x=2k1-3,k1<50,k1∈N+},N={x|2x=k2+2,k2∈N+},则M∩N中元素的个数为(　　)
A.15　　　B.16　　　　
C.17　　　D.18
3.(多选题)设全集U={x|x>0},集合M={x|y=},N={y|y=x2+4},则下列结论正确的是(　　)
A.M∩N={x|x>4}
B.M∪N={x|x>1}
C.( UM)∪( UN)={x|0D.( UM)∩( UN)={x|04.(多选题)对于集合A,B,定义集合运算A-B={x|x∈A且x B},则下列结论正确的有(　　)
A.(A-B)∩(B-A)=
B.(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)
C.若A=B,则A-B=
D.若A B,则B-A=
5.(教材深研拓展)学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径比赛和球类比赛的有　　　　人,只参加游泳比赛的有　　　　人.
6.对于区间[m,n],我们规定n-m是这个区间的长度.已知A,B都是集合{x|-1≤x≤1}的子集,A={x|a≤x≤a+1},B=,若用区间M表示集合A∩B,则区间M的长度的取值范围是　　　　.
题组二　集合中的参数问题
7.设集合A={x|x<2或x≥4},B={x|xA.{a|a<2}　　　B.{a|a>2}
C.{a|a≤4}　　　D.{a|a≥4}
8.(多选题)设集合M={x|(x-a)(x-3)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则下列说法不正确的是(　　)
A.若M∪N有4个元素,则M∩N≠
B.若M∩N≠ ,则M∪N有4个元素
C.若M∪N={1,3,4},则M∩N≠
D.若M∩N≠ ,则M∪N={1,3,4}
9.已知全集U=R,集合A={x|x≤a-1},B={x|x>a+2},C={x|x<0或x≥4},且 U(A∪B) C,则实数a的取值范围为　　　　.
10.已知集合A={x|m-2≤x≤2m+1},B={x|-3≤x≤5}.
(1)若A B,求实数m的取值范围;
(2)若存在x∈A,使得x∈B成立,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第一章　预备知识
§1　集合
1.3　集合的基本运算
基础过关练
1.C　集合A={x∈N|0≤x<4}={0,1,2,3},B={-1,0,1,2,3},故A∩B={0,1,2,3},故选C.
2.C　由题意知A∩B={x∈N|-1≤x<2}={0,1}.故选C.
3.C　解方程组得故M∩N={(-3,6)},故选C.
4.A　∵M={x|-1≤x≤3},N={x|x=2k-1,k∈N+},∴M∩N={1,3}.
5.B　因为A={x∈N|(x+1)(x-2)=0}={2},B={2,4,5},所以A∪B={2,4,5}.故选B.
6.C　由集合A∪B={1,2,3,4,5},得0 B,故选C.
7.D　M∪N={x|x≤3},M∩N={x|0≤x≤1},
所以M*N={x|x<0或18.答案　4
解析　集合M可能为{c,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d},共有4种可能.
9.解析　(1)当x=-3时,A={9,-4},B={-8,4,9},∴A∩B={9}.
(2)∵9∈A,∴x2=9或x-1=9,解得x=±3或x=10.
当x=3时,集合B中的元素不满足互异性,舍去;
当x=-3时,A={9,-4},B={-8,4,9},
∴A∪B={-8,-4,4,9};
当x=10时,A={100,9},B={5,-9,9},
∴A∪B={-9,5,9,100}.
综上,A∪B={-8,-4,4,9}或A∪B={-9,5,9,100}.
10.B　在数轴上表示集合U和集合A,如图,结合数轴和补集的定义可知 UA=(0,2)∪(3,+∞).
故选B.
11.A　因为B={x|2x-1>0}=xx>,所以 RB=xx≤,所以A∩( RB)={-1,0}.故选A.
12.A　集合A={x∈Z|-2≤x≤0}={-2,-1,0},集合B={x∈N|x≤3}={0,1,2,3},
故题图中的阴影部分表示的集合为A∩( UB)={-2,-1},故选A.
13.C　由题意可得 UA={x|-4≤x<3},则( UA)∩B={x|-114.C　A={x|x=2k-1,k∈+1,k∈-1,k∈Z},
故B A,则A∩B=B,A∪B=A,∴B∩( RA)= ,A∩( RB)={x|x=4k-1,k∈Z}≠ ,故选C.
15.A　因为B={x|x<2m},所以 RB={x|x≥2m},又A={x|x>2}, RB A,所以2m>2,解得m>1,故选A.
16.A　∵A∩B≠ ,∴a2-2=2或a2-2=a或a=-1,由a2-2=2,得a=-2或a=2,由a2-2=a,得a=-1或a=2,
当a=-1时,a2-2=-1,不符合题意,舍去;
当a=-2时,A={2,-2},B={-1,2},符合题意;
当a=2时,不符合题意,舍去.
所以a=-2.故选A.
17.答案　1
解析　∵ UA={1,4},∴A={2,3},∴方程x2+mx+n=0的两根为2,3,
∴解得∴m+n=1.
18.答案　{-1,0,2}
解析　∵A∪B=A,∴B A.
又∵B={x|ax=2},A={-2,1},
∴B= 或B={-2}或B={1}.
当B= 时,a=0;当B={-2}时,a=-1;当B={1}时,a=2.
故实数a的取值集合为{-1,0,2}.
19.解析　(1)当m=3时,B={x|2≤x≤6},故 UB={x|x<2或x>6},
又A={x|0≤x≤3},所以A∩( UB)=[0,2).
(2)当B= 时,m-1>2m,解得m<-1,符合题意;
当B≠ 时,需满足或解得1≤m≤.
综上所述,m的取值范围为(-∞,-1)∪.
20.解析　(1)当a=8时,A={x|2a+1≤x≤3a-5}={x|17≤x≤19},
B={x|(x-3)(x-22)≤0}={x|3≤x≤22},
则A∩B={x|17≤x≤19},A∪B={x|3≤x≤22}.
(2)因为A (A∩B),所以A B,又A≠ ,所以解得6≤a≤9.
所以实数a的取值范围是[6,9].
能力提升练
1.B　易知U={1,2,3,4,5,6,7,8},根据题意作出Venn图,如图,可知B={1,4,6}.
2.A　由3x=2k1-3,得x=,
由2x=k2+2,得x=.
当时,有k2=-4,∵k1,k2∈N+,且k1<50,∴k1=6,9,12,15,…,48,共15个数,即M∩N中元素的个数为15.故选A.
3.CD　M={x|y=}={x|x≥1},N={y|y=x2+4}={y|y≥4}.
对于A,M∩N={x|x≥4},A错误;
对于B,M∪N={x|x≥1},B错误;
对于C,( UM)∪( UN)= U(M∩N)={x|0对于D,( UM)∩( UN)= U(M∪N)={x|04.ABC　若A,B不具有包含关系,用Venn图分别表示集合A-B,A∩B,B-A,如图1,
若A,B具有包含关系,不妨设A B,则A-B= ,A∩B=A,B-A如图2所示.
对于A,图1中,(A-B)∩(B-A)= ,图2中,A-B= ,所以(A-B)∩(B-A)= ,故A正确;
对于B,图1中,(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)成立,
图2中,(A-B)∪(B-A)=B-A,(A∪B)-(A∩B)=B-A,所以(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)成立,故B正确;
对于C,若A=B,则A-B= ,故C正确;
对于D,由图2可知,若A B,则B-A≠ ,故D错误.
故选ABC.
5.答案　3;9
解析　设同时参加田径比赛和球类比赛的有x人,根据题意画出Venn图(图中数字代表人数),如图.
则28=15+8+14-3-3-x,解得x=3,即同时参加田径比赛和球类比赛的有3人,只参加游泳比赛的有15-3-3=9人.
6.答案　
解析　由A {x|-1≤x≤1},得-1≤a由B {x|-1≤x≤1},得-1≤b-{x|-1≤x≤1}=[-1,1],故该区间的长度为2,
A={x|a≤x≤a+1}=[a,a+1],故区间A的长度为1,
B=,故区间B的长度为.
故区间M的长度最大不超过区间A的长度1,最小不小于1+,
又当a=-1,b=时,A∩B=A=[-1,0],区间长度为1,取得最大值;当a=-1,b=1时,A∩B=,区间长度为,取得最小值,
故区间M的长度的取值范围是.
7.B　∵A={x|x<2或x≥4},∴ RA={x|2≤x<4},
又B={x|x2,故选B.
8.ABC　由题意得M={x|(x-a)(x-3)=0}={a,3},N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4}.
对于A,若M∪N有4个元素,则a {1,3,4},∴M∩N= ,故A错误;
对于B,若M∩N≠ ,则a∈{1,4},∴M∪N有3个元素,故B错误;
对于C,若M∪N={1,3,4},则当a=3时,M∩N= ,故C错误;
对于D,若M∩N≠ ,则a∈{1,4},∴M∪N={1,3,4},故D正确.
故选ABC.
9.答案　(-∞,-2)∪[5,+∞)
解析　因为全集U=R,集合A={x|x≤a-1},B={x|x>a+2},a-1所以A∪B={x|x>a+2或x≤a-1},
所以 U(A∪B)={x|a-1又集合C={x|x<0或x≥4},且 U(A∪B) C,
所以a+2<0或a-1≥4,解得a<-2或a≥5,
故a的取值范围为(-∞,-2)∪[5,+∞).
10.解析　(1)若A= ,满足A B,此时m-2>2m+1,即m<-3;
若A≠ ,则m≥-3,要使A B,则即解得-1≤m≤2.
综上,实数m的取值范围为(-∞,-3)∪[-1,2].
(2)若存在x∈A,使x∈B成立,则A∩B≠ .
当A∩B= 时,
若A= ,满足A∩B= ,此时m-2>2m+1,即m<-3.
若A≠ ,即m≥-3,
要使A∩B= ,则或
即或
解得-3≤m<-2或m>7.
综上所述,若A∩B= ,则实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(7,+∞),
则当A∩B≠ 时,实数m的取值范围为[-2,7].
方法技巧　本题用到了补集思想,第(2)问A∩B≠ 包含的情况较多,转化为求A∩B= 时m的取值范围,再求其补集.当题目从正面入手难以解决或正面情况较多时,可考虑用这种方法.
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